Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, [r]
(1)Giải tốn quỹ tích nào?
I: Đặt vấn đề
Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí mơn hình học, khơng có từ quỹ tích sử dụng trở lại mà kiến thức quỹ tích trả vị trí xứng đáng Điều có lí đáng Khơng thể phủ nhận ý nghĩa tác dụng to lớn quỹ tích việc rèn luyện tư tốn học nói riêng việc rèn luyện tư linh hoạt nói chung, phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo người Tuy vậy, phải nhận phần khó, khơng muốn nói khó chương trình, khó học sinh việc tiếp nhận kiến thức phương pháp, khó việc vận dụng phương pháp vào việc giải tập Đối với thầy, giáo dạy tốn khó tiềm ẩn khả phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu cách rõ ràng, nắm chắn mà thầy giáo muốn truyền đạt cho họ
Bài tốn quỹ tích thức giới thiệu chương III- Góc với đường trịn - phần hình học lớp 9, cịn gọi tốn tìm tập hợp điểm mà học sinh giỏi làm quen lớp với kiến thức thuộc chương trình hình học lớp lớp Khi gặp dạng tốn quỹ tích học sinh giải toán kém, nhiều học sinh khơng biết bắt đầu giải tốn nào?
Học sinh giải toán quỹ tích cịn nhiều hạn chế Vì:
(2)- Một số giáo viên có áp dụng phương pháp mới, đưa tình có vấn đề để hướng học sinh giải không giúp học sinh hình thành kỹ phân tích giải tốn quỹ tích
(3)II- Nội dung nghiên cứu 1 Định nghĩa quỹ tích.
Một hình (H) gọi quỹ tích điểm M có tính chất
α (hay tập hợp điểm M có tính chất α ) chứa chứa điểm có tính chất α
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất
α hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α thuộc hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất α
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm có tính chất α hình H
2 Những thao tác tư cần thiết cho việc chuẩn bị giải tốn quỹ tích.
Việc giải tốn quỹ tích thực chất chứng minh dãy liên tiếp mệnh đề toán học Nhưng khác với toán chứng minh hình học, phần lớn tốn quỹ tích, ta phải tìm cho ta cần phải chứng minh Những thao tác tư chuẩn bị giúp ta định hướng suy nghĩ, hình dung quỹ tích cần tìm chừng mực đó, giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v nào? Dưới xin trình bày kĩ thao tác tư chuẩn bị
2.1 Tìm hiểu kĩ tốn
Tìm hiểu kĩ tốn tức nắm yếu tố đặc trưng cho tốn Trong tốn quỹ tích thường có loại yếu tố đặc trưng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thường điểm
b) Loại yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích hình v.v
(4)c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường điểm mà ta cần tìm quỹ tích đoạn thẳng, hình mà có điểm mà ta cần tìm quỹ tích Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v
Ví dụ 1: Cho góc vng xOy cố định đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển cạnh Ox, đỉnh B di chuyển cạnh Oy Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB
Trong tốn thì:
+ Yếu tố cố định: Đỉnh O góc xOy + Yếu tố khơng đổi: độ dài đoạn thẳng AB
+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B kéo theo trung điểm M AB thay đổi
Cần ý tốn có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi Do vậy, ta tập trung vào yếu tố liên quan đến cách giải ta mà
Cũng cần biết yếu tố cố định, không đổi, thay đổi lúc cho cách trực tiếp mà phải hiểu cách linh hoạt Chẳng hạn nói: “Cho đường trịn cố định ” ta hiểu tâm đường trịn điểm cố định bán kính đường trịn độ dài khơng đổi, hay ví dụ sau
