- Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm theo số điểm quy định dành cho từng phần (hay từng câu) trong hướng dẫn chấm này. - Điểm bài thi là tổng điểm [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2007 – 2008
Thời gian làm 120 phút Ngày thi: 25/7/2007
Câu 1: (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: A = 5+√5 1+√5 b) Chứng minh đẳng thức: √a
√a −√b− √b √a+√b−
2b
a −b=1 với a 0, b a b Câu 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình: x23x108 0 . Câu 3: (2,0 điểm).
Một ca nơ chạy sơng, xi dịng 120 km ngược dòng 120 km, thời gian hết 11 Hãy tìm vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy km/giờ
Câu 4: (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC có đường cao AH, M điểm cạnh BC (M không trùng với B M không trùng với C) Gọi P, Q theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC, O trung điểm AM Chứng minh rằng:
a) Các điểm A, P, M, H, Q nằm đường trịn b) Tứ giác OPHQ hình gì?
c) Xác định vị trí M cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ Câu 5: (1,0 điểm).
Cho a, b số dương Chứng minh rằng: 2a2+3b2
2a3+3b3+
2b2+3a2
2b3+3a3≤ a+b
-Hết -Họ tên thí sinh: SBD :
(2)-Câu 1: (2,0 điểm).
a) Ta có A = 5+√5 1+√5 =
√5(√5+1)
1+√5 (0,5
điểm).
= √5 (0,5 điểm).
b) Với a 0, b a b ta có: √a
√a −√b− √b √a+√b−
2b a −b=
√a(√a+√b)−√b(√a −√b)−2b
a −b (0,25 điểm). = a+√ab−√ab+b −2b
a −b (0,25 điểm).
= a− ba− b (0,25 điểm).
= (đpcm) (0,25 điểm).
Câu 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình: x23x108 0 ( a = 1, b = 3, c = –108 )
= 32 – (–108) = + 432 = 441 (0,25 điểm). 21
441
(0,25 điểm).
Vậy phương trình có hai nghiệm:
9 21 x (0,5 điểm). 12 21
2
x (0,5 điểm). Chú ý:
- Nếu học sinh khơng tính tính nghiệm cho điểm tối đa. - Đối với nghiệm x1, học sinh sinh viết
21 x
kết x1= chưa tính hoặc tính sai phần cho 0,25 điểm Tương tự nghiệm x2, học sinh sinh mới viết
21 x
kết x2 12 chưa tính tính sai cho 0,25 điểm phần này.
Câu 3: (2,0 điểm).
Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x km/giờ (0,25 điểm).
(điều kiện x >2) (0,25 điểm).
Thời gian ca nơ lúc xi dịng là: 120
x+2 (0,25 điểm). Thời gian ca nơ lúc ngược dịng là: 120
x −2 (0,25 điểm). Theo ta có phương trình:
120 x+2 +
120
x −2 = 11 (1) (0,25
điểm).
Biến đổi phương trình (1) phương trình: x2 x
11 240 44 0 (2) (0,25 điểm). Giải phương trình (2) nghiệm x1 = 22, x2 = −112 (0,25 điểm). Đối chiếu với điều kiện ban đầu kết luận:
Vận tốc ca nô nước yên lặng 22 km/giờ ( 0,25 điểm). Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện x > đặt điều kiện sai trừ điểm phần và
(3)Câu 4: (3,5 điểm).
A
B M H C
P Q
O
0 60
- Hình vẽ (0,5 điểm).
(Chỉ cần vẽ tam giác ABC, đường cao AH, xác định điểm M, điểm O vẽ được MP AB, MQ AC) Tùy theo u cầu tính nhau, tính vng góc đoạn thẳng mà cho điểm tối đa 0,5 cho 0,25.
- Nếu hình vẽ khơng phù hợp với làm khơng có hình vẽ: khơng chấm a) Ta có: APM900 (vì MP AB) (1) (0,25 điểm).
AQM900
(vì MQ AC) (2) (0,25 điểm). AHM 900
(vì AH đường cao tam giác ABC) (3) (0,25 điểm). Từ (1), (2) (3) suy điểm P, Q, H nhìn đoạn AM góc vng nên điểm A, P, H, M, Q nằm đường trịn đường kính AM (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh viết kết APM900, AQM900, AHM900 mà khơng giải thích lý do cho điểm tối đa, giải thích sai ứng với góc khơng cho điểm phần đó. b) Do Δ AHM vng H có HO trung tuyến nên OH = AM
2 (4)
Tương tự ta có OQ = AM2 (5)
Từ (4) (5) suy OH = OQ ⇒ Δ HOQ cân (6) (0,25
điểm).
Ta lại có HOQ2HAQ (vì góc HAQ góc nội tiếp HOQ góc tâm chắn cung
HQ đường trịn đường kính AM) (7)
Xét tam giác vng AHC có C600 (do Δ ABC đều) ⇒ HAQ
30
(8)
Từ (7) (8) suy HOQ600 (9)
Vậy từ (6) (9) ta suy HOQ tam giác (10) (0,25 điểm).
Tương tự POH tam giác (11) (0,25 điểm).
Từ (10) (11) ta thấy tứ giác OPHQ có OP = PH = HQ = QO = OH
Do tứ giác OPHQ hình thoi (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh viết kết (4), (5) suy (6) mà không giải thích lý thì vẫn cho điểm tối đa giải thích sai khơng cho điểm phần này.
Tương tự, học sinh viết kết (7), (8) suy (9) mà khơng giải thích lý do cho điểm tối đa giải thích sai khơng cho điểm phần này.
Nếu học sinh viết kết (10) (11) mà khơng giải thích cho kết 0,25 điểm quy định hướng dẫn chấm, giải thích sai phần khơng cho điểm phần đó.
c) Tứ giác OPHQ hình thoi nên: OH PQ PQ = 2PI = 2.PO√3
2 = PO.√3 = AM √3
2
(4)Do đó: PQ có độ dài nhỏ ⇔ AM có độ dài nhỏ (0,25 điểm). Mặt khác ta có AM AH nên AM có độ dài nhỏ ⇔ M H
Vậy M H đoạn PQ có độ dài nhỏ (0,25 điểm). Câu 5: (1,0 điểm).
Đặt ab=t Do a > 0, b > nên t > Khi bất đẳng thức cho trở thành:
2t2
+3 2t3+3+
2+3t2
2+3t3≤
t+1 (0,25 điểm).
⇔ (t + 1)(12t5 + 13t3 + 13t2 + 12) 4(6t6 + 13t3 + 6) ⇔ 12(t6 – t5 – t + 1) – 13t2(t2 – 2t + 1) 0
⇔ 12(t – 1)2(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2(t – 1)2 0
⇔ (t – 1)2[12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2] 0 (*) (0,25 điểm). Mà:
12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 = 12t4 + 12t(t – 1)2 + 23t2 + 12 > 0, ∀ t > 0. Do (*) với t >
Vậy bất đẳng thức cho với a, b dương (0,25 điểm). Dấu đẳng thức xảy t = ⇔ a = b (0,25 điểm).
-Hết -Ghi chú:
- Mọi cách giải khác, mà phù hợp với chương trình cho điểm theo số điểm quy định dành cho phần (hay câu) hướng dẫn chấm này.