Trục tọa độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và vec tơ đơn vị → e. Cho M là một điểm tùy ý trên trục Ox. Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trê[r]
(1)Chương I: VEC TƠ I.CÁC ĐỊNH NGHĨA A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Vec tơ đoạn thẳng có hướng
2 Để xác định vec tơ cần biết hai điều kiện * Điểm đầu điểm cuối vec tơ
* Độ dài hướng
3 Hai vec tơ →avà→b gọi phương giá chúng song song trùng Nếu hai vec tơ phương chúng hướng ngược hướng
4 Độ dài vec tơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vec tơ →a=b→⇔∨→a∨¿∨b→∨vàa→, b→ hướng
6 Với điểm A ta gọi ⃗AA vec tơ – khơng Vec tơ – khơng kí hiệu : →0 quy ước rằng
| →0∨¿0 , vec tơ – không phương hướng với vec tơ B BÀI TẬP
1/ Hãy tính số vec tơ ( →0¿ mà điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm phân biệt cho trường hợp sau :
a) Hai điểm b) Ba điểm c) Bốn điểm
2/ Cho hình vng ABCD tâm O Liệt kê tất vec tơ nhận đỉnh tâm hình vng làm điểm đầu điểm cuối
3/ Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh ⃗NP=⃗MQ và⃗PQ=⃗MN .
4/ Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB AC So sánh độ dài hai vec tơ ⃗NM và⃗BC Vì nói hai vec tơ phương?
5/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh ⃗AB=⃗DC thì⃗AD=⃗BC
6/ Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A, B, C trường hợp sau: a) ⃗AB và⃗AC hướng, ¿⃗AB∨¿∨⃗AC∨¿
b) ⃗AB và⃗AC ngược hướng.
c) ⃗AB và⃗AC phương
7/ Cho hình bình hành ABCD Dựng ⃗AM=⃗BA,⃗MN=⃗DA,⃗NP=⃗DC,⃗PQ=⃗BC Chứng minh ⃗AQ=→0
8/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N trung điểm AD, BC
a) Có vec tơ khác vec tơ – khơng có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D, O, M, N
b) Chỉ hai vec tơ có điểm đầu điểm cuối lấy điểm A, B, C, D, O, M, N mà - Cùng phương với ⃗AB
- Cùng hướng với ⃗AB
- Ngược hướng với ⃗AB
c) Chỉ vec tơ vec tơ ⃗MO,⃗OB
II TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa tổng hai vec tơ quy tắc tìm tổng.
(2)* Với ba điểm M, N, P tùy ý ta ln có: ⃗MN+⃗NP=⃗MP ( quy tắc ba điểm)
* Tứ giác ABCD hình bình hành, ta có: ⃗AB+⃗AD=⃗AC ( quy tắc hình bình hành )
2 Định nghĩa vec tơ đối
* Vec tơ b→ vec tơ đối vec tơ →a | b→∨¿∨→a∨và→a, b→ hai vec tơ ngược hướng Kí hiệu: b→=− a→
* Nếu →a vec tơ đối vec tơ b→ b→ vec tơ đối vec tơ →ahay−(− a→)=→a * Mỗi vec tơ có vec tơ đối Vec tơ đối ⃗AB là⃗BA Vec tơ đối vec tơ →0là 0→ .
3 Định nghĩa hiệu hai vec tơ quy tắc tìm hiệu * →a− b→=→a+(− b→)
* Ta có: ⃗OB−⃗OA=⃗AB với ba điểm O, A, B (quy tắc trừ). 4 Tính chất phép cộng vec tơ.
Với ba vec tơ ta có:
* →a+→b=→b+→a (tính chất giao hốn) * (→a+→b)+→c=→a+(→b+→c) (tính chất kết hợp) * →a+→0=→0+→a=→a ( tính chất vec tơ – không) * →a+(− a→)=− a→+a→=0→
B BÀI TẬP
1/ Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD a) Tính tổng hai vec tơ ⃗NC và⃗MC;⃗AM và⃗CD;⃗AD và⃗NC
b) Chứng minh ⃗AM+⃗AN=⃗AB+⃗AD
2/ Cho tam gác ABC Các điểm M, N, P trung điểm AB, AC, BC a) Tìm hiệu ⃗AM−⃗AN,⃗MN−⃗NC,⃗MN−⃗PN,⃗PB−⃗CB .
b) Phân tích ⃗AM theo hai vec tơ ⃗MN và⃗MP
3/ Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 600 cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính | BC∨¿,∨⃗OB−⃗DC∨¿
⃗AB+⃗AD∨,∨⃗BA−⃗¿
4/ Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Hãy tính | ⃗OA−⃗CB∨,∨⃗AB+⃗DC∨,∨⃗CD−⃗DA∨¿ .
