- Biết nhận dạng các dạng bài tập từ đó có định hướng đúng để sử dụng các phương pháp so sánh hai phân số một cách thích hợp tìm ra lời giải của bài toán.. - Có thể tự tạo ra bài tập mới[r]
(1)Chủ đề tự chọn Mơn tốn lớp 6 chun đề nâng cao
Chủ đề 1: Dãy số tự nhiên viết theo quy luật A Kiến thức
- Nắm đợc khái niệm dãy số viết theo quy luật ( phần tử dãy có mối liên hệ với )
- Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật phân tích để tìm quy luật B d y số viết theo quy luật thã ờng gặp
I/ D·y céng
1 Định nghĩa: Dãy cộng dãy mà phần tử kể từ phần tử thứ lớn phần tử liền trớc số đơn vị
TQ: D·y a1, a2, a3, a4, …… an-1, an l.µ d·y céng
2 VÝ dơ: D·y sè tù nhiªn: 0, 1, 2, 3, 4……
D·y c¸c sè chia cã cïng sè d lµ : 3, 10, 17, 24, 31 3 Các loại tập dÃy cộng:
VD: XÐt d·y céng: a1, a2, a3, a4, an-1, an a) Tìm phần tử thứ n d·y:
an = a1 + (n - 1) d b) TÝnh tỉng cđa d·y
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an =
1
( )
2
n
a +a n
c) Số số hạng dÃy: n =
1
n
a a d
+1 (Trong d là khoảng cách hai phần tử liên tiếp) Bài tập áp dụng:
Cho d·y: 1, 4, 7, 10, 13,…… (1) a./ Tìm phần tử thứ 102 dÃy?
b./ Nếu viết dÃy liên tiếp thành số chữ số thứ 302 số tạo thành số mấy?
Giải:
(2)a./ Phần tử thø 102 cđa d·y lµ a102 = + (102 - 1) = 304
b./ Phân tích: Dãy số viết liền thành số đợc chia thành dãy sau - Dãy số có chữ số chia d là: 1, 4, gồm chữ số
- D·y c¸c sè có chữ số chia d 10, 13, …, 97 gåm
97 10
1 30
-+ =
sè nªn cã 30 = 60 ch÷ sè
- Để viết tiếp dãy đến chữ số thứ 102 ta phải dùng số có chữ số kể từ 100… đảm bảo chia d Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số hay 79 số có chữ số kể từ 100 chữ số số thứ 80 (là chữ số đầu trong số thứ 80 dãy 100, 103, 106, ) Mà số thứ 80 dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337 Vậy chữ số thứ 302 số tạo dãy (1) ( hàng chục số 337) 147101317……334337340…
Ch÷ sè thø 302
Chú ý: Trong phần b./ chữ số thứ n phải tìm số lớn ta tiếp tục phân tích thành dÃy số có 3, có chữ số tiếp tục làm tơng tự
II/ Më réng
1 VD: Cho c¸c d·y sau:
1, 3, 6, 10, 15…… (1)
2, 5, 10, 17, 26 (2)
Tìm phần tử thứ 108 dÃy trên? Giải:
- DÃy (1) cha dÃy cộng nhng viết lại thµnh d·y sau:
1.2 2.3 3.4 4.5 , , , 2 2
XÐt d·y c¸c thõa sè thø nhÊt c¸c tư sè:
1, 2, 3, 4, … (1)’
đây dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 dãy (1)’ 108 Từ suy phần tử
thø 108 cđa d·y (1) lµ
108.109
5886
2 =
(3)Tơng tự ta tính đợc phần tử thứ 108 dãy (2) 1082 + = 11665 2 Dãy Fibonaci:
Dãy số Fibonaci dãy bắt đầu hai phần tử 1, kể từ phần tử thứ dãy phần tử tổng hai phần tử liền trớc phần tử
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
D·y sè Fibonaci cã nhiỊu tÝnh chÊt thó vÞ ta sÏ nghiên cứu phần C Các tập
Bài 1: Cho dÃy sau:
1, 3, 5, 7, 9…… (1)
1, 10, 19, 28, 37, … (2)
1, 3, 6, 10, 15,… (3)
1, 7, 17, 31, 49, … (4)
1, 5, 11, 19, 29, … (5)
a) T×m phần tử thứ 123 dÃy trên:
b) Giả sử dÃy (1 ) có 500 phần tử, dÃy (2) có 200 phần tử Tìm dÃy phần tử gièng cđa hai d·y?
Bµi 2: Cho d·y : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22
Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho 6, chia hÕt cho 13 dÃy?
