phu dao giai tich 11

* Không gian mâu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đgl không gian mẫu. Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định các biến cố sau: a.Mặt sấp xuât hiện ít nhất 1 lần.. b.Lần đầu xu[r]

CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A Kiến thức cần nhớ

1. Ơn tập

Cơng thức lượng giác bản sin2 α + cos2 α = 1

1 + tan2 α = cos2

α ≠ π

2+kπ , k∈Z

1 + cot2 α =

sin2α α ≠ kπ , k∈Z tan α cot α = α ≠ kπ

2, k∈Z

 Cung đối nhau

cos(- α ) = cos α sin(- α ) = -sin α tan(- α ) = -tan α cot(- α ) = - α

 Cung bù nhau

sin (π − α) = sin α cos (π − α) = -cos α tan (π − α) = -tan α cot (π − α) = -cot α

 Cung π

sin (π+α) = - sin α cos (π+α) = -cos α tan (π+α) = tan α cot (π+α) = cot α

 Cung phụ nhau

sin (π

2 −α) = cos α

cos (π

2 −α) = sin α

tan (π

2 −α) = cot α

cot (π

2 −α) = tan α

 Công thức cộng

cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinbcosa tan(a – b) = tan1 a −tanb

tan(a + b) = tan1−a+tantanatanb b  Công thức nhân đôi sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a

tan2a = tana

1−tan2a

 Công thức hạ bậc

cos2a = 1+cos 2a

2

sin2a = 1−cos 2a

2

tan2a = 1−cos 2a

1+cos 2a

 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosa cosb = 12[cos(a− b)+cos(a+b)] sina sinb =

2[cos(a− b)−cos(a+b)]

sina cosb = 12[sin(a − b)+sin(a+b)]  Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2cos u+v

2 cos

u − v

2

cosu - cosv = -2sin u+v

2 sin

u − v

2

sinu + sinv = 2sin u+2v cos u − v2 sinu - sinv = 2cos u+v

2 sin

u − v

2

2 Hàm số sin

 Hàm số y = sinx có tập xác định R  -1 sinx 1, ∀x∈R  Là hàm số lẻ

 Tuần hồn với chu kì π

 Hàm số y = sinx nhận giá trị đặc biệt: + sinx = ⇔ x = k π , k Z + sinx = ⇔ x = π

2+k2π , k Z

+ sinx = -1 ⇔ x = - π2+k2π , k Z 3 Hàm số côsin

 Hàm số y = cosx có tập xác định R  -1 cosx 1, ∀x∈R  Là hàm số chẵn

 Tuần hồn với chu kì π

 Hàm số y = cosx nhận giá trị đặc biệt: + cosx = ⇔ x = π2+kπ , k Z + cosx = ⇔ x = k2 π , k Z + cosx = -1 ⇔ x =(2k + 1) π , k Z 4 Hàm số tang

 Hàm số y = tanx = sinx

cosx  có tập xác định D= R\

{π2+kπ , k∈Z}

 Là hàm số lẻ

 Hàm số y = tanx nhận giá trị đặc biệt: + tanx = ⇔ x = k π , k Z + tanx = ⇔ x = π

4+kπ , k Z

+ tanx = -1 ⇔ x = - π4+kπ , k Z 5 Hàm số côtang

 Hàm số y = cotx = cosx

sinx

 có tập xác định D= R\ {kπ , k∈Z}

 Là hàm số lẻ

 Tuần hồn với chu kì π

 Hàm số y = cotx nhận giá trị đặc biệt: + cotx = ⇔ x = π2+kπ , k Z + cotx = ⇔ x = π

4+kπ , k Z

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố kiến thức hàm số lượng giác * Về kỹ năng:

+ HS biết tìm tập xác định số hàm số có chứa hàm số lượng giác + HS giải tốn đơn giản GTLN –GTNN hàm số

+Xác định tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+ Tập xác định hàm số ysin ,x y cos ,x ytan ,x ycotx ? Bài tập áp dụng: Tìm tập xác định cua hàm số 

1 sin y

x.

Ví dụ tập

Vd1 Tìm tập xác định hàm số sau:

a y = sin(2x + 1) b y = cos x c y = tan(x + π

2 ) d y = cot(2x -

2π

3 )

Giải

a Tập xác định hàm số y = sin(2x + 1) D = R b Hàm số y = cos

x xác định x Vậy tập xác định hàm số y = cos

x D = R\ {0} c Hàm số y = tan(x + π

2 ) xác định x +

π

2

π

2 + k π ⇔ x k π

Vậy tập xác định hàm số D = R\ {kπ , k∈Z} d Hàm số y = cot(2x - 2π

3 ) xác định 2x - 2π

3 k π ⇔ x

π

3 + k

π

2

Vậy tập xác định hàm số D = R\ {π

3+k

π

2, k∈Z}

Bài tập 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a y = sin √x b y = 1+cosx

sinx c y =

tanx

3+cosx d y = cotsinx −x 1 e y = cot( 3x+5π

3 ¿ f y = √sincosxx++15

g y = √cosx+3

sinx+1 h y = tan( 2π

3 −3x ) i y = sin

x2−1

k y = tanx+3

sin 3x l y = cos

2x

x −1 m y = √1+cosx

n y =

VD2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a y = + 2sinx b y = 2+3 cos

2 x

4 c y = √2sin 3x+5

Giải

a Vì -1 sinx nên -2 2sinx + 2sinx Vậy giá trị lớn hàm số 5, đạt sinx = ⇔ x = π

2+kπ , k Z

Giá trị nhỏ hàm số 1, đạt sinx = -1 ⇔ x = - π2+kπ , k Z b Vì cos2x 1 nên 2 + 3cos2x 5

2

+3 cos2x

4

5

Vậy giá trị lớn hàm số

4 , đạt cosx = ± ⇔ x = kπ , k

Z

Giá trị nhỏ hàm số

2 , đạt cosx = ⇔ x =

π

2+kπ , k Z

c Vì -1 sin3x nên 2sin3x +5 √3 √2sin3x+5 √7 Vậy giá trị lớn hàm số √7 , đạt sin3x =

⇔ 3x = π2+kπ , k Z ⇔ x = π6+k π

3 , k Z

Giá trị nhỏ hàm số √3 , đạt sin3x = -1

⇔ 3x = - π2+kπ , k Z ⇔ x = - π6+kπ

3 , k Z

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a y = √5−2 cosx b y = 1- 2sin22x c y = - 3 |cosx| d y =

1+2 sin2x e y =

2−5 cos2x

3 f y =

2 2−|sinx|

g y = – sin2x h y = 3sin(x- π4 ) -1 i y = -2 + √1−cosx k y = 2cos √x −1 l y = √sinx + m y = 2- 3cosx

Xét tính chẵn, lẻ hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định D  f(x) hàm số chẵn D

⇔

∀x∈Dthì− x∈D f(− x)=f(x)

¿{

 f(x) hàm số lẻ D

⇔

∀x∈Dthì− x∈D f(− x)=− f(x)

¿{

Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a y = sin2x b y = -2 +3cosx c y = cosx – sinx d y = tanx.sinx e y = cos2x + sin |x| f y = cotx. |sinx| Bài 4:Tìm tập xác định hàm số sau

1.ysin 3x 2.y c os x 3. os2

x y c

4 sin

x y

x



7.ytan 3x 8.

2 sin

1

y

x



 9.

3 2cos

y

x



10.ysin 3x21 11.y cot 2x 

 

   

  12.y3cosx1

13

1 sin

1

x y

x

 

 14.

2 sin

y

x



 15.

cos cos

x y

x

  Bài 5:Tìm GTNN –GTLN hàm số

1.y 3 2cosx 2.y 6 sin 3x 3.y cos x 4.y sin x 5.y cos x 6.y2sin2x 5y

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Hs thuộc cơng thức giải pt hàm số sin, cos Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình sinu = a (1)

 Nếu |a| >1 phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu |a| 1: gọi α cung thoả mãn sin α = a Khi sinu = a ⇔ sinu = sin α ⇔

2

( )

2

u k

k Z

u k

 

  

  



   

 Nếu α thoả mãn điều kiện - π

2 α

π

2 sin α = a ta viết

α = arcsina

Khi nghiệm phương trình (1)

arcsin

( )

arcsin

u a k

k Z

u a k



 

 





   



Phương trình sinu = sin

β0

0

0 0

360

( )

180 360

u k

k Z

u k

 

  

  

  



Chú ý: Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian. VD tập:

VD1:Giải pt sau: 1.sinxsin 240

 

0 0

0

0 0 0

24 360 24 360

sin sin 24

180 24 360 156 360

x k x k

x k

x k x k

     

     

    

 

 



2.sinx sin  

 

2

4

sin sin

3

2

4

x k x k

x k

x k x k

 

 



 

  

 

   

 

     

      

 

 



3.sin 3xsin 300

 

0 0

0

0 0 0

3 30 360 10 120

sin sin 30

3 180 30 360 50 120

x k x k

x k

x k x k

     

     

    

 

 



4  

0

sin x 20 sin 45

   

0 0 0

0

0 0 0

20 45 360 65 360

sin 20 sin 45

20 180 45 360 205 360

x k x k

x k

x k x k

      

      

     

 

 



Bài tập 1:Giải pt sau:

1.sinxsin 600 2.sinx sin

 

3.sinxsin150

4  

0

sinxsin 31

5

sin sin

x  

7.sin 2xsin 200 8.sin 3x sin

 

9  

0

sin x10 sin 45

10

sin sin

4

x  

 

 

 

  11.  

0

sin 30  x sin 50

12

0

sin sin 20

x



13  

0

sin 3x 20 sin 60

14.sin 3xsinx 15.

0

sin 20 sin 25 x         16

sin sin

3

x  

 

 

 

  17sin 4x sin

 

18    

0

sin 3x 20 sin x10 VD 2: Giải pt sau:

1 sin x  

0 0

0

0 0 0

45 360 45 360

2

sin sin 45

2 180 45 360 135 360

x k x k

x k

x k x k

                       sin x  

3

sin sin

2

2

3

3

k

x k x

x k

k

x k x

                                    

3  

0

sin 60

x 

   

0 0 0

0

0 0 0

30 30 360 60 360

1

sin 30 sin 30

2 30 180 30 360 180 360

x k x k

x k

x k x k

                         

4  

0

sin x 20 2

Do: 1 sinu1 nên pt vô nghiệm

5 sin x   0 arcsin 360 sin

180 arcsin 360 x k x k x k              

6  

0

sin 10

4

x 

   

0 0

0

0 0 0

3

10 arcsin 360 arcsin 10 360

4

3 sin 10

4 3 3

10 180 arcsin 360 170 arcsin 360

4

x k x k

x k

x k x k

                                                                

Bài tập 2:Giải pt sau: 1 sin x 2 sin x sin

4

3 sin

2

x

5.sinx1 6.sinx2

7

2 sin

2

x

8.sin 3x1 9.  

sin x30 0

10 sin x       

  11.  

0

sin 30 3

x

 

12.sin 3x

13  

0

sin 10

x 

14

3 sin

2

x

15 sin 10 3 x         16 sin x       

  17.  

0

sin 20

x 

18

2 sin

7

x 2 Phương trình cosx = a (2)

 Nếu |a| >1 phương trình (2) vơ nghiệm

 Nếu |a| 1: gọi α cung thoả mãn cos α = a Khi cosu = a ⇔ cosu= cos α ⇔

2 ( ) u k k Z u k            

Nếu α thoả mãn điều kiện α π cos α = a ta viết α = arccosa

Khi nghiệm phương trình (2)

arccos

( )

arccos

u a k

k Z

u a k

         

Phương trình cosu = cos

β0 0 0 360 ( ) 360 u k k Z u k            VD tập:

VD1:Giải pt sau: 1.c x cos  os320

  0 0 32 360 os os32 32 360 x k

c x c k

x k            os os

c x c 

  3 os os 4 x k

c x c k

x k                  

3.cos5x c os300

 

0

0

0

0

0 0

0

30

72

5 30 360 5

os5 sin 30

5 30 360 30

72

x k

x k

c x k

x k x k                      

4  

0

os 30 os45

c x c

   

0 0 0

0

0 0 0

30 45 360 75 360

os 30 os45

30 45 360 15 360

x k x k

c x c k

x k x k

Bài 1:Giải pt sau:

1.c xos cos 400 2.cosx cos4

 

3.c xos cos 350

4  

0

cosxcos 36

5

os os

c x c   

  6.c x cos  os750

7.cos3x c os200 8.cos3x cos6

 

9  

0

os 10 os55

c x c

10

os os

4

c x c 

  11.  

0

os 30 os70

c  x c

12

0

os3 os20

x c c

13  

0

os 20 sin 70

c x 

14.cos3x c os2x 15.

0

os 15 os15

3

x

c   c

 

16

os os

3

c  x c 

  17cos5x cos5

 

18    

0

os 20 os 15

c x c x VD 2: Giải pt sau:

1.

3 os

2

c x

  0 0 30 360 os os30

2 30 360

x k

c x c k

x k             2. os7

c x

 

2

7

1 21

os7 os

2

2

7

3 21

k

x k x

c x c k

k

x k x

                                   

3.  

0

os 50

2

c x 

   

0 0 0

0

0 0 0

50 120 360 70 360

1

os 50 os120

2 50 120 360 170 360

x k x k

c x c k

x k x k

                        

4  

0

os 20

c x 

Do: 1 c uos 1 nên pt vô nghiệm

5

2 os3

3

c x

 

0

0

2

3 arc os 360 arc os 120

2 3

os3

3 2 1 2

3 arc os 360 arc os 120

3 3

x c k x c k

c x k

x c k x c k

                        

Bài 2::Giải pt sau:

1 os

2

c x

2

2 os

2

c x

3

1 os

2

c x

4

3 os

2

c x

7

2 os2

2

c x

8.cos3x1 9.  

0

os 10

c x 

10

os

4

c x  

  11.  

0

os 40

4

c x 

12.cos5x

13  

0

os 10

c x 

14

5 os3

2

c x

15

0

os 10

3

x

c   

 

16

3 os

3

c x  

  17.  

0

os 20

c x 

18

2 os4

3

c x

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (TT)  

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức pt lượng giác hàm số sin, cos * Về kỹ năng:

+Hs thuộc cơng thức giải pt hàm số sin, cos, tan, cot Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os tanutan ;cotucot + Áp dụng: Giải pt  

0

sin 3x 20 sinx

A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình tanx = a (3) Điều kiện x ≠π

2+kπ , k∈Z

tanx = a ⇔tanx=tanα ⇔x=α+kπ ,(k∈Z)

Nếu α thoả mãn điều kiện - π2 < α < π2 tan α = a ta viết α = arctana Lúc nghiệm phương trình (3) là:

x = arctana + k π , ( k∈Z )

Phương trình tanx = tan β0 ⇔x=β0+k1800(k∈Z) B.VD tập:

VD1: Giải pt sau: tanxtan150

 

0 0

tanxtan15  x15 k180 k 

2

tan tan

5

x  

 

 

 

 

 

8

tan tan

5 15

x   x   k x  k k

 

         

 

  

3 tan 3xtan 450

 

0 0 0

tan 3xtan 45  3x45 k180  x15 k60 k  Bài 1:Giải pt sau:

1.tanxtan 200 2.tanx tan

 

3.tanxtan 650

4  

0

tanxtan 37

5

tan tan

x   

  6.tanxtan 850

7.tan 3xtan 700 8.tan 3x tan



 

  

  9.  

0

tan x10 tan 35

10

2

tan tan

4

x  

 

 

 

  11.  

0

tan 30  x tan 70

12

0

tan tan 20

x



13  

0

tan x20 tan 70

14.tan 3xtanx 15.

0

tan 15 tan 45

x

 

 

 

 

16

tan tan

3

x  

 

 

 

  17tan 6x tan



 

  

  18.tan 5x tan 



 

 

 

 

VD2: Giải pt sau:

3 tan

3

x

 

0 0

3

tan tan 30 30 180

3

x   x k k 

2

2

tan

3

x 

 

 

 

 

 

2

tan tan

3 3 3

x   x   k x  k k

 

          

 

  

 0 0 0 0  

tan 3x 26 tan 34 3x 26 34 k180  x20 k60 k 

4

tan

6

x 

 

 

 

 

 

tan arctan arctan

6 6

x  x  k x  k k

 

          

 

  

Bài 2:Giải pt sau:

1.tanx1 2.tanx2 3.tanx

4.tanx 5.tanx1 6.tanx0

7

1 tan

2

x

8.tan 3x1 9.  

tan x10 0

10

tan

4

x 

 

 

 

  11.  