5/ Cho sáu điểm A, B, C, D, E F Chứng minh rằng: ⃗AD+⃗BE+⃗CF=⃗AE+⃗BF+⃗CD
6/ Cho năm điểm A, B, C, D E Chứng minh rằng: ⃗AC+⃗DE−⃗DC−⃗CE+⃗CB=⃗AB .
7/ Cho tam giác ABC Các điểm M, N P trung điểm cạnh AB, AC BC Chứng minh với điểm O ta có: ⃗OA+⃗OB+⃗OC=⃗OM+⃗ON+⃗OP .
8/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường trịn ngoại tiếp O Gọi D điểm đối xứng với A qua O Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BDCH hình bình hành
b) ⃗OB+⃗OC=⃗AH Từ chứng minh ⃗OA+⃗OB+⃗OC=⃗OH . c) ⃗HA+⃗HB+⃗HC=2⃗HO
III TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ. A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa tích vec tơ với số
Cho số thực k →a≠0→ Tích →a với số thực k vec tơ, kí hiệu: k a→ - Cùng hướng với →a k >
(3)- Có dài |k|.| →a∨¿
2 Các tính chất phép nhân vec tơ với số: Với hai vec tơ →a, b→ tùy ý với số k, h R * k(→a+→b)=k a→+k b→
* (h+k).→a=h a→+k a→ * h(k a→)=(hk)→a
* 1.→a=→a;(−1)→a=− a→;0.→a=→0;k 0→=→0
3 Hai vec tơ →a, b→ với b→≠0→ phương có số k để →a=k b→ , số k tìm
4 Áp dụng:
*
k a→=0
→
⇔
k=0 ¿
a →
=0
→
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔⃗AB=k⃗AC , với k xác định.
* M trung điểm đoạn thẳng AB
⇔ ⃗MA+⃗MB=→0
¿
⃗OA+⃗OB=2⃗OM ¿
⃗AM=⃗MB ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
( với O )
* G trọng tâm tam giác ABC ⇔⃗GA+⃗GB+⃗GC=→0⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=3⃗OG (với O bất kì)
5 Cho hai vec tơ →avà→b không phương →x vec tơ tùy ý Bao tìm cặp số thực m, n cho →x=m a→+n b→
B.BÀI TẬP
1/ Cho tam giác ABC có trọng tam G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt u→=⃗AE, v→=⃗⃗AF Hãy phân tích vec tơ
⃗
AI,⃗AG,⃗DE,⃗DC theo hai vec tơ u→, v→.
2/ Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân tích ⃗AM theo hai vec tơ
u →
=⃗AB, v
→
=⃗AC
3/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = 1/3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
4/ Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác đinh hệ thức:
(4)5/ Gọi M, N trung điểm hai đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: 2⃗MN=⃗AC+⃗BD
6/ Cho hình bình ha2nhABCD Chứng minh rằng: ⃗AB+2⃗AC+⃗AD=3⃗AC
7/ Chứng minh G G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’ 3⃗GG'=⃗AA'+⃗BB'+⃗CC'.
8/ Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho ⃗GA+⃗GB+⃗GC+⃗GD=0→
IV HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Trục tọa độ (trục) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vec tơ đơn vị →e Kí hiệu: (O; →e¿ Ox,
2 Cho M điểm tùy ý trục Ox Khi có số m cho ⃗OM=m.→e Ta gọi số
m tọa độ điểm M hệ trục cho
3 Cho hai điểm A B trục Ox Khi có số k cho ⃗AB=k e→ Ta gọi số k độ
dài đại số ⃗AB hệ trục cho, kí hiệu: k = AB
4 Nếu A B trục Ox có tọa độ a b AB=b − a
5 Hệ thức Sa- lơ: Hệ thức ⃗AB+⃗BC=⃗AC⇔AB+BC=AC
6 Tọa độ vec tơ, điểm mặt phẳng tọa độ Oxy * →a=(a
1; a2)⇔a
→
=a1i
→
+a2 j
→
* M có tọa độ (x ; y) ⇔⃗OM=(x ; y) với O gốc tọa độ.