Bài 3: Cho số a1, a2, a3, …., a2008 BiÕt r»ng: ( )
2
3
3
k
k k
a
k k
+ +
=
+ Víi mäi k = 1, 2, 3, …., 2008
TÝnh tæng a1 + a2 + a3 + … + a2008 Bµi 4: Cho S1 = 1+2
S2 = + + S3 = + + +
S4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14 ……… TÝnh S100
Bài 5: Chia dãy số tự nhiên kể từ thành nhóm (các số nhóm đợc đặt ngoặc)
(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), a) Tìm số hạng nhãm thø 100
(4)Bµi 6: Cho A = + + 72 + 73 + ….+ 7200 vµ B = 7201
Chøng minh r»ng: A <
B
D Híng dÉn gi¶i Bµi 2:
NhËn xÐt: Ta cã 222 số dÃy muốn chia hết cho số chữ số ph¶i chia hÕt cho VËy ta lËp d·y 3, 6, 9, 2007(là dÃy thể số
các chữ số dÃy trên) DÃy có số phần tử
2007
1 669
-+ =
Do dãy 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 có 669 số chia hết cho Bài 3:
Ta cã:
( )
( ) ( )
3
3 3 3
3 1 1
1
k
k k k k
a
k
k k k
+ + +
-= =
-+ +
Do đó:
3 3 3
3
1 1 1
1 2 2008 2009
1 8108486728
1
2009 8108486729
ổ ổữ ửữ ổ ửữ
ỗ ç ç
=çç - ÷÷+çç - ÷÷+ +çç - ÷÷
è ø è ø è ø
= - =
E tài liệu tham khảo
1 Vũ Hữu Bình_Nâng cao phát triển toán tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 Tạp chí Toán Tuổi Thơ _ NXB Giáo dục
2008 số
(5)Chủ đề tự chọn Mơn tốn lớp 6 chun đề nâng cao
Chủ đề 2: chữ số tận luỹ thừa đồng d _ So sánh hai luỹ thừa
A Kiến thức
- Nm c cỏch tìm số tận luỹ thừa với số số tự nhiên - Hiểu đồng d, vận dụng tốt kiến thức đồng d thức vào làm tập tìm chữ số tận chứng minh chia hết
- Nắm đợc phơng pháp dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên Vận dụng tốt kiến thức để làm tập
B Phơng pháp tìm số tận luỹ thõa Chó ý:
a./ Các số có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 0, 1, 5,
b./ C¸c sè cã tËn 2, 4, nâng lên luỹ thừa có tận c./ Các số có tận 3, 7, nâng lên luỹ thừa cã tËn cïng lµ d./ Sè a vµ a4n+1 cã ch÷ sè tËn cïng gièng (n a N a, , 0)
CM: d./ Dùng phơng pháp quy nạp:
Xét toán: CMR a4n+1 a 10 (n a N, *) - Víi n = ta dƠ dµng chøng minh a5 – a 10
- Giả sử toán với n = k (a4k+1 – a 10 (k a N, *)) - Ta CM toán với n = k + a 4(k+1) +1 - a 10
- Ta cã: a 4(k+1) +1 – a = a4 a4k+1 – a a4 a4k+1 a5 (Vì a5 a có chữ số
(6)- Mà a4 a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) 10 Þ a 4(k+1) +1 – a 10 §pcm
2./ Phơng pháp
gii bi toỏn tỡm ch số tận luỹ thừa ta tìm cách đa số luỹ thừa dạng đặc biệt đa số mũ dạng đặc biệt biết cách tính theo phần ý
VD1: T×m ch÷ sè tËn cïng cđa 6195 ; 5151 ; 21000 ;
108
99
99 …
Giải:
- Tận 6195 là 6
- TËn cïng cđa 5151 lµ 1
- Ta cã 21000 = 23 24 249 +1 mµ 23 cã tËn cïng lµ 8 vµ 24 249 +1 cótận
( Hoặc ( ) 250
1000 250
2 = 2 =16
) nªn 21000 cã tËn cïng lµ
- Ta cã : 9999= 49 99 99
= 99 (….1) 49 có tận nên
108
99
99 = (… 9)108 = [(… 9)2]54 cã tËn cïng lµ 1
3./ Më réng 3.1/ §ång d:
a/ Khái niệm: Trong ý d./ phần ta nói a đồng d với a4n+1 theo modun 10 (là hai số có số d chia cho 10)
Tổng quát : Số tự nhiên a đồng d với số tự nhiên b theo modun m (m 0) a b chia cho m có số d
Ký hiệu aº b( mod )m với a, b, m N m 0 (1) Khi a m ta viết a º (mod m )
Hệ thức (1 ) đợc gọi đồng d thức b/ Một số tính chất đồng d thức Nếu aº b(mod )m cº d(mod )m thì:
(7)3 (mod )
n n
a º b m
Các tính chất đợc áp dụng cho nhiều đồng d thức modun c/ Ví dụ:
VD1 T×m sè d cđa 3100 cho 13.
Tìm số d phép chia nghĩa tìm số tự nhiên nhỏ 13 đồng d với 3100 theo modun 13
Ta cã ( )
33 100 99
3 =3.3 =3
Vì 33 = 27 = 13 +1, nên 33 º 1(mod 13) (33)33 º 133 (mod 13) hay 399 º 1(mod 13)
(mod 13)
nên 3100 º 3 (mod 13) VËy 3100 chia cho 13 cã sè d lµ 3 VD Chøng minh r»ng 22008 – chia hÕt cho 31
§Ĩ chøng minh 22008 – chia hÕt cho 31 ta chøng minh 22008 – º (mod 31) Ta cã : 22008 = 23 22005 = 23 (25)401 mµ 25 =32º (mod 31)
nªn ta cã (25)401 º 1401(mod 31) Þ 23 22005 º 23 1(mod 31) 22008 º 8(mod 31)
Mặt khác 8(mod 31)
Nªn 22008 - º (mod 31) VËy 22008 – chia hÕt cho 31 §pcm. VD 3: CM với số tự nhiên n số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 144n
Vì 144º 11(mod133) nên 144n º 11n (mod 133)
suy 12 144n º 12 11n (mod 133) (1)
Mặt khác: 11n+2 = 121 11n
Mà 121º - 12 (mod 133) nên 121 11n º - 12 11n (mod 133) (2) Cộng vế (1) (2) ta 122n+1 + 11n+2 º (mod 133)
Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Đpcm
VD 4: CM
2008
5 + 23 24
Ta có 58 = 254 mà 25 º 1(mod 24) nên 254 º 1(mod 24)
2008
4
25 1(mod 24)
Þ º
399 º (mod 13)
(8)còn 23 º 23(mod 24) Suy
2008
5 +23º (mod 24) Vậy 82008
5 + 23 24 Đpcm
3.2/ So sánh hai luỹ thừa
a/ Phơng pháp: Để so s¸nh hai luü thõa ta dïng c¸c tÝnh chÊt sau:
- Trong hai luü thõa cïng c¬ sè luü thừa có số mũ lớn lớn - Trong hai luü thõa cïng sè mò luü thõa có số lớn lớn - Dïng luü thõa trung gian
b/ VÝ dô: So sánh
1 10200 99100 2 648 1612 6100 3170
Giải: XÐt VD 3: Ta cã:
6100= 2100.3100 vµ 3170= 370.3100
Để so sánh 6100 3170 ta cần so sánh 2100 370 Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34
hay 2102 < 368 mµ 2100 < 2102 < 368 < 370 2100 < 370
VËy 6100 < 3170 C Các tập
Bài 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta lu«n cã: a) 714n – chia hÕt cho
b) 124n + + 34n +1 chia hÕt cho 5 c) 92001n + chia hÕt cho 10 d) n2 +n + 12 5
Bài 2: Tìm chữ số tận
a) 2008 2009 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 e)
7 9
1
1997 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68
Bµi 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + … + 2 20 B = 31 + 32 + 33 + + 3300 a) Tìm chữ số tận A
(9)b) Chøng minh r»ng B A chia hết cho Bài 4: Tìm số d c¸c phÐp chia sau:
a) 3100 : 7 b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : 9 Bµi 5: Chøng minh r»ng:
a) 301293 – 9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n 271
c) 62n + 3n+2 3n 11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19 (víi "nỴ N) Bài 6: Ngày tháng năm 2010 bạn Nam kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của Biết ngày tháng năm 2008 ngày thø
a) H·y tÝnh xem b¹n Nam sinh vào thứ ngày
b) Bạn Nam tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy?
Bài 7: Chứng minh a2 + b2 + c2 hiệu a2 – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho
Bµi 8: So sánh số sau: a) 3281 3190
b) 11022009 – 11022008 vµ 11022008 - 11022007
c) A = (20082007 + 20072007)2008 vµ B = (20082008 + 20072008)2007
D Híng dÉn gi¶i
Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý n cho số dư nhận một số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Bởi
(10)Vậy dù với số nguyên n số n2 chia cho có số dư là số 0, 1, 4,
Gọi số dư chia a2, b2, c2 cho r
1, r2, r3 Ta có: a2 + b2 + c2 º r
1 + r2 + r3 º (mod 9) ( Vì a2 + b2+ c2 chia hết cho 9)
Như r1, r2, r3 nhận giá trị 0, 1, 4, nên r1 + r2 + r3 chia hết cho trường hợp sau
1) r1 = r2 = r3 =
2) Một số r1, r2, r3 hai số lại 3) Một số r1, r2, r3 hai số lại
4) Một số r1, r2, r3 hai số lại Vậy trường hợp có hai số r1, r2, r3 Điều có nghĩa hai số a2, b2, c2 có số dư chia cho Vậy có các hiệu a2 – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Đpcm. Bµi 8: Ta cã
c) A = (20082007 + 20072007)2008
= (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007 (20082007 + 20072007)2007
= (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007 = (20082008 + 20072008)2007 = B
VËy A > B Më réng:
Ta cã thÓ chứng minh toán tổng quát :
(an + bn)n + > (an + + bn + 1)n với a, b, n số nguyên dương Thật vậy, khơng tính tổng qt, giả sử a ≥ b
Ta co (an + bn)n + = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + + bn + 1)n
Trong vÝ dơ trªn với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B E tµi liƯu tham khảo
(11)2 Tạp chí Toán Tuổi Thơ _ NXB Giáo dục
3 Toỏn nâng cao chuyên đề số học _ NXB Giáo dục năm 1997
4 Một số vấn đề số học chọn lọc_ Nguyễn Văn Mậu _ NXB Giáo dục năm 2008
Chủ đề tự chọn Mơn tốn lớp 6
chun đề nâng cao
Chủ đề 3: các vấn đề nâng cao tính chia hết, ớc bội
A KiÕn thøc
- Nm c cỏc du hiu chia hết, tính chất chia hết tổng - Hiểu mối quan hệ ớc bội với tính chia ht
B Một số toán chứng minh vỊ tÝnh chia hÕt I Chó ý :
Nh¾c lại ớc bội
- Nếu a b ta nãi b lµ íc cđa a a lµ béi cđa b
- Khi a d vµ b d ta nãi d lµ íc chung cđa a vµ b Khi d lµ sè lín nhÊt tËp hợp ớc chung a b ta nói d lµ íc chung lín nhÊt cđa a vµ b
Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d (a,b) = d
(12)Ký hiƯu BCNN(a,b) = m hc [a,b] = m Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt cho
1 DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:
Một số chia hết cho 11 tổng chữ số vị trí lẻ tổng chữ số vị trí chẵn số chia hết cho 11
2 DÊu hiÖu chia hÕt cho 4, 25
Những số có hai chữ số tận chia hết cho (hoặc 25) chia hết cho (hoặc 25) số chia hết cho (hoặc 25)
3 DÊu hiÖu chia hÕt cho 8, 125
Những số có ba chữ số tận chia hết cho (hoặc 125) chia hết cho (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 125)
Mét sè tÝnh chÊt:
- NÕu mét tÝch chia hết cho số nguyên tố p tích chøa Ýt nhÊt mét thõa sè chia hÕt cho p
- Nếu tích a.b chia hết cho m b m hai số nguyên tố a chia hết cho m
- NÕu a chia hết cho m n a chia hÕt cho béi chung nhá nhÊt cđa m vµ n
Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho số nguyên tố a chia hết cho tích hai số
- NÕu A B th× mA ± nB B
(m,n N, A B biểu thức số tự nhiên) II Các phơng pháp chứng minh chia hÕt.
1 Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng. VÝ dơ:
a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25… + 299 CMR: A chia hÕt cho 31
Gi¶i: Ta cã A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299
= (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295 (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) (1 + 25 + 210 + … + 295)
= 31 (1 + 25 + 210 + … + 295) chia hết cho 31 Đpcm. b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n –
(13)
1
1
n n
n n
é - = é =
ê Þ ê
ê- = ê =
ở Vậy với n = n = 3n+4n- 1 2 Sử dụng đồng d thức.
VÝ dô: Chøng tá r»ng: 175 + 244 - 1321 chia hÕt cho 10 Gi¶i: Ta cã
( )
5
5
21
5 21
17 7(mod10) 24 6(mod10)
13 13 13 3(mod10)
17 24 13 3(mod10) º
º
= º
Þ + - º +
Hay 175 + 244 - 1321 º 0(mod 10) VËy 175 + 244 - 1321 10 §pcm. 3 Sư dơng tÝnh chÊt cđa sè nguyªn tè cïng nhau
VÝ dơ: CMR: n5 – n 30
Giải: Bài tốn ln với n = n =1 Xét n 2:
Đặt A = n5 n = n (n2 +1)(n+1)(n-1)
Ta cã A 10 ( V× n5 n có chữ số tận giống nhau)
A 3 (V× A cã tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp (n-1)n(n+1) ) A chia hết cho 10
Mà ƯCLN(3, 10) = nên A chia hÕt cho 3.10
VËy A 30 Đpcm.
C Các toán ớc bội số nguyên tố Phng phỏp chung gii :
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số
2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số nguyên dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b
(14)Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*)
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**)
Chúng ta xét số ví dụ minh họa
Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16
Lời giải : Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =
Theo định nghĩa BCNN :
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80
Chú ý : Ta áp dụng cơng thức (**) để giải tốn : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy mn = 15
Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 (a, b) = Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b
Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n
Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18 Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60
Lời giải :
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 =
Tìm (a, b) = 3, tốn đưa dạng toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15
(15)Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) =
Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Vì : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25
Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) = Bài toán :
Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140
Lời giải : Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35
Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n
Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80
Bài tốn : Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b => m ≤ n
Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2)
=> d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6}
Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài toán : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140
(16)[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7}
Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n =
Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 BÀI TẬP
1) T×m hai sè biÕt ¦CLN cđa chóng:
VÝ dơ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 100 có ƯCLN 10 Giải:
Gọi hai số phải tìm a b (a b) Ta cã ¦CLN(a,b) = 10
Do a =10.a’ b = 10.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a, b, a’, b’ N) Theo đầu bài: a + b = 100 suy 10.a’ + 10.b’ =100 nên a’+b’ = 10 (a’ b’) Chọn hai số nguyên tố có tổng 10 ta có
a’ Do a 10 30
b’ b 90 70
VÝ dô 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng chúng có tích 300 Giải:
Gọi hai số phải tìm a b (a b) Ta cã ¦CLN(a,b) = 5
Do a =5.a’ b = 5.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a, b, a’, b’ N) Theo đầu bài: a.b = 300 suy 25.a’.b’ =300 nên a’.b’ = 12 (a’ b’) Chọn hai số nguyên tố có tích 12 ta có
a’ Do a 15
b’ 12 b 60 20
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu sè nguyên tố p > (p - 1).(p + 1) 24 Gi¶i:
Ta cã : (p - 1).p.(p + 1) (TÝch sè tù nhiªn liên tiếp)
Vì p số nguyên tố p > nên ƯCLN(3, p) = (p - 1).(p + 1) 3
Do p lµ số nguyên tố nên p p + hai số chẵn liên tiếp nên có 1số lµ béi cđa vµ mét sè lµ béi cđa (p - 1).(p + 1) 8
(17)VÝ dơ: T×m hai sè tù nhiên a, b (aÊ b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 Gi¶i:
Theo đầu bài: ƯCLN(a,b) = 12 Do a =12.a’ b = 12.b’
trong ƯCLN(a’,b’) = (a’ Ê b’; a’, b’ N) Vì ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = a.b nên 144a’.b’ = 2160 suy a’.b’ = 15
a’ Do a 12 36
b’ 15 b 180 60
d Các dạng tập Bi t gii :
B i 1à : a) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 b) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 216 (a, b) = c) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 d) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết a/b = 2,6 (a, b) = e) Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140 HD: Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy d = suy a = 28 ; b = 35
B i 2à : Tìm hai số a, b biết: a) 7a = 11b (a, b) = 45
b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 chúng có chữ số tËn cïng giống Bµi 3: Cho hai số tự nhiên a b Tìm tất số tự nhiên c cho ba số,
tích hai số ln chia hết cho số cịn li
Bài 4: Tìm số tự nhiên m vµ n cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho 5n + 45 n + 3
Bài 6: Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Bài 7: Cho p, q , r ba số nguyên tố lớn 3
Chøng minh rằng: p2 + q2 + r2 hợp số. e Hớng dẫn giải
Bài 7: CM Bình phơng số nguyên tố lớn chia cho cã sè d lµ 1.” f tµi liƯu tham khảo
(18)2 Tạp chí Toán Tuổi Thơ _ NXB Giáo dục
3 Võ Đại Mau _ Toán nâng cao phát triển bồi dỡng học sinh giỏi lớp _ NXB Trẻ năm 2006
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN MƠN TỐN LỚP 6 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO
Chủ đề 4 : SO SÁNH HAI PHÂN SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Nắm phương pháp để so sánh hai phân số, hiểu thuật ngữ toán học phần bù 1, phần thừa
- Biết nhận dạng dạng tập từ có định hướng để sử dụng phương pháp so sánh hai phân số cách thích hợp tìm lời giải tốn
- Có thể tự tạo tập phương pháp tương tự hoá, tổng quát hoá toán ban đầu
B NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I/ Nhắc lại kiến thức bản
- Để so sánh hai phân số ta thường đưa chúng hai phân số có mẫu số số dương, phân số có tử số lớn phân số lớn
Tổng qt:
0 b
a c
a c
b b
ì > ïï > Û íï >
ïỵ
- Ngồi cịn số phương pháp khác sau:
(19)2/ Sử dụng phần bù phần thừa
VD: So sánh
1 a a + + và a a +
+ với a số tự nhiên khác 0 Lời giải:
C1: Quy đồng đưa mẫu số
C2: Ta có:
1 1
1
2 2
a a
a a a
+ +
-= =
-+ + + còn
2 1
1
3 3
a a
a a a
+ + -= = -+ + + Mà
a+ >
1 1
1
3
a+ Þ - a+ > - a+
Vậy: a a + + < a a + +
3/ Dùng phân số trung gian tính chất bắc cầu bất đẳng thức
VD1: Cho hai phân số
2008 2009 1 m A m + =
+
2009 2010 1 m B m + =
+ với mỴ N* Hãy so sánh A B
Lời giải:
Nhận xét: - Nếu m = A = B
- Với m > ta so sánh mA mB từ dễ dàng so sánh A B
Ta có:
( 2008 ) 2009
2009 2009 2009
1 1
1
1 1
m m m m m
mA
m m m
+ +
-= = = +
+ + +
( 2009 ) 2010
2010 2010 2010
1 1
1
1 1
m m m m m
mB
m m m
+ +
-= = = +
+ + +
vì 2009 2010
1 1 m m mA mB m m -
-> Þ >
+ + A > B
(20)1 1 n n m A m + + =
+
1 1 1 n n m B m + + + =
+ với m n, Ỵ N*
VD2:Một phân số có tử mẫu số nguyên dương Nếu cộng tử mẫu phân số với số tự nhiên n¹ phân số thay đổi nào?
Lời giải:
Gọi phân số
a
b Ta xét ba trường hợp: a = b; a > b; a< b
- Trường hợp a = b ta có:
a b =
a
a =
a n a n
+ =
+ Vậy giá trị phân số không thay đổi
- Trường hợp a > b ta có:(
a b >1)
1
a b a b a b
b b b
+ -
-= = +
Còn
( ) ( )
1
b n a n b n
a n a b
b n b n b n
+ + + -
-+ = = +
-+ + +
Vì
a b a b a a n
b b n b b n
- - +
> Þ >
+ +
Vậy: Khi cộng tử mẫu phân số lớn (cả tử mẫu số dương) với số tự nhiên khác phân số có giá trị lớn giá trị phân số ban đầu
-Trường hợp a < b ta có:(
(21)1
a b a b a b b a
b b b b
+ - -
-= = + =
-Còn
(b n) (a n) b n 1 1
a n a b b a
b n b n b n b n
+ + + -
-+ -
-= = + =
-+ + + +
Vì 1
b a b a b a b a
b b n b b n
- - -
-> Þ - <
-+ + Nên
a a n b b n
+ <
+