Ví dụ 2: Cho đường thẳng b điểm A cố định không thuộc đường thẳng b Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển đường thẳng b cho ln ln đồng dạng với Tìm tập hợp đỉnh C
Trong ví dụ ta dễ dàng thấy:
+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C
(5)không thể giải toán Do vậy, ta phải cụ thể hố giả thiết tam giác ABC ln tự đồng dạng sau:
- Các góc A, B, C có độ lớn khơng đổi; tỉ số cạnh, chẳng hạn ACAB số không đổi
Như vậy, việc tìm hiểu kĩ tốn địi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm cách giải toán
2.2 Đoán nhận quỹ tích
Thao tác tư đốn nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung hình dạng quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung trịn, đường trịn), nhiều cịn cho HS biết vị trí kích thước quỹ tích Để đốn nhận quỹ tích ta thường tìm điểm quỹ tích Muốn nên xét vị trí đặc biệt, tốt sử dụng điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình xác, trực giác giúp ta hình dung hình dạng quỹ tích
- Nếu điểm ta vẽ thẳng hàng có nhiều khả quỹ tích đường thẳng
- Nếu điểm ta vẽ không thẳng hàng quỹ tích cần tìm đường trịn
Ta làm sáng tỏ điều ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB=2R Một điểm M di chuyển nửa đường tròn Nối AM đặt tia AM đoạn AN = BM Tìm tập hợp điểm N
Đốn nhận quỹ tích
- Khi M → B BM → O AN → O hay N → A Vậy A điểm quỹ tích
- Khi M đến vị trí điểm I, điểm cung AB, AI=BI nên N
(6)A O B I
N
M B'
t'
- Khi M → A dây cung AM đến vị trí tiếp tuyến At với đường trịn điểm A BM=BA nên điểm N dần đến vị trí điểm B’ tiếp tuyến At cho AB’=AB=2R; B’ điểm quỹ tích
Do điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán điểm N nằm trên đường tròn qua điểm A, I, B’, tức đường trịn đường kính AB’. Ví dụ 4: Cho góc vng xOy Một điểm A chạy Ox, điểm B chạy Oy Người ta dựng hình chữ nhật OAMB Tìm tập hợp điểm M cho chu vi hình chữ nhật OAMB độ dài 2p cho trước
Đốn nhận quỹ tích
Dễ thấy MA +MB = p
Khi A → O B → D Oy, mà OD = p
Khi B → O A → C Ox, mà OC = p
Dự đoán tập hợp M là đoạn thẳng CD.
B M
A D
C
o
y
x
Ví dụ 5: Cho góc vng xOy điểm A cố định nằm góc Một góc vng tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox B Az cắt Oy C
(7)Dự đốn quỹ tích
- Khi B → O điểm C dần đến vị trí điểm C1
thuộc Oy điểm M đến vị trí M1 cho
M1O=M1C1=M1A
⇒ M1 nằm đường
trung trực OA
O
B
C
A
M1
M2 M
x y
z
t
- Khi C → O điểm B dần đến vị trí B1 thuộc Ox điểm M đến vị trí
M2 cho M2O=M2B1=M2A
⇒ M2 nằm đường trung trực OA
Dự đoán quỹ tích đoạn M2M1 thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA, phần nằm góc xOy.
3 Giải tốn quỹ tích nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải tốn quỹ tích tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm phần giới hạn quỹ tích) chứng minh phần đảo Sau sâu vào phần
3.1 Chứng minh phần thuận
Một phương hướng để chứng minh phần thuận đưa việc tìm quỹ tích quỹ tích Trong chương trình học trường Phổ thông sở, học sinh giới thiệu quỹ tích (các tập hợp điểm) sau:
1) Tập hợp điểm cách hai điểm cố định đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2) Tập hợp điểm cách hai cạnh góc tia phân giác của góc ấy.
(8)4) Tập hợp tất điểm cách điểm cố định O khoảng khơng đổi r đường trịn tâm O, bán kính r.
5) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước góc AMB có số đo α ( α khơng đổi) hai cung trịn đối xứng qua AB (gọi cung chứa góc α vẽ đoạn AB).
Trường hợp đặc biệt: Tập hợp điểm M ln nhìn hai điểm cố định A, B góc vng đường trịn đường kính AB.
Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α ’ quỹ tích điểm thoả tính chất α ’ quỹ tích mà ta biết (như α ’ “cách hai điểm cố định”; “cách điểm cố định đoạn không đổi”; “ cách đường thẳng cố định đoạn không đổi” v.v ) Như ta thay việc xét mệnh đề M( α ) việc xét mệnh đề M( α ’) mà M( α ) ⇒ M( α ’)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh đáy BC Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng AD
Đốn nhận quỹ tích
Nếu D → B M → P, mà AP=BP P điểm thuộc quỹ tích Nếu D → C M → Q, mà AQ=QC Q điểm thuộc quỹ tích Nếu D → H (với AH BC H) M → I, mà IH=AH H
điểm thuộc quỹ tích
(9)Phân tích phần thuận
Từ M kẻ MK BC kẻ đường cao AH Δ ABC Dễ thấy MK= AH2
Δ ABC cố định nên AH không đổi suy MK không đổi
B
A
C
H D
M
P Q
K
- Vậy điểm M luôn cách BC đoạn không đổi AH2 Ta thấy là:
M( α ): M trung điểm AD
M( α ’): M cách BC đoạn không đổi
Như ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm đoạn thẳng AN, việc tìm quỹ tích điểm M cách cạnh BC đoạn không đổi AH2 , mà quỹ tích ta biết tìm, dạng tốn quỹ tích thứ
Ví dụ 7: Cho tam giác cố định ABC Một điểm D di chuyển cạnh đáy BC Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB E đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC F Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng EF
Phân tích phần thuận
A
B D C
E
F
M
P Q
(10)M đoạn thẳng AD - Tính chất α là: M( α ) ⇔ M trung điểm EF - Tính chất α ’ là: M( α ’) ⇔ M trung điểm AD
Và ta thay việc tìm quỹ tích trung điểm EF việc tìm quỹ tích trung điểm AD, mà quỹ tích ta có cách đưa quỹ tích ví dụ
Cần lưu ý thay điểm M( α ) điểm M( α ’) mà M(
α ) ⇒ M( α ’) tập hợp điểm M( α ) tập hợp (một phận) tập hợp điểm M( α ’), ví dụ tập hợp điểm M( α ’) hai đường thẳng song song cách đường thẳng BC đoạn
AH
2 , tập hợp điểm M( α ) đường trung bình PQ song song với cạnh BC tam giác ABC mà
Trong nhiều trường hợp ta không thành công việc đưa quỹ tích mà nhờ vào thao tác dự đốn quỹ tích ta thấy quỹ tích đường cố định Trong trường hợp ta tìm cách chứng minh hình chứa điểm quỹ tích hình cố định
Ví dụ 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm P di động nửa đường tròn Tiếp tuyến P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O nửa đường tròn, điểm M Tìm tập hợp điểm M
Phân tích phần thuận
Nối MB; OM//AP nên
∠O1=∠A (đồng vị) ∠O2=∠P1 (so le trong)
Mặt khác ∠A=∠P1 (vì
OA=OP)
P
O
M
A B
1
1
t
Vậy ∠O1=∠O2
∠O1=∠O2
OP=OB OM chung
}
(11)⇒ ∠OBM=∠OPM mà ∠OPM=900 (góc tiếp tuyến với bán kính
qua tiếp điểm) Vậy ∠OMB=900⇒BM⊥AB
AB cố định, điểm B cố định mà MB AB ⇒ M ln chạy tia At vng góc với AB B
Qua ví dụ đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận, ta cần tìm cho mối liên hệ điểm cần tìm tập hợp với điểm cố định, tìm cách sử dụng yếu tố khơng đổi việc biểu diễn liên hệ
- Nếu đầu có điểm cố định, ta nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm đường tròn
- Nếu đầu có hai điểm cố định A, B ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B thử tính góc AMB thử chứng minh MA=MB - Nếu đầu xuất đường thẳng cố định ta thử tính
khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định - Nếu đầu xuất hai đường thẳng song song liên
tưởng đến tập hợp điểm cách hai đường thẳng song song
Ví dụ 9: Cho đường trịn tâm O, bán kính R điểm P ngồi đường trịn, điểm N di chuyển đường trịn Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng PN
Phân tích phần thuận
P cố định, O cố định, suy trung điểm I OP cố định Nối IM Trong tam giác PON IM= 12ON=1
2R =không đổi - Vậy M thuộc đường trịn tâm I bán kính
O N
P I
(12)1 2R