* Nếu A có tọa độ (xA ; yA ), B có tọa độ ( xS ; yB) thì: ⃗AB=(x
B− xA; yB− yA) Cho →a=(a
1; a2), b
→
=(b1;b2), k∈R ta có:
* →a+→b=(a
1+b1;a2+b2)
* →a− b→=(a
1−b1;a2−b2)
* k a→=(ka
1;ka2)
* →avà→b(→a≠0→) phương
⇔∃k:→b=k a
→
⇔
b1=ka1
b2=ka2 ⇔b1
a1= b2 a2
¿{
8 * Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB thì: xI=xA+xB
2 ; yI=
yA+yB
2 * Nếu G trọng tâm tam giác ABC : xG=xA+xB+xC
3 ; yG=
yA+yB+yC
3 B BÀI TẬP
1/ Trên trục (O ; →e¿ cho điểm A, B, M, N có tọa độ -4 , 3, 5, -2 a) Bểu diễn điểm cho trục
b) Tính độ dài đại số vec tơ ⃗AB,⃗AM,⃗MN
2/ Cho hình vng ABCD có cạnh a = Chọn hệ trục tọa độ (A ; →i; j→¿ →i và⃗AD
hướng, →jvà⃗AB hướng Tìm tọa độ đỉnh hình vng, giao điểm I hai đường chéo,
trung điểm N BC trung điểm M CD
(5)4/ Cho hình bình hành ABCD có A(-1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1) Tìm tọa độ đỉnh D
5/ Cho u→=(3;−2), v→=(7;4) Tính tọa độ vec tơ u→+→v, u→− v→,2→u,3→u−4→v,−(3→u−4→v) 6/ Cho A(3 ; 4), B(2 ; 5) Tìm x để điểm C(-7 ; x) thuộc đường thẳng AB
7/ Cho bồn điểm A(0 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 7), D(0 ; 3) Chứng minh hai đường thẳng AB// CD
8/ Cho tam giác ABC có A(1 ; -1), B(5 ; -3), đỉnh C Oy trọng tâm G Ox Tìm tọa độ C 9/ Cho A(-2 ; 1), B(4 ; 5) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB tìm tọa độ điểm C cho tứ giác OACB hình bình hành (O gốc tọa độ)
10/ Cho tam giác ABC, A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) a) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
b) Xác định tọa độ điểm E điểm đối xứng điểm A qua điểm B c) Tìm tọa độ trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chương II TICH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐỀN 1800. A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa: Với góc α(00≤ α ≤1800) ta xác định điểm M đường tròn đơn vị
sao cho góc xOM = α Giả sử M(x0 ; y0 ) Khi đó:
* Tung độ y0 M gọi sin góc α Kí hiệu : sin α=y0 * Hoành độ x0 M gọi cosin góc α Kí hiệu : cos α=x0
* Tỉ số y0 x0
với x0 gọi tang góc α Kí hiệu : tanα=y0 x0
* Tỉ số x0
y0
với y0≠0 gọi cotang góc α Kí hiệu : cotα=x0
y0
Các hệ thức lượng giác
a) Gí trị lượng giác hai góc bù
sinα=sin(1800− α)
cosα=−cos(1800− α)
tanα=−tan(1800− α)
cotα=−cot(1800−α)
c) Các hệ thức lượng giác
Từ định nghĩa giá trị lượng giác góc α ta suy hệ thức : sin2α+cos2α=1
sincosαα =tanα(α ≠900);cosα
sinα =cotα(α ≠0;α ≠180
0
)
cotα=
tanα ;tanα= cotα 1+tan2α=
cos2α ;1+cot
2
α=
sin2α Góc hai vec tơ
Cho hai vec tơ →a, b→ khác →0 Từ điểm O ta vẽ ⃗OA=→avà⃗OB=b→ Khi góc
AOB với số đo từ 00 đến 1800 gọi góc hai vec tơ a →
và→b Kí hiệu : (→a, b→)
4 Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt α
Gtlg
(6)sinα
2 √22 √
3
1
cosα √3
2 √
2
1
0 -1
tanα
√3
1 √3 ||
cot α || √3 1
√3
0 ||
B BÀI TẬP
1/ Với giá trị góc α ( 00≤ α ≤1800¿
a) sinαvà cosα dấu b) sinαvà cosα khác dấu c) sinαvà tanα dấu d) sinαvà tanα khác dấu 2/ Tính giá trị lượng giác góc: a) 1200 ; b) 1500 ; c) 1350. 3/ Rút gọn biểu thức:
a) A = 4a2cos2600+2 ab cos21800+4
3b
2
cos2300 b) B = (asin900 + btạn450)(acos00 + bcos1800) 4/ Cho sinα=1
4 với 900 < α<1800 Tính cos αvà tanα 5/ Cho cosα=−√2
4 Tính sinαvà tanα
6/ Cho tanα=2√2,(00<α<900) Tính sinαvà cosα
7/ Biết tanα=√2 Tính giá trị biểu thức A = sin3 sinαα −cosα +cosα
8/ Biết sinα=2
3 Tính giá trị biểu thức B =
cotα −tanα cotα+tanα
9/ Chứng minh với 00≤ x ≤1800 ta có:
a) (sinx + cosx)2 = + 2sinxcosx. b) (sinx – cosx)2 = – 2sinxcosx. c) Sin4x + cos4x = – 2sin2xcos2x.
