bo de thi on thi HKII toan 11

Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) ...[r]

(1)

ĐỀ 1

( Thời gian làm 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm )

Một cấp số cộng có số hạng đầu 16 , công sai  tổng  72 Hỏi cấp số cộng

có số hạng

Câu II ( 3,0 điểm )

a Tìm giới hạn dãy số (un) với un  n 7  3n 2 b Tìm giới hạn sau :

2 x

x 3x lim

2x 2x  

  

c. Xét tính liên tục hàm số

2

o 2x x

f (x)

n

   

 

 

nÕu x > t¹i x

2x + Õu x Câu III ( 3,0 điểm )

a Tìm đạo hàm hàm số

sin x y

x





b Cho hàm số f (x)x3 3x29x 2009 Hãy giải bất phương trình f '(x) 0 c Cho hàm số y x Chứng minh : y.y '' (y ') 1

Câu IV ( 3,0 điểm )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD)

a Chứng minh : mp(SAB)mp(SBC) b Chứng minh : BDmp(SAC)

c Biết SA=

a

3 Tính góc SC mp(ABCD)

.Hết HƯỚNG DẪN

Câu I ( 1,0 điểm )

Gọi n số lượng số hạng , u1 số hạng , d công sai cấp số cộng Áp dụng công thức : n

n

S [2u (n 1)d]

  

, ta có :

2 n

n

72 [2.16 (n 1)( 4)] 2n 18n 72

n 12

 

          

 

( lo¹i ) ( nhËn )

Vậy cấp số cộng có 12 số hạng

Câu II ( 3,0 điểm )

a ( 1đ ) Ta có : n

7

lim u lim n[ ]

n n

(2)

b (1đ)

2

x x x

x 3x (x 1)(x 2) x 2

lim lim lim

2x(x 1) 2x 2

2x 2x

     

      

   

 



c (1đ) Tập xác định D =  Ta có : f( 1) = 3+2( 1) =

2

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1

 

   

        

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim (2x 3) 2( 1)

 

   

     

Vì x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim f (x)

 

   



nên không tồn xlim f (x) 1 Vậy hàm số cho không liên tục xo 1

Câu III ( 3,0 điểm )

a (1đ) Ta có : 2

(sin x) '.(x 1) sin x.(x 1) ' cos x.(x 1) sin x (x 1) cos x sin x y '

(x 1) (x 1) (x 1)

      

  

  

b (1đ) Ta có : f '(x)3x2 6x 9

Do : f '(x) 0  3x2 6x 0   x2 2x 0   x 3 x 1

c) (1đ) Ta có : y x  y2  1 x2 2y.y ' 2x  y.y ' x  y '.y ' y.y '' 1  Hay (y ')2y.y '' 1  y.y '' (y ') 1 (®pcm)

Câu IV ( 3,0 điểm )

a (1đ) Vì SA(ABCD) SABC (1) , BC(ABCD) Mặt khác : BCAB (2) , ABCD hình vng

Từ (1) , (2) suy BC (SAB)  (SBC) (SAB) , Vì BC(SBC) b (1đ) Ta có : ACBD (3) , ABCD hình vng

Vì SA(ABCD) SABD (4) , BD(ABCD) Từ (3),(4) suy : BD(SAC)

c (1đ) Do SA(ABCD) A hc (ABCD)S AC hc (ABCD)SC Suy góc SC mp(ABCD) SCA

Tam giác SAC vuông A , ta có :

 

a

SA 3

tan SCA SCA 30

AC a

(3)

ĐỀ 2

Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu số hạng cuối 1280 Tính cơng bội q tổng S9 số hạng

Câu II ( 3,0 điểm )

d Tìm giới hạn dãy số (un) với n

1 (2n 1) u

n

     



e Tìm giới hạn sau : x

3

lim ( )

1 x x



  

f. Xét tính liên tục hàm số

o 3x

f (x) x 2

n

 

 

  

  



nÕu x t¹i x

Õu x

c Tìm đạo hàm hàm số y x x 

d Cho hàm số f (x) x 2sin x cos x Hãy tính : f ''(1) , f ''( ) e Cho hàm số

x f (x)

x

 

 Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc

Câu IV ( 3,0 điểm )

Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Gọi I E trung điểm BC CD

c Chứng minh : Mp(ABC)mp(ADI) d Chứng minh : CDmp(ABE)

c Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC)

Câu I ( 1,0 điểm )

Ta có n = số lượng số hạng , u1=5 số hạng , u9=1280 số hạng , q công bội cấp số nhân

Áp dụng công thức u9 u q1 81280 5.q  q8 256 q828  q2: , ta có : + q = 

9

9 q

S u 2555

q

 

  

 

+ q =  

9

9 q ( 2)

S u 855

q ( 2)

  

  

(4)

cộng có u11, un 2n 1 , :

