4 đề Toán TS vào 10 Bình Định (có ĐA)

Chứng minh rằng: a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?. Khi chuyên chở thì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại củ

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH V ÀO LỚP 10 THPT

Đề chính thức

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm)

a/ Rút gọn biểu thức A =5 5



 b/ Chứng minh đẳng thức:

1

a b



Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0

Bài 3: (2 điểm)

Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian

cả đi và về hết 11 giờ Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM Chứng minh rằng:

a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?

c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất

Bài 5: (1 điểm)

Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:

GỢI Ý

Bài 1: (2 điểm)

a/ A =5 5



 =

5





 b/ Với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠ b, ta có

a b



 

Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0

Ta có: = 32

– 4.(–108) = 441 > 0

Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 3 21 9

2

  

; x2 = 3 21 12

2

    Bài 3: (2 điểm)

Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2)

Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là: 120

x2(giờ) Thời gian của ca nô lúc ngước dòng là 120

x2( giờ)

Ta có pt: 120

x2+

120

x2= 11

 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)

 11x2

– 240x – 44 = 0

Có’ = 1202

+ 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0  '= 122

Do đó x1 = 2

11



(loại); x2 = 22 (thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h

Bài 4: (3,5 điểm)

a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng n ằm trên một đường tròn

Ta có: APM= AHM=AQM= 900

Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường

tròn đường kính AM

b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?

Vì O là trung điểm AM nên O là tâm đường tròn

đường kính AM

 OP = OH = OQ

Mặt khác, xét đường tròn đường kính AM:



POH=HOQ= 600

(=2.PAH)

A

P

Q O

OPH vàOHQ là các tam giác đều bằng nhau

 OP = PH = HQ = OQ Do đó tứ giác OPHQ là hình thoi

c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ

Ta có: PQ = OQ 3 = OM 3 = AM 3

2

PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM vuông góc BC M trùng H

Vậy M trùng H thì PQ có độ dài nhỏ nhất

Bài 5: (1 điểm)

Đặt a t

b  Do a > 0, b > 0 nên t > 0

Khi đó BĐT

 (2t2

+ 3)(2 + 3t3)(t + 1) + (2 + 3t2)(2t3 + 3)(t + 1) ≤ 4(2t3 + 3)(2 + 3t3)

 (t + 1)(12t5

+ 13t3 + 13t2 + 12) ≤ 4 (6t6 + 13t3 + 6)

 12 (t6

– t5– t + 1) – 13t2(t2– 12t + 1)  0

 12 (t – 1)2

(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 (t – 1)2 0

 (t – 1)2

[12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2)] 0 (2)

Ta có: 12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2) = 12t4 + 12t(t – 1)2 + 23t2 + 12 > 0,  t > 0

Do đó BĐT (2) đúng với mọi t > 0

Suy ra BĐT (1) đúng với mọi a, b > 0

Dấu “=” xảy ra  t = 1 a = b

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH V ÀO LỚP 10 THPT

Đề chính thức

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

a/ So sánh 25 9 và 25 9

b/ Tính giá trị biểu thức: 1 1

Bài 2: (1,5 điểm)

Giải phương trình: 2x2 + 3x – 2 = 0

Bài 3: (2,0 điểm)

Theo kế hoạch, một đội xe vận tải cần chở 24 tấn hàng đến một đại điểm qui

định Khi chuyên chở thì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn

lại của đội phải chở thêm 1 tấn hàng Tính số xe của đội lúc đầu

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa cung BC 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R

2/ M là điểm di động trên cung nhỏ AC, (M khác A và C) Đường thằng AM cắt

đường thằng BC tại điểm D Chứng minh rằng:

a/ Tích AM.AD không đổi

b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho –1 < x < 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = –4(x2– x + 1) + 32x – 1

GỢI Ý

Bài 1: (2,0 điểm)

a/ 25 9 = 16 = 4 > 25 9= 5 – 3 = 2

4

     

Bài 2: (1,5 điểm) 2x2 + 3x – 2 = 0

Ta có  = 32

– 4.2.(–2) = 25 > 0

Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 3 5 1

  

; x2 = 3 5 2

2.2

    Bài 3: (2,0 điểm)

Gọi x (xe) là số xe của đội lúc đầu ( x N, x > 2)

Số xe khi chuyên chở là x – 2 (xe)

Mỗi xe lúc đầu phải chở: 24

x (tấn), mỗi xe lúc chuyên chở phải chở

24

x2(tấn)

Ta có phương trình: 24

x2–

24

x = 1

Giải phương trình ta được x1 = – 6 (loại); x2 = 8 (nhận)

Vậy lúc đầu đội có 8 xe

Bài 4: (3,5 điểm)

1/ Tính diện tích tam giác ABC:

Vì A là điểm chính giữa cung BC nên AO⊥BC

SABC = 1

2BC.AO =

1

22R.R = R

2

(đvdt) 2/

a/ Tích AM.AD không đổi

Ta có ADC 1

2

 (sđAB – sđMC) =1

2(sđ



AC– sđMC) = 1

2sđ



AM = ACM Hay ADC  ACM; và CAD chung

NênACD AMC

Suy ra: AC AD

AM  AC Hay AM.AD = AC2 = (R 2)2 = 2R2 (không đổi)

b/ C/m tâm đường tròn ngoại  MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếpMCD

Ta có: CED2.CMD (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung CDS)

CMD B 45 (cùng bù với AMC)

Suy ra CED= 900

Mà EC = ED (bán kính đư ờng tròn ngoại tiếpMCD)

Do đó DEC vuông cân tại E

ACO45 nên ACE= 900

Nên CE⊥AC

Mà AC cố định nên CE cố định

Hay tâm đường tròn ngoại tiếpMCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định

E D C

B

A

O

M

Bài 5: (1,0 điểm)

Ta có y = –4(x2 – x + 1) + 32x – 1 = –(4x2– 4x + 4) + 32x – 1

= –(4x2 –4x + 1) + 32x – 1– 3

= –(2x – 1)2 + 32x – 1– 3

Đặt t =2x – 1 ta có: y = –t2

+ 3t– 3 = –(t – 3

2)

2 – 3

4≤ –

3 4 Dấu “=” xảy ra  t = 3

2  2x – 1 = 3

2

 x = 5

4 (loại vì không thỏa mãn điều kiện –1 < x < 1) ; hoặc x =

1 4

 (thỏa mãn)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH V ÀO LỚP 10 THPT

Đề chính thức

Môn thi: Toán Ngày thi: 02/ 07/ 2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

1 2(x + 1) = 4 – x

2 x2– 3x + 2 = 0

Bài 2: (2,0 điểm)

1 Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm

A(2; 5) và B(1;4)

2 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

a/ Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

b/ Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

3



Bài 3: (2,0 điểm)

Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn Sau đó 75 phút, m ột ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ Hai xe gặp nhau tại Ph ù Cát Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC n ội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC

1 Chứng minh tam giác ABD cân

2 Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đ ường tròn (O) tại E Kéo dài AE

(về phía E) đoạn EF sao cho EF = AE Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng

3 Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đ ường

tròn (O)

Bài 5: (1,0 điểm)

Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk = ( 2 + 1)k + ( 2  1)k

Chứng minh rằng: Sm+n + Sm n = Sm.Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH V ÀO LỚP 10 THPT

Tóm tắt lời giải môn Toán Ngày thi: 02/ 07/ 2009

Bài 1: (2,0 điểm)

1) 2(x + 1) = 4 – x

2x + 2 = 4 - x 3x = 2

x = 2

3 2) x2– 3x + 2 = 0

Ta có a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0

Suy ra x1= 1 và x2 =c

a = 2 Bài 2: (2,0 điểm)

1.Ta có a, b là nghiệm của hệ phương trình

5 = -2a + b  -3a = 9  a = -3  a = -3 -4 = a + b -4 = a + b -4 = a + b b = - 1 Vậy hàm số cần tìm là y = -3x -1

2 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

a) Để hàm số luôn nghịch biến thì 2m – 1 < 0 m <1

2 b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

3

 Ta phải có

0 = (2m – 1).(-2

3 ) + m + 2  m = 8 Bài 3: (2,0 điểm)

Quãng đường từ Hoài Ân đi Phù Cát dài : 100 - 30 = 70 (km)

Gọi x(km/h) là vận tốc xe máy ĐK : x > 0

Vận tốc ô tô là x + 20 (km/h)

Thời gian xe máy đi đến Phù Cát : 70

x (h) Thời gian ô tô đi đến Phù Cát : 30

x+20 (h)

Vì xe máy đi trước ô tô 75 phút = 5

4 (h) nên ta có phương trình : 70

x

-30 x+20 =

5 4 Giải phương trình trên ta được x1 = -60 (loại) ; x2 = 40(thích hợp)

Vậy vận tốc xe máy là 40(km/h) , vận tốc của ô tô là 40 + 20 = 60(km/h)

Bài 4 : a) Chứng minh ABD cân

XétABD có BCDA (Do ACB = 900

: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ) Mặt khác: CA = CD (gt) BC vừa l à đường cao vừa là trung tuyến nênABD cân tại B

2 1

3 4

E

D

F

A C

b)Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.

Ta có tứ giác ACBE có ba góc vuông n ên là hình chữ nhật

do đó CBE = 900

Hay 

2

B +

3

B = 900 (1)

ABD cân tại B nên có 

1

B = 

2

B (2) Tương tựABF cân tại B nên có 

3

B = 

4

B (3)

Từ (1);(2);(3) Ta có DBF = 180 0

Do đó ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng

c)Chứng minh rằng đường tròn đi qua

ba điểm A, D, F tiếp xúc với đ ường tròn (O).