0

tan 40 x 3

12.tan2

x



13

3 tan

4

x 

 

 

 

  14.tan 4xx 15.tan

x 

 

 

 

 

16

3 tan

3

x 

 

 

 

  17.tan x



 

 

 

  18.

2 tan

3

x 4 Phương trình cotx = a (4)

Điều kiện x ≠ kπ , k∈Z

Gọi α cung thoả mãn cot α = a Khi cotx = a ⇔cotx=cotα

⇔x=α+kπ ,(k∈Z)

Nếu α thoả mãn điều kiện 0< α < π cot α = a ta viết α = arccota Lúc nghiệm phương trình (4) là:

x = arccota + k π , ( k∈Z ) Phương trình cotx = cot β0 ⇔x=β0

+k1800(k∈Z) VD tập:

VD1: Giải pt sau:

1  

0

cotxcot 15

 0 0  

cotxcot 15  x15 k180 k 

2

cot cot

2

x  

 

 

 

 

 

16

cot cot

2 5 15

x x

k x k k

    

 

 

         

 

  

3 cot 4xcot 600

 

0 0 0

1.c xot cot 500 2.

2 cot cot

3

x 

3  

0

ot cot 45

c x 

4  

0

cotxcot 56

5

ot ot

c x c   

  6.  

0

ot ot 35

c x c 

7.cot3x cot  

8

3 cot ot

4

x c   

  9.  

0

ot 10 ot75

c x c

10

ot ot

4

c x c 

  11.

3

ot ot

6

c   xc 

  12.

0

ot ot10

x c c

13

ot cot

3

c  x     

    14.cot 5x c ot2x 15.

0

ot 15 ot25

3

x

c   c

 

16

ot ot

3

c x  c 

  17cot 5 x  cos5

 

 

18  

0

ot5 ot 15

c x c x VD2: Giải pt sau:

1

3 cot

3

x

 0 0  

3

cot cot 60 60 180

3

x    x k k 

2

cot

3

x 

 

  

 

 

 

cot cot

3 4 12

x   x   k x  k k

 

            

 

  

3 cot 4x

 

0

0 0 15

cot cot 30 30 180 45

2

x   x k  x k k 

4

5

cot

6

x 

 

 

 

 

 

5 5

cot arc cot arc cot

6 6

x  x  k x  k k

 

          

 

  

Bài 2:Giải pt sau:

1.cotx1 2.c xot  3.c xot 

4

3 ot3

3

c x

5.cot4x1 6.c xot 2

7.cot2x3 8.cot3x5 9.  

0

ot 10

c x 

10

ot

4

c  x  

  11.cotx 1 12.cot 4x

13  

0

ot 10

2

c x 

14.cotx 15.

0

ot 10

6

x

c   

 

16

ot

3

c x 

  17.  

0

ot 20

c x 

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (TT)  

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức pt lượng giác hàm số sin, cos * Về kỹ năng:

+Hs thuộc cơng thức giải pt hàm số lượng giác Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os tanutan ;cotucot

+ Áp dụng: Giải pt

0

tan 20 tan 30

x

 

 

 

 

Ví dụ tập

VD1: Giải phương trình sau: a sinx = √3

2 b sin2x =

1

4 c cos(2x +

π

4 )= −

1

d tan(x – 600) =

√3 e cot(x -

π

3 )= f cos(x -750) = -1

*g tan3x = tanx *h tan5x – cotx =

Giải:

a sinx = √3

sinx = √3

2

⇔sinx=sinπ   3 x k k Z x k                    2 x k k Z x k               

Vậy nghiệm phương trình sinx = √3 là:   2 x k k Z x k              

b sin2x = 14

sin2x =   arcsin

4

2 arcsin

4 x k k Z x k                  1 arcsin 1 arcsin

2

x k k Z x k               

Vậy nghiệm PT sin2x =

1 là:   1 arcsin 1 arcsin

2

x k k Z x k              

c cos(2x + π

4 )= −

1

cos(2x + π4 )= −1

2 ⇔ cos(2x +

π

4 )= cos 2π   2 2 x k k Z x k                      24 11 24 x k k Z x k               

d tan(x – 600) = √3

tan(x – 600) =

√3 ⇔tan(x −60

0

)=tan300

 x 600 300k1800 k Z   x900k1800 k Z  Vậy nghiệm Pt tan(x – 600) =

√3 là:  

0

90 180

x k k Z e cot(x - π3 )=

cot(x - π

3 )= x arccot k k Z 



    

x arccot k k Z 



    

Vậy nghiệm Pt cot(x - π

3 )= là: x arccot k k Z 



   

f cos(x -750) = -1

cot(x -750) = -1 ⇔x −750=−450

+k1800k∈Z ⇔x=300+k1800k∈Z

Vậy nghiệm Pt cot(x -750) = -1 là: x300k1800 k Z  *g tan3x = tanx

tan3x = tanx

Điều kiện

 

3 2

x k

k Z

x k

  

 

 

 

 

   



⇔  

2

x k

k Z

x k

 

  

 

 

 

   

 Ta có

tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x = l π

2(l∈Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = m π (m Z )

*h tan5x – cotx = tan5x – cotx =

Điều kiện

¿ 5x ≠π

2+kπ

x ≠ kπ (k∈Z)

¿{

¿

⇔

¿

x ≠ π

10+k

π

5

x ≠ kπ (k∈Z)

¿{

¿

Ta có

tan5x = cotx ⇔ tan5x = tan( π2− x¿ ⇔ 5x = π2− x + l π (l Z)

⇔ x = π

12 + l

π

6 (l Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = 12π + l π6 (l Z)

a cos(3x - π6 )= - √2

2 b cos(x -2) =

5 c cos(2x + 500) =

d (1+ 2sinx)(3- cosx)= e tan2x = tan 56π f tan(3x -300) = - √3

3

g cot(4x - π

6 )= √3 h sin(3x- 450) =

2 i sin(2x +100)= sinx

k (cot x3 -1)(cot x2 +1)= l cos2x.cotx = m cot( 23x+π

5 )= -1

n sin(2x -150) = - √2

2 p sin4x =

π

3 q cos(x + 3) =

r cos2x cot(x - π

4 )= s cos3x =

π

4 t tan(

x

2−

π

4¿=tan

π

8

u cos3x – sin2x = v sin3x + sin5x = Bài tập 2: Giải phương trình sau:

a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = d 2sinx + √2 sin2x = e sin22x + cos23x = f sin3x + sin5x = g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0 *i tan(x - π5 ) + cotx = *j tan5x = tan3x

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức pt lượng giác số pt lượng giác thường gặp * Veà kỹ năng:

+Hs giải pt lượng giác bản; nắm cách giải vận dụng giải pt lượng giác thường gặp

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os +Giải pt:

os sin

3

c x  x

 

A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình bậc hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at + b = (a 0), với t hàm số lượng giác, phương trình bậc hàm số lượng giác

Sử dụng phép biến đổi lượng giác, đưa nhiều phương trình lượng giác phương trình bậc hàm số lượng giác

2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at2 + bt + c = (a 0), với t hàm số lượng giác, là

những phương trình bậc hai hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác phép biến đổi lượng giác

B Ví dụ tập

VD1: Giải phương trình sau:

c ( √3 cotx – 3)(2cosx –1) = d 2sin2x – sin2x = 0 Giải:

a 2sinx – √2 = ⇔ 2sinx = √2 ⇔ sinx = √22 ⇔ sinx = sin 

⇔

x=π

4+k2π ¿

x=π −π

4+k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

⇔

x=π

4+k2π ¿

x=3π

4 +k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là:

x=π

4+k2π ¿

x=3π

4 +k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

b 2tanx – =

⇔ 2tanx = ⇔ tanx = 52 ⇔ x = arctan 52 + k π (k Z) Vậy nghiệm phương trình là: x = arctan 52 + k π (k Z) c ( √3 cotx – 3)(2cosx –1) =

⇔

√3 cotx −3=0(1)

¿

2 cosx −1=0(2)

¿ ¿ ¿ ¿

(1) ⇔ √3 cotx = ⇔ cotx = √3 ⇔ cotx = cot π6 ⇔ x = π6 + k π (k Z)

(2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx =

2 ⇔ cosx = cos

π

3 ⇔

x=π

3+k2π ¿

x=−π

3+k2π ¿

(k∈Z)

Vậy nghiệm phương trình là:

x=π

6+kπ ¿

x=π

3+k2π ¿

x=−π

3+k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

d 2sin2x – sin2x =

⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0

⇔

sinx=0 ¿

sinx −cosx=0 ¿

¿ ¿ ¿

⇔

x=kπ

¿ sinx=cosx

¿ ¿ ¿ ¿

⇔

x=kπ

¿

sinx=sin(π 2− x)

¿ ¿ ¿ ¿

⇔

x=kπ

¿

x=π

2− x+k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

⇔

x=kπ

¿

x=π

4+kπ ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là:

x=kπ

¿

x=π 4+kπ

¿

(k∈Z)

¿ ¿ Bài tập 1: Giải phương trình sau:

a 4sinx – = b 3cotx + √3 = c - √3 tan(5x + 200) =0 d 2cos3x + = e sin(3x + 1)= π4 f cos(x + 25π )= π3 g (2cosx + √2 )(tan(x +100) -

√3 ) = h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= i 8sinx.cosx.cos2x = √3 j sin2x +2cox = k tan(x +1) – 2008=0 l 3tan2x +

√3 tanx = m 4sin2x – sin22x = n

√3 - 2sin3x = p cot(x + π4 ) = q cos2(x – 300) =

4 r 8cos3x – =

Bài tập 2*: Giải phương trình sau:

a tan3x tanx = b cot2x cot(x + π4 ) = -1 c sin 21 x

+cos 2x=0 VD2: Giải phương trình sau:

a 2sin2x – 5sinx – = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0 c 2cos2x +3sinx - = 0 d tan4x + 4tan2x - = 0 Giải

Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:

2t2 – 5t -3 = 0

⇔

t=3(loai)

¿

t=−1

2(nhân) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Với t = -

2 ta

sinx = - 12 ⇔ sinx = sin(- π6 ) ⇔

x=−π

6+k2π ¿

x=7π

6 +k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là:

x=−π

6+k2π ¿

x=7π

6 +k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

b cot22x – 4cot2x -3 = 0

⇔

cot 2x=1

¿ cot 2x=3

¿ ¿ ¿ ¿

⇔

2x=arccot 1+kπ

¿

2x=arccot 3+kπ

¿

(k∈Z)

¿ ¿

⇔

x=1

2arc cot 1+k

π

2 ¿

x=1

2arc cot3+k

π

2 ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là: x=1

2arc cot 1+k

π

2 ¿

x=1

2arc cot3+k

π

2 ¿

(k∈Z)

¿ ¿

⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – = 0

⇔ – 2sin2x + 3sinx – = 0

⇔ 2sin2x – 3sinx + =

⇔

sinx=1 ¿ sinx=1

2 ¿ ¿ ¿ ¿

Với sinx = ⇔ x = π

2+k2π(k∈Z)

Với sinx = 12 ⇔ sinx = sin π6 ⇔

x=π

6+k2π ¿

x=5π

6 +k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm pt là:

x=π

6+k2π ¿

x=5π

6 +k2π ¿

x=π

2+k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

d tan4x + 4tan2x - = 0

⇔

tan2x=1 ¿ tan2x=−5

(loai)

¿ ¿ ¿ ¿

⇔ tanx=±1 ⇔ x=±π

4+kπ(k∈Z)

Vậy nghiệm pt là: x=±π

4+kπ(k∈Z)

Bài tập 3: Giải phương trình sau:

a 3cos2x - 5cosx + = 0 b 4sin2x – 4sinx – = 0 c cot2x – 4cotx + = 0 d tan2x + (1 -

√3 )tanx - √3 = e 5cos2x + 7sinx – = 0 f tan4x – 4tan2x + = 0

g sin3x + 3sin2x + 2sinx = h cos2x + 9cosx + = 0 i sin22x – 2cos2x +

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (TT) 

Tuần: Tiết: Muïc ñích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức pt lượng giác số pt lượng giác thường gặp * Về kỹ năng:

+Hs giải pt lượng giác bản; nắm cách giải vận dụng giải pt lượng giác thường gặp

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os +Giải pt:cos 32 x4 os3c x 0

A Kiến thức cần nhớ

3 Phương trình bậc sinx cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải:

Chia hai vế phương trình (1) cho √a2+b2 ta

a

√a2

+b2sinx

+ b

√a2

+b2cosx

= c

√a2

+b2 (2)

(vì b √a2+b2

¿2=1 a

√a2 +b2¿

2 +¿ ¿

)

Đặt cosα= a

√a2

+b2 ; sin α

= b

√a2

+b2

Pt (2) trở thành: cos α sinx + sin α cosx = c √a2

+b2

⇔ sin(x + α ) = c

√a2+b2 (3)

 Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ |c| √a2

+b2≤1

⇔ a2 + b2 c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 c2

 sinx ± cosx = √2 sin(x ± π

4 )

VD3: Giải phương trình sau:

a √3 sinx + cosx = b cos3x – sin3x = c 3sin2x + 4cos2x = d √2 sinx – cosx = Giải:

a √3 sinx + cosx =

Chia hai vế pt cho √√32

+12 = ta

√3

2 sinx +

2 cosx = ⇔ cos

π

6 sinx + sin

π

6 cosx =

⇔ sin(x + π6 ) = ⇔ x + π6 = π2 + k2 π ⇔ x = π3 + k2 π

Vậy ngiệm phương trình là: x = π3 + k2 π b cos3x – sin3x =

Chia hai vế pt cho −1¿

12+¿ √¿

= √2 ta

√2 cos3x -

√2 sin3x =

√2 ⇔ cos

π

4 cos3x - sin

π

4 sin3x =

√2

⇔ cos(3x + π4 ) =

√2 ⇔ cos(3x +

π

4 ) = cos

π

4

⇔

3x+π

4=

π

4+k2π ¿

3x+π

4=−

π

4+k2π ¿

¿ ¿ ¿

⇔

x=k2π

3 ¿

x=−π

6+k 2π

3 ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy ngiệm phương trình là:

x=k 2π

3 ¿

x=−π

6+k 2π

3 ¿

(k∈Z)

¿ ¿

c 3sin2x + 4cos2x =

Chia hai vế pt cho √32

5 sin2x +

5 cos2x =

Kí hiệu α cung mà sin α = 45 , cos α = 35 ta sin2x cos α + sin α cos2x =

⇔ sin(2x + α ) =

⇔ 2x + α = π2 + k2 π ⇔ x = π4 - α2 + k π

Vậy ngiệm phương trình là: x = π

4 -

α

2 + k π (với sin α =

5 , cos α =

5 )

d √2 sinx – cosx =

Ta có √2 2 + (-1)2 = <32 = phương trình vơ nghiệm. Bài tập 4: Giải phương trình sau:

a sinx + √3 cosx = √2 b 2sinx – 5cosx = c 2cosx – sinx = d sin5x + cos5x = -1 e 3sinx – 4cosx = f 2sin2x +

√3 sin2x = g sin5x + cos5x = √2 h sinx = √2 sin3x – cosx k.sin 3x os3c x1 0 l    

0

3 sin x10  cos x10 2

m

sin os

3

x  c x 

   

   

   

    n. cosxsinx2

O.cos3x sin 3x1

Bài tập 5*:Giải phương trình sau:

a.sin 2x 2cosx0 b.8 os2 sin os4c x x c x 2 (HD: sin 2 2sin os c  ) c.tan 2x tanx0 d.2 osc 2x c os2x2

Hd: c

2 tan tan

1 tan  

 

 ý: đk cos2x0 & cosx0 d.cos 2 cos2 sin2 2 osc 21 2sin  2 4 Phương trình asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d

Cách giải:

Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)

asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d

⇔ a 1−cos 2x

2 + b

sin 2x

2 + c

1+cos 2x

2 = d

⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2:

Nếu cosx = không nghiệm phương trình ta chia hai vế phương trình cho cos2x 0 ta phương trình bậc hai:

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0 VD4: Giải phương trình sau:

Giải

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

Với cosx = vế trái cịn vế phải nên cosx = không thoả mãn phương trình Với cosx chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

