Bài viết đưa ra cách xây dựng công thức tính tích phân bội với phép đổi biến số thích hợp, tính tích phân mặt bằng cách đưa về tích phân kép dựa vào yếu tố diện tích của mặt, từ đó tính được các tích phân trong công thức nghiệm và do đó giải quyết được bài toán.
VẤN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN KHI GIẢI BÀI TỐN CƠSI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHƠNG GIAN Đỗ Thị Hồi Khoa Tốn Khoa học Tự nhiên Email: hoaidt@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 26/10/2020 Ngày PB đánh giá: 16/11/2020 Ngày duyệt đăng: 19/11/2020 TÓM TẮT: Giải tốn Cơsi phương trình truyền sóng địi hỏi phải tìm phương pháp tính tích phân bội, tích phân mặt có cơng thức nghiệm Nhưng vấn đề tính tích phân gặp nhiều khó khăn Bài báo đưa cách xây dựng cơng thức tính tích phân bội với phép đổi biến số thích hợp, tính tích phân mặt cách đưa tích phân kép dựa vào yếu tố diện tích mặt, từ tính tích phân cơng thức nghiệm giải tốn Từ khóa: Bài tốn Cơsi, tích phân bội, tích phân mặt, yếu tố diện tích mặt INTEGRALITY PROBLEM WHEN SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR WAVE EQUATIONS IN PLANES AND SPACES ABSTRACT: Solving the Cauchy problem for wave equations requires finding methods to calculate the multiple and surface integrals included in the solution formulae Because calculating these integrals is difficult, the paper deals with formulating multiple integral formulas with appropriate transformations, calculating surface integrals by bringing about the double integral based on the area factor of the surface, so one can calculate the integrals in the solution formulae and thus solve the problem Keywords: Cauchy problem, multiple integral, surface integral, the area factor of the surface phân mặt công thức nghiệm, giúp MỞ ĐẦU Để giải tốn Cơsi, tốn giải tốn phương trình hỗn hợp phương trình đạo hàm đạo hàm riêng dễ dàng riêng hầu hết phải đưa tính BÀI TỐN CƠSI ĐỐI VỚI tích phân xác định, tích phân bội, tích PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG phân mặt… Tuy nhiên, cơng thức TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG tích phân dạng tốn tương đối KHƠNG GIAN phức tạp Hơn nữa, chưa có tài liệu 2.1 Bài tốn Cơsi phương đưa cách giải chi tiết Việc đưa trình truyền sóng mặt phẳng phương pháp tính tích phân bội, tích 2u 2u u a ; t y x u ( x , y , ) ( x , y ); u ( x , y , ) ( x , y ) t Trong a vận tốc truyền sóng số, C ( ); C ( ) Cơng thức nghiệm tốn cơng thức Poatxơng ([1, tr 252]): TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng năm 2021| 83 u ( x, y , t ) ( , )d d ( , )d d 2 2 2 2 a t K at a t ( x ) ( y ) a t ( x )2 ( y )2 K at ; K at hình trịn tâm x, y , bán kính at Để giải tốn Cơsi theo cơng thức Poatxơng ta cần tính tích phân kép hình trịn, hàm dấu tích phân phức tạp, chứa nhiều biến: x, y, t , , nên việc tính tích phân địi hỏi đưa cơng thức đổi biến thích hợp Trong dạng ta sử dụng cơng thức tích phân suy rộng với phép đổi biến tọa độ cực suy rộng Ví dụ Tìm nghiệm tốn Cơsi: 2u 2u 2u ; t x y u t 0 x; ut t 0 y Giải Theo công thức Poatxông, nghiệm tốn Cơsi có dạng u ( x, y , t ) 2 ( , )d d ( , )d d 2 2 t Kt t ( x ) ( y ) t ( x )2 ( y )2 Kt Trong ( , ) ; ( , ) Tính tích phân: I1 Kt ( , )d d t ( x )2 ( y )2 x rcos ; Thực phép đổi biến: y rcos ; r t ,0 2 Suy ra: J cos r sin r sin rcos Vậy: t 2 0 I1 dr r ( x rcos ) t2 r2 t 2 0 d dr 84 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng năm 2021 xr r cos t2 r2 d t 2 xr r cos = t 2 rx = 0 0 t r t r d dr 0 t r dr t t d (r ) = 2 2 x lim( t r ) x r t t2 r2 2 xt Tương tự ta tính I : I Kt ( , )d d t ( x )2 ( y )2 t 2 0 dr r ( y r sin ) t2 r2 t 2 0 d dr 2 yr r sin = 0 0 t r t r t t y d (r ) t2 r2 yr r sin t2 r2 d t 2 ry dr d dr = 2 t r t = 2 y lim( t2 r2 ) r t 2 yt Vậy nghiệm toán: u ( x, y , t ) 2 t 2 xt 2 yt x yt Thử lại: Thỏa mãn 2.2 Bài tốn Cơsi phương trình truyền sóng khơng gian Tìm nghiệm u ( x, y , z , t ) phương trình truyền sóng: 2u u f ( x, y, z, t ), t 0; t thỏa mãn điều kiện sau: u ( x, y, z,0) ( x, y, z ); u ( x, y, z,0) ( x, y, z ); t C (3 ), C (3 ) TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng năm 2021| 85 Ta giải toán phương pháp chồng chất nghiệm: Giả sử v( x, y, z , t ) nghiệm toán: vtt v I v x y z v x y z ( , , ,0) 0, ( , , ,0) t w (x,y,z,t) nghiệm toán: wtt w II w( x , y , z , 0) ; wt ( x , y , z , 0) u (x,y,z,t) nghiệm toán: u tt u f ( x, y, z, t ) III u ( x, y, z,0) u t ( x, y, z ,0) Ta có nghiệm tốn ban đầu ([1, tr 256]), ([2, tr 230]): u ( x, y , z , t ) 4 ( , , ) St t dS ( , , ) dS t 4 t St f ( , , , ) d dS 4 St t t (công thức Kiêcsốp) Để giải tốn Cơsi sử dụng cơng thức Kiêcsốp, ta cần tính tích phân mặt loại I, việc tính tích phân khó khăn ta sử dụng định nghĩa Do ta đưa tính tích phân kép cách xây dựng cơng thức tính tích phân mặt dựa vào yếu tố diện tích mặt cầu [3, tr 302]: Giả sử F : D lớp tham số hóa thuộc lớp C1; S F (u , v) : u, v D F F Khi yếu tố diện tích S, kí hiệu dS u, v u, v dudv u v Ta xét biểu diễn tham số mặt cầu S, tâm O, bán kính t F : D 3 , t cos cos , t cos sin , t sin ; 86 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng năm 2021 Trong D , , 2 Ta có Suy F t cos sin , t cos cos ,0 ; F t sin cos , t sin sin , t cos F F t cos cos , t cos sin , t sin cos ; 2 F F t cos cos t cos sin t sin cos ; F F t cos 2 Vậy dS t cos d d ; f x, y, z dS f t cos cos , t cos sin , t sin t cos d d S D Ví dụ Tìm nghiệm tốn Cơsi: 2u 2u 2u 2u xyz; t x y z u t 0 x y z ; ut t 0 Giải Theo cơng thức Kiêcsốp, nghiệm tốn Cơsi có dạng u ( x, y , z , t ) 4 ( , , ) St t f ( , , , ) ( , , ) d dS dS t t 4 t St St t dS Trong ( , , ) 2 ; ( , , ) 1; f ( , , , r ) 2 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng năm 2021| 87 Thực phép đổi biến x t cos cos y t cos sin z t sin Tính tích phân J1 ( , , ) t St dS dS t St Ta xét biểu diễn tham số mặt cầu St, tâm O, bán kính t F : D 3 , t cos cos , t cos sin , t sin ; Trong D , , 2 Khi J1 t cos d d d t D t t cos d 4 t Tính tích phân J ( , , ) St t dS Ta xét biểu diễn tham số mặt cầu St, tâm O, bán kính t F : D 3 , t cos cos , t cos sin , t sin ; Trong D , , 2 Khi 88 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng năm 2021 J x y z 2t x cos coc y cos sin z sin t cos 2 2t sin t cos d d ; t D d J2 x y z 2t x cos coc y cos sin z sin t cos 2 2t sin tcos d ; J2 2 t ( x y z )cos 8 t z sin cos d + 2 t cos 6 t z sin cos d ; J = 4 t x y z Để tính tích phân tiếp theo, ta xét biểu diễn tham số mặt cầu St-r , tâm O, bán kính t - r F : D 3 , (t r )cos cos ,(t r )cos sin ,(t r )sin ; Ta có t J dr St r t f ( , , , r ) dS ; tr J 2 dr d x (t r ) cos cos y (t r ) cos sin z (t r )sin (t r ) cos d ; t J t r dr xyz sin xy t r d ; t J 4 xyz t r dr ; J = 4xyzt Thay vào công thức Kiêcsốp , ta có nghiệm tốn cho 4 t x y z 4 t 4 xyzt ; 4 u ( x, y, z , t ) x y z t xyzt u ( x, y , z , t ) TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng năm 2021| 89 Thử lại: Thỏa mãn KẾT LUẬN Giải tốn Cơsi phương trình truyền sóng dựa vào công thức Poatxông công thức Kiêcsốp vấn đề phức tạp khó khăn Bằng cách xây dựng cơng thức tích phân bội, tích phân mặt cách thích hợp báo đưa cách tính tích phân tổng quát, đưa cách giải chi tiết ví dụ cụ thể, từ tìm nghiệm tốn Cơsi TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thừa Hợp (2001) Giáo trình phương trình đạo hàm riêng NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Vũ Tuấn, Đồn Văn Ngọc (1992) Phương trình vi phân NXB Giáo dục Jean - Marie Monier (2006) Giáo trình tốn tập NXB Giáo dục 90 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng năm 2021 ... Để giải tốn Cơsi sử dụng cơng thức Kiêcsốp, ta cần tính tích phân mặt loại I, việc tính tích phân khó khăn ta sử dụng định nghĩa Do ta đưa tính tích phân kép cách xây dựng cơng thức tính tích phân. .. Thỏa mãn KẾT LUẬN Giải tốn Cơsi phương trình truyền sóng dựa vào cơng thức Poatxông công thức Kiêcsốp vấn đề phức tạp khó khăn Bằng cách xây dựng cơng thức tích phân bội, tích phân mặt cách thích... nghiệm toán: u ( x, y , t ) 2 t 2 xt 2 yt x yt Thử lại: Thỏa mãn 2.2 Bài tốn Cơsi phương trình truyền sóng khơng gian Tìm nghiệm u ( x, y , z , t ) phương trình truyền sóng: