Sau khi häc xong vÒ phÐp chia ngoµi viÖc rÌn luyÖn c¸c kÜ n¨ng tÝnh to¸n thµnh th¹o phÐp chia gi¸o viªn cÇn ph¶i më réng kiÕn thøc liªn quan ®Õn phÐp chia nh phÐp ®ång d, mèi liªn hÖ n[r]
(1)Chuyên đề 1
So s¸nh hai l thõa
A Mơc tiªu.
- Khi häc kiÕn thøc vỊ l thõa víi sè mị tù nhiªn từ loại tập mà em thờng gặp so sánh hai luỹ thừa
- Giỏo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức so sánh hai luỹ thừa - Từ học sinh vận dụng linh hoạt vào giải tập
B Ni dung chuyn t.
I Kiến thức bản.
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa so sánh hai luỹ thừa số hc cïng sè mị
+ NÕu hai l thõa có số (lớn 1) luỹu thừa có số mũ lớn lớn
+ NÕu hai luü thõa cã cïng sè mò (>0) luỹ thừa có số lớn lín h¬n
2 Ngồi hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân
(a<b a.c<b.c với c>0)
Ví dụ: So sánh 3210 1615, số lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các số 32 16 khác nhng luỹ thừa lên ta tìm cách đa 3210 1615 luỹ thừa số 2.
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
V× 250 < 260 suy 3210 < 1615. II. áp dụng làm tập.
Bài 1: So sánh số sau, số lớn hơn? a) 2711 818 b) 6255 1257
c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n N* )
Hớng dẫn:
a) Đa số b) Đa số c) Đa cïng sè mị 12 d) §a vỊ cïng sè mị n
Bài 2: So sánh số sau, số lớn hơn? a) 523 6.522
b) 7.213 vµ 216
c) 2115 vµ 275.498
Híng dÉn:
a) Đa hai số dạng tích có thừa số giống 522.
b) Đa hai số dạng tích có thừa số giống 213.
c) §a hai sè vỊ d¹ng mét tÝch l thõa số
Bài 3: So sánh số sau, số lớn a) 19920 vµ 200315.
b) 339 vµ 1121.
Híng dÉn :
a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540.
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 = 260.545
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
Bài4: So sánh hiệu,hiệu lớn hơn? 72 45-7244và 72 44-7243.
Nếu m>n am>an (a>1).
(2)Híng dÉn:
7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
7244-7244=7244(72-1)=7244.71.
Bài5:Tìm x N biÕt:
a, 16x<1284
b, 5x.5x+1.5x+2 100 0:218
Híng dÉn:
a, Đa 2vế số
⇒ l thõa nhá h¬n ⇒ sè mị nhá h¬n
Từ tìm x
b, Đa 2vế số x Bài6:Cho S=1+2+22+23+ +29.
HÃy so sánh S víi 5.28.
Híng dÉn: 2S=2+22+23+24+ +210.
2S-S=210-1(210=22.28=4.28<5.28).
Bài7: Gọi m số có 9chữ số mà cách ghi chữ số HÃy so sánh m với 10.98.
Hớng dẫn:Có cách chọn chữ số hàng trăm triệu Có cách chọn chữ số hàng chơc triƯu ⇒ m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99.
Mµ 99 = 9.98 < 10.98.
VËy: m < 10.98.
Bµi8: H·y viÕt sè lín nhÊt cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện chữ số dùng lần chỉ1 lần
Hng dn:Vit tt đợc bao nhiêu: +Trờng hợp khơng có luỹ thừa +Có dùng luỹ thừa
+Xét luỹ thừa có:1chữ số 2chữ số Hãy so sánh số
Sè lớn 321.
Bài9: So sánh a) 3131 vµ 1739 b)
221 vµ
535
Híng dÉn: a) 3131<3231=2155; 1739>1639 = 2156.
b) So s¸nh 221 víi 535
Chuyên đề 2:
Ch÷ sè tËn cïng cña mét tÝch,mét luü thõa
I.Đặt vấn đề.
- Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận nó.Chẳng hạn, so số muốn biết có trúng giải cuối hay không ta cần so chữ số cuối cùng.Trong tốn học,khi xét số có chia hết cho 2;4;8 chia hết cho 5;25;125 hay không ta cần xét 1,2,3 chữ số tận số
- Trang bị cho học sinh kiến thức tìm chữ số tận tích, luü thõa
- Học sinh nắm vững kiến thức để áp dụng giải tập có liên quan
II Nội dung cần truyền đạt.
I.Kiến thức
1.Tìm chữ số tận tích - Tích số lẻ số lẻ
Đặc biệt tích số lẻ có tận với số lẻ có chữ số tận
- Tích số chẵn với số tự nhiên số chẵn Đặc biệt, tích số chẵn có tận với số tự nhiên có chữ số tận
(3)a,Tìm chữ số tận
-Các số có tận 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) tận cung ; ; ;
- Các số có tận ; ; nâng lên luỹ thừa đợc có số tận
- Các số có tận ; 7; nâng lên luỹ thừa đợc số có tận
b Tìm hai chữ số tận
- Các số có tận 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa ( kh¸c ) cịng tËn cïng b»ng 01 ; 25 ; 76
c Tìm ba chữ số tận trở lên
- Các số có tận 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa ( khác 0) tận 001 ; 376 ; 625
- Sè cã ch÷ số tận 0625 nâng lên luỹ thừa ( kh¸c 0) cịng tËn cïng b»ng 0625
Một số phơng tận b»ng ; ; ; II ¸p dơng lµm bµi tËp
Bµi1 : Chøng tá r»ng c¸c tỉng sau chia hÕt cho 10 a) 175 + 244 - 1321
b) 51n + 47102
Híng dÉn: Chøng tá ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng b»ng Bµi2 : Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n :
a) 74n - chia hÕt cho 5.
b) 34n+1 + chia hÕt cho 5.
c) 24n+1 + chia hÕt cho 5.
d) 24n+2 + chia hÕt cho 5.
e) 92n+1 + chia hÕt cho 10.
Híng dÉn : Chøng tá tỉng a) , b) , c), d) cã ch÷ sè tËn Chứng tỏ tổng e) có chữ số tận
Baì4: Tìm chữ số tận sô sau:
a) 2345 b) 5796
Híng dÉn:
56 là số lẻ có dạng 2n + (n N*)
67 số chẵn có dạng 2n ( n N*)
Bài5 : Tìm hai chữ số tận cïng cña 99
a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 16101
Hớng dẫn : đa dạng (an)m , an có hai chữ số tận 01 76
Bài 6: Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số ?
* Hớng dẫn : Dùng P2 để loại trừ.
- Nếu tích thừa số lẻ liên tiếp trở lên có thừa số có chữ số tận tích phải có tận , trái đề ,vậy thừa số tích nhỏ
- Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận tận , trái đề
- Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận hoặc trái đề
Vậy tích có thừa số ví dụ: ( ) ( ) ( ) =
Bµi 7: TÝch A = 2.22 23 210x 52 54 56 .5 14 tận chữ số
(4)Híng dÉn: TÝch cđa thõa sè vµ thõa sè cã tËn cïng lµ chữ số Bài 8: Cho S = + 31 +32+ 33 + + 330.
Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phơng Hớng dẫn: 2S = 3S - S =331 -1 =328 33 -1.
= ( 34 )7 27 -1 = 27 -1 = 6.
⇒ 2S = ⇒ S =
Sè phơng tận đpcm
Bài 9: Trong số tự nhiên từ đến 10 000, có chữ số tận mà viết đợc dới dạng 8m +5n (m,n N*)?
Híng dÉn: 5n cã tËn lµ víi n N*.
⇒ 8m cã tËn cïng lµ ⇒ m = 4k (k N*).
V× 85 > 10 000 ⇒ m = 4.
⇒ số phải đếm có dạng 84 + 5n với n = , , , , có s.
Bài10: Có số tự nhiên n thoả mÃn:
n2 = 20072007 2007kh«ng?
Híng dÉn: n2 = 20072007 2006.
n2 số phơng có tËn cïng lµ ⋮ 2.
⇒ n2 ⋮ Mµ 20072007 2006 không chia hết cho ( 06
kh«ng chia hÕt cho 4)
VËy kh«ng có số tự nhiên Bài 11: Tìm chữ sè tËn cïng cña sè: A = 51994.
HíngdÉn: 54 = 0625 tËn cïng lµ 0625
55 = 3125 tËn cïng lµ 3125
56 tËn cïng lµ 5625
57 tËn cïng lµ 8125
58 tËn cïng lµ 0625
59 tËn cïng lµ 3125
510 tËn cïng lµ 5625
511 tËn cïng lµ 8125
512 tËn cïng 0625
Chu kì tợng lặp lại
Suy 54m tËn cïng lµ 0625 ⇒ 54m+2 tận cùnglà 5625
Mà 1994 có dạng 4m+2 ⇒ 51994 tËn cïng lµ 5625
Bài 12: Chứng minh chữ số tận số tự nhiên n n5 nh
nhau
Hớng dẫn: Cách 1: Xét chữ sè tËn cïng cđa n ⇒ ch÷ sè tËn cïng tơng ứng n5.
Cách2: Đa chøng minh ( n5 - n ) ⋮ 10
Biến đổi n5 - n = n.(n-1).(n +1).(n2+1).
Bài tập giải tơng tự tập trên: Bài 13:Tìm chữ sè cuèi cïng cña sè:
a) A = 99
b) B = 23
Bài14: Tìm hai chữ tận số : a) M = 2999
b) N = 3999
Bµi 15: Cho sè tù nhiªn n Chøng minh r»ng :
(5)b) NÕu n tËn cïng chữ số lẻ khác n4 tận b»ng NÕu n
(6)Chuyên đễ 3
Ngun lí điriclê tốn chia hết. A Đặt vấn đề:
Sau học xong phép chia việc rèn luyện kĩ tính tốn thành thạo phép chia giáo viên cần phải mở rộng kiến thức liên quan đến phép chia nh phép đồng d, mối liên hệ nguyên lí điriclê toán chia hết giúp học sinh rèn khả t sáng tạo để làm đợc tập nâng cao
B.Nội dung cần truyền đạt
B Kiến thức bản.
Nếu nhốt a thỏ vào b lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) th× Ýt nhÊt còng cã mét lång nhèt tõ q+1 thá trë lªn
* Chú ý cho học sinh: Khi giải tốn vận dụng ngun lí điriclê cần suy nghĩ để làm xuất " thỏ" "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhng trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ tốn học thơng thờng
VÝ dơ: Cho số tự nhiên Chứng minh cã thĨ chän sè mµ hiƯu cđa chóng chia hÕt cho
Phân tích: Coi số thỏ Chín thỏ đợc nhốt lồng ? Ta biết chia số cho số d trong8 số:0 ; ; ; ; ; ; ; Có số tự nhiên chia cho mà có số d nên theo ngun lí điriclê có số chia cho có số d Hiệu số chia ht cho
Trình bày lời giải:
Khi chia số tự nhiên cho th× sè d r chØ cã thĨ lÊy giá trị là:0 ; ; ; ; ; ; ; mà có số tự nhiên chia cho mà có số d nên theo nguyên lí điriclê th× Ýt nhÊt cịng cã sè chia cho cã cïng sè d.HiƯu sè nµy chia hÕt cho
§a cho häc sinh nhËn xÐt n + sè tù nhiªn , bao giê cịng cã thĨ chän hai sè mµ hiƯu cđa chóng chia hÕt cho n ( n N* ).
C.Bµi tập áp dụng:
Bài 1:Chứng minh 11 số tự nhiên có Ýt nhÊt hai sè cã ch÷ sè tËn cïng gièng
Híng dÉn:
C¸ch 1: XÐt phÐp chia cho 10
Cã 11 sè chia cho 10 cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng sè d ⇒ hiƯu hai sè nµy chia hÕt cho 10 Hay hiƯu hai sè cã ch÷ sè tËn cïng hai số có chữ số tận cïng gièng
Cách 2: Có 11 số mà số tự nhiên có chữ số tận 10 số là: ; ; ; ; ; ; ; ; ;
đpcm
Bài 2: Chứng minh tồn bội 13 gồm toàn chữ sè Híng dÉn: XÐt d·y sè gåm 14 sè h¹ng:
; 22 ; 222 ; 2222 ; ; 22 2⏟ ❑ 14 ch÷ sè
Cã 14 sè xÐt , phÐp chia cho 13 → cã hiÖu hai sè chia hÕt cho 13 Mµ hiƯu hai sè ( sè lín trõ sè nhá ) cã d¹ng:
22 2000 = 22 10n.
⇒ 22 10n ⋮ 13 mµ ( 10n , 13 ) =1.
⇒ 22 13 ( đpcm ) Bài 3: Cho d·y sè : 10 ; 102 ; 103 ; ;1020.
Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè chia cho 19 d Híng dÉn:
D·y sè cã 20 sè, xÐt phÐp chia cho 19 ⇒ cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng sè d ⇒ hiÖu hai sè chia hÕt cho 19 Mà hiệu hai số có dạng:
10m -10n = 10n ( 10m-n -1 ).
(7)⇒ 10m-n -1 ⋮ 19.
Hay 10k chia 19 d 1( < k < 20 ).
Bµi 4: cho số lẻ Chứng minh tồn hai số cã tỉng hc hiƯu chia hÕt cho
Híng dÉn:
Mét sè lỴ chia cho số d sè ; ; ; Ta chia sè d nµy lµm nhãm ( hai lång )
Nhãm d hc d Nhãm d hc d
Cã ba sè lỴ ( ba "thá" ) mµ chØ cã hai nhãm sè d ( hai "lồng" ) nên tồn hai
số thuộc nhóm đpcm
Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12
Híng dÉn: Mét sè nguyªn tè lín hơ chia cho 12 số d có thĨ lµ mét sè ; ; ; 11 chia thµnh nhãm: nhãm d hc d 11; nhãm d hc d
⇒ ®pcm
Bài 6: Chứng minh ba số tự nhiên ln chọn đợc hai số có tổng chia hết cho
Hớng dẫn: Có lồng chẵn - lẻ Và có ba thỏ ba số
Bài 7: Cho bảy số tự nhiên Chứng minh ta ln chọn đợc số có tổng chia hết cho
Hớng dẫn: Gọi số a ❑1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 , a
❑7 .
Theo tập ta chọn đợc số có tổng chia hết cho Chẳng hạn a ❑1 + a ❑2 = 2k ❑1 Còn số lại chọn đợc hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a ❑3 + a ❑4 = 2k ❑2 Còn ba số , lại chọn đợc số, chẳng hạn chia hết
cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3 Xét ba số k1, k2,k3 ta chọn đợc s chia ht cho
2 chẳng hạn k1+k2=2m nh vËy:
2k1+2k2 = 4m
Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hÕt cho
Bài 8: Chứng minh số tự nhiên chọn đợc ba số có tổng chia hết cho
Híng dÉn: Bất kỳ số tự nhiên có ba d¹ng 3k, 3k+1, 3k+2 ( kN)
Trêng hợp 1: Có số dạng Tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho
Trờng hợp 2: Có số thuộc dạng suy dạng có số Tổng số dạng có số Tổng số dạng chia hết cho
Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ Chứng minh ln chọn đợc số có tổng chia hết cho
Híng dÉn: Mét sè lỴ chia hÕt cho số d Tức số lẻ có dạng 4k+1 hc 4k+2
Nếu có bốn số thuộc dạng tổng số chia hết cho Nếu khơng nh dạng có số, ta chọn số dạng số dạng tổng số chia hết cho
Bài 10: Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống bàn mặt nhìn thấy cúng tìm đợc hay nhiều mặt để tổng số chia hết cho
Hớng dẫn: Gọi số mặt a1, a2, a3, a4, a5
XÐt tæng: S1= a1
S2= a1+a2
(8)S4=a1+a2+a3+a4
S4=a1+a2+a3+a4+a5
- Nêu có tổng chia hết cho tốn giải song
- Nếu tổng chia hết cho tồn hai tổng có số d chia cho 5 hiƯu hai tỉng nµy chia hÕt cho Gäi tỉng lµ Sivµ Sj (1i
J5)
th× Sj -Si chia hÕt hay (a1+a2+ +aJ) - (a1+a2+ +aJ) = ai+1+ai+2+ +aJ chia hÕt
cho
Bài 11 Có tồn hay không sè cã d¹ng
20072007 200700 chia hÕt cho 2005 Híng dÉn:
XÐt d·y sè 2007, 20072007, 200720072007, , 20072007 2007⏟
2006so 2007
trong phÐp chia cho 2005 cã it nhÊt hiÖu hai sè chia hÕt cho 2005 HiƯu hai sè nµy ( sè lín trõ sè nhá ) cã d¹ng 20072007 200700
Bai 12: Chøng minh tån t¹i mét sè tù nhiªn x < 17 cho 25x -1 ⋮ 17
Híng dÉn : XÐt d·y sè gåm 17 sè h¹ng sau :
25 ; 252 ; 253 ; ; 2517
Chia sè hạng dÃy (1) cho 17
Vì (25,17) =1 nªn (25n ,1) = ∀ n N vµ n
XÐt phÐp chia cho 17 d·y sè trªn cã Ýt nhÊt hai sè chia cho 17 cã cïng sè d
Gọi số 25m 25n với m , n N 1 m <n 17
⇒ 25n - 25m ⋮ 17
⇔ 25m ( 25n - m -1 ) ⋮ 17 v× ( 25m , 17 ) = 1 ⇒ ®pcm.
Chuyên đề 4
Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
A Đặt vấn đề:
Để so sánh hai phân số cách quy đồng mẫu tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất quy đồng mẫu số), số trờng hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm phân số, ta so sánh số phơng pháp khác Tính chất bắc cầu thứ tự thờng đợc sử dụng, phát phân số trung gian để làm cầu nối vấn đề quan trọng
B Nội dung cần truyền đạt.
I KiÕn thøc
1 Dùng số làm trung gian
a) NÕu a
b > vµ c
d < th× a b >
c
d
b) NÕu a
b = + M ; c
d = +N
mà M>N a
b> c d
M N theo thứ tự gọi "phần thừa" so với hai phân số cho
* Nếu hai phân số có "phần thừa" so với khác nhau, phân số có "phần thừa" lớn lớn hơn.
Ví dụ:
199
198 = +
1
198 ;
200
199 = +
1 199
V×
198 >
199 nªn
199 198 >
200 199
c) NÕu a
b = 1- M ; c
d = + N nÕu M > N th× a b <
c d
(9)* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số có "phần bù" lớn phần số nhỏ hơn.