2tan2x + 4tanx – = + tan2x

⇔ tan2x + 4tanx – = 0

⇔

tanx=1 ¿ tanx=−5

¿ ¿ ¿ ¿

⇔

x=π

4+kπ ¿

x=arctan(−5)+kπ

¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là:

x=π

4+kπ ¿

x=arctan(−5)+kπ

¿

(k∈Z)

¿ ¿

b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Áp dụng công thức hạ bậc ta 1+cos 2x

2 +

sin 2x

2 –

1−cos 2x

2 =

⇔ sin2x + cos2x =

⇔ √2 sin(2x + π

4 ) = ⇔ sin(2x +

π

4 ) =

√2

⇔ sin(2x + π

4 ) = sin

π

4 ⇔

2x+π

4=

π

4+k2π ¿

2x+π

4= 3π

4 +k2π ¿

(k∈Z)

¿ ¿

⇔

x=kπ

¿

x=π

4+kπ ¿

(k∈Z)

¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là:

x=kπ

¿

x=π 4+kπ

¿

(k∈Z)

¿ ¿ Bài tập 6: Giải phương trình sau:

a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1 c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3 e 4sin2x + 3

√3 sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0 g √3 sinx.cosx – sin2x = √2−1

2 i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx =

a cos3x – cos4x + cos5x = b sin7x – sin3x = cos5x c cos5x.cosx = cos4x d sinx + 2sin3x = - sin5x e 2tanx – 3cotx – = f sin2x – cos2x = cos4x g 2tanx + 3cotx = h cosx.tan3x = sin5x i 2sin2x + (3 +

√3 )sinx cosx + ( √3 - 1)cos2x = -1 j tanx.tan5x =

§ ƠN TẬP CHƯƠNG I 

Tuần: Tiết: Mục đích:

*Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức hàm số lượng giác: TXĐ, GTLN- GTNN

+Củng cố kiến thức pt lượng giác số pt lượng giác thường gặp * Về kỹ năng:

+Hs giải dạng tập học chương I Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os +Giải pt:cos2x osc x 3

A.Kiến thức cần nhớ: 1.Hàm số lượng giác:

T/ C TXĐ TGT C - L CK -TH ĐB - NB

y= sinx R [ -1; 1] Lẻ 2

ĐB [0 ;2 

] NB[ 

y= cosx R [ -1; 1] Ch 2 ĐB [-;0] NB[0; ] y= tanx

R\{2 k k Z, } 



  R Lẻ 

ĐB [0; 

)

y= cotx R\{k k Z,  } R Lẻ  NB (0 ;  )

B.Các dạng toán: 1.Tìm tập xác định: a y =

1 osx sinx

c



b y =

1 osx 1-cosx

c



c.y = Tan( 2x -  ) Giải:

a ĐK: Sinx0  x k , k Z

Vậy D = R \ { k, k Z}

b Vì + cosx  nên điều kiện 1- cosx > 0 Hay cosx 1  x  k2, k  Z

Vậy D = R \ {k2, k Z }.

c.Điều kiện: 2x - 

2



+ k  x 

 + k2



, k Z

Vậy D = R\{3 

+ k 

, k Z}

Bài tập: Tìm tập xác định hàm số sau a.y = Cot x(3 12)

 

b.y=

sinx-cosx

2 sin x c.y =

2 osx 1+sinx

c

 2.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất:

a.y = 3+ cosx b.y = cosx + c.y = 2sin(2 5)

x  

Giải:

a -1 cosx  -2  2cosx    + 2cosx5 GTNN : ymin = 1, ymax= 5. b Đk: cosx 0, => 0 cosx1  2 cosx 2  2 cosx + 1 3, ymin = 1, ymax= 3. Bài tập:

Tìm giá trị lớn nhỏ nhất:

a y = 3cos2x b y = sinx Bài tập thêm:

Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau:

1 cos 1 sin tan

) ; ) ; ) ; )

2cos 2 1 sin3 1 1 tan( 1) sin 2 1

x x x

a y b y c y d y

x x x x



   

    

Bài 2: Xét tính chẳn lẻ hàm số sau:

sin 3

) cos ; ) sin ; /

cos 2 2 cos cot 3

) tan sin ; )

sin

x x

a y x x b y x x c y

x

x x

d y x x e y

x



  



  

Bài 3:Tìm GTLN GTNN hàm số sau: 2

2sin 5 3 cos 2 2 2

) ; ) ; ) cos2 sin ; ) 1 sin cos

3 2

x x

§ ÔN TẬP CHƯƠNG I (TT) 

Tuần: Tiết: Muïc ñích:

*Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức hàm số lượng giác: TXĐ, GTLN- GTNN

+Củng cố kiến thức pt lượng giác số pt lượng giác thường gặp * Về kỹ năng:

+Hs giải dạng tập học chương I Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os,tanutan ; cot ucot +Giải pt:sin 5x os5c x2

A.Kiến thức cần nhớ:

2.Phương trình lượng giác bản:

a > 1 a 1

Sin u = a PT VN a giá trị cung ĐB.sin = a

2

u k

u k

 

  

  



  

 (k  Z)

arcsina + k2 = - arcsina + k2

u u



 

  

 (k  Z)

Cos u = a PT VN

a giá trị cung ĐB.Cos = a

2

u k

u k

 

 

  



 

 (k  Z)

a ko gtr cung ĐB

arccosa + k2 u = - arccosa + k2

u 

 

 

 (k  Z)

Tan u = a

a giá trị cung ĐB Tan =a u =  + k ,(k  Z) a ko gtr cung ĐB

u = arctana + k ,(k  Z) Cot u = a

a giá trị cung ĐB Cot =a u =  + k ,(k  Z) a ko gtr cung ĐB

u = arccota + k ,(k  Z) Bài tập: Giải phương trình sau:

a

3 sin

4

x 

 

 

 

  . b  

1 os

2

c x   c tan2

x



d

1 cot

3

x e

2

sin

2

x 

f tan 3x i

2 os3

5

c x

j cot 6x 24

3 Pt bậc bậc hs lượng giác:

Pt Dạng Cách giải

Bậc I

aSinx + b = aCosx + b = atanx + b = aCotx + b =

(a0)

Chuyển vế b chia vế pt cho a Giải pt lg

Bậc II

at2 + bt + c = 0

(a0) t hàm số

lượng giác)

Đặt ẩn phụ, ĐK

(Đv sin cos t 1) giải pt bậc theo ẩn phụ. Rồi giải ptlg

Bài tập: a 2Sin2

x

+ 2sin2

x

- = b 3Tan2x + = c Cosx – 2Sin2x = d 4SinxCosx.Cos2x =

1 2. e 5Cotx – = f 3Tan2x + Tanx – = 0. g 3Cot2x - 2 3Cotx + = 0 h anx - 6Cotx + 0T  k 6Cos2 x – 5Sinx – = 0.

Cách giải: chia hai vế pt cho Cos2x (nếu a  d pt khơng có nghiệm Cosx = 0, a = d, pt có nghiệm Cosx = 0)

C n n m công th c: ầ ắ ứ

sinx

t anx cosx 

2

1

1 tan

os x

c x 

Bài tâp:

a 2Sin2x – 5SinxCosx – Cos2x = -2 b 3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3 c Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2 d Sin2x – 6SinxCosx + Cos2x = -2 Phương trình dạng aSinx + bCosx = c Cách giải: Xác định hệ số a, b, c.

Tính a2b2 .

Chia vế pt cho a2b2

Nếu 2 2 &

a b

a b a b giá trị cung đặc biệt thay tương ứng cos sin vào Cịn khơng

giá trị đặc biệt đặt 2 2

os = a & b

C Sin

a b a b

  

 

 Sin(x+ ) = 2

c a b .

Giải pt lg tìm nghiệm. Giải phương trình:

a 3Sinx + Cosx = b 4Sin5x + 3Cos5x = c Sin3x + 2Cos3x = d Sinx + Cosx = Bài tập thêm:

Bài 1:Giải phương trình sau

2 0

)sin 3 0,5 )sin 20

5 3 2

2

)sin(3 ) )sin5 sin 0

3

x

a x b

c x d x x



   

   

     

   

Bài 2:Giải phương trình sau

2 0

)cos 3 0,5 )cos 20 ;

5 3 2

2

)cos(3 ) )cos5 cos3 0

3

4 4

/ sin 3 cos2 0 / 2(sin cos ) 1

4 4

/ 2(sin cos ) 1

x

a x b

c x d x x

e x x g x x

h x x



   

   

     

   

   

 

Bài 3:Giải phương trình sau

  0

) tan 3 1 1 )cot 20 3

3

2 1

) tan(1 ) tan )cot

7 3 5 3

x

a x b

x

c x  d 

 

 

 

 

 

 

   

   

) cot 1 cot 1 0 )sin cot 0

3 2

0 0

) tan( 30 )cos(2 150 ) 0 )cot cot 3 1

x x

a b x x

c x x d x x

   

   

      

   

HD: Đặt ĐK,rồi kiểm tra đk Bài 5:Giải phương trình sau

/ sin 2 2cos 0 / 8sin cos2 cos4 2

2

/ tan 2 2 tan 0 / 2cos cos2 2

a x x b x x x

c x x d x x

  

   

HD a/ dùng Ct nhân đôi,đưa dạng tích b/ dùng nhân đơi ,đưa

c/đk,nhân đôi,đưa bản,kiểm tra đk d/ nhân đôi ,đưa vể

Bài 6:Giải phương trình sau

/ cos5 cos3 cos 4 0 / sin 7 sin3 cos5

3

2 2 2

/ cos4 sin3 cos sin / cos2 cos 2sin

2

a x x x b x x x

x

c x x x x d x x

    

    

HD a/ tổng thành tích,đưa tích b/ tổng thành tích,đưa tích

c/ nhân đơi, tổng thành tích,đưa tích d/ nhân đơi, đưa tích

Bài 7:Giải phương trình sau

2 2 2

/ 3sin 2cos 2 2 / cos 2 2cos 2sin

2 1

2 4 4 4

/ cos sin / sin cos sin 2

2

x

a x x b x x

c x x d x x x

   

   

HD a/ hạ bậc,đưa bậc hai theo cos2x b/ nhân đôi,hạ bậc, đưa bậc hai theo cosx

c/ thay cos2x = – sin2x ,đưa trùng phương theo sinx d/ biến đồi a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2,đưa bậc hai theo sin2x Bài 8:Giải phương trình sau

2

sin 2 2 2

/ 3tan 3 cot 3 3 0 / tan

2 2

sin 2 4cos 1

/ 2sin 2 2tan cot

sin 2

x

a x x b x

x x

c x x x

x



    



  

HD:a/ đk,thay cotx = 1/tanx,bậc hai theo tanx

b/ đk,sin22x - 4cos2x = …= - 4cos4x, bỏ mẫu,nhân đôi,cơ bản

c/ đk,thay tan cot theo sin cos,nhân đôi,bỏ mẫu,hạ bậc,dạng tích Bài 9:Giải phương trình sau

2 2 2 2

/ 4cos 3sin cos sin 3 / 2sin sin cos cos 2

2 2

/ 4sin 4sin cos 3cos 1 0

a x x x x b x x x x

c x x x x

     

   

HD a/ thay = 3sin2x + cos2x,chia cho sin2x hoac cos2x b/ thử trước chia

c/ câu a

Bài 10:Giải phương trình sau

 0  0

/ sin 30 3 cos 30 2

/ cos3 sin 3 1

1 / 4sin 3cos 4(1 tan )

cos

a x x

b x x

c x x x

x

   

 

HD c/ đk,đưa tích (4sinx + 3cosx – 1)(cosx – ) = 0 Bài 11:Giải phương trình sau

2 2

/ sin cos cos4

2 2 2

/ sin sin 2 sin 3 0 / tan 3cot 4

/ 4sin 3 sin 5 sin cos 2 0

2 2

/ tan 3tan 2cot 3cot 3 0

a x x x

b x x x

c x x

d x x x x

e x x x x

 

  

 

  

    

HD: a/ nhân đôi: sin2x – cos2x = - cos2x = cos( pi – 2x) b/ hạ bậc,tổng thành tích,dạng tích

c/ đk,bậc hai theo tanx(VN)

d/ tích thành tổng,tổng thành tích,dạng tích e/ ẩn phụ,t = cotx – tanx => cot2x + tan2x = t2 – 2 Bài 12:Giải phương trình sau

4

/ 8cos 4cos2 sin 4 4 0 1

6 6

/ sin cos sin 4 0 2

/1 sin cos sin 2 2cos2 0

1 2 1

/ sin sin

2

sin sin

/ cos tan 3 sin 5

a x x x

b x x x

c x x x x

d x x

x x

e x x x

   

  

    

  



HD:

a/hạ bậc hai lần,đưa cos4x + sin4x =

b/biến đổi a6 + b6 = (a2 + b2)3 – 3a2b2 (a2 + b2),nhân đôi,hạ bậc,3cos4x+4sin4x= - 5 c/1-sin2x = (sinx 2cos2x = - 2(sinx – cosx)(sinx + cosx)

đưa tích : (sinx-cosx)(1 – sinx - 3cosx ) = d/ đk:sinx khác 0;

2

2

1

(sin sin ) (1 sin )(sin 1) sin

sin

x x x x

x x

 

       

 

CHƯƠNG II:TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT § QUI TẮC ĐẾM



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức tắc cộng, qui tắc nhân * Veà kỹ năng:

+Hs vận dụng qui tắc cơng, qui tắc nhân để làm tốt tập đơn giản Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ: A Kiến thức cần nhớ * Quy tắc cộng:

Thực công việc thực k phương án. Phương án có n1 thực hiện.

“ “ n2 “ .

……….

Phương án k có nk cách thực hiện

Thì ta có n1+ n2 + … + nk cách thực hiện.

Nếu A B tập hợp hữu hạn không giao N(AB) = n(A)  n(B)

*Quy tắc nhân:

Một công việc thực hai hai nhiều hành đơng: có m cách thực hành động thứ nhất

Có n cách thực hành động thứ hai ………. Có I cách thực hành động thứ k Thì ta có : m.n……I cách thực hiện.

Ví dụ tập: Ví dụ:

1.Trong cơng ty có 32 nam, 20 nữ Hỏi có cách chọn a.Một người làm chủ tịch cơng đồn?

b.Hai người nữ nam ? Giải:

a.Theo qui tắc cộng, ta có: 32+ 20=52 cách chọn

b.Muốn chọn hai người nam ,một nữ ta phải thực hai hành động

Bước 2:Chọn nữ: có 20 cách

Theo qui tắc nhân: 32.20 = 640 cách chọn nam, nữ

2.Trong quán nước có loại cafe ,6 loại nước ép , loại trà Hỏi có cách chọn a.Một loại nước uống?

b.Ba loại nước uống khác nhau? c.Hai loại nước uống khác nhau? Giải:

a.Theo qui tắc cộng, có + +4 =14 cách chọn loại nước uống b.Theo qui tắc nhân, có: 4.6.4= 96 cách chọn ba loại nước uống khác c.TH1: loại café, loại nước ép có 4.6=24 cách chọn

TH2: loại café, loại trà có 4.4=16 cách chọn TH3: loại trà, loại nước ép có 4.6=24 cách chọn

Theo qui tắc cộng có: 24 +16 +24 =64 cách chọn hai loại nước uống khác Bài tập:

1.Từ số 1, 2, lập đuọc số tự nhiên bé 100

2.Từ nhà An đến nhà Bình có đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Tồn có đường để Hỏi có bao cách tù nhà An đến nhà Tồn?

3.Có thể lập số tự nhiên chẳn gồm chữ số 1,3, 5, 6, a.Các số tự nhiên có chữ số giống

b.Các số tự nhien có chữ số khác

4.Trong lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ Hỏi có cách chọn a.Một bạn phụ trách quỹ lớp?

b.Hai bạn, có bạn nam nữ?

5.Một đội văn nghệ có bạn nam, bạn nữ.Hỏi có cách chọn đơi song ca nam ,nữ? 6.Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc.Tính số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc để phát biểu ý kiến ,sao cho:

a.Hai người vợ, chồng b.Hai người khơng vợ chồng

7.Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 40.Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác nhau.Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo )?

8.Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn? 9.Từ số 1,5,6,7 lập số tự nhiên

a.Có chữ số ( khơng thiết khác nhau)? b.Có chữ số khác nhau?

10.Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ

a.Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn?