2

n n(n 2n 1)

S (2n 1) n

2

 

       

Suy :

2

n 2 2

2 (2n 1) n

lim u lim lim lim

1

n n 1

n

    

   

  

d (1đ)

x x x x x

3 3 x 3( x 1) 3( x 1) 3

lim ( ) lim ( ) lim lim lim

1 x x x

1 x (1 x )(1 x ) x

    

    

     

  

   

c (1đ) Ta có : f(1) = 

Vì x x

3x 3.1

lim f (x) lim f (1) x 2

 

 

   

 

Vậy hàm số cho liên tục xo 1 Câu III ( 3,0 điểm )

a (1đ) Ta có :

x.( 1) 12 3x y ' x x.( x ) ' x

2 x x

 

       

 

b (1đ) Ta có : f '(x) 2x sin x cos x   , f ''(x) = 2 cosx sinx Do : f ''(1) sin1 cos1 0,983    ; f ''( ) = 2  cos  sin = 3 c) (1đ) Gọi xo hồnh độ tiếp điểm Vì

6 f ' (x)

(x 3)





Theo giả thiết , ta có :

2

o 2 o o

o

6

f ' (x ) 1 (x 3) x

(x 3)

        

 Áp dụng công thức : y y o f ' (x )(x x )o  o

o o

x y

       tiếp tuyến ( ) : y x 61     xo  3 6 yo  1  tiếp tuyến (2) : y x 6   Câu IV ( 3,0 điểm )

d (1đ) Vì AB (BCD)  AB DI (1) , DI(BCD)

Mặt khác : DIBC (2) , DI đường cao tam giác BCD Từ (1) , (2) suy DI (ABC)  (ADI) (ABC) , DI(ADI)

e (1đ) Ta có : BECD (3) , BE đường cao tam giác BCD

Vì AB (BCD), B (BCD)   B hc (ABC)A BE hc (ABC)AE (4) Từ (3),(4) suy : CDAE (5) , định lí đường vng góc Từ (3),(5) suy : CD(ABE)

f (1đ) Do DI (ABC), I (ABC)   d(D,(ABC)) DI =

(5)

ĐỀ 3

Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng Biết u 19 u 35

    

Câu II ( 3,0 điểm )

g Tìm giới hạn dãy số (un) với n

2n sin n u

n

 

h Tìm giới hạn sau : x 2

x x lim

x 4x 

    

i. Cho hàm số

3 x f (x)

n

 

 

 

 

nÕu x <

2x Õu x Chứng minh hàm số f(x) liên tục  Câu III ( 3,0 điểm )

f Tìm đạo hàm hàm số y x cos3x

g Cho hàm số y sin 2x cos 2x  Hãy giải bất phương trình y '' 0

c Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) :

1 y x

3

 

Câu IV ( 3,0 điểm )

Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường vng góc với mặt phẳng (ABC) B , ta lấy điểm M cho MB = 2a Gọi I trung điểm BC

e Chứng minh : AImp(MBC)

f Tính góc hợp đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) c Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA)

Câu I ( 1,0 điểm )

Gọi u1 số hạng , d công sai cấp số cộng Áp dụng công thức : un u1(n 1)d , ta có :

1

5

9 1

u 4d 19 u u 19

u 35 u 8d 35 d 4

  

 

 

 

   

  

  

Vậy cấp số cộng có u13, d 4

(6)

Vì

sin n 1 sin n

| | lim n

n n , n  nª lim n  nên lim un 2

f (1đ) x 2 x 2

x x x x

lim lim

x 4x (x 2)

 

   

  

    

Vì

2

x 2lim ( x x) 4 x 2lim [ (x 2) ] 0 (x 2)

   ,    vµ   

c (1đ) Tập xác định D = 

+ Nếu x 1 f (x) x hàm đa thức nên liên tục (  ; 1) (1)

+ Nếu x 1 f (x) 2x 2 hàm đa thức nên liên tục ( 1; ) (2)

+ Tại x1

Ta có : f( 1) = 2(1)2  = 

3 x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim x

 

   

 

2

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim (2x 3) 2( 1)

 

   

     

Vì x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim f (x)

 

   

 

nên xlim f (x) 1 f ( 1)   

Vậy hàm số cho không liên tục xo 1 (3) Từ (1),(2),(3) suy hàm số liên tục 

a (1đ) Ta có :

(cos 3x) ' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x y ' cos3x x cos3x x

2 cos3x cos 3x cos 3x

 

    

b (1đ) Ta có : y ' 2cos 2x 2sin 2x   y ''4sin 2x 4cos 2x

Do : y '' 4sin 2x 4cos 2x sin(2x 4) 2x k x k ; k2

   

                

c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm () Vì () // (d) :

1 y x

3

 

nên () có hệ số góc k =

1 3

Gọi M(x ; y )o o tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Ta có :

1 y '

2x



 nên o o o o o

1

k y '(x ) 2x x (y 3)

3 2x

        



Suy phương trình tiếp tuyến :

1

y (x 4) y x

3 3

     

Câu IV ( 3,0 điểm )

g (1đ) Ta có : MB (ABC) (gØa thiÕt) MB AI AI (ABC) (1) Mặt khác : AIBC (2) , ABC tam giác có đường cao AI Từ (1) , (2) suy AI (MBC)

b (1đ) Ta có : MB (ABC), M (ABC)   B hc (ABC)M BI hc (ABC)MI (3) Suy góc IM mp(ABC) M I B

Vì tam giác MBI vng góc nên

 MB 

tan MIB MIB arctan

IB

(7)

g (1đ) Do AI(MBC), suy : (MIA) (MBC) Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến MI Từ B kẻ BHMI suy

BH (M IA), H (M IA)   d(B;(MIA)) BH .

Tam giác MBI vng B có đường cao BH , ta có :

a

BI , MB 2a

 

nên :

2 2 2

2

1 1 17

BH BI MB a 4a 4a

2a 17 4a

BH BH

17 17

    

   

ĐỀ 4

Cho cấp số nhân (un) có

4

u u 120 u u 60

  

  

 .Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân

Câu II ( 3,0 điểm )

j Chứng minh dãy số (un) với

2 n n 21 u

2n

 

dãy số giảm bị chặn k Tìm giới hạn sau :

2 x

x lim

x 

  

c Cho hàm số

2

ax

f (x)

n

 



 



nÕu x

2x Õu x .Tìm giá trị a để hàm số f(x) liên tục .

h Tìm đạo hàm hàm số y tan x3 i Tính gần giá trị sin 29

c Chứng minh phương trình cos x2  x = có nghiệm

Câu IV ( 3,0 điểm )

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác cạnh a , AA’ vng góc với mặt phẳng (ABC) AA’ =

a

2 Gọi O O’ trung điểm AB A’B’ g Chứng minh : ABmp(COO’)

b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CB’ Hết

HƯỚNG DẪN

Câu I ( 1,0 điểm )

(8)

Lấy (1) chia (2) , ta : q2 Thay q2 vào (2) : u q (1 4) 601    u13 Vậy cấp số nhân có u13, q2

Câu II ( 3,0 điểm )

a ( 1đ ) Ta có : n

1 u

2 2n

 

Suy :

+ n n 2 2

1 1 1

u u ( ) ( ) 0, n

2 2(n 1) 2n 2(n 1) 2n

          

  Suy (un) dãy số giảm

+ Vì n

1

u

2  , n 1 nên ( un) dãy số bị chặn

b (1đ )

2 2

x x x x

x x x x 2

lim lim lim lim

x (x 2)( x 5 3) (x 2)( x 5 3) x 5 3

   

     

   



       

c (1đ) Tập xác định D = 

+ Nếu x 2 f (x) ax hàm số liên tục ( ; 2) với a  + Nếu x 2 f (x) 2x 1  hàm đa thức nên liên tục (2;)

Do : hàm số f(x) liên tục   hàm số f(x) liên tục điểm x =

2

x x x x

3 lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 4a a

4

   

   

         

Vậy với a

4 

hàm số cho liên tục 

a (1đ) Ta có :

3

2 2

3

3 tan x

1 1 1

y tan x y ' (tan x)' 3tan x .3tan x

2 tan x

cos x cos x 2cos x

2 tan x tan x

     

b (1,0đ) Áp dụng công thức : f '(xo x) f (x ) f '(x ) x o  o  Phân tích : 29 30 (180)

  

   

  

Chọn : xo , x = 180     

Đặt f(x) = sinx , ta có :

1

f '(x) cos x , f( ) sin , f '( ) cos

6 6

   

    

Suy :

1

sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) 0,9954

6 180 180 6 180 2 180

           

        



Vậy : sin 29 0,9954

c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = cos x2  x liên tục x 0 Ta có : f(0) = , f(2



) =  

< nên cho có nghiệm

Câu IV ( 3,0 điểm )

h (1đ) Ta có : ABC nân ABCO

(9)

i (2đ) + Xác định :

Ta có (CB’O’) chứa CB’ song song với AB

Do : Khoảng cách AB CB’ khoảng cách AB (CB’C’) Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)]

Ta có :

AB (COO') ( câu 1)

O'B' (COO') (CO'B') (COO')

O'B' (COO') 



   



 

Do kẻ OHO’C OH (CO’B’) , H (COO') + Tính khoảng cách :

Tam giác COO’ vuông O có đường cao OH nên

2 2 2

2

1 1 10

OH OC OO ' 3a a 3a a 30 3a

OH OH

10 10

    

   

Vậy : d(AB,CB’) = OH = a 30