VÝ dô: 2005
2006 = -
2006 ; 2006
2007 = +
1 2007
V×
2006 >
2007 nªn 2005 2006 <
2006 2007
2 Dùng số phân số làm trung gian Ví dụ : So sánh 18
31 15 37
Giải: Xét phân số trung gian 18
37 ( Phân số có tử tử phân số
thứ nhất, có mẫu mẫu phân số thø 2) Ta thÊy:
18 31 >
18 37 vµ
18 37 >
15
31 suy 18 31 >
15
37 ( tính chất bắc cầu)
(Ta lấy phân số 15
31 làm phân số trung gian)
b) VÝ dơ : So s¸nh 12
47 19 17
Giải: hai phân số 12
47 vµ 19
77 xấp xỉ
4 nên ta dùng phân số
1
4 lµm trung gian
Ta cã: 12
47 > 12 48 =
1 19
77 < 19 76 =
1
Suy 12
47 > 19 77
II Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 1: So s¸nh a) 64
85 vµ 73
81 b)
n+1
n+2 vµ
n
n+3 ( n N*)
Híng dÉn: b) Dïng ph©n sè 64
81 (hoặc
73
85 ) làm phân sè trung gian
b) dïng ph©n sè n+1
n+3 (hoặc
n
n+2 ) làm phân số trung gian Bài 2: So sánh
a) 67
77 vµ 73
83 b) 456
461 vµ
123
128 c)
2003 2004−1 2003 2004 vµ 2004 2005−1
2004 2005
Hớng dẫn: Mẫu hai phân số tử số đơn vị nên ta sử dụng so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị
Bµi 3: So sánh: a) 11
12 16
49 b) 58
89 vµ 36 53
Híng dÉn: a) Hai ph©n sè 11
32 vµ 16
49 xấp xỉ
3 nên ta dùng phân số
1
(10)b) Hai ph©n sè 58
89 vµ 36
53 xấp xỉ
3 nên ta dùng phân số
2
3 làm phân số trung gian
Baì 4: So sánh phân số A = 2535 232323
353535 2323 ; B = 3535
3534 ; C = 2323 2322
Híng dÉn : Rót gän A = = B = +
3534
C = +
2322
Từ suy : A < B < C Bài 5: So sánh :
A = (11 13−22 26)
22 26−44 52 vµ B =
1382−690 1372−548
Híng dÉn : Rót gän A = =
4 = +
1
4
B = = 138
137 = +
1 137
V×
4 >
137 nªn A > B
Bài 6: So sánh a) 53
57 vµ 531
571 ; b) 25
26 vµ
25251 26261
Híng dÉn : a) 53
57 = 530
570 = - 40
570 ; 531
571 = - 40 571
b) 25
26 = +
1
26 = +
1010
26260 ;
25251
26261 = + 1010 26261
Bµi 7: Cho a , b , m N* H·y so s¸nh a+m
b+m víi
a b
Híng dÉn : Ta xÐt ba trêng hỵp a
b =1 ; a
b < ; a
b >
a) Trêng hỵp : a
b = ⇔ a = b th× a+m
b+m =
a b =
b) Trêng hỵp : a
b < ⇔ a < b ⇔ a + m = b + m
a+m
b+m = -
b −a
b+m ;
a
b = - b− a
b
c) Trêng hỵp : a
b > ⇔ a > b ⇔ a+m > b + m ⇒
Bµi 8: Cho A = 10
11
−1 1012−1; B=
1010+1
1011
+1 H·y so s¸nh A víi B
Híng dÉn: DƠ thÊy A<1 ¸p dơng kÕt a
b<1 a+m
b+m>
a b
víi m>o
(11)A = 54 107−53
53 107+54 B =
135 269−133 134 269+135 Híng dÉn: Tư cđa ph©n sè A
54.107-53 = (53 +1).107 - 53 = Tư cđa ph©n sè B
135.269-133= (134+1).269 - 133= Bài 10: So sánh:
a, (
80 )7 víi (
243 )6 b, (
8 )5 víi ( 243 )3
Híng dÉn: a =(
1 81 ¿
7
=
328 80 ¿
7
>¿
( 2431 ¿6=
330
b, 8¿
5
=243
215
¿
5 243 ¿
3
=243
315
¿
Chän ph©n sè 243
315 làm phân số trung gian để so sánh
Bµi 11: Chøng tá r»ng:
15+ 16+
1 17+ +
1 43+
1 44 >¿
5
Híng dÉn: Tõ
6= 6+
2 6=
15 30+
15 45
= (
30+ + 30)+(
1 45+ +
1 45)
Từ ta thấy:
¿
1 15+
1 16+ +
1 29>
1 30+
1 30 + +
1
30 ¿ Cã 15 ph©n sè)
1 30+
1 31+ +
1 44>
1 45+
1 45+ +
1
45 (Cã 15 ph©n sè)
(12)Chuyờn 5
Tổng phân số viết theo quy luËt.