Vậy: Khi cộng tử mẫu phân nhỏ (cả tử mẫu số dương) với số tự nhiên khác phân số có giá trị nhỏ giá trị phân số ban đầu
VD3: Tìm số tự nhiên x cho
9 10
11 15 11
x
< < Lời giải:
Ta có:
9 10 9.15 11 10.15
11 15 11 11.15 11.15 11.15
x x
< < Û < <
Hay 135 < 11x < 150
135 150
13
11 x 11 x
Û < < Þ =
Vậy x = 13
Phương pháp chung: Tìm mẫu thức chung phân số từ xét tử số tìm giá trị x thoả mãn toán
VD4: Chứng minh rằng: 2 2
1 1 1
2 +4 +6 + +100 <2
Lời giải: Xét vế trái ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 100 2 50
1 1 1 1 1
1 1
4 1.2 2.3 3.4 49.50 50 200
ỉ ư÷
ỗ
+ + + + = ỗỗố+ + + + + ữữứ<
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ç
< çç + + + + + ÷÷= ỗỗ + - ữữ= - <
ố ứ ố ø
(22)C CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1: So sánh biểu thức A B biết:
19 23 29 21 23 33
/
41 53 61 41 49 65
a A= + + B= + +
11 12 12 11
12 23 12 23
/
14 14 14 14
b A= + B= +
20 21
20 21
19 19
/
19 19
c A= + B= +
-
-2009 2010
2008 2009
100 100
/
100 100
d A= + B= +
+ +
0 9
0 8
5 5 3
/
5 5 3
e A= + + + + B= + + + +
+ + + + + + + +
2 /
1
n n
f A B
n n
+
= =
+ + với n NỴ
2 2 / n n
g A B
n n
- +
= =
+ + với nỴ N
Bài 2: Chứng minh rằng: a)
1 1 1 1
3+31+35+37 +47+53+61<2
b) 2 2
1 1 1
6<5 +6 +7 + 100 <4 c)
1 1 1 1
5< -2 3+ -4 5+ +98- 99 <5 d)
1 99
15 <2 100 <10 e)
1 1
1
1! 2! 3! 100! < + + + < Bài 3: Tìm số tự nhiên x biết:
1
)
100 110 50
x
a < <
123 124
)
1000 2008 1000
(23)Bài 4: Tìm hai phân số có mẫu 17 mà tử số số tự nhiên liên tiếp để phân số
3
11 nằm hai phân số đó
Bài 5: Tìm hai phân số có tử 1, mẫu hai số tự nhiên liên tiếp cho phân số
13
84 nằm hai phân số đó
Bài 6: Tìm hai phân số có mẫu 21 nằm hai phân số
5
5
-Bài 7: Chứng minh có vơ số phân số nằm hai phân số
a
m
b
m với
, , ,
a b m N mẻ v a b>
D HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.b/: Xét hiệu A – B < suy A < B c/ Dùng phần thừa
E TÀI LIỆU THAM KHẢO
(24)CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN MƠN TỐN LỚP 6 CHUN ĐỀ NÂNG CAO
Chủ đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Nắm phương pháp dùng giải toán số học
- Biết nhận dạng dạng tập từ có định hướng để sử dụng phương pháp phù hợp tìm lời giải tốn
- Có thể tự tạo tập phương pháp tương tự hoá toán ban đầu B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
(25)VD1: Tuổi anh gấp lần tuổi em trước kia, lúc anh tuổi em Khi anh tuổi em tổng số tuổi hai người 28 Tính số tuổi người
Lời giải:
Gọi độ dài đoạn thẳng AB biểu thị số tuổi em trước tuổi anh biểu thị đoạn thẳng AC gấp lần đoạn thảng AB ta có mơ hình quan hệ tốn sau
Do anh ln em số tuổi định nên ta biểu thị tuổi anh trước ( tức tuổi em ) đoạn AD, tuổi anh sau đoạn AE BD = DC = CE số tuổi anh em Từ sơ đồ ta tính AB =
Vậy tuổi em tuổi Tuổi anh 12 tuổi
* Nhận xét: Với sơ đồ đoạn thẳng ta thể trực quan đại lượng toán quan hệ chúng đẽ dàng tìm đáp án tốn
VD2: Tìm số tự nhiên có tận biết sau xố số số tự nhiên giảm 484 đơn vị
Lời giải:
Xoá số tận trừ số đơn vị sau chia cho 10 Ta có sơ đồ sau:
Theo sơ đồ ta có :
A B
A
B D
A D C
C E
A
Số ban đầu Số lại
484
7 Tuổi em trước
Tuổi em (tuổi anh trước kia) Tuổi em sau (tuổi anh nay) Tuổi anh sau
(26)Số lại là: (484 - 7): = 53
Vậy số tự nhiên ban đầu 53 10 + = 537 2/ Một số tập:
Bài 1.1: Trên hai ngăn giá sách có tổng cộng upload.123doc.net Nếu lấy ngăn thứ sau thêm vào ngăn thứ hai 10 sách số sách ngăn thứ gấp đoi số sách ngăn thứ Tính số sách ngăn lúc ban đầu Bài 2.1: Mẹ 28 tuổi Sau năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi mẹ tuổi nay?
Bài 3.1: Số dân trước hai huyện A B tỉ lệ với Hiện dân số huyện A tăng thêm 8000 người, dân số huyện B tăng thêm 4000 nên dân số huyện A
gấp
4 dân số huyện B Tính số dân huyện II/ Phương pháp giải thiết tạm
1/ Các ví dụ:
VD1: Xét tốn cổ: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn” Hỏi lồi có con?
