Chuyen dePhuong trinh bac hai va ung dung dinh lyViet

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET 1.. a) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm... PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT[r]

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET 1 Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = (a  0)

Cách giải công thức nghiệm

2 Định lý Viet

1 ; 1.

b c

x x x x

a a

  

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

Ngược lại, hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P u v nghiệm phương trình:

x2 - Sx + P = 3 Ứng dụng định lý Viét:

*) Ứng dụng toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:

+ Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x = nghiệm x = c/a + Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x = -1 nghiệm x = -c/a

*) Ứng dụng toán phân tích biểu thức f(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử.

Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 biểu thức f(x) = ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử: f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

Ví dụ: x2 - 3x + = (x - 1)(x - 2); 2x2 - 3x - = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1).

*) Ứng dụng tốn có liên quan đến biểu thức có chứa tổng tích nghiệm. Ví dụ Tính:

2 3

1 2 2

1 2 1

1 1

; ; ; x x ;

x x x x

x x x x x x

    

4 Một số toán thường gặp

Bài toán1: Giải biện luận phương trình dạng: ax2 + bx +c = Bước 1: Nếu a = 0, xét b c:

+ Nếu b  0, phương trình có nghiệm x = -c b. + Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm với x + Nếu b = 0, c  0, phương trình vơ nghiệm

Bước 2: Nếu a  0, tính  = b2 - 4ac.

+ Nếu  > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt 1,2

2 b x

a

   

; + Nếu  = 0, phương trình có nghiệm kép

b x

a 

+ Nếu  < , phương trình vơ nghiệm

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm.

ax2 + bx + c = (a 0) (2)

Δ = b2 –

4ac Kết luận

Δ >

(2) có hai nghiệm phân biệt 1,2

2 b x

a

   

;

Δ =

(2) có nghiệm kép 1,2

b x

a



Δ < (2) vô nghiệm

ax2 + bx + c = (a 0) (2)

Δ = b’2 –

ac Kết luận

'  > 0

(2) có hai nghiệm phân biệt 1,2

' ' b x

a

   

; '

 = 0

(2) có nghiệm kép 1,2

b x

a

 '

Điều kiện:

0,

0,

a b

a

 



    

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm. Điều kiện : a  0,  

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt

Điều kiện :

0,

a a c

   

  

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm trái dấu

Điều kiện: a.c <

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm dương.

Điều kiện :

0,

0

a b a c a

   

       

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm dương phân biệt

Điều kiện :

0,

0

a b a c a

   

       

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm âm.

Điều kiện :

0,

0

a b a c a

   

       

Bài toán Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm âm phân biệt

Điều kiện :

0,

0

a b a c a

   

       

Bài tốn 10 Tìm điều kiện tham số để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt hiệu nghiệm k

Điều kiện:

+ Điều kiện 2:

2

2 2 2 2

2 ( 1) 2 ( 1) 2

b c

x x k x x k x x x x k x x x x k k

a a

               

Bài tập

Bài Cho phương trình: x2 - (m +1)x + 12 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: (x1 - 2x2)(x2 - 2x1) = 10 HD:

a) b)

Bài Tìm m để phương trình x2 - mx + = có hai nghiệm hiệu nghiệm 1. Bài Cho phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài Cho phương trình: 3x2 - 4x - m + = 0.

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt; b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài Cho phương trình: x2 - 3x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

a) x12x22 10; b)

3

1 2 7;

x x x x 

Bài Cho phương trình: x2 - (2m + 3)x + m2 + 2m + = (1) Xác định m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 Khi chứng minh rằng:

4x1x2 = (x1 + x2)2 - 2(x1 + x2) + 5.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12x22 15;

c) Phương trình (1) có nghiệm x1 = x2 > Bài Cho phương trình: x2 + 2mx + = 0.

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để tổng bình phương nghiệm 10

Bài Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm ngun: x2 - mx - m = 0.