A.Đặt vấn đề:
Khi học phép cộng phân số dạng tập mà em gặp tốn tính tổng phân số mà tử mẫu chúng đợc viết theo quy luật Loại tập coi khó so với học sinh đại trà phải tìm quy luật từ tìm cách giải
- Vì giáo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức để phát quy luật từ đa cách giải
B Nội dung cần truyền đạt:
I KiÕn thøc c¬ bản:
Cho học sinh chứng minh hai công thøc: m
b(b+m)=
1
b−
1
b+m
2m
b(b+m)(b+2m)=
1
b(b+m)−
1
(b+m)(b+2m) Hớng dẫn: Biến đổi vế phải vế trái II ỏp dng lm bi tp:
Bài 1: Tính tổng sau phơng pháp hợp lí nhất: a, A=
1 2+ 3+
1 4+ .+
1 49 50 ;
b, B=
3 5+ 7+
2
7 9+ + 37 39
c, C=
4 7+ 10+
3
10 13+ + 73 76
Hớng dẫn: áp dụng công thức Bài 2: Tính tổng sau:
a, C=
10 11+ 11.12+
7
12 13+ + 69 70
b, D =
15 18+ 18 21+
6
21 24 + + 87 90
c, E =
2 11+
32 11.14 +
32
14 17+ + 32 197 200
Hớng dẫn: áp dụng công thức Bài 3: Tính tổng sau:
a, F =
25 27 + 27 29+
1
29 31+ + 73 75
b, G = 15
90 94+ 15 94 98+
15
98 102+ + 15
146 150
c, H = 10
56+ 10 140+
10
260+ + 10 1400
Híng dẫn: áp dụng công thức
Bài 4: Chứng minh r»ng víi mäi n N ta lu«n cã:
1 6+ 11+
1
11.16+ +
1
(5n+1)(5n+6)=
n+1
5n+6 Hớng dẫn: Biến đổi vế trái vế phải
VÕ tr¸i =
5.( 6+
5 11+
5
11.16+ +
5
(5n+1).(5n+6)) ( áp dụng công thức tớnh ngoc )
Bài 5:Tìm x N biÕt:
x- 2011.1320 13 15
−20
15 17 − − 20 53 55=
3 11
Híng dÉn:
(13)211 +
28+ 36 + +
2
x(x+1)=
2
Híng dÉn:
Bµi 7: Chøng minh r»ng: a, A =
1 3+ 4+
1
3 5+ .+
18 19 20 <
b, B = 36
1 5+ 36
3 7+ 36
5 9+ .+ 36
25 27 29 <3
Híng dẫn: áp dụng công thức Bài 8: Chứng minh r»ng:
a, M=
22+ 32+
1 42+ +
1
n2 <1 ( n N; n 2)
b, N=
2n¿2 ¿ ¿
1 42+
1 62+
1 82+ +
1
¿
(n N;n 2)
c, P= 2!
3!+
2!
4!+
2!
5!+ +
2!
n!<1 ( n N;n 3)
Híng dÉn: a, M< 1 21 +
2 3+
3 4+ .+
(n −1).n b, N =
22.( 22+
1 32+
1 42+ +
1
n2) (áp dụng phần a làm tiếp)
c, P = 2!
1 3+
1 4+
1
4 5+ +
(n −1).n
1 3!+
1 4!+
1 5!+ +
1
n !≤2 ¿
.) Bµi 9: Chøng minh r»ng:
26+ 27 +
1 28+ +
1 50=1−
1 2+
1 3−
1 4+ +
1 49 − 50 Híng dÉn: 26+ 27 + 28+ +
1 50
= 1+
2+ 3+ .+
1 50 −(1+
1 2+
1 3+ +
1 25)
= 1+
2+ 3+ .+
1 50 −2(
1 2+
1 4+
1 6+ +
1 50)