Từ chứng minh trên ta có BA = BD = BF do đó đư ờng tròn qua ba

điểm A,D,F nhận B làm tâm và AB làm bán kính

Vì OB = AB - OA > 0 Nên đường tròn đi qua a điểm A, D, F tiếp

xúc trong với đường tròn (O) tại A

Bài 5: (1,0 điểm)

Với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

Ta có Sm Sn= ( 2 + 1)m + ( 2 - 1)m ( 2 + 1)n + ( 2 - 1)n

= ( 2 + 1)m.( 2 + 1)n+ ( 2 + 1)m.( 2 - 1)n + ( 2 - 1)m.( 2 + 1)n + ( 2 - 1)m( 2

- 1)n

= ( 2+1)m+n+( 2-1)m+n+( 2 + 1)n.( 2 - 1)n( 2 + 1)m-n +( 2 - 1)n.( 2 + 1)n( 2 -1)m-n

= ( 2+1)m+n+( 2-1)m+n+1.( 2 + 1)m-n + 1.( 2- 1)m-n

= Sm+n + Sm- n

Vậy Sm+n + Sm- n = Sm.Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH V ÀO LỚP 10 THPT

Đề chính thức

Môn thi: Toán Ngày thi: 01/ 07/ 2010 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

-Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) 3(x – 1) = 2 + x b) x2 + 5x – 6 = 0

Bài 2: (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2– x + 1 – m = 0 ( m là tham số )

Tìm điều kiện của m để phương đã cho có nghiệm

b) Xác định các hệ số a, b biết rằng hệ ph ương trình ax 2y 2

bx ay 4





có nghiệm  2; 2

Bài 3: (2,5 điểm) Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn h àng Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi số xe đ ược điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau

Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đ ường tròn tâm O

Kẻ các đường cao BB’ và CC’ (B’ Ỵ cạnh AC, C’ Ỵ cạnh AB) Đ ường thẳng B’C’ cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C’, B’, M)

a) Chứng minh tứ giác BC’B’C l à tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AM = AN

c) AM2 = AC’.AB

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax2+ bx + c = 0

vô nghiệm Chứng minh rằng: a b c 3

b a

  



GỢI Ý

Bài 1: (1,5 điểm)

a) 3(x – 1) = 2 + x  3x – 3 = 2 + x  2x = 5 x = 5

2 b) x2 + 5x – 6 = 0 (x1 = 1; x2 = – 6)

Bài 2: (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2– x + 1 – m = 0 ( m là tham số )

Ta có: = (–1)2– 4(1 – m) = 4m – 3

Để pt có nghiệm thì  0 4m – 3 0 m 3

4

b) Hệ phương trình ax 2y 2

bx ay 4



 có nghiệm  2; 2 nên ta có a 2 2 2 2

b 2 a 2 4







Giải hệ pt theo ẩn a và b tìm được a = 22; b = 22

Bài 3: (2,5 điểm)

Gọi x (xe) là số xe được điều đến để chở hàng (x: nguyên, x > 2)

Số xe thực chở hàng là x – 2 ( xe)

Khối lượng hàng chở ỡ mỗi xe lúc đầu là 90

x (tấn) Khối lượng hàng chở ỡ mỗi xe thực chở là 90

x2 (tấn)

Ta có phương trình: 90 90

x 2 x

1 2

 2.90x – 2.90(x – 2) = x(x – 2)

 x2– 2x – 360 = 0

 x1 = 20 (nhận); x2 = -18 (loại)

Vậy số xe được điều đến chở hàng là 20 xe

Bài 4: (3,0 điểm)

a/ Chứng minh tứ giác BC’B’C

Ta có:   0

BC 'CBB 'C90

Suy ra tứ giác BC’B’C nội tiếp đ ường tròn đường kính BC

b/ Chứng minh AM = AN

Ta có: AC 'M= 1

2(sđ



AM+ sđNB)

Mà tứ giác BC’B’C nội tiếp n ên AC 'M  B 'CBACB= 1

2(sđ



AN+ sđNB)

Hay 1

2(sđ



AM+ sđNB) = 1

2(sđ



AN+ sđNB).

Do đó: AM AN AM = AN.

c/ Chứng minh AM2 = AC’.AB

XétANC’ và ABN có: ANC ' ABN ( do AM AN) và NAB chung

AB  AN Hay AN2 = AB.AC’

Mà AM = AN nên AM2 = AB.AC’

A

B'

N

M

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax2+ bx + c = 0 vô nghiệm Chứng minh rằng: a b c 3

b a

  



- Vì đa thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c không có nghiệm (gt) nên f(x) cùng dấu với hệ số a của nó

- Mà a > 0 (gt) nên f(x) > 0 (v ới mọi xℝ)

- Suy ra: f(-2) > 0  4a-2b + c > 0 a + b + c -3(b-a) > 0

 a + b + c > 3(b -a) đpcm (chia 2 vế cho số dương b – a)