§ HỐN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP



Tuần: Tiết: Muïc ñích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức hoán vị ,tổ hợp, chỉnh hợp * Về kỹ năng:

+Hs vận dụng cơng thức hốn vị, tổ hợp,chỉnh hợp để làm tập Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Từ số 1,3,5,7,8,9 lập số tự nhiên a.Gồm chữ số đôi khác nhau?

b.Gồm chữ số?

c.Gồm chữ số phải chia hết cho 5? A Kiến thức cần nhớ

Hoán vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:

Định nghĩa Công thức Khác

H V Cho tập A gồm N ptử Mỗi kq Sx n ptử HV

P(n) = n! Pn = 1.2.3… n = n! C H n(A)= n Mỗi kq sx vị trí k ptử

A đgl c.hợp chập

K n ptử Akn =

! ( )!

n n k

Pn = Ak n 0! = T H n(A)= n Mỗi tập gồm k ptử

A đgl t.hợp chập K n ptử

Ckn = ! !( )!

n k n k

Ckn =Cnn –k

1

k k k

n n n

C  C C

   

Ví dụ:

1.Có cách xếp bốn bạn A, B ,C, D vào bốn ghế kê thành hàng ngang? Giải:

Mỗi cách xếp cho ta hoán vị bốn bạn ngược lại.Vì số cách xếp là:

4 4! 24

P   cách

2.Có số nguyên dương gồm năm chữ số khác không khác (đôi )? Giải:

Mỗi số cần tìm có dạng: a a a a a1 5, ai a ij; j 

1, 2,3, 4,5,6,7 ; 1, ,5 i

a  i

Như vậy, coi số dạng chỉnh hợp chập chữ số.Do ,số số cần tìm là:

5

9!

15120 4!

A  

3.Một tổ có 10 bạn.Hỏi có cách chọn ba bạn để làm trực nhật? Giải:

Kết phân cơng nhóm gồm ba bạn, tức tổ hợp chập 10 bạn.Vậy số cách phân công là:

3 10 120

C  (cách)

Bài tập:

1 Hỏi có cách xếp 10 người vào 10 ghế xếp thành hàng dọc

2 Trong lớp học có 25 HS hỏi có cách chon bạn để dự hội trại Đoàn Trường Lớp học co 42 Hs chon ban, bạn làm lớp trưởng, bạn lớp phó bạn bí thư đồn Hỏi

có cách chọn

4 Trong mp cho tập hợp gồm điểm phân biệt.Có vectơ khác khơng có điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

5 Trong mp cho tập hợp gồm điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng.Hỏi có tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp điểm này?

6 Trong lớp học có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ.Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn học sinh nam học sinh nữ tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” Đoàn niên Cộng sản Hồ Chí Minh.Hỏi có cách chọn?

7 Trong mp cho tập hợp K gồm 10 điểm phân biệt.Hỏi: a.Có đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc K?

b.Có vectơ khác véctơ không mà điểm đầu điểm cuối thuộc K? Có số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 5?

Trong Ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ:

a.Nếu không phân biệt chức vụ người ban thường vụ có cách chọn? b.Nếu cần người vào ban thường vụ với chức danh:Bí thư, phó bí thư,uỷ viên thường vụ có cách chọn?

10.Một lớp có 32 học sinh ,20 nam, 12nữ Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn a học sinh tham gia đội cờ đỏ?

b.3 học sinh nam học sinh nữ tham gia đội cờ đỏ?

c.5 học sinh tham gia đội cờ đỏ, có khơng q học sinh nữ?

11.Một hộp chứa 15 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ viên bi vàng.Hỏi có cách a.Chọn viên bi bất kì?

b.Chọn viên bi, gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng?

12.Một bó hoa gồm 10 hoa hồng đỏ, hoa cẩm chướng, hoa lai ơn Hỏi có cách Chọn hoa gồm hoa hồng,2 hoa cẩm chướng hoa lai ơn?

13.Một tổ có em nam em nữ.Người ta cần chọn em tổ tham gia thi học sinh lịch trường.Yêu cầu em chọn có em nữ.Hỏi có cách chọn?

14.Một nhóm học sinh có em nam em nữ.Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục.Trong em chọn, yêu cầu khơng có q em nữ.Hỏi có cách chọn?

15.Cô giáo chia táo,3 cam chuối cho cháu (mỗi cháu ).Hỏi có cách chia khác nhau?

HD:

Chọn cháu để phát táo:C94

Chọn cháu lại để phát cam:C53

Hai cháu lại phát chuối:1 cách Theo qui tắc nhân:

§ NHỊ THỨC NIU -TƠN



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức nhị thức Niu-tơn * Về kỹ năng:

+Hs vận dụng công thức làm tốt dạng tốn bản: khai triển nhị thức, tìm số hạng hệ số số hạng khai triển

+Hs giải pt đơn giản chứaC A Pnk; nk; n

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên a.Gồm chữ số đôi khác nhau?

b.Gồm 3chữ số?

c.Gồm chữ số phải chia hết cho 2? A.Các kiến thức cần nhớ:

Nhị thức Niu – Tơn: D ng khai tri n:ạ ể

0 1

( )n n n k n k k n n

n n n n

a b C a C a b C a b C b

       (1)

Với a=b=1, 2n = Cn0Cn1 Cnn Với a= 1, b = -1,

= Cn0 Cn1 ( 1)  kCnk  ( 1)  nCnn Số hạng thứ k+1 khai triển: C a bnk k n k

Chú ý: Số hạng tử (1) n+1

Số mũ a giảm dần , số mũ b tăng dan dần từ trái sang phải nhung tong số mũ bắng n

Các hệ số hạng tử cách hạng tử đầu cuối nhau. Ví dụ tập:

Ví dụ:

1.Viết cơng thức khai triển  

6

2

x

2.Tính hệ số x y12 13trong khai triển  

25

x y

Giải:

Số hạng chứa y13 ứng với số hạng thứ 14 Vậy hệ số số hạng thứ 14 là: C13255200300

3.Tìm hệ số x3 khai triển  

5

3x

Giải:

Cách 1: Khai triển nhị thức, tìm hệ số số hạng chứa x3

Cách 2: Số hạng thứ k +1 khai triển có dạng:      

5

5 53

k k k

k k k k

C x   C   x

Vậy hệ số x3 là:  

2 3

53 4320

Bài tập:

1.Khai triển biểu thức sau:

a.(2x – 3y)4 b.(y + 2x)5 2.Tìm hệ số khơng chứa x khai triển:

a.(2x + 2

x )6 b.(2x +

1

x )8

3.Tìm số hạng chứa x5 khai triển

 



 

 

6

1 2x

x .

4.Tìm số hạng khơng chứa x khai triển

 



 

 

9

2 x

x .

5.Tìm số hạng thứ năm khai triển

 



 

 

11

2 x

x mà khai triển số mũ x giảm

dần

6.Tính hệ số x9trong khai triển 2 x19

7.Tính hệ số x7 khai triển  

11

1x

8.Tính hệ số x y5 khai triển  

13

x y

9.Tính hệ số x101 99y khai triển  

200

2x 3y

10.Bieát hệ số x2 khai triển (1 ) x n 90 Tìm n. Giải: Xác định n

 

C (1 ) 3k n k k Ck k k

n  x  nx .

Tương ứng với k 2 3 C2 2n.

2

3 C 90

4

n

n n

 

  



 n5. 11.Tìm hệ số x7trong khai triển 3 2 x15

12.Trong khai triển (1ax)n ta có số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba 252x2. Tìm a n ?

Giải: Xác định a n

 

C (1 )k n k k k k kC

n  ax a nx .

Số hạng thứ hai a xC1n số hạng thứ ba a2 2Cnx .

1

2 2

C 24

3

C 252

n n

a x x n

a

a x x

   





 



 



 .

§ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức phép thử biến cố * Về kỹ năng:

+Hs mơ tả khơng gian mẫu, xác định biến cố phép thử Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Gieo đồng tiền ba lần.Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố sau: a.Lần gieo đầu xuất mặt ngửa?

b.Có hai lần xuất mặt sấp? c.Có lần xuất mặt sấp? d.Có lần xuất mặt sấp? A.Các kiến thức cần nhớ:

Phép thử biến cố:

* Phép thử ngẫu nhiên: phép thử ta ko đoán trước kết , biết tập hợp kết xảy

* Khơng gian mâu: tập hợp kết xảy phép thử đgl không gian mẫu K/h:  * Biến cố: biến cố tập kgmẫu

Tập  đgl biến cố không, Tập  đgl biến cố chắn

Phép toán biến cố: \A đgl biến cố đối biến cố A K/h : A - AB đgl hợp biến cố.

- AB đgl giao biến cố.

- AB = , A B đgl biến cố xung khắc B.Ví dụ tập:

1.Gieo súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất a.Mô tả không gian mẫu?

b.Xác định biến cố sau:

A:”Xuất mặt có số chấm nhỏ 5”

B:” Xuất mặt có số chấm số lẻ không lớn 3”

2.Gieo đồng tiền liên tiếp lần Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định biến cố sau: a.Mặt sấp xuât lần

b.Lần đầu xuất mặt ngửa

3.Gieo súc sắc lần Hãy mô tả không gian mẫu Xác định biến cố : a Tổng số chấm lần gieo

b.Lần đầu xuất mặt chấm c.Cả lần gieo

4.Gieo đồng tiền lần quan sát xuất mặt sấp, ngửa.Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố:

a.Lần gieo đầu xuất mặt sấp? b.Kết hai lần gieo khác nhau? c.Lần gieo sau xuất mặt ngửa?

5.Một súc sắc gieo ba lần.Quan sát số chấm xuất hiện.Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố sau:

a.Tổng số chấm hai lần gieo 6?



Tuần: Tiết: Muïc ñích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức phép thử biến cố, xác suất biến cố * Về kỹ năng:

+Hs mô tả không gian mẫu, xác định biến cố phép thử, tính xác suất biến cố

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Gieo đồng tiền ba lần.Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố sau: a.A:”Lần gieo đầu xuất mặt ngửa?”

b.Tính xác suất biến cố A? A.Các kiến thức cần nhớ:

Xác suất biến cố:

P(A): xác suất biến cố A

( )

n  : là số phần tử kgm.

n(A): số phần tử biến cố A Tính chất xác suất:

( ) 0, ( )

P   P   .

0P(A) 1, với biến cố A. Nếu A B xung khắc P(AB) = P(A) + P(B)

Hệ quả:

P (A) = - P(A)

Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:

- Nếu xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất biến cố khác ta nói biến cố độc lập

- A B biến cố độc lập khi: P(A.B) = P(A).P(B)

Ví dụ tập: Ví dụ:

1.Một hộp chứa bi trắng, bi đỏ Tính xác suất a/biến cố A: “lấy bi màu trắng” b/biến cố B: “lấy bi khác màu” Giải:

Không gian mẫu: lấy viên bi viên bi n( ) C  25 10.

a/A:” Lấy bi màu trắng: n A( ) C 32 3.

( )

P( )

( ) 10 n A A

n

 



b/B:”Lấy bi khác màu: đỏ ,1 trắngn B( ) 2.3 6  Vậy

( ) P( )

( ) n B B

n

 

 P(A) =

( ) ( )

2.Hai bạn lớp 10 hai bạn lớp 12 xếp vào ghế ngồi thành hàng ngang i) Tính xác suất biến cố A: “các bạn lớp 10 ngồi cạnh nhau”

ii) Tính xác suất biến cố B: “các bạn lớp không ngồi cạnh nhau” Giải: Khơng gian mẫu:

xếp bạn vào ghế thành hàng ngang n( ) P  24.

i/ n A( ) 2.2 2.2 2.2 12    Vậy:

( ) P( )

( ) n A A

n

 



ii/ n B( ) 2.2 2.2 8   Vậy:

( ) P( )

( ) n B B

n

 



3.Gieo súc sắc hai lần Tính xác suất biến cố A: “ít lần xuất mặt sáu chấm”

Giải: Khơng gian mẫu: gieo xúc sắc hai lần n( ) 36  .

Biến cố: Ít lần xuất mặt sáu chấm: n A( ) 11 Vậy:

11 P( )

36

A 

4.Gieo ba lần súc sắc Tính xác suất để ba lần xuất số chấm Gieo xúc sắc ba lần

Giải:Không gian mẫu:  i j k, , ,1i j k, , 6  n  6.6.6 216 Biến cố: ba lần số chấm xuất nhau: n A( ) 6 Vậy:

6 P( )

216

A 

Gieo đồng tiền bốn lần Tính xác suất bốn lần xuất mặt sấp

Giải:Không gian mẫu:Gieo đồng tiền bốn lần: n( ) 4.4 16   . Biến cố: Cả lần xuất mặt sấp n A( ) 1 Vậy:

1 P( )

16

A 

Bài tập:

1 Gieo ngẫu nhiên súc sắc lần Mơ tả khơng gian mẫu tính xác suất: a.Mặt chấm xuất lần

b.Tổng số châmư xuất hai lần gieo c.Mặt chấm xuất lần

2.Từ hộp chứa cầu đen cầu trắng, lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho a.Bốn lấy màu

b.Có màu trắng

3.Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ 9.Tính xác suất để: a.Số chọn số chẵn?

b.Số chọn số chẵn? c.Số chọn số nguyên tố? d.Số chọn chia hết cho 3?

4.Một tổ có nam nữ.Chọn ngẫu nhiên hai người.Tính xác suất cho hai người đó: a.Cả hai nữ?

b.Khơng có nữ nào? c.Ít người nữ? d.Có người nữ?

5.Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10; 20 cầu xanh đánh số từ đến 20.Lấy ngẫu nhiên quả.Tìm xác suất cho chọn :

a.Ghi số chẵn b.Màu đỏ

c.Màu đỏ ghi số chẵn d.Màu xanh ghi số lẻ

a.Tổng số chấm hai lần gieo b.Tổng số chấm hai lần gieo nhỏ c.Số chấm lần gieo sau gấp đôi lần đầu

d.Ít lần gieo xuất mặt chấm e.Cả hai lần gieo chẵn chấm

f.Số chấm hai lần gieo số nguyên tố g.Tổng số chấm hai lần gieo nhỏ

7.Từ cỗ tú lơ khơ 52 lá, rút ngẫu nhiên lúc bốn con.Tính xác suất cho: a.Cả bốn K

b.Được at c.Được át K d.Khơng có át

8.Một nhóm học sinh có em nam em nữ.Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục.Tính xác suất cho em chọn có em nam?

9.Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi, từ hộp gồm 15 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ viên bi vàng.Tính xác suất

a.Cả viên bi màu đỏ?

b.Chọn viên bi, gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng?

10.Từ hộp chứa ba cầu trắng hai cầu màu đen, lấy ngẫu nhiên hai quả.Tính xác suất để lấy hai màu trắng?

11.Gieo đồng thời hai súc săc.Tính xác suất cho: a.Hai xuất mặt chẵn chấm?

b.Tích số chấm hai số lẻ?

12.Gieo súc sắc ba lần.Tính xác suất cho mặt sáu chấm xuất hai lần

13.Một hộp chứa cầu trắng, bốn cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất cho:

a.Bốn màu b.Có qủa trắng c.Có trắng

d.Có trắng

14.Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh.chọn ngẫu nhiên đồng thời quả.Tính xác suất để có màu xanh màu đỏ?

15Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối.Tính xác suất để số chấm hai súc sắc hai?

16.Chọn ngẫu nhiên người có tên danh sách 20 người đánh dấu từ đến 20.Tính xác suất cho người chọn có số thứ tự khơng lớn 10?

17.Gieo hai súc sắc cân đối a.Mô tả khơng gian mẫu b.Tính xác suất biến cố

-Biến cố A:”Tổng số chấmcủa hai súc sắc nhỏ 7” -Biến cố B:”Có súc sắc xuất mặt chấm ’’ -Biến cố C:’’Có súc sắc xuất mặt chấm”

ÔN TẬP CHƯƠNG I- II



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Hs mơ tả khơng gian mẫu, xác định biến cố phép thử Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Gieo đồng tiền hai lần.Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố sau: a.Lần gieo đầu xuất mặt sấp?

b.Cả hai lần xuất mặt sấp? Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a y =

1 cos sin

x x



b y = tan cos

x x

 c y =

cot 2sin

x x d y = cot( 3x+

5π

3 ¿ e y =

tanx+3

sin 3x f y = cos3

x x

g y =

3

cosx cos3x h y = tanx + cotx k y = √

1−cosx

1+cosx

Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a y = 3cos x b y = 1+ 2sin22x c y = - 3 |cosx| d y =

2 sin x



 e y = – 2sin2x f y = -2 + √1−cosx g y = 3cos √x −1 h y = √sinx -2 k y = 2- cosx

Bài 3:Giải pt sau:

2 os

4

c  x  

  2.  