Trong nhiều tập, chứng minh phần thuận, ta tìm hình (H’) chứa điểm M có tính chất α , điều kiện hạn chế khác toán, tập hợp điểm M cần tìm hình (H) phận hình (H’) Trong trường hợp này, ta phải thức thêm công việc nữa: giới hạn quỹ tích
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí phần giới hạn quỹ tích Ta coi phần giới hạn phận việc chứng minh phần thuận Ta đặt phần giới hạn vào phần đảo, tách phần giới hạn thành phần riêng biệt, ngang với phần thuận phần đảo
Trong trình dạy học sinh, đặt giới hạn vào phần thuận Làm tránh việc chọn nhầm phải điểm khơng thuộc quỹ tích tiến hành chứng minh phần đảo Thơng thường, ta tìm điểm giới hạn quỹ tích cách xét điểm quỹ tích trường hợp giới hạn, ví dụ sau:
Ví dụ 10: Cho góc vng xOy, đỉnh O Trên cạnh Ox có điểm A cố định cạnh Oy có điểm B cố định Một điểm C thay đổi di chuyển đoạn thẳng OB Gọi H hình chiếu điểm B tia AC Tìm tập hợp điểm H
Giải
1) Phần thuận
Vì H hình chiếu B
AC nên BH⊥AC
⇒∠BHA=900
Hai điểm A, B cố định Điểm H ln ln nhìn hai điểm A, B góc vng nên H nằm đường trịn đường kính AB Chú ý: Đường trịn
O
B
A C
H
y
(13)qua đỉnh O góc vng xOy
Giới hạn: Vì điểm C di chuyển đoạn OB nên điểm H di chuyển đường trịn đường kính AB Ta phải tìm giới hạn
Khi điểm C đến vị trí điểm B điểm H đến vị trí điểm B
Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút đoạn thẳng OB, điểm H
cũng đến vị trí điểm O
- Vậy điểm C di chuyển đoạn OB điểm H di chuyển cung OHB đường trịn đường kính AB
Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, điểm C di chuyển đoạn thẳng OB nên ta xét điểm quỹ tích điểm C dần đến đầu nút đoạn thẳng OB, tức C → B C → O
Ví dụ 11: Cho hình vng cố định ABCD điểm P di động cạnh AB Trên tia CP bên đoạn thẳng CP ta lấy điểm M cho:
∠MAB =∠PCB
Tìm tập hợp điểm M
Phần thuận
Ta có: ∠MAB =∠PCB
2
1 P
P
(đối đỉnh)
⇒∠MAB+∠P2=∠PCB +∠P1=900
⇒∠AMP=900 hay
∠AMC=900
D
A B
C
M P
Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C góc vng nên M nằm đường trịn đường kính AC (cũng đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD)
Giới hạn Khi P → B M → B Khi P → A M → A
(14)Qua ví dụ đây, ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm chứng minh phần thuận (đường tròn đường kính AB) chứa tất điểm nhìn hai điểm cố định A, B góc vng có điểm thuộc cung OHB hình chiếu điểm B tia AC mà thơi Việc tìm giới hạn giúp loại bỏ điểm khơng thuộc quỹ tích cần tìm
3.2 Chứng minh phần đảo
Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào di động điểm khác, điểm P chẳng hạn Trong phần đảo ta làm sau: Lấy vị trí P’ khác P ứng với ta điểm M’ hình H mà phần thuận ta chứng minh hình chứa điểm M có tính chất α Ta phải chứng minh M’ có tính chất α
Ví dụ 10: 2) Phần đảo
Lấy điểm C’ đoạn OB Nối AC’ tia AC’ cắt cung OHB điểm H’ Nối BH’ góc BH’A góc nội tiếp nửa
đường tròn nên
∠BH' A=900⇒BH'⊥AC'⇒H ' là
hình chiếu điểm B tia AC’
O B
A C
H C' H'
y
x
Kết luận: Tập hợp hình chiếu H điểm B tia AC cung
OB thuộc đường trịn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa tia Ox, bờ đường thẳng Oy)
Ví dụ 11: Cho hình vng cố định ABCD điểm P di động cạnh AB Trên tia CP bên đoạn thẳng CP ta lấy điểm M cho:
∠MAB=∠PCB
(15)Phần đảo
Lấy điểm P’ thuộc cạnh AB hình vng Tia CP’ cắt cung nhỏ AB đường tròn đường kính AC điểm M’
D A B C M' P'
Ta có ∠AM' C=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ∠P'
1=∠P '2
suy ∠M 'AB =∠P 'CB
Kết luận: Tập hợp điểm M cung AB (không chứa đỉnh C) của
đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD
Lưu ý: Tuy vậy, nhiều toán, ta chứng minh phần đảo cách lấy điểm M’ thuộc hình (H), ứng với ta có vị trí khác yếu tố chuyển động mà M’ phụ thuộc, sau ta chứng minh điều kiện M’ có tính chất α Chúng ta xét ví dụ cụ thể sau
Ví dụ 12: Cho góc vng xOy Một điểm A chạy cạnh Ox, điểm B chạy cạnh Oy cho độ dài đoạn thẳng AB đoạn l cho trước Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB
Giải
Phần thuận: Nối OI Tam giác AOB vuông mà OI trung tuyến nên OI=1
2AB=
l
2 = không đổi Điểm O cố định, điểm I cách điểm O đoạn khơng đổi 2l nên I nằm đường trịn tâm O bán kính 2l
O I0
I1 A B A' B' I' I A0 B0 y x
(16)- Khi điểm A đến trùng với điểm O điểm B đến vị trí Bo điểm I
đến vị trí I1trung điểm đoạn thẳng OB0
- Khi điểm B đến trùng với điểm O điểm A đến vị trí Ao điểm I
đến vị trí I0 trung điểm đoạn thẳng OA0
- Vậy đoạn thẳng AB di chuyển góc xOy điểm I nằm cung tròn I0I1 thuộc đường tròn tâm O bán kính 2l , tức cung phần tư đường
trịn nằm góc xOy
Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1 Quay cung tròn tâm I’, Bán
kính 2l , cắt Ox A Oy B’
Ta có ΔOI' A ' cân nên ∠I 'OA'=∠I ' A ' O
Do ∠OI' A '=1800−2∠I 'OA'
Tương tự ∠OI' B '=1800−2∠I 'OB'
⇒∠OI' A '+∠OI' B '=3600−2 900=1800
Suy ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng Ta lại có I ' A '=I ' A '=l
2⇒A ' B '=l I’ trung điểm A’B’
Kết luận: Quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB cung I0I1 thuộc
đường trịn tâm O, bán kính 2l (phần nằm góc xOy)
Ví dụ 13: Cho góc vng xOy, hai điểm A, B cố định cạnh Ox điểm M di động cạnh Oy Đường thẳng vng góc với MA kẻ từ A cắt đường thẳng vng góc với MB kẻ từ B điểm N Tìm tập hợp điểm N
Giải Phần thuận.
- Kẻ NH Ox
(17)MN Do IA=IB(= 12 MN) nên I nằm trung trực đoạn thẳng AB Nếu gọi K trung điểm AB IK AB
O M
A B
N I
K H
y
x z
Ta lại có IK//OM//NH mà I trung điểm MN nên K trung điểm OH ⇒ OH=2OK=không đổi Vậy điểm N di chuyển tia Hz vng góc với cạnh Ox điểm H cho OH=2OK
Phần đảo.
Lấy điểm M’ Oy, nối M’A Đường vng góc với M’A kẻ từ A cắt tia Hz N’ Nối N’B M’b
Ta cần chứng minh: N’B M’B Gọi I’ trung điểm M’N’ Ta có: I ' A=1
2 M ' N ' (1) (I’A trung tuyến ứng với cạnh huyền M’N’ tam giác vuông M’AN’)
Mặt khác I’ trung điểm M’N’, K trung điểm OH nên I’K//M’O
⇒ I’K AB mà K trung điểm AB nên I’K đường trung trực AB, cho ta I’A=I’B (2)
Từ (1) (2) suy
I ' B=1
2M ' N ' =I’M’=I’N’ Hay tam giác M’BN’ vng góc B Vậy N’B M’B
O M'
A B
N' I'
K H
y
x z
Kết luận: Tập hợp điểm N tia Hz nằm góc xOy, vng góc
(18)Lưu ý: Trong toán này, liên hệ hai điểm M N phải thông qua giả thiết: M∈Oy,∠MAN=1v ,∠MBN=1v N giao điểm
của hai đường vng góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB Do ta phải chọn ba phương hướng sau để chứng minh phần đảo:
Chứng minh M’ Oy
Chứng minh ∠M 'AN'=900
Chứng minh ∠M 'AN'=900
- Nếu ý cách dựng điểm M, N từ đầu ta dự đốn tập hợp N phải tia tương tự Oy chứng minh phần đảo, sau lấy điểm N’ Hz, dựng lại điểm M’, giao điểm đường vng góc với N’A kẻ từ A với đường vng góc với N’B kẻ từ B, việc chứng minh M’ Oy lặp lại y hệt phần thuận
Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần đảo quan trọng Nếu khéo chọn, nhiều giảm bớt khó khăn việc chứng minh cho ta lời giải hay
Tổng quát: chứng minh phần đảo tốn quỹ tích, sau lấy
điểm M thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh điểm M có tính chất T nêu đề Tính chất T thường tách làm hai nhóm tính chất T1 T2 Ta dựng điểm chuyển động lại
thoả mãn tính chất T1 chứng minh M điểm thoả mãn tính
chất T2 Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 T2 mà có nhiều cách
chứng minh đảo tốn 4 Thực nghiệm dạy tốn quỹ tích.