10/ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) A = (sinx + cosx)2 + (sinx – cosx)2.
b) B = sin4x – cos4x – 2sin2x + 1
II TICH VÔ HƯỜNG CỦA HAI VEC TƠ. A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa Cho hai vec tơ →avà→b≠→0 Tích vơ hướng hai vec tơ →avà→b số , kí hiệu: a
→
.b→ xác định công thức sau: →a.b→=¿a
→
∨¿b
→
∨cos(a
→ , b→) Lưu ý: * Với →a, b→≠0→ , ta có : →a.b→=0⇔→a⊥b→
* →a2
=¿a
→
∨¿a
→
∨cos 00=¿a
→
(7)2 Các tính chất tích vơ hướng Với ba vec tơ →a, b→, c→ số k ta có : →a.b→=→b.→a (tính chất giao hốn)
→a.(→b+→c)=→a.→b+→a.→c (tính chất phân phối) (k a→).→b=k(→a.b→)=→a(k b→)
→a2
≥0 →a2
=0⇔a
→
=0
→
→a+b
→
¿2=a
→
2
+2a
→ b→+b
→
2
¿
→a− b→¿2=a →
2
−2→a.b→+b →
2
¿
(→a+→b)(→a− b→)=→a2− b→2
3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ (O ; →i, j→¿ cho hai vec tơ →a=(a
1; a2), b
→
=(b1;b2)
Khi tích vơ hướng →a.b→=a
1.b1+a2.b2
4 Ứng dụng tích vơ hướng.
a) Tính độ dài vec tơ Cho →a=(a
1; a2) , : ¿a
→
∨¿√a12+a22
b) Tính góc hai vec tơ Cho →a=(a
1; a2), b
→
=(b1;b2) , : ¿a
→
∨¿b
→
∨¿= a1b1+a2b2
√a1
+a2
.√b1
+b2
cos(a
→
, b→)=a
→ →b
¿
B.BÀI TÂP
1/ Tam giác ABC vng C có AC = 9, CB = Tính ⃗AB ⃗AC . 2/ Tam giác ABC có góc A = 900, góc B = 600 AB = a Tính :
a) ⃗AB ⃗AC b) ⃗CA ⃗CB c) ⃗AC ⃗CB
3/ Tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính
a) ⃗AB ⃗AC b) ⃗BA ⃗BC c) ⃗AB ⃗BC 4/ Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm
a) Tính ⃗AB ⃗AC suy giá trị góc A.
b) Tính ⃗CA ⃗CB
5/ Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M tùy ý ta có: ⃗MA ⃗BC+⃗MB.⃗CA+⃗MC.⃗AB=0
6/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a √2 Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh ⃗BK⊥⃗AC .
7/ Trong mặt phẳng Oxy cho A(4 ; 6), B(1 ; 4), C(7 ; 3/2) a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính chu vi tam giác ABC
8/ Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2 ; 4), B(1 ; 1) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC tam giác vuông cân B
9/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; 4), B(-3 ; 1), C(3 ; -1) Tính: a) Tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành
b) Tọa độ chân A’ đường cao vẽ từ đỉnh A
10/ Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 1), D(0 ; -2) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân
(8)Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = đường trung tuyến AM = ma, BN = mb, CP = mc
1 Định lí cosin.
a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC
Hệ quả:
cosA=b
2
+c2− a2
2 bc cosB=a
2
+c2−b2
2 ac cosC=a
2
+b2− c2
2 ab 2 Định lí sin.