Lời giải:
Giả sử tất 36 chó tổng số chân là: 36.4 = 144 chân, thừa 44 chân so với đầu số chân gà
Vậy số gà là: 44: = 22 Số chó 36 – 22 = 14
(27)Lời giải:
Giả sử tất trận đội hồ, số điểm đạt 25 điểm Do tổng số điểm đội đạt 59 điểm thừa 34 điểm so với giả sử đội cịn có trận thắng trận thắng nhiều trận hoà điểm
Vậy số trận thắng đội 34 : = 17 trận Số trận hoà là: 25 – 17 = trận
Vậy đội thắng 17 trận, hoà trận 2/ Một số tập:
Bài 1.2: Một nhà hàng có 22 ghế gồm loại chân, chân chân Tính số ghế loại, biết số ghế chân gấp đôi số ghế chân tổng số có tất 100 chân ghế
Bài 2.2: Một thi có 20 câu hỏi, đội dự thi phải trả lời đủ 20 câu hỏi, câu trả lời cộng thêm điểm, trả lời sai bị trừ điểm Một đội dự thi đạt 52 điểm Tính xem đội trả lời câu, sai câu ?
Bài 3.2: Trên đoạn đường AC dài 200 km có điểm B cách A 10 km Lúc hai ô tô xuất phát chiều xe thứ từ A, xe thứ hai từ B tới C với vận tốc 50 km/h 40 km/h Hỏi lúc khoảng cách đến C xe thứ hai gấp đôi khoảng cách đến C xe thứ ?
III/ Phương pháp lựa chọn
Một số tốn số tự nhiên giải cách vào kiện tốn để tìm số giái trị thoả mãn điều kiện sau thử xem trường hợp thoả mãn đầu toán lựa chọn kết
1/ Các ví dụ:
VD1: Tìm số tự nhiên có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với 1: :
(28)Vì số tỉ lệ với : : 1, 2, 2, 4, 3, 6, nên số phải tìm có số lập nên từ ba chữ số
Nhưng số phải tìm chia hết cho 18 nghĩa chia hết tổng chữ số phải chia hết cho Như có ba chữ số 3, 6, thoả mãn điều kiện Mặt khác số chia hết cho 18 nên phải chia hết cho suy có chữ số tận cùng số chẵn Vậy số phải tìm 396 hặc 936 thoả mãn điều kiện bài tốn
Nhận xét: Ta xét điều kiện số có ba chữ số chia hết cho 18 trước Tuy nhiên phải thử chọn nhiều kết Vì cần lưu ý sử dụng phương pháp kiểm tra điều kiện loại nhiều giá trị không thoả mãn trước để vùng lựa chọn thu hẹp lại giúp ta tìm đáp án tốn nhanh
VD2: Tìm số tự nhiên x biết tổng chữ số x y, tổng chữ số y z x + y + z = 60
Lời giải: Nhận xét: Ta thấy x số có hai chữ số x < 60
Khi x = ab suy y = 10a + b.Có hai trường hợp z 1) Nếu a + b < 10 z = y = a + b
2) Nếu a + b ³ 10 z = a + b –
Xét trường hợp 1: Do x + y + z = 60 nên ta có 10a + b + (a + b) + (a + b) = 60 hay 4a + b =20 suy b = 20 – 4a b nhận giá trị 0, 4, 8, tương ứng ta tìm giá trị a 5, 4, Tuy nhiên cặp giá trị a = 3, b = bị loại a + b > 10 Từ ta tìm x 50 44
Xét trường hợp 2: Ta có 10a + b + (a + b) + (a + b – ) = 60
hay 4a + b = 23 Kết hợp điều kiện ta tìm a = 4, b = thoả mãn từ tìm được x = 47
(29)2/ Một số tập:
Bài 1.3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chia số cho tích chữ số
nó
3 hiệu số phải tìm với số gồm chữ số số viết theo thứ tự ngược lại 18
Bài 2.3: Có ba tờ bìa ghi số 23, 79 ab Xếp ba tờ bìa lại thành được số có chữ số Cộng tất số có chữ số lại (đổi chỗ tờ bìa ta lại được sơ có chữ số khác) kết 989 896 Tìm số ab
Bài 3.3: Trên bia có vịng trịn tính điểm 18, 23, 28, 33, 38 Muốn trúng thưởng phải bắn số phát để đạt 100 điểm Hỏi phải bắn phát vào vòng để trúng thưởng
C TÀI LIỆU THAM KHẢO
(30)