0

os 30 os60

c  x c

3

3

os

2

x

c  

4  

0

os 20 sin 70

c x 

5

os os2

3

c  x c x

  6.

0

os 15

3

x

c    

 

7

2sin

4

x 

 

  

 

  8.

3

sin

2

x

 

9    

0

sin 30  x sin 2x10

10  

0

tan x 20 tan 50

11.tan 3x tanx0 12.

0

tan 15

4

x

 

 

 

 

13

ot

4

c  x  

  14.3 otc  x  15.cot 4x

16

ot

3

c x 

  17.  

0

ot 20

c x 

18.cot 3x0

Bài 4: Giải phương trình sau:

a 3cos2 2x + 5cos2x + = 0 b sin23x – 4sin3x + = 0 c cot2x – 5cotx + = 0 d tan2x + (1 -

√3 )tanx - √3 = e 5cos2(x+1) + 7sin(x+1) – = 0 f tan4x – 5tan2x + = 0

g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + = 0 i sin22x – 2cos2x +

4 = j 2cos42x – 5cos22x + =

a 2sin2x – 5sinx – = 0 b cot22x +4cot2x +3 = 0 c 2cos2x +3sinx - = 0 d tan4x + 4tan2x - = 0 Bài 5: Giải phương trình sau:

g =    

0

sin x30  cos x30 

h sinx = √2 sin3x – cosx

k.sinx osc x1 0 l.    

0

3 sin x10  cos x10 2

m

sin os

3

x  c x 

   

   

   

    n. cosx sinx2

Bài 6:Giải phương trình sau:

a.sin 4x 2cos 2x0 b.8 os3 sin os6c x x c x 2 (HD: sin 2 2sin os c  ) c.tan 2x tanx0 d.2 osc 2x c os2x2

e 2Sin2x – 5SinxCosx +3 Cos2x = 0 f 3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3 g Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2 h Sin2x – 6SinxCosx + 5Cos2x = 0

Bài 7: Có số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 5?

Bài 8: 11.Một hộp chứa viên bi xanh, 10 viên bi đỏ viên bi vàng.Hỏi có cách a.Chọn viên bi bất kì?

b.Chọn viên bi, gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng?

Bài 9:Một bó hoa gồm hoa cúc, hoa ly, hoa lai ơn Hỏi có cách Chọn bơng hoa gồm hoa cúc,2 hoa ly hoa lai ơn?

Bài 10:Gieo đồng thời hai súc săc.Tính xác suất cho: a.Hai xuất mặt lẻ chấm?

b.Tích số chấm hai súc sắc nhỏ 5?

Bài 11:Gieo súc sắc hailần.Tính xác suất cho mặt sáu chấm xuất lần.

Bài 12:Một hộp chứa cầu trắng, bốn cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất cho:

a.Bốn màu b.Có qủa đen

c.Có trắng d.Có trắng

Bài 13:Một túi đựng cầu đỏ ,7 cầu xanh.chọn ngẫu nhiên đồng thời quả.Tính xác suất để lấy gồm đỏ ,1xanh?

Bài 14:.Một tổ có 10 nam nữ.Chọn ngẫu nhiên ba người.Tính xác suất cho ba người đó: a.Cả hai nam? b.Khơng có bạn nam?

c.Hai nam, nữ? d.Có người nam?

Bài 15.Tìm số hạng khơng chứa x khai triển

 



 

 

12

2 3x

x .

Bài 16:Tìm số hạng sáu khai trieån

 



 

 

11

1 x

x mà khai triển số mũ x giảm dần.

Bài 17.Tính hệ số x6trong khai triển 2 3 x19

Bài 18.Tính hệ số x7 khai triển  

11

2 3 x

CHƯƠNG III

DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN § PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Hs vận dụng phương pháp qui nạp tốn học đểchứng minh số tốn đơn giản Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Chứng minh:

 1

1

2

n n

n 

    

A Kiến thức cần nhớ

1 Phương pháp quy nạp toàn học:

Vd1:Chứng minh (n33n25 ) 3n  (n).

Kiểm tra với n1 n .

— Với n1 có (1 3.1 5.1) 33 2  mệnh đề

— Giả sử mệnh đề với n k 1 tức (k33k25 ) 3k  — Cần chứng minh

3

(k 1) 3(k 1) 5(k 1)

      

 

—Khai triển thu gọn

3 2

(k 3k 5 ) 3(k  k 3k3).

— (k33k25 ) 3k  3(k23k3) 3

3 2

(k 3k ) 3(k k 3k 3)

      

 

— (n33n25 ) 3n  (n)

Vd 2:Chứng minh (4 1) 3n  (n).

 Kiểm tra với n1 n .

— Với n1 có (4 1) 31  mệnh đề

— Giả sử mệnh đề với n k 1 tức (4 1) 3k  — Cần chứng minh (4k1 1) 3

 (4k11) (4.4 1) (4 1) 3.4 k  k  k

 (4 1) 3k  3.4 3k (4 1) 3.4

k k

   

 

 (4 1) 3n  (n)

Vd3:Chứng minh (4n15n1) 9 (n).

 Kiểm tra với n1 n .

 Giả sử mệnh đề với n k 1 tức (4k15 1) 9k  .

 Cần chứng minh

1

4k 15(k 1)

    

 

 Khai triển thu gọn

1

4k 15(k 1) (4 15k k 1) 3(4k 5)

        .

 (4k 15 1) 9k   (4k5) (4 6) k 

Vì (4 1) 3k  (theo câu trên) nên (4 1) 3k  q với q . Do

(4k5) (4 6) (3 k   q6) 3( q2) 3 .  Vì (4k5) 3 nên 3(4k5) 9 .

 (4 15n n 1) 9 (n) Bài tập:

1.Chứng minh đẳng thức sau (với n *)

a  

3 1

2

2

n n

n 

     

b  

1

1

3 27 3

n n

     

2.Chứng minh đẳng thức sau (với n *)

a.2n3 3n2n chia hết cho 6

b n33n25n chia hết cho 3

c.4n15n1 chia hết cho 9

d.n311n chia hết cho 6.

§ DÃY SỐ

 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức dãy số tăng,giảm,bị chặn * Về kỹ năng:

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Viết năm số hạng đầu dãy số un , biết un  1 n1 2 n

A Kiến thức cần nhớ: 1.Dãy số tăng, dãy số giảm:

Tăng: un1un   n *

Giảm:un1un   n *

2.Dãy số bị chặn:

-Dãy số  un đgl bị chặn tồn số M cho: un M   n *.

-Dãy số  un đgl bị chặn tồn số m cho: un m   n *.

-Dãy số đgl bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn trên, tức tồn số m, M cho:

*

n

m u m   n

Chú ý: Các dấu nêu khơng thiết xảy B.Ví dụ tập:

Vd1:Xét tính tăng, giảm dãy số un  1 2n Giải:

1 11

n

u n

  



1 11

n n

u u

n n

   

 .

1 11

n n

u u n

n n

       

  .

1

n

u n

 

dãy số giảm

Vd2:Xét tính bị chặn dãy số un  1 2n Giải:



1

0

n

 



1

2

n

   

 Dãy số un  1 2n bị chặn

Vd3:Xét tính bị chặn dãy số un n21. Giải:1n2.

 0n2 1.

 Dãy số un n21 bị chặn dưới. Bài tập:

a

2

n n u

n

 

 b.un  2n21

c

2 3

1

n

n n

u n

 

 d.

2

n n u

n

 



e

2

n n n u  

 f. n 3n

n u 

g

1

2

1

1 ;

n

n n u

u

u  u n

   

  



 h.

1

1

1

; 1

n n

n u

u

u n

u

    

 

 

 Hãy viết năm số hạng đầu dãy số trên?

2.Viết năm số hạng đầu khảo sát tính tăng giảm dãy số un sau :

a.un 101 2 n b.un 3n

c

2

n n u

n

 

d

2

n n n

n u  3.Xét tính tăng ,giảm dãy số  un :

a

3

n u

n

 

b

1

n n u

n

 



c

2

n n u

n

 

 d.  

1

n u

n n

 

4.Trong dãy số un sau, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn trên?

a.un n2 b.

1

n n u

n

 



c

1

n u

n



 d.un sinn c n os

§ CẤP SỐ CỘNG  

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức cấp số cộng * Về kỹ năng:

+Hs làm tập :cm dãy số cấp số cộng, xác định n, d, số hạng thứ n, tổng n số hạng đầu cấp số cộng

Tiến trình lên lớp: * Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Cho CSC có u1 2; u2055 Tính cơng sai d tổng 20 số hạng đầu?

A Kiến thức cần nhớ

1.Đinh nghĩa:  un : csc un1 und ;n *

PP cm  un csc: un : csc un1 un d ; d số.

2.Số hạng tổng quát: un u1n1d n2

3.Tính chất:  

1 2

2

k k k

u u

u     k

4.Tổng n số hạng đầu tiên:

 2 *

2

n

n u u

S   n 

 

1

2

2

n

n u n d

S      Ví dụ tập:

Vdụ 1:Cho dãy số  un với un  9 5n

a.Viết số hạng đầu dãy?

b.Chứng minh dãy số cho cấp số cộng Chỉ rõ u d1;

c.Tính tổng 100 số hạng Giải:

a.4;-1;-6;-11;-16

b.Xét hiệu: un1 un 5

Vậy: dãy số cho cấp số cộng, với u1 4 ;d 5

c.Áp dụng công thức:

 

   

1

100

2

2

100 2.4 100

24350

n

n u n d

S S

 

 

 



  

 

 

 

Vd2:Tìm u1 d biết

1

4

2

14

u u

S

 

 



 .

1 ( 1)

n

u u  n d.



( 1)

2

n n n d

S nu  

 u5 u14d vaø S4 4u16d.



1

3

2

u d

u d

 

 

 





1

3 u d

  

 

Vd 3: Một hội trường có 10 dãy ghế, biết dãy ghế sau nhiều dãy ghế trước 20 ghế dãy sau có 280 ghế Hỏi hội trường có ghế ?

10

10 , 20 , 280

 Tính S10.

 u10 u19d u1u10 9d100.

 S10 10(100 280) 19002 

 

Bài tập:

1.Tìm xtrong cấp số cộng 1;6;11…và 1;4;7;… a.1 11 16      x 970

b.x1  x4 x28 155

2.Trong dãy số  un sau, dãy số cấp số cộng?

a.un 3n1 b.un 2n1

c  

2 2

1 n

u  n  n

d

1

3

n n

u

u  u

  

  

3.Tìm xtừ pt:

a.2 12     x 245 biết 2;7;12;…;x cấp số cộng.

b.2x1  2x6  2x11 2x96 1010biết 1;6;11…là cấp số cộng 4.Tính số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:

a

1

4

2

14

u u S

 

 



 b.

4

10 19

u u

  

 

c

1

1

10

u u u u u

  

 

 

 d.

7

2

8 75

u u u u

 

 

 

5.Cho CSC có u1=3;

4

;

27 n

d  u 

.Xác định n tính tổng Sn.

6.Cho CSC :4;7;10;13;16 … a.Tìm số hạng thứ 12?

b.Tính tổng 15 số hạng đầu tiên?

§ CẤP SỐ NHÂN



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức cấp số nhân * Về kỹ năng:

+Hs làm tập :cm dãy số cấp số nhân xác định n, q, số hạng thứ n, tổng n số hạng đầu cấp số nhân

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Kieåm tra cũ:

Cho CSN có u12; q2 Tính cơng bội q tổng 12 số hạng đầu?

A Kiến thức cần nhớ

1.Đinh nghĩa:  un : csn un1u q nn ;  *

PP cm  un csn: 

1

: cs n n

n u

u n q

u



 

; q số 2.Số hạng tổng quát: un u q1 n1 n2

3.Tính chất: u2k uk1.uk1 k2

4.Tổng n số hạng đầu tiên:

 

 

1

1

n n

u q

S q

q



 



Ví dụ tập: Vd1:Chứng minh

1

1

2 n

n

u 



cấp số nhân tính S20.

1 32 n

n

u  



1

1

2 3

1

n n



(hằng số) 

1

1

2 n

n

u 



cấp số nhân với u1 1 , 32 q 

20 20

1

20 u q( 11) 4

S

q

 

 

 .

Vd 2:Tìm u1 q biết

5

4

15

u u

u u

 

 

 

 .

1

1 n

n

u u q 

 .

 u2 u q u1 , u q1 ,u5 u q1 4.



4

3

( 1) 15

( )

u q

u q q

  

 

 

 



1

2 u q

  





1 16

1 u q

   

  

Vd 3:Tìm u1 q biết

2

3

10 20

u u u

u u u

  

 

  

 .

Chứng minh

1

1

2 n

n

u 



cấp số nhân tính S20.

1 32 n

n



1

1

2 3

1

n n



(hằng số) 

1

1

n n

u 



cấp số nhân với u1 1 , 32 q 

20 20

1

20 u q( 11) 4

S

q

 

 

 .

Vd 4:Viết số hạng xen số

1

2 để cấp số nhân có năm số hạng

1 ;2

u  u 



4

5

1

u 16

u u q q q

u

     

 u11 ;2 u2 1 ;u3 2 ;u4 4 ;u5 8  u11 ;2 u2 1 ;u3 2 ;u4 4 ;u5 8 Bài tập:

1.Trong dãy số  un sau, dãy số cấp số nhân?

a  

2

3 n n

u   

b.un 33 1n

c

1

2

n n u

u  u

   

 

 d.

1

1

2

n n n u

u  u u

   

 

  2.Tìm số hạng cấp số nhân  un ,biết:

a.q2 ,un 96 , Sn 189

b

1 31

2 , ,

8

n n

u  u  S 

3.Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân  un ,biết:

a

5

4

15

u u u u

 

 

 

 b.

2

3

10 20

u u u u u u

  

 

  



4.Viết bốn số xen số 160 để cấp số nhân 5.Cho cấp số nhân  un có

1

2

51 102

u u u u

 

 

 



a.Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân?

b.Hỏi tổng số hạng 3069? c.Số 12288 số hạng thứ mấy?

6.Cho cấp số nhân  un có

1 ,

2

u  q a.Tính u7

b.Hỏi

7.Cho cấp số nhân  un có u1 2 ,u318.Tính tổng 12 số hạng đầu tiên?

8.Cho cấp số nhân  un có cơng bội q

a.Biết u1 2 ,u7 128.Tìm q?

b.Biết

1

;

2

q u 

Tìm u1?

c.Biết u13 ,q2.Hỏi 192 số hạng thứ mấy?

9.Tìm số hạng cấp số nhân  un có năm số hạng, biết:

a.u3 3 ;u5 48

b

4

3

12

u u u u

 

 

  

10.Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu 93, tổng năm số hạng sau 186?

11.Cho csn có u12 ;u6 64 Tính tổng 10 số hạng đầu csc đó.

§ ƠN TẬP CHƯƠNG III



Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức dãy số, cấp số cộng ,cấp số nhân * Về kỹ năng:

+Hs làm tập :

- Cm dãy số cấp số nhân xác định n, q, số hạng thứ n, tổng n số hạng đầu cấp số nhân

- Cm dãy số cấp số nhân xác định n, d, số hạng thứ n, tổng n số hạng đầu cấp số cộng

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp. * Kiểm tra cũ:

Cho CSN có u12; q3 Tính cơng bội q tổng số hạng đầu?

Các dạng tập:

1.Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số sau? a

1

n

u n

n

 

b

3 1

n n u

n

 

 c. n

n u

n

  2.Chứng minh với n *, ta có:

a.13n1chia hết cho 6.

b.3n315n chia hết cho 9.

3.Cho dãy số  un biết u12 ;un12un1 n1

Viết năm số hạng đầu dãy?

4.Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng biết: a

1

6

2 25

14

u u u u

 

 

 

 b.

1

4

5

10

u u

S

   

   5.Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân biết:

a

9

128 64

u u

  



 b.

5

1

84

2 11

u u u u

 

 

 



6.Cho dãy số  un biết un 3n.Tìm số hạng un1;u2n ;un1 ;u2 1n 7.Tìm x y, cấp số cộng 2; ;6;x y

8.Tìm y cấp số nhân 4; ; 9x 

9.Cho dãy số  un xác định công thức 1  

1

; 2

2 n n

u  u u   n n

.Hãy tính u15?

10.Cho dãy số  un xác định công thức u11;un 2 n un1 n2.Hãy tính u11?