R a
sinA = b sinB=
c
sinC=2R¿
: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3 Độ dài đường trung tuyến tam giác.
ma2=b
2
+c2
2 − a2
4 mb2=
a2
+c2
2 − b2
4 mc
2
=a
2
+b2
2 − c2
4 4 Các cơng thức tính diện tích tam giác.
Diện tích S tam giác tính theo cơng thức: * S=1
2ab sinC=
2ac sinB=
2bc sinA * S=abc
4R ( R : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) * S=pr với p=1
2(a+b+c) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC * S=√p(p − a)(p − b)(p − c) với p=1
2(a+b+c) (công thức Hê- rông)
B BÀI TẬP
1/ Cho tam giác ABC có b = 7cm, c = 5cm cosA = 3/5 a) Tính a, sinA diện tích S tam giác ABC
b) Tính đường cao xuất phát từ đỉnh A bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2/ Cho tam giác ABC biết A = 600, b = 8cm, c = 5cm Tính đường cao bán kính R.
3/ Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm Tính: a) ⃗AB ⃗AC b) góc A
4/ Cho tam giác ABC biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm a) Tính diện tích S
b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác ABC
c) Tính độ dài đường trung tuyến ma phát xuất từ đỉnh A tam giác ABC
5/ Cho tam giác ABC biết a = √6 cm,b=2 cm, c=(1+√3)cm Tính góc A, B chiều cao R
(9)GA2 + GB2 + GC2 = 3(a
2
+b2+c2)
7/ Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: a = bcosC + ccosB
8/ Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c đường trung tuyến AM = c = AB Chứng minh rằng: a) a2 = 2(b2 – c2)
b) sin2A = 2(sin2B – sin2C)
9/ Tam giác ABC vuông A có cạnh góc vng b c Lấy điểm M cạnh BC cho góc BAM = α Chứng minh rằng: AM = bcbcosα
+csinα
10/ Giải tam giác biết:
a) b = 14, c = 10, A = 1450 b) a = 4, b = 5, c = 7. Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Phương rình tham số.
* Phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ phương
u →
=(u1;u2)
¿
x=x0+tu1
y=y0+tu2
(u1
+u2
≠0) ¿{
¿
* Phương trình đường thẳng Δ qua M0(x0 ; y0) có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0) * Nếu Δ có VTCP u→=(u
1;u2) với u1≠0 hệ số góc Δlàk=
u2 u1
* Nếu Δ có hệ số góc k có VTCP u→=(1;k)
2 Phương trình tổng quát.
* Phương trình đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0) có vec tơ pháp tuyến →n=(a; b) là: a(x – x0) + b(y – y0) = ( a2 + b2 0¿
* Phương trình ax + by + c = với a2 + b2 0 phương trình tổng quát đường thẳng nhận n
→
=(a; b) làm VTPT
* Đường thẳng Δ cắt Ox Oy A(a ; 0) B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn : x
a+ y
b=1(a , b≠0)
3 Vị trí tương đối hai đường thẳng.n Cho hai đường thẳng ΔΔ1:a1x+b1y+c1=0
2:a2x+b2y+c2=0
Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng Δ1vàΔ2 ta xét số nghiệm hệ phương trình
¿
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0
¿ { ¿
(I)
Hệ (I) có nghiệm: Δ1 cắt Δ2
Hệ (I) vô nghiệm : Δ1//Δ2
(10)Chú ý: Nếu a2b2c2 :
Δ1∩ Δ2⇔a1
a2
≠b1
b2
Δ1//Δ2⇔a1
a2= b1
b2≠ c1
c2 Δ1≡ Δ2⇔a1
a2= b1 b2=
c1 c2 4 Góc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳng Δ1vàΔ2 có VTPT →n
1vàn
→
2 tính theo cơng thức:
¿a1a2+b1b2∨ ¿
√a12
+a22.√b12+b22 ¿n
→
1∨¿n
→
2∨¿=¿
¿n
→
1.n
→
2∨¿¿
cos(Δ1, Δ2)=cos(n
→
1, n
→
2)=¿
5 Khoảnh cách từ điểm đến đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng Δ : ax + by + c = cho công thức: d(M0, Δ ) = ¿ax0+by0+c∨
¿
√a2+b2 ¿
B BÀI TẬP
1/ Lập phương trình tổng quát phương trình tham số đường thẳng (d) trường hơp sau: a) (d) qua điểm M(1 ; 1) có VTPT →n=(3;−2)
b) (d) qua điểm A(2 ; -1) có hệ số góc k = - 1/2 c) (d) qua hai điểm A(2 ; 0) B(0 ; -3)