Bài Tìm m để phương trình: (m + 1)x2 - (3m + 5)x + m - = có nghiệm dương

Bài 12 Cho phương trình: x2 + x + m = (1) x2 + mx - = (2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm phương trình (2)

Bài tốn 13 Cho số k tuỳ ý phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hai nghiệm x1 x2 Chứng minh điều kiện cần đủ để hai nghiệm k lần nghiệm là:

2 ( 1) 0

kb  k ac

Giải:

Điều kiện để có nghiệm k lần nghiệm x1 = kx2 x2 = kx1 Ta có: x1 = kx2 x2 = kx1  (x1 - kx2)( x2 - kx1) = (1)

Vế trái đẳng thức biểu thức đối xứng x1 x2 Do biểu diễn qua ;

b c

x x x x

a a

  

Cụ thể là:

2

2 2 2

1 2 1 2 2

2

( )( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

( 1)

(2)

c b

x kx x kx x x k x x k x x k k x x k x x k k

a a

k ac kb

a

 

               

 

 



Từ (1) (2) suy x1 = kx2 x2 = kx1  kb2 (k1)ac0.

Bài 14 Cho phương trình: x2 2(m1)x m 2 3m 4

a) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, tìm hệ thức liên hệ độc lập nghiệm

b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: x12x22 5(x1x2 2)

HD:

2

1

2

3

x x

x x

   

 

       

a) ĐK: m 

Hệ thức độc lập là: (x1 x2)2 2(x1x2) 0 

Bài 15 Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2mx + = Hãy tìm tất giá trị m để có đẳng thức:

HD:

Phương trình có hai nghiệm x1, x2     m2 -  

2 m m

   

 .

Khi theo định lý Viet ta có:

1

1

2

x x m

x x

  

 

 .

2 2 2 2 2

1 2 2 2

2 2 1 2

2

2

( )

3 5

4

5 ( 2) 5

4

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

m

m m m

            

         

         

         

  

           

 

Bài 16 Hãy tìm tất giá trị m để phương trình bậc hai: (m + 1)x2 - 2mx - m = 0

ĐK:

1

0 m

x x



   

    

 

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 1 Phương trình có ẩn dấu giá trị tuyệt đối. Bài Giải phương trình sau:

a) |2x - 3| = x – 5; b) |2x + 5| = |3x - 2|; c) |4x + 1| = x2 + 2x – 4; d)

3

| |

x

x x



 

 ; e) |x2 – 2x - 3| = x – f) x2 + 4x - 3|x + 2| + = 0;

g) 6x2 - 4x - + |3 - x| = 0; h) |2x2 + 3x - 1| = + x; Giải:

Cách 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để phá dấu giá trị tuyệt đối. |2x - 3| = x –

Nếu 2x –   x  3/2 ta có phương trình: 2x – = x –  x = -2 (loại)

Nếu 2x – <  x < 3/2 ta có phương trình : -2x + = x -  3x =  x = 8/3 (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm

Cách 2: Bình phương hai vế ta phương trình hệ quả:

|2x - 3| = x –  (2x - 3)2 = (x - 5)2  4x2 - 12x + = x2 - 10x + 25  3x2 - 2x - 16 = 0 Bài Giải phương trình sau:

a) |x2 + x - 1| = 2x - 1; b) |x2 + 2x - 4| + 2x + = 0; c) |x2 - 20x - 9| = |3x2 + 10x + 21|; d) |x2 - 2x - 3| = x2 - 2x + 5; e) |2x - 3| = |x - 1|; f) |x2 - 2x - 3| = 2.

g) |3x - 2| +x2 - 5x + = 0;

1 Phương trình có ẩn dấu căn. * Dạng: f x( ) g x( )

Cách giải:  Cách1:

2 ( ) ( ) ( )

( ) [ ( )] g x

f x g x

f x g x

 

  

 

 Cách:

2

( ) ( ) ( ) [ ( )]