11.Cho csc  un có u2 2001;u5 1995.Tính u10?

12.Cho csn  un có u2 2 ;u5 54.Tính tổng 16 số hạng đầu tiên?

ƠN TẬP HỌC KÌ I

Tuần: 17-18 Tiết:

Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn dãy số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn dãy số., kỹ tính tốn Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu. * Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Kiểm tra cũ: Bài tập : Kiến thức:

2

A A

2.

A B A B

2.

A B A B (A > 0)

*Biểu thức liên hợp:     2

a  b  a b a b 

a b 

là biểu thức liên hợp a b  ngược lại

VD:    

2

A B A B  A  B

I.CẤP SỐ -DÃY SỐ

Bài :Tìm số hạng đầu dãy số n 2n

n u 

 2.

1 n

n u

n

 



3

2 n

n u

n

 

 4.  

1 n

u

n n

  Bài 2:Xét tính tăng giảm dãy số

1

2 n

u n

 

2

1 n

n u

n

 



Bài 3:Trong dãy số sau dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn trên, dãy bị chặn  

1 n

u

n n

 

Bài 4:Cho csc có 15 số hạng :-1;3;7;…

Tìm cơng sai d, số hạng thứ 15 tính tổng 15 số hạng đầu Bài 5: Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng sau:

1

1

10 17

u u u u u

  

 

 

 2.

7

2 75

u u u u

 

 

 

3

2

1

1 16

u u u u u

  

 

 

 4.

1

2

2 14

u u u u u

  

 

 



5

2

3

3 14

2 17

u u

u u

 

 

 

 6.

3

12

14 129

u u S

 

 

  Bài 6:

1.Cho csc:-2;1;4;7;… tìm số hạng thứ 17

2.Cho csc có u12;u7 20 tìm d ,tổng số hạng đầu. Bài 7:CM: n311n chia hết cho với n.

II.TỔ HỢP – XÁC SUẤT: Bài 1:Cho số 1,2,3,4,5,6

1.Có số tự nhiên gồm chữ số khác (đôi khác nhau)? 2.Có số tự nhiên gồm chữ số?

3.Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 5? 4.Tính xác suất để lấy số có chữ số khác chia hết cho 5? Bài 2:Giải pt

1.C39139 3

x x

A  P 3.Ax2 2

Bài 3:CMR:

1.Cn0Cn1Cn2 Cnn 2n

2 1 

k k n

n n n n n n

C  C C  C   C   C 

3 1

k k k

n n n

C C  C

 

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I- KHỐI 11



A. ĐẠI SỐ:

1. Hàm số lượng giác:

T/ C TXĐ TGT C L CKTH ĐB - NB

y= sinx R [ -1; 1] Lẻ 2

ĐB [0 ;2 

] NB[2 

;]

y= cosx R [ -1; 1] Ch 2 ĐB [-;0] NB[0; ]

y= tanx

R\{2 k k Z, } 



  R Lẻ 

ĐB [0; 

) y= cotx R\{k k Z,  } R Lẻ  NB (0 ; ) 1.1Tìm tập xác định:

a.y =

1 osx sinx+2

c



b.y =

1 osx 1-cosx

c

c.y = Tan( x - 

) d.y = Cot x(3 12)

 

e.y=

sinx-cosx

2 os c x . f.y =

1 sin sin

x x

  . g ysin(2x2 x 3). h

 



2

3 cos

2

x y

x .

1.2.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất:

a.y = 3+ cosx b.y = cosx + c.y = 2sin(2 5)

x  

d.y = 3cos2x.

e.y = sinx .a) f y3 sinx 2. 1.3 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau :

a f x( ) sin x x cosx. b f x( ) 2tan x sin2x. 2 Phương trình lượng giác bản:

a

> 1 a 1

Sinx = a PT VN a giá trị cung ĐB.sin = a

2

x k

x k

 

  

  



  

 (k  Z)

a ko gtr cung ĐB arcsina + k2 x = - arcsina + k2

x 

 

  

 (k  Z)

Cosx = a PT VN a giá trị cung ĐB.Cos = a

2

x k

x k

 

 

  



 

 (k  Z)

a ko gtr cung ĐB arccosa + k2 x = - arccosa + k2

x 

 

 

 (k  Z)

Tanx = a a giá trị cung ĐB Tan=a x =  + k ,(k  Z)

a ko gtr cung ĐB x = arctana + k ,(k  Z) Cotx = a a giá trị cung ĐB Cot=a

x =  + k ,(k  Z) a ko gtr cung ĐB x = arccota + k ,(k  Z) Bài tập: Giải phương trình sau:

a  

0

sin 30

2

x

 

b os3c x1 0 .

c tan 2x 0 . d Cot2x =

3 . e Sinx =

2

2 

f

3.tan 3

4

x 

 

  

 

i Cos 3x = 2

5 j 2Cot2x -1 = 2

3 Pt b c nh t b c đ i v i hs l ng giác:ậ ấ ậ ố ớ ượ

Pt Dạng Cách giải

Bậc I aSinx + b = aCosx + b = atanx + b = aCotx + b = (a0)

Chuyển vế b chia vế pt cho a Giải pt lg

Bậc II at2 + bt + c = 0

(a0) t

hàm số lượng giác)

Đặt ẩn phụ, ĐK

(Đv sin cos t 1) giải pt bậc theo ẩn phụ Rồi giải ptlg

Bài tập: a 2Sin2

x

+ 3sin2

x

+ = b 3Tan2x- = c Cosx – 2Sin2x = d 4SinxCosx.Cos2x =

-1 2. e 5Cotx +1 = f 3Tan23x + Tan3x – = 0. g 3Cot25x - 2 3Cot5x + = 0. h anx - 6Cotx + 0T  k 6Cos2 x – 5Sinx – = 0.

* Phương trình dạng aSin2 x + bSinxCosx + cCos2 x = d

Cách giải: chia hai vế pt cho Cos2x (nếu a  d pt khơng có nghiệm Cosx = 0, a = d, pt có nghiệm Cosx = 0)

C n n m công th c: ầ ắ ứ

sinx

t anx cosx 

2

1

1 tan

os x

c x 

Bài tâp:

a.sin2 x 3sin cosx x2 osc 2x0 b.sin 22 x5sin cos 2x x6 os 2c x0

c.3sin2 xsin 2x c os2x0 d.sin2 x 3sin cosx x4 osc 2x0

e.2Sin2x – 5SinxCosx – Cos2x = -2 f.3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3 g.Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2 h.Sin2x – 6SinxCosx + Cos2x = -2 Phương trình dạng aSinx + bCosx = c

Cách giải: Xác định hệ số a, b, c. Tính a2b2 .

Chia vế pt cho a2b2 Nếu 2 2

&

a b

a b a b giá trị cung đặc biệt thay tương ứng cos sin vào Cịn khơng

giá trị đặc biệt đặt 2 2

os = a & b

C Sin

a b a b

  

 

 Sin(x+ ) = 2

c a b .

Giải pt lg tìm nghiệm. Giải phương trình:

a sin 3x c os3x1 b    

0

os 30 sin 30

c sinx cosx d.2sin 5x os5c x1

e sin 4xcos 4x1 f Sinx - Cosx = 3.

Các công thức cần nhớ:

Sin2x + Cos2x = Tanx.Cotx = 1

Sin2x = 2SinxCosx Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x – = – 2Sin2x Cotx =

osx Sinx

C

Sin(a + b) = SinaCosb + SinbCosa Sin(a - b) = SinaCosb - SinbCosa Cos(a + b) = CosaCosb – SinaSinb Cos(a - b) = CosaCosb + SinaSinb Tan(a + b) =

Tana Tanb TanaTanb

 

Tan(a - b) =

Tana Tanb TanaTanb

 

CosaCosb =

2[Cos(a + b) + Cos(a – b)] SinaSinsb =

-1

2[Cos(a + b) - Cos(a – b)] SinaCosb =

1

2[Sin(a + b) + Sin(a – b)] Xem lại cơng thức tổng thành tích Giải phương trình sau

a 2sinx 0 . b 3cotx 0 .

c sin(x 3) sin(3 x 1). d sin(x 3) cos(3 x1). e 2sin2x 3sinx 1 0. f sin2x cosx 1 0.

g.2sinx1 os2 c x0 h.sin 2x cosx0

k.sin 3x cosx0 l.tan 4x cotx0

m.sin cot 3x x0 n. cot2 cot 3 1

x

x

 

  

 

 

o.cot cot 2x x1 p.    

0

tan x120 osc x30 0 q.sin 6x os3c x0 r.2 osc 2x c os2x0

s.tan 2x tanx0 t.8.sin os2 os4x c x c x1

CHƯƠNG II: 1 Quy tắc đếm

* Quy tắc cộng:Công việc thực theo nhiều trừơng hợp ( ứng với trường hợp, cơng việc hồn thành)

*Quy tắc nhân:Cơng việc thực theo nhiều bước ( ứng với bước, cơng việc chưa hoàn thành)

Bài tập:

1.Từ số 1, 2, 3,4,5 lập đuọc số tự nhiên gồm chữ số?

2.Từ nhà An đến nhà Bình có đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Tồn có đường để Hỏi có bao cách tù nhà An đến nhà Toàn?

a.Các số tự nhiên có chữ số giống nhau?

b.Các số tự nhien có chữ số đơi khác nhau? 2 Hoán vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:

Định nghĩa Công thức Khác

H V Cho tập A gồm N ptử Mỗi kq Sx n ptử HV

P(n) = n! Pn = 1.2.3… n = n! C H n(A)= n Mỗi kq sx vị trí k ptử

A đgl c.hợp chập K n ptử

Akn = ! ( )!

n n k

Pn = Ak n 0! = T H n(A)= n Mỗi tập gồm k ptử A

đgl t.hợp chập K n ptử

Ckn = ! !( )!

n k n k

Ckn =Cnn –k

1

k k k

n n n

C  C C

   

Bài tập:

2.1.Hỏi có cách xếp người vào ghế xếp thành hàng dọc

2.2.Trong lớp học có 35 HS hỏi có cách chon 10 bạn để dự hội trại Đoàn Trường

2.3.Lớp học co 36 Hs chon ban, bạn làm lớp trưởng, bạn lớp phó bạn bí thư đồn Hỏi có cách chọn

2.4.Trong quán giải khác có loại kem ,6 loại nước ép , loại trà Hỏi có cách chọn a.Một loại nước uống?

b.Ba loại nước uống khác nhau? c.Hai loại nước uống khác nhau?

2.5.Một hộp chứa 10 viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng.Hỏi có cách a.Chọn viên bi bất kì?

b.Chọn viên bi, gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng?

2.6.Một bó hoa gồm hoa cúc, hoa đồng tiền, hoa thược dược Hỏi có cách Chọn bơng hoa loại bông?

2.7.Một tổ có em nam em nữ.Người ta cần chọn em tổ tham gia thi học sinh lịch trường.Yêu cầu em chọn có em nữ.Hỏi có cách chọn?

3 Nhị thức Niu – Tơn: D ng khai tri n:ạ ể

0 1

( )n n n k n k k n n

n n n n

a b C a C a b C a b C b

       (1)

Với a=b=1, 2n = Cn0Cn1 Cnn Với a= 1, b = -1,

= Cn0 Cn1 ( 1)  kCnk  ( 1)  nCnn Bài tập:

3.1.Khai triển biểu thức sau:

a.(2x – y)4 b.(y -3x)5 3.2.Tìm hệ số không chứa x khai triển:

a.(2x + 2

x )6, c.(2x +

1

x )8

3.3.Tìm số hạng thứ bảy khai triển

 



 

 

11

1 2x

x mà khai triển số mũ x

giảm dần

3.4.Tính hệ số x5trong khai triển

17

2

x

 



 

 

3.5.Tính hệ số x7 khai triển  

12

1 3 x

3.6.Tính hệ số x y5 khai triển  

13

x y

4 Phép thử biến cố:

* Phép thử ngẫu nhiên: phép thử ta ko đoán trước kết , biết tập hợp kết xảy

* Khơng gian mâu: tập hợp kết xảy phép thử đgl không gian mẫu K/h: 

* Biến cố: biến cố tập kgmẫu Bài tập:

4.1Gieo đông tiền liên tiếp lần Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định biến cố sau; a.Mặt sấp xuât lần

b.Lần đầu xuất mặt ngửa

4.2Gieo súc sắc lần Hãy mô tả không gian mẫu Xác định biến cố : a Tổng số chấm lần gieo

b.Lần đầu xuất mặt chấm c.Cả lần gieo 5 Xác su t c a bi n c :ấ ủ ế ố

P(A) = ( ) ( )

n A n  P(A): xác suất biến cố A

( )

n  : số phần tử kgm. n(A): số phần tử biến cố A

Bài tập:

5.1 Gieo ngẫu nhiên súc sắc lần Mô tả khơng gian mẫu tính xác suất: a.Mặt chấm xuất lần

b.Tổng số chấm xuất hai lần gieo c.Mặt chấm xuất lần

5.2 Từ hộp chứa cầu đen cầu trắng, lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho a.Bốn lấy màu

b.Có màu trắng

5.3 Gieo ngẫu nhiên súc sắc lần Mơ tả khơng gian mẫu tính xác suất: a.Mặt chấm xuất lần

b.Tổng số chấm xuất hai lần gieo không lớn c.Mặt chấm xuất lần

5.4.Từ hộp chứa cầu đen cầu trắng, lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho a.Ba màu đen

b.Có màu đen

5.5.Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ 9.Tính xác suất để: a.Số chọn phương?

b.Số chọn số lẻ?

c.Số chọn số nguyên tố? d.Số chọn chia hết cho 2?

5.6.Một tổ có nam nữ.Chọn ngẫu nhiên hai người.Tính xác suất cho ba người đó: a.Cả ba nam?

b.Một nam, hai nữ?

c.Có người nữ?

5.7.Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10; 15 cầu xanh đánh số từ đến 15.Lấy ngẫu nhiên quả.Tìm xác suất cho chọn :

a.Ghi số lẻ b.Màu xanh

c.Màu đỏ ghi số chẵn d.Màu xanh ghi số lẻ

5.8.Một súc sắc đồng chất cân đối gieo hai lần.Tính xác suất cho a.Tổng số chấm hai lần gieo lớn

b.Tổng số chấm hai lần gieo c.Số chấm lần gieo sau gấp ba lần đầu

b.Được ba K

5.10.Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi, từ hộp gồm 13 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ viên bi vàng.Tính xác suất

a.Cả viên bi màu vàng?

b.Chọn viên bi, gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng? CHƯƠNG III:

1 Phương pháp quy nạp tồn học: Kiểm tra với n1 n .

Giả sử mệnh đề với n k 1 Chứng minh mệnh đề với n k 1

2.Dãy số:

2.1.Dãy số tăng, dãy số giảm: Tăng: un1un   n *

Giảm:un1un   n *

2.2.Dãy số bị chặn:

-Dãy số  un đgl bị chặn tồn số M cho: un M   n *.

-Dãy số  un đgl bị chặn tồn số m cho: un m   n *.

-Dãy số đgl bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn trên, tức tồn số m, M cho:

*

n

m u m   n

Chú ý: Các dấu nêu không thiết xảy 3.Cấp số cộng:

3.1.Đinh nghĩa:  un : csc un1und ;n *

PP cm  un csc: un : csc un1 un d ; d số.

3.2.Số hạng tổng quát: un u1n1d n2

3.3.Tính chất:  

1 2

2

k k k

u u

u     k

3.4.Tổng n số hạng đầu tiên:

 

 

1 *

2

n

n u u

S   n   1

2

n

n u n d

S      4.Cấp số nhân:

4.1.Đinh nghĩa:  un : csn un1 u q nn ;  *

PP cm  un csn: 

1

: cs n n

n u

u n q

u



 

; q số 4.2.Số hạng tổng quát: un u q1 n1 n2

4.3.Tính chất: u2k uk1.uk1 k2

4.4.Tổng n số hạng đầu tiên:

 

 

1

1

n n

u q

S q

q



 

 Bài tập:

1.Viết năm số hạng đầu dãy số sau: a

1

n n u 

b

3

n n u

n

 

c  2

n n

u   n

d ; : ; n n chan n u n n le n          2.Cho  

1 n

n u

n

  

.Tìm u u u7; 12; 2n;u2 1n

3.Trong dãy số sau dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn

a.un 2n1 b.  

1 n u n n  

c.un 3.22 1n d.

1

n n

u   

 

4.Trong dãy số  un đây, dãy số cấp số cộng.Khi cho biết số hạng đầu cơng

sai nó?

a.un 3n b.