d) (d) qua điểm A(1 ; -2) song song với đường thẳng 2x – 3y – = e) (d) qua điểm A(2 ; 1) vng góc với đường thẳng x – y + = 2/ Cho đường thẳng
Δ: x=2+2t
y=3+t ¿{
a) Tìm điểm M nằm Δ cách điểm A(0 ; 1) khoảng b) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng Δ với đường thẳng x + y + = c) Tìm điểm M Δ cho AM ngắn
3/ Cho điểm M(1 ; 2) Hãy lập phương trình đường thẳng qua M chắn hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài
4/ Cho hai đường thẳng (d1): x + 2y + = 0, (d2): 2x – y + = a) Tính góc hai đường thẳng
b) Lập phương trình đường phân giác góc hai đường thẳng
5/ Lập phương trình ba đường trung trực tam giác có trung điểm cạnh M(-1 ; 0), N(4 ; 1), P(2 ; 4)
6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao
AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh lại tam giác
7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) hai đường trung tuyến : 2x – y + = x + y – = Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác
(11)10/ Cho đường thẳng Δ : x – y + = hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)
a) Chứng tỏ hai điểm O A nằm phía đường thẳng Δ b) Tìm tọa độ điểm O’ điểm đối xứng O qua Δ
c) Tìm Δ điểm B cho độ dài đường gấp khúc OBA ngắn
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 phương trình đường trịn.
* Phương trình đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
* Nếu a2 + b2 – c > phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = phương trình đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R = √a2
+b2−c
* Nếu a2 + b2 – c = có điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 * Nếu a2 + b2 – c < khơng có điểm M(x ; y) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 2 Phương trình tiếp tuyến đường trịn.
Tiếp tuyến điểm M0(x0 ; y0) đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = B BÀI TẬP
1/ Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn? Tìm tâm bán kính có a) x2 + y2 - 6x + 8y + 100 = 0
b) x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 c) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – = 0
2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) thỏa mãn điều kiện sau : a) (C) có bán kính b) (C) qua gốc tọa độ
c) (C) tiếp xúc với trục Ox d) (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ : 4x + 3y – 12 = 3/ Cho ba điểm A(1 ; 4), B(-7 ; 4), C(2 ; -5)
a) Lập phương trình đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC b) Tìm tâm bán kính (C)
4/ Cho đường tròn (C) qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) có tâm đường thẳng Δ : 3x – y + 10 =
a) Tìm tọa độ tâm (C) b) Tính bán kính R (C) c) Viết phương trình (C)
5/ Lập phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) tiếp xúc với đường thẳng Δ : 3x + y – =
6/ Lập phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục tọa độ qua điểm M(4 ; 2) 7/ Cho đường tròn (C): x2 + y2 – x - 7y = đường thẳng (d) : 3x + 4y – = 0.
a) Tìm tọa độ giao điểm (C) (d)
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm c) Tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến
8/ Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y + = điểm A(1 ; 3) a) Chứng tỏ điểm A nằm đường trịn (C)
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A
9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x2 + y2 - 6x + 2y = biết tiếp tuyến : a) Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + =
b) Vng góc với đường thẳng (d’) : 3x – y + =
10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – )2 = điểm M(2 ; -1).
a) Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến (d1) (d2) với (C).Hãy viết phương trình (d1) (d2)
b) Gọi M1 M2 hai tiếp điểm (d1) (d2) với (C), viết phương trình đường thẳng (d) qua M1 M2
(12)
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.ELIP II HYPEBOL
1) Định nghĩa:
(E) = {M∨MF1+MF2=2a}
F1F2 = 2c, a > c
2) Phương trình tắc: x2
a2+ y2
b2 = với b
2 = a2 – c2 3) Hình dạng yếu tố:
Cho elip (E): x
2
a2+
y2 b2 =
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố:
A1A2 = 2a: trục lớn B1B2 = 2b : trục nhỏ Cácđỉnh:A1(-a;0),A2(a;0),
B1(0;-b),B2(0;b)
Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0) Tiêu cự: F1F2 = 2c
Bán kính qua tiêu điểm M (E) :
{MF1=a+c
axM MF2=a−c
axM
Tâm sai: e = c
a<1
Phương trình đường chuẩn:
(D1): x = - a
e=− a2
c ; (D2): x = a e=
a2
c
1) Định nghĩa:
(H) = {M∨|MF1−MF2|=2a}
F1F2 = 2c, c > a
2) Phương trình tắc: x2
a2−
y2
b2 = với b2 = c2 – a2
3) Hình dạng yếu tố Cho Hypebol (H): x
2
a2− y2
b2 = a) Hình dạng:
b) Các yếu tố
A1A2 = 2a: trục thực B1B2 = 2b : trục ảo
Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0) Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0) Tiêu cự: F1F2 = 2c
Bán kính qua tiêu điểm M (H)
{MF1=|a+
c axM| MF2=|a −c
axM|
Tâm sai: e = c
a>1
(13)III.PARABOL Định nghĩa:
(P)={M/MF=d(M , Δ)}
F: tiêu điểm, Δ : đường chuẩn
P = d(F, Δ ) > 0: tham số tiêu (P) Phương trình tắc (P)
y2 = 2px ( p > )
3 Các yếu tố
O(0;0) đỉnh parabol Ox trục đối xứng parabol Bán kính qua tiêu điểm M Ỵ
(P): MF = p + xM
Tiêu điểm F( p
2 ;0¿
Đường chuẩn Δ:x=− p
2
(D1): x = - a
e=− a2
c ; (D2): x = a e=
a2 c
Phương trình tiệm cận:
(d1): y = - bax ; (d2): y = bax
B BÀI TÂP
1/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ tiêu điểm đỉnh elip sau: a) x
2
25+ y2
16=1 b) 4x
2 + 16y2 – = c) x2 + 4y2 = d) x2 + 3y2 = 2 ( Vẽ elip câu a)
2/ Lập phương trình tắc elip (E) biết
a) A(0 ; - 2) đỉnh F(1 ; 0) tiêu điểm (E) b) F1(-7 ; 0) tiêu điểm (E) qua M(-2 ; 12)
c) Tiêu cự 6, tâm sai 3/5
d) Phương trình cạnh hình chữ nhật sở x = ±4, y=±3
(14)3/ Tìm điểm elip (E) : x2 9+y
2
=1 thỏa mãn :
a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải b) Nhìn hai tiêu điểm góc vng
c) Nhìn hai tiêu điểm góc 600. 4/ Cho elip (E) : x2
9+ y2
4 =1
a) Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh ; tính tâm sai vẽ (E) b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m (E) có điểm chung
c) Viết phương trình đường thẳng Δ qua M(1 ; 1) cắt (E) hai điểm A, B cho M trung điểm AB
5/ Xác định độ dài trục thực, trục ảo ; tiêu cự ; tâm sai ; tọa độ tiêu điểm, đỉnh phương trình đường tiệm cận hyperbol (H) sau :( Vẽ (H) có phương trình câu a), b) d))
a) x
2
16 − y2
4 =1 b) 4x
2 – y2 = c) 16x2 – 25y2 = 400 d) x2 – y2 = 1 6/ Lập phương trình tắc hyperbol (H) biết :
a) Một tiêu điểm (5 ; 0), đỉnh (- ; 0) b) Độ dài trục ảo 12, tâm sai 5/4 c) Một đỉnh (2 ; 0), tâm sai 3/2
d) Tâm sai √2 , (H) qua điểm A(-5 ; 3) e) (H) qua hai điểm A(6 ; -1), B(-8 ; √2¿
7/ Tìm điểm hyperbol (H) : 4x2 – y2 – = thỏa mãn : a) Nhìn hai tiêu điểm góc vng
b) Nhìn hai tiêu điểm góc 1200. c) Có tọa độ nguyên
8/ Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm phương trình đường chuẩn parabol (P) sau : a) y2 = 4x b) 2y2 – x = c) 5y2 = 12x ( Vẽ (P) có phương trình câu a))
9/ Lập phương trình tắc parabol (P) biết : a) (P) có tiêu điểm F(1 ; 0)
b) (P) có tham số tiêu p =
c) (P) nhận đường thẳng d : x = -2 đường chuẩn
d) Một dây cung (P) vng góc với trục Ox có độ dài khoảng cách từ đỉnh O đến dây cung
10/ : Cho parabol (P): y2 = 8x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P)