4.1 Lớp khảo sát
(19)tích dạng tốn quỹ tích theo hướng nghiên cứu dạy đối chứng nhóm giữ nguyên phương pháp cũ mà em học
- Trước dạy thực nghiệm, để biết trình độ thức tế học sinh, cho lớp làm 50 (trang 87 SGK toán 9) Kết sau:
Bảng 1:
Loại điểm
Nhóm, số HS Điểm tốt
Điểm
Điểm T Bình
Điểm yếu Nhóm
Số lượng: 22 HS
Số HS 13
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
Nhóm
Số lượng: 22 HS
Số HS 13
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
4.2 Tiến trình dạy thực nghiệm kết quả
- Sau khảo sát chia lớp thành nhóm tiến hành dạy thực nghiệm áp dụng phương pháp phân tích, dẫn giải học sinh giải tốn quỹ tích dạng chun đề nhóm sau:
- Tên tập: VD 3; VD5; VD7; VD8; VD10; VD11; VD12
- Mục đích, yếu cầu: Sau giải xong tập, HS nắm yếu tố cố định, yếu tố di động, yếu tố khơng đổi, biết dự đốn quỹ tích hình gì, biết dựng tốn phần đảo, biết tìm giới hạn quỹ tích
- Phương pháp: Phân tích, nêu vấn đề
- Phương tiện: Máy chiếu, dùng phần mền vẽ hình GeoGebra chay java, compa, thước, eke, thước đo góc, phấn màu)
Sau dạy thực nghiệm dạy đối chứng hai nhóm Để đánh giá kết quả, tơi tiến hành:
- Lập phiếu điều tra hai nhóm Kết bảng
- Ra tập kiểm tra học sinh hai nhóm Kết bảng
Bảng
Nội dung điều tra Kết nhóm
Kết nhóm
(20)1 Được GV hướng dẫn vẽ hình, phân
tích tốn 22 100 22 100
2 Sau học xong bài, hiểu nhớ
lâu 20 90.90 14 63,63
3 Tự xây dựng phần đảo chứng
minh tốt tốn quỹ tích 15 68,18 10 45,45
Bảng
Loại điểm Điểm tốt (9, 10)
Điểm (7, 8)
Điểm TB (5,6)
Điểm yếu (dưới 5) Nhóm Số HSTL% 9,092 27,276 59,0913 4,541 Nhóm Số HSTL% 4,541 13,633 59,0913 22,725
4.3 Nhận xét đánh giá kết thực nghiệm
Thông qua kết phiếu điều tra kết kiểm tra cho thấy sau áp dụng phương pháp dạy tốn qũy tích theo chun đề, phân tích để rút hướng giải, làm cho học sinh tốt hơn, hiểu sâu hơn, nhớ lâu so với nhóm đối chứng Tỉ lệ học sinh biết dựng lại mệnh đề đảo cao nhóm đối chứng, u thích dạng tốn quỹ tích hơn, kết kiểm tra tốn cao so với nhóm đối chứng
Phần III: kết luận chung
Sau tìm hiểu, nghiên cứu sâu tốn quỹ tích, dạy dạng tốn quỹ tích trường THCS, tơi xin nêu điểm cần lưu ý dạy dạng toán quỹ tích sau:
(21)2 Các tốn đưa phải từ dễ đến khó, phải phân tích cho học sinh tất tình xảy toán, hướng dẫn học sinh vẽ hình theo u cầu tốn, dự đốn quỹ tích điểm cần tìm để giải tốn nhanh chóng xác
3 Cần làm cho học sinh hiểu, chứng minh phần đảo đặt tốn dựng hình, chứng minh tốn
4 Đưa tốn tương tự để học sinh vận dụng rèn kỹ trình bày, phân tích
5 Nên sử dụng phương tiện dạy học đại vào việc dạy dạng toán đạt hiệu cao (vì minh hoạ điểm di động học sinh nhìn thấy yếu tố cố định, yếu tố thay đổi, quỹ tích điểm cần tìm cách trực quan, sinh động)