3

n n u   5.Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết

a 19 35 u u      b. 15 2 12 60 1170 u u u u          c 7 75 u u u u       d.

2

1

10 17

u u u u u         6.Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số cộng đây, biết:

a 10 50 u u      b. u u      7.Trong cấp số nhân đây, tính số hạng un ra

a

1

1; ; ; ?

3 u 

b.2; 4;8;  u11?

8.Tìm cơng bội q cấp số nhân hữu hạn, biết số hạng đầu u12, số hạng cuối u1164

9.Trong cấp số nhân đây, tính số hạng đầu cơng bội a 72 144 u u u u        b.

1

1

65 325

u u u u u         c 96 192 u u      d. 90 240 u u u u       

10.Một cấp số nhân có 5số hạng , cơng bội

4số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng 24.Tìm cấp số nhân

a.Có số hạng mà số hạng đầu 3, số hạng cuối 243

b.Có số hạng mà số hạng đầu 243, số hạng cuối

12.Một cấp số nhân có số hạng Tìm số hạng cuối tổng số hạng , biết u12 ;q3.

13.Trong cấp số nhân có số hạng, biết u15 ;u9 1280.Tính cơng bội q tổng số

hạng?

14.CMR:  n *, ta có đẳng thức:

   

2 2 2

1

6

n n n

n  

    

15.CMR: n ; un 13n1 chia hết cho 6.

16.CMR:  n *, ta có đẳng thức:

 2    

2 2 2

2

3

n n n

n  

    

17.Tìm xtừ pt:

a.2 12     x 245 biết 2;7;12;…;x cấp số cộng. b

2x1  2x6  2x11 2x961010

biết 1;6;11…là cấp số cộng TRẮC NGHIỆM:

1.Lấy ba từ 52 Số cách lấy

A 52! B 3! C 22100 D 132600

Năm người xếp thành hàng dọc Số cách xếp

A 3125 B 25 C 120 D Một kết

khác

Có đường thẳng song song cắt đường thẳng song song khác Số hình bình hành tạo

ra laø

A 90 B 15 C 360 D 4!6!

Hàm số

cot y x 

  có tập xác định

A

\ ,

3

D  k k 

 

 

B x k ,k

 

   

C

5

\ ,

6

D   k k 

 

 

D

5 ,

6

x  k k 

Tập xác định hàm số

2

3 sin

2

x y

x x

   

   

 

  laø

A D   ( ; 3) (1 ;  ) B D ( ; 1)

A

2

6 ( )

5 2

6

x k

k

x k

  

 

 



 

  





B

2

6 ( )

7 2

6

x k

k

x k

  

 

 



 

  





C

2

6 ( )

7 2

6

x k

k

x k

  

 

 



 

  





D

4

arcsin

3 ( )

4

arcsin

3

x k

k

x k



 



 



 

   





Hàm số sau hàm số lẻ

A sin(3x2 2 )x B sin( 3 x22 )x C sin(3x3 )x D sin(3x3 2) Phương trình cos(x60 )  0 có nghiệm laø

A

15 360

( )

75 360

x k

k

x k

  

 

 



 

  

B

15

( )

105

x k

k

x k

 

  

 

 





 

C

15 360

( )

105 360

x k

k

x k

  

 

 



 

  

D

15

( )

75

x k

k

x k

 

  

 

 





 

Số số tự nhiên có sáu chữ số khác lập từ số 1, 2, 3, ,

A 60480 B 720 C 84 D Một kết

khác

10 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y2 cosx1 A ymax 1 ; ymin 1 B ymax 3 ; ymin 1

C ymax 3 ; ymin 1 D ymax 1 ; ymin 1

11 Hàm số sau hàm số chẵn

A cos(3x3 2) B cos( 3 x22 )x C cos(3x3 )x D cos(3x2 2 )x

12 Phương trình cos3x 0 có nghiệm

A x k2 ,3 k

 

   

B

3 360 ,

4

x  k  k

C

3 2 ,

4

x  k  k 

D x 120 ,k



   

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn dãy số * Về kỹ năng:

Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu. * Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

* Kiểm tra cũ: Kiến thức:

2

A A

2.

A B A B

2.

A B A B (A > 0)

*Biểu thức liên hợp: a2 b2 a b a b    

a b 

là biểu thức liên hợp a b  ngược lại

VD:    

2

A B A B  A  B

Ví dụ:

2

4

lim

n n n

  

Giải:

2 2

2

1

4

lim lim

3

3 2

n n n n

n

n

   

 

 

2

2

3

lim

1

n n

n

  

Giải:

2 2 2

2

2

1 1

3

3

lim lim lim

1

1 2 2

n n

n n n n n n

n n

n

   

 

  

  

3  

2

lim n 3n6

Giải:  

2

2

3 lim n 3n limn

n n

 

        

 

4

2

lim 3n  4n1

Giải:

2

lim 3n 4n limn

n n

     

Hoạt động :Tính giới hạn dãy số sau

2

lim n  n

2

2

lim 2n  4n6

3

2

lim 6n 

4  

3

lim n 2n

5  

5

lim 3n 4n 2n

6  

3

lim 4 n 2n 2

7  

2

lim n  n 3n

8  

2

lim 3n  n

9  

2

lim n  4 n

10  

2

lim n  n n

11  

2

lim 2n  4n 6

12

2

13

2

lim 7n  n

14  

2

lim n  n n

15  

2

lim 4n  3 2n

16  

2

lim 9n  n 3n

17

2

lim n  4n1

18  

2

lim n  3 n

Bài tập tự luyện tập:

2

lim n  5n1

2

2

lim n  4n9

3

2 lim n 4

4  

4

lim n  6n

5  

5

lim 3n 4n

6  

3

lim 4 n n 7

7  

2

lim n  n n

8  

2

lim n 5n3

9  

2

lim 4n  4 n

10

2

lim 3n 2n1

11  

2

lim n 4n n

12  

2

lim n  1 n

 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử mẫu cho bậc cao + Dạng đa thức: lấy bậc cao làm nhân tử chung

 Dặn dò : Bài tập nhà:

a) lim(n36n2 n1) b)

2

lim( )

3

n n

  

c)  

2

lim n  n

d)  

2

lim n 3n n

e)

3

1 lim

2

n n

n n

 

  f)  

2

lim n  3 n

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ (TT) 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết công thức tính giới hạn dãy số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng công thức tính giới hạn dãy số, rèn kỹ tính toán Chuẩn bị:

* Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

 Kiểm tra cũ:  

lim n 3n n

Kiến thức:   lim n

q q



 Ví dụ:

1

5

3 lim

3

n n

n

  



Giải:

5 4 5

5

5

3

1

lim lim

3

3 1

n n n n

n

n

  

  

 

 

2

2

4

lim

3

n n

n

 



Giải:

2 2

2

4

lim lim

3

3 2

n n n n

n

n

 

 

 

 

3  

3

lim 8 n 3n 1

Giải:  

3

3

3 lim 8n 3n limn

n n

 

        

 

4  

2

lim 3n   n 3n

Giải:

 

2

1 2

lim 3n n 3n lim n 3n limn 3

n n n n

   

             

   

   

5

3

lim

2.4

n n

n n

 



Giải:

3

1

3 4

lim lim

2.4 2

2

n n

n n

n

n n

   

 

   

      

 

  

    

Hoạt động :Tính giới hạn dãy số sau

3

3

lim

3

n n

n n

 

 2.  

3

lim 3n 5n

3  

2

lim 4n 3n2n

4  

3

lim n 2n 

5  

5

lim 3n 2n

6  

4

lim n 2n 2

7  

2

lim 4n  n3n

8  

2

lim n  n3n

9  

2

lim n  4 n

10

5 lim

3

n

n n



  11.

2 lim

4

n n

n n



 12.

2

13

2 2

lim

n n n

 

14  

2

lim 4n  1 2n

15  

2 lim n 3n

Bài tập tự luyện tập:

2

lim n  5n1

2

2

lim n  4n9

3

2 lim n 4

4  

4

lim n  6n

5  

5

lim 3n 4n

6  

3

lim 4 n n 7

7  

2

lim n  n n

8  

2

lim n 5n3

9  

2

lim 4n  4 n

10

2

lim 3n 2n1

11  

2

lim n 4n n

12  

2

lim n  1 n

ĐỀ THAM KHẢO: Câu 1:

1

2

lim 4n 6n1

2

2

4

lim

3

n n n

n

 

 3.  

2

lim n  4 n

4  

4

lim 5n  7n

5

5 lim

4

n

n n



  6.

3 lim

6

n n

n n

  Câu2: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '.CM:    

' ' '

/ /

BDA B D C

Câu 3: Cho tứ diện ABCD , gọi G, K trọng tâm ABC ACD, a CM:DA DB DC   3DG b.CM:BA BC BD  3BK

   

Câu 4:Tính tổng

1 1

1

2

S      Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử mẫu cho bậc cao + Dạng đa thức: lấy bậc cao làm nhân tử chung

 Dặn dò : Bài tập nhà:

a) lim(n35n2 4n1) b) lim(6n2 n1)

c)  

2

lim n  n3n

d)  

2

lim n  2 n

e)   

3

2

2

lim

2

n n n

n n n

  

 

f) 3

(2 1)(2 ) lim

7

n n

n n

 

 

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn dãy số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng công thức tính giới hạn dãy số, rèn kỹ tính tốn Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu. * Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

 Kiểm tra cũ: 1.  

lim 5n  n n

5.3 2.5 lim

3

n n

n n

 Kiến thức:

+cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1

u S

q

 

+

1 lim n

q q

  Ví dụ:

1

3

3

lim

n n

n

 



Giải:

3 2

2

3

5

3

3

lim lim

3

n n n

n

n n

 

 

 

 

2

2

4

lim

3

n n

n

 



Giải:

2 12

4

lim lim

3

3 2

n n n n

n

n

 

 

 

 

3  

3

lim 8 n 3n 1

Giải:  

3

3

3 lim 8n 3n limn

n n

 

        

 

4  

2

lim 3n   n 3n

Giải:

 

2

1 2

lim 3n n 3n lim n 3n limn 3

n n n n

   

             

   

   

5

3

lim

2.4

n n

n n

 



Giải:

3

1

3 4

lim lim

2.4 2

2

n n

n n

n

n n

   

 

   

      

 

  

    

Bài tập1:Tính giới hạn dãy số sau

3

8 lim

3

n n

n n

 

  2.  

3

lim n 4n 

3  

2

lim 4n 3n2n

4  

5

lim n 6n 

5  

5

lim 3 n  n

6  

4

lim n 2n 2

7  

2

lim n  n3

8  

2

lim n  5n4n

9  

2

lim 9n  4 n

10

3 lim

3

n

n n n



  11.

4.2 lim

5.4

n n

n n



 12.

2

13

2

3 lim

2

n n n n

 

 14.  

2

lim n 2n n

15

2

3

lim

n n

  Bài tập 2:

1

2

lim n 2n5

2  

2

lim n  4n 9 2n

3

2

lim 9n 4n

4  

4

lim n  6n

5  

5

lim 3 n 4n

6  

5

lim 4 n 3n 7

7  

2

lim n  4 n

8  

2

lim 4n 5n3n

9  

2

lim 4n  4 n

10

2

lim 3n  n4

11  

2

lim n 8n n

12  

2

lim n 2n n ĐỀ THAM KHẢO:

Câu 1:

2

lim 4n 6n1

2

2

5

lim

3

n n n n

 

 3.  

2

lim n  1 3n

4

4

3

lim

n n

n n

  

 5.

3 lim

4

n

n n n



  6.

4 2.3 lim

5 3.2

n n

n n

 

Câu2: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' '.Gọi h trung điểm A B' ' CM:   '/ / '

CB AHC

Câu 3: Cho tứ diện ABCD , gọi M trọng tâm ABC CM:          GD GA GD GB GD GC O                                      

Câu 4:Tính tổng

1 1

1

3 27

S    

 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử mẫu cho bậc cao + Dạng đa thức: lấy bậc cao làm nhân tử chung

 Dặn dò : Bài tập nhà:

a) lim(n32n2 n1) b) lim(n25n1)

c)  

2

lim n 3n n

d)  

2

lim n 3n n

e)

3

2

2

lim

2

n n n

n n

  

  f) 3

(2 1)(1 ) lim

7

n n

n n

 

 

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn dãy số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn dãy số,rèn kỹ tính tốn Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu. * Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở. Tiến trình lên lớp:

 Kiểm tra cũ: 1.

2

4

lim

2

n n

n

 

 2.

3 lim

3 4.2

n n

n n

 Kiến thức:

+công thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn

1 u S q   + lim n

q q   Ví dụ: 2 lim n n n    Giải:

2 2 4

2

3

3

lim lim

3

3 2

n n n n n

n n         2 lim n n n n   Giải:

2 2 2

2

1

3

3

lim lim lim

2 3

3 3

n

n n n n

n n n n

n

 



  

  

3  

2

lim n  n n 1

Giải:

 2 

2

2

1

1

lim lim lim

2

1

1 x 1 1

n n

n n n

n n n

n n                

4  

2

lim n n n3n

Giải:  

2

lim n n n 3n limn

n n              2 lim n n         Giải:

3 3

2

2 2

2 2

lim lim lim

1

2

n n n n

n n n n n                 

Bài tập:Tính giới hạn dãy số sau

1

3

3

lim n n n n    2. 2

5

lim n n n n       

  3.

4

3

6

lim

3

n n n n          3 lim n n n n       

  5.

3

6

lim n n n       

  6.

6

4

5

lim n n n n          lim n n      

  8.

2 3 lim 12 n n n       

  9.

3

4

lim n n n n          

10  

4

lim 3n  5n6

11  

2

lim n  3 n

12  

4

lim 5 n 5n 6

13  

2

lim 4n 3n2n

14  

3

lim 3n  n 2

15  

2 lim n 1 n

1  

lim 3n 2n

2  

2

lim 9n  3n2n

3  

2

lim n  3 n

4 lim n n n n      

  5.

4

2

lim n n n       

  6.

3

2

lim n n n n         

3

lim n n        

  8.

3 lim n n n       

  9.

4 4 lim n n n            10 2.3 lim 3.2 n n n n   11.

2 5 6

lim n n n         

  12.

3 4 lim n n n n              

13  

2

lim 4n 3n n

 

3

lim 3n  3n 2

15  

lim n  5 n

ĐỀ THAM KHẢO: Câu 1: lim n n n  

 2.  

4

lim n  3n2

3  

2

lim n  n n

4  

2

lim n  4 n

5 3 lim n n n         

  6.

3 lim n n n n  

Câu 2:Tính tổng

1

4

2

S        Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử mẫu cho bậc cao + Dạng đa thức: lấy bậc cao làm nhân tử chung

 Dặn dò :Bài tập nhà

1  

5

lim 3n 5n 6

2  

2 lim 5n 3n 8

3  

3

lim 8n 4n 2

4 lim n n n n       

  5.

3.5 6.2 lim n n n n      

  6.

2

5

lim n n n n           

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết công thức tính giới hạn dãy số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn dãy số,rèn kỹ tính toán Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

*Kiểm tra cũ: 1.  

lim 3n 6n 4

  lim 3n n 3n

*Bài mới: Ví dụ:

   2

3

2

Giải:

   2   

3 3

2

2 3

lim lim lim

4

3 4

n n n

n n n n n

n n n

  

     

  

  

2

2

lim

4

n n

n



  

   

 

  

 

Giải:

2 3

lim lim

4

n n n n

n

 

     

          

   

       

   

3  

3

lim 3 n 2n

Giải:

 

2

2

lim 3n 2n limn

n n

 

        

 

4

 

   2

lim lim 4

n n

n n    

     

   

 

Giải:  

2

lim n n n 3n limn

n n

 

      

 

5  

2

lim n  2 3n 1

Giải:  

2

2

2

lim n 3n limn

n n

 

        

 

 

6.Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn:

1

1 1 1

1, , , , , , ,

2 16

n

 

   

 

Giải:

1

1

1 1

2

u S

q

  

 

7.Tính tổng

1

2

2

S      

Giải: Dãy số vô hạn

1 2, 2,1, , ,

2

 

cấp số nhân với công bội

2

q Do q 1 nên dãy số cấp số mhân lùi vô hạn

1

1 2

1

u S

q

  

 



8.Tìm dạng khai triển cấp số nhân lùi vơ hạn  vn ,biết tổng 32, v2 8.

