Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi d và d’... cộng các BĐT này ta được đpcm...[r]
(1)http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN - NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 2x Câu I (2 điểm) Cho hàm số y có đồ thị (C) x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Câu II (2 điểm) Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + = Giải phương trình: x2 – 4x - = x Câu III (1 điểm) dx Tính tích phân: 1 x x Câu IV (1 điểm) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn Câu V ( điểm ) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 CMR: x y z 1 1 2x y z x y z x y z PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn hai phần A B A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( điểm ) Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết nó qua điểm (3;1) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = và hai đường thẳng : x 2t x 1 y z (d) và (d’) y t 1 z t Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo và tính khoảng cách chúng Câu VIIa ( điểm ) Tính tổng : S C05 C57 C15 C74 C52 C37 C53C72 C54C17 C55C70 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( điểm ) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : x t x t (d) y 2t và (d’) y 1 2t z 5t z 3t a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt b Viết phương trình chính tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) và (d’) Câu VIIb.( điểm ) Giải phương trình : 2log5 x 3 x - Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm Lop12.net (2) http://ductam_tp.violet.vn/ đáp án đề thi thử đại học lần năm học 2009 - 2010 M«n thi: to¸n Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề C©u Néi dung §iÓm 2x cã : x2 - TX§: D = R \ {2} - Sù biÕn thiªn: + ) Giới hạn : Lim y Do đó ĐTHS nhận đường thẳng y = làm TCN Hµm sè y = 0,25 x , lim y ; lim y Do đó ĐTHS nhận đường thẳng x = làm TCĐ x 2 x 2 +) B¶ng biÕn thiªn: Ta cã : y’ = < x D x 2 x 1.25® y y’ 0,25 - - 0,25 2 Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng ;2 vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ - §å thÞ + Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; ) + Giao ®iÓm víi trôc hoµnh : A(3/2; 0) I 2.0® 0,5 - §THS nhËn ®iÓm (2; 2) làm tâm đối xứng -5 10 -2 -4 Lấy điểm M m; C Ta có : y ' m m2 m 2 0,75đ Tiếp tuyến (d) M có phương trình : 1 y x m m2 m 2 0,25đ Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là : A 2; m2 Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – ; 2) 0,25đ Lop12.net (3) 1,0® II 2,0® Ta có : AB2 m Dấu “=” xảy m = 2 m Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2) Phương trình đã cho tương đương với : 2(tanx + – sinx) + 3(cotx + – cosx) = sin x cosx 2 sin x cosx cosx sin x sin x cosx cosx.sin x sin x cosx cosx.sin x 0 cosx sin x cosx sin x cosx.sin x cosx sin x 3 Xét tan x tan x k cosx sin x Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = Đặt t = sinx + cosx với t 2; Khi đó phương trình trở thành: t 1 t t 2t t 2 1 Suy : 2cos x cos x cos 4 4 x k 2 x - 4x + = x (1) TX§ : D = 5; ) 1 x 0,25đ 0,25 0,25 0,5 0,25 7 x 5 2 1,0® đặt y - = x , y y x Ta cã hÖ : x y x y y x x y x y 3 y y x y x y 29 x x y x 1 x y y Ta có : 1 x 1 III 1.0® 1® dx 1 x2 = 1 1 x 1 x2 1 x 1 x 0,25 0,5 1 x 1 x2 dx 2x 1 dx 0,5 1 1 x2 dx 2x dx 1 x 1 I1 I2 1 1 1 dx ln x x |1 1 x 1 1 x2 dx Đặt t x t x 2tdt 2xdx 2x Lop12.net 0,5 (4) t x Đổi cận : x 1 t 2 Vậy I2= t 2dt t 1 Nên I = Gọi là góc hai mp (SCB) và (ABC) IV 2® 1.0® Ta có : SCA ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Vậy 1 1 VSABC SABC SA AC.BC.SA a sin .cos 2 a sin 1 sin 6 Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = – 3x2 f ' x x Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có điểm cực trị là điểm S cực đại, nên đó hàm số đạt GTLN hay Max f x f x 0;1 3 3 a3 , đạt 1 sin = hay arcsin 3 ( với < ) +Ta có : 0,25 0,5 Vậy MaxVSABC = V 1.0® B A C 1 1 1 1 1 1 ( ); ( ); ( ) 2x y z 2x y z x 2y z y x z x y z 2z y x 1 1 + Lại có : ( ); xy x y 1 1 ( ); yz y z 1 1 ( ); xz x z 1® cộng các BĐT này ta đpcm VIa 2® 1® Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 0) Góc nó tạo với BC góc AB tạo với BC nên : 2a 5b 2.12 5.1 22 52 a b 2 52 12 12 2a 5b 29 2a 5b 29 a b 2 a b a 12b 2 9a + 100ab – 96b = a b Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = và b = Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 1® Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x t y 8t z 15t + Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; + Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1 Ta có : MM ' 2; 1;3 MM ' u, u ' 2; 1;3 11 12 ; 12 12 ; 12 11 8 Do đó (d) và (d’) chéo (Đpcm) Khi đó : MM ' u, u ' d d , d ' 11 u, u ' Chọn khai triển : x 1 C05 C15 x C25 x C55 x 1đ Từ đó ta có : C50C57 C15C74 C25 C37 C35C27 C54C17 C55C70 = C12 = 792 VIb 2đ 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 C 07 C17 x C 27 x C77 x C 07 C17 x C72 x C57 x Hệ số x5 khai triển (x + 1)5.(x + 1)7 là : C50 C75 C15C 74 C52C73 C53C 72 C54C17 C55C70 Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số x5 khai triển (x + 1)12 là : C12 x 1 VIIa 0,25 Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = Nếu đường thẳng Ax + By + C = (A2 + B2 0) là tiếp tuyến chung (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2 đến đường thẳng đó R1 và R2 , tức là : 5A 12B C 15 1 A B2 A 2B C A B2 Từ (1) và (2) ta suy : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) : 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 |2A – 7B | = A B 21A 28AB 24B 14 10 A B 21 Nếu ta chọn B= 21 thì A = - 14 10 , C = 203 10 Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 10 )x + 21y 203 10 = 4A 3B TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) C , thay vào (2) ta : 96A2 + 28AB + 51B2 = Phương trình này vô nghiệm Lop12.net 0,25 0,25 (6) a) + Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 + Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3 3 Nhận thấy (d) và (d’) có điểm chung là I ; 0; hay (d) và (d’) cắt 2 (ĐPCM) u 15 15 15 b) Ta lấy v u ' ; 2 ; 3 7 u' 1® 15 15 15 Ta đặt : a u v 1 ; ;5 7 15 15 15 b u v 1 ;2 ;5 7 Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng qua I và nhận hai véctơ a, b làm VTCP và chúng có phương trình là : 15 15 x 1 x 1 t t 15 15 và y t t y 7 z 15 t z 15 t ĐK : x > PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1) Đặt t = log2x, suy x = 2t t t log5 2t 3 t 2t 5t (2) 3 5 t VIIb 1® 2 1 Xét hàm số : f(t) = 3 5 t 0,25 0,25 t t 2 1 f'(t) = ln 0, ln 0, 0, t R 3 5 Suy f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = nên PT (2) có nghiệm t = hay log2x = hay x =2 Vậy nghiệm PT đã cho là : x = Lop12.net 0,25 0,25 (7)