Giải: Ta có: 32

u S

q

 

 (1)

Mặt khác: 1

8

v v q v

q

   

Thay (2) vào (1):   8 32

1 1

1

4

2

v q

S

q q q q

q q q

   

  

     

Cho nên:

2

2 2 5

1

2

n

n n n

v v q 

 

  

Vậy dạng khai triển dãy số là:

1

16,8, 4, 2,1, , , 2n Bài tập1:Tính giới hạn dãy số sau

1  

2 lim n n 2n

2  

2

lim 3 n  6n

3  

2 lim 2n n5n

4  

2 lim 4n 16n n

5.lim 3.5 

n n



6

3 2 7 lim n n n            2 lim n n n n        

  8.

3 4 lim n n n      

  9.

4

3

3

lim n n n n         

10 3

3 lim

2

n

n n

  

 

 

  11.

2 lim n n n            

  12.

3 2 6 lim n n n          

13  

5

lim 3n 5n 6

14  

2 lim 5n 3n 8

15  

2

lim 8n  4n 2

Bài tập 2:

1 lim n n n n       

  2.

3.5 6.2 lim n n n n      

  3.

2

5

lim n n n n           

4  

2

lim n 3n 5 n

5  

2

lim 3n n 8

6 3 lim n n n           lim n n n         

  8.

5 lim n n n       

  9.

4 lim n n n n            10 6.3 lim 7.2 n n n n   11. lim

n n n n

   

 

  

  12.

3 lim n n n n              

ĐỀ THAM KHẢO: Câu 1:1. lim n n n n  

 2.  

4

lim 7n  3n 2

3  

2

lim 2n  n

 

lim 4n  1 2n

5

2 3 5

lim

7

n n n

n

   

 

  

  6.

3 7.4 lim n n n n  

Câu 2: Tính tổng

1 1

1

2

S     

Câu 3:Cho hình hộp ABCD EFGH .Chứng minh AB AD AE   AG

a)Chứng minh (ADF)//(BCE)

b)Gọi I,J,K trung điểm cạnh AB,CD,EF.Chứng minh (DIK)//(JBE)  Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử mẫu cho bậc cao + Dạng đa thức: lấy bậc cao làm nhân tử chung

 Dặn dò : Bài tập nhà

1  

2

lim 3 n  6n

2  

2 lim 2n n 5n

3  

2 lim 4n 16n n

4

5 lim

3.5

n n

n n

  

 



  5.

3 2 7 lim

3

n n

n

   

 

  

  6.

2

2

3

lim

3

n n

n n

   

 

 

 

7

3

3 lim

2

n n n

  

 



  8.

4

3

3

lim

n n

n n

   

 



  9. 3

3 lim

2

n

n n

  

 

 

 

10

2

2

4

4 lim

1

n n

n

 

  

 

 



 

  11.

2 5.3 lim

4

n n

n n



  

 



  12.

3 2 6 lim

3

n n

n

  

 

  

 

13.Tính tổng :    

2

1 0,9 0,9 0,9 n

S       

14.Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng cơng bội

q

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn hàm số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn hàm số,rèn kỹ tính tốn Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra cũ:

1  

2

lim

x x  x 2

2 lim

3 x

x x

 



 

 



 

Kiến thức:1.Cho hàm số  

a

f x  x bx c

có hai nghiệm x x1,

   1  2

f x a x x x x

1  

2

lim

x  x  

Giải:    

2

2

lim 5

x  x

      

2 4 2 lim x x x   

Giải:lim 1x4  x 3

 2  2

4

lim & 4

x x  x   x Nên : 4 2

1 lim x x x     

3 2 lim x x x   

Giải: 2

2 1

lim lim 4 x x x x x       

Bài tập1:Tính giới hạn dãy số sau lim x x x       

  2.

2 lim x x x x   5 lim x x x x     

4 lim x x x x        

  5.

2 lim x x x    6. lim x x x   

7 2

2 lim x x x       

  8.

2 lim x x x x    9. lim x x x x    

10 3 lim x x x x        

  11.

2 lim x x x x   12 5 lim x x x x      13 lim x x x       

  14.

2 16 lim x x x   

 15. 2

2 lim x x x    Bài tập 2:

Câu 1:

1  

3

lim n  4n 3

2

2

2

lim n n n       

  3.  

2

lim n 3n4n

4 4.5 lim n n n n      

  5.

2 4 3

lim n n n         

  6.

4

3

lim n n n n          

7

1 lim x x x       

  8.

2 2 lim x x x x    9. lim x x x x    

10 4 lim x x x x        

  11.

2 lim x x x x   12 lim x x x x     

Câu 2: Tính tổng

1

4

2

S        Củng cố :

+ Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hàm số  Dặn dò :

Bài tập nhà:

a)

4 lim

3

x x

x

  

 b)

2

1 lim

1

x x

x

  

c)

2

2

lim

1

x

x x x



 

 d)

1

2 lim

2

x

x x

 

  

e)

2

2 lim

2

x

x x

x x



 

  f)

2 lim

7

x

x x

   

g)

3

(1 ) lim

x

x x



 

h)

2

5 lim

2

x x

x

 

  

i)

1 lim

3

x

x x





  j)

2

3

lim

4

x

x x

x x

 

 

  

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ (TT) 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn hàm số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn hàm số, kỹ tính tốn Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra cũ:

1  

2

lim

x  x  x

2

1

2

lim

1 x

x x

x



   

 



 

Kiến thức:

; :

; :

A dk A A A

A dk A

 

 

 



 

lim f x limg x 

Dấu g x 

   

lim f x

g x

0 L Tuỳ ý

-

-L<0 +

+ Ví dụ: lim x x x     Giải:

1

lim

2

x x x         lim x x x     Giải:      

2

3

3 x x x x              Nên: lim x x x      

3  

3

lim

x  x x

 

Giải:  

3

2

2

lim lim

x  x x x x x x

           3 lim x x x x               Giải:

3 2 3

3

3

2

1

2

lim lim

5

3 3

x x

x x x x

x x                      

Bài tập1:Tính giới hạn dãy số sau 1 lim x x x        

  2.

2 lim x x x    

 3.

5 lim x x x     2 lim x x x x      

  5.

3 lim x x x          

  6.

8 lim x x x    

3

lim x x x x        

  8.

4 4 lim x x x x       9. 3 lim x x x x x      10 3 lim x x x        

  11.

4 lim x x x      12. 3 lim x x x x x      13 3

2

lim x x x x x          

  14.  

4

lim

x  x  x  15  

2

lim

x  x  x

16 1 lim x x x        

  17.

2

1

2

lim x x x      18. 2 lim x x x    19 lim x x x x      

  20.

2 lim x x x          

  21.

1  

lim

x   x  x x  

2 lim

x   x  x x  

2

lim

x  x  x x

4 2 lim x x x x           

  5.

2 lim x x x x           

  6.

2

2

lim x x x              

2

lim x x x            

  8.

3 lim x x x    

 9.

5 lim x x x x    

Câu 2: Tính tổng

1 1

5

5 25 125

S      

 Củng cố :

+ Tính giới hạn trái ,phải điểm cần xét dấu mẫu số  Dặn dò :

Bài tập nhà:

a)

5 lim x x x  

 b) 2

1

lim

1

x x x

        c)

( 1)(1 ) lim x x x x x     

  d)

2

2 15 12

lim x x x x x      

e)  

2

lim

x  x  x x  f)

1

lim

1

x x x

        . g) 2

2 15 12

lim x x x x x    

  h).

4

lim ( 3)

x   x x x

  

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ (TT) 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cơng thức tính giới hạn hàm số * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn hàm số, rèn kỹ tính tốn Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra cũ:

1  

2

lim

x  x  x

2

1

2

lim x x x x           lim x x x  

 4

3 lim x x x     Kiến thức:

; :

; :

A dk A A A

A dk A

        

lim f x limg x  Dấu g x   

 

lim f x

g x

0 L Tuỳ ý

L>0 + +

-L<0 +- + -Ví dụ: 2 lim x x x x x      Giải:       2

1 1

1

2 3

lim lim lim

1

1

2 2 1

2

x x x

x x

x x x

x x x x x

                      2 lim x x x     Giải:     

2 2

2

2

lim lim lim

2

x x x

x x x x x x                 3

2

lim x x x x x                Giải:

3 2 3

3

3

3

2

2

lim lim

1

1 1

x x

x x x x

x x x x                        

2 4 1

lim

2

x

x x x

x                Giải:

2 2

2

1

1

4

lim lim

2 3

1 1

1 4

1

lim lim

3

2 2

x x

x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x x x

x x                                           1 lim 1

x x x

 



 



 

Giải: 0  

1 1

lim lim lim

1 1

x x x

x

x x x x x

                    

5  

2

lim

x   x x x   Giải:      2 2

4

lim lim

4

1

lim lim lim

4

1

4 4 2 4 2 4

x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x x x x

x x                                     

1 lim x x x        

  2.

2 lim x x x    

 3.

5 lim x x x     2 lim x x x x      

  5.

3 lim x x x          

  6.

8 lim x x x    

3

lim x x x x        

  8.

4 4 lim x x x x       9. 3 lim x x x x x      10 3 lim x x x        

  11.

4 lim x x x      12. 3 lim x x x x x      13 3

2

lim x x x x x          

  14.  

4

lim

x  x  x  15  

2

lim

x  x  x

Bài tập 2:

1  

2

lim

x   x  x x 2.  

2 lim

x   x  x x 3.  

2

lim

x  x  x x

4 2 lim x x x x           

  5.

2 lim x x x x           

  6.

2

2

lim x x x              

2

lim x x x            

  8.

3 lim x x x    

 9.

5 lim x x x x    

Bài tập 3:Cho hàm số

3

1

( 1)

( ) 1

2 ( 1)

x

f x x x

mx x          

 Với giá trị m f x( ) có giới hạn x1 ? Tìm giới hạn này.

Câu 2: Tính tổng

1 1

5

5 25 125

S      

 Củng cố :

+ Tính giới hạn trái ,phải điểm cần xét dấu mẫu số  Dặn dò :

Bài tập nhà:

a)  

2

lim

x  x x x

  

b)

1

lim

1

x x x

        . c) 2

2 15 12

lim x x x x x    

  d)

4

lim ( 3)

x   x  x  x

e)  

2

lim

x  x x x

  

f)

1

lim

1

x x x

        . g) 2

2 15 12

lim x x x x x    

  h)

2

3

4

lim

5

 

  

n n

n n n

k)

3 lim x x x     l)

 3

0 1 lim x x x    m) 2

2 15 12

lim x x x x x    

  n)

q)

1 lim

3

x

x x





  r)

3

1 lim

9

x

x x x

 

 



s) 2

1

lim

1

x x x

 



 



  t)

  2

4

1 lim

9

x

x x

x x

 

 

 

§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 

Tuần: Tiết: Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết cách chứng minh hàm số liên tục + Ôn tập kiến thức chương

* Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng cơng thức tính giới hạn hàm số, giới hạn dãy số ,xét tính liên tục hàm số,rèn luyện kỹ tính tốn

Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu. * Học sinh: Chuẩn bị tập. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra cũ:

Xét tính liên tục hàm số  

3 2 1

f x x  x

x1

Kiến thức: Hàm số yf x  liên tục x0

   

   

0

0

0 lim

lim x x

x x

f x tinhduoc f x f x f x

 

    



 

 Ví dụ:

1.Xét tính liên tục hàm số:

3

,

1

2 ,

x

khi x y x

khi x

 

 

 

 

Giải: TXĐ D chứa x = -1

Ta có :    

3

1 ; lim 1

1

x x

f f

x

  

    



Vậy hàm số không liên tục x = -1

2.Xét tính liên tục hàm số:

2 2 3

,

3

5 ,

x x

khi x

y x

khi x

  

 

 

 

 điểm x = -3

Giải: TXĐ D chứa x = 3 Ta có :  

   

   

2

3 3

1

2

3 ; lim lim lim

3

x x x

x x

x x

f x f

x x

  

 

 

     

 

Vậy hàm số không liên tục x =

3.Xét tính liên tục hàm số:

2

3

,

1

4 ,

x x

khi x

y x

khi x

  

 

 

 

 tập xác định nó? Giải: TXĐ D

Nếu x1  

3

1

x x

f x

x

 



 hàm hữu tỷ nên liên tục khoảng  ,1 & 1,   Nếu x1 ta có:

 

 

   

2

1 1

1

3

3

1 ;lim lim lim

1

x x x

x x

x x

f x f

x x

  

 

   

   

     

 

Vậy hàm số liên tục x =

Kết luận: hàm số cho liên tục tập xác định

4.Tìm giá trị tham số m để hàm số:

2 2

,

2

,

x x

khi x

y x

m x

  

 

 

 

 liên tục x = 2?

Giải: TXĐ D Ta có:

       

2

2 2

1

2

2 ; lim lim lim

2

x x x

x x

x x

f m x

x x

  

 

 

    

 

Để hàm số liên tục x = f  2 limx2 f x  m

   

Kết luận:m = hàm số cho liên tục x =

5.Chứng minh pt sau có hai nghiệm: 2x310x 0

Giải: Xét hàm số f x 2x310x

Hàm số hàm đa thức nên liên tục . Và: f 1 1;f  0 7 ; f  3 17

Ta có: f 1   f 0 hàm số có nghiệm thuộckhoảng 1,0

   0

f f 

hàm số có nghiệm thuộckhoảng 0,3 Mà: 1,0  0,3 nên pt cho có hai nghiệm

Bài tập 1: Xét tính liên tục hàm số sau:  

3

x f x

x

 

3   ; 2; x x x

f x x

x       

 x0 4.

  ; 1 2; x x x

f x x

x         

 x1

5   4 ; 2 4; x x f x x

x        

 x2 6.

  4 ; 2 2; x x f x x

x x          

 x2

7   9 ; 3 2; x x f x x

x        

 x3 8.

 

2 4 5

;

1

6;

x x

x

f x x

x         

 x1

9   ; 2 2;

x

x f x x

x x         

 x2 10.

 

2

; 3 3;

x x f x x

x x         

 x3

11

  2

1 1;

3

9 1

;

3

x x f x x x x           



1 x 12   ; 1

2 1;

x x

x

f x x

x x          

 x1

Bài tập 2: Tính giới hạn hàm số: lim x x x        

  2. 2

2 lim x x x  

 3.

3 lim x x x    

2 9

lim x x x x         

  5.

 2

0

2 1

lim x x x   

 2

0

1

lim x x x   

 2

0 lim x x x   

 2

0 lim x x x    3 lim x x x x x      10 lim x x x        

  11.

4 lim x x x     12. 3 lim x x x x x      13 lim x x x x x          

  14.  

4

lim

x  x x  15  

2

lim

x  x  x

16  

2

lim

x   x  x x 17  

2

lim

x   x  x 18  

2

lim

x  x  x x

19 2 lim x x x x           

  20.

2 lim x x x x           

  21.

2

2

lim x x x               22

2

lim x x x            

  23.

4 lim x x x    

 24.

1 lim x x x x    

Bài tập 3: Tính giới hạn dãy số sau

1  

5

lim 3n  n 

2  

2

lim 9n  n n

3  

2 lim n  1 n

4 5.3 lim n n n n      

  5.

3

3

2

lim n n n       

  6.

3

2

lim n n n n         

3

lim n n         

  8.

2 lim n n n       

  9.

10

6.4 lim

5 3.2

n n

n n



 11.

2 3 6

lim

3

n n

n

   

 

  

  12.

4

3

lim

n n

n n

  

 



 

ĐỀ KIỂM TRA TIẾT ( THAM KHẢO) Câu 1: Tính giới hạn sau

1

3 lim

3 x

x x



 



 

 



  2.  

2

lim

x  x  x x 3.  

4

lim

x  x  x 

4

4 5.3 lim

4

n n

n n

  

 



  5.

3

2 lim

3

n n n n

   

 



  6.

5

lim

3

n

n n

  

 

 

 

Câu 2: Tính tổng sau

1 1

1

4 16

S      Câu 3: Xét tính liên tục hàm số sau:

1

 

2 3 2

; 1

2 1;

x x

x

f x x

x x

  

 

 

  

 x1 2.

 

2 4

;

2

2;

x

x f x x

x x

 

  

 

  

 x2

 Củng cố :

+ Tính giới hạn trái ,phải điểm cần xét dấu mẫu số  Dặn dò :

Bài tập nhà:Xét tính liên tục

2

2 neáu

( ) 2

neáu

x x

f x x x

x

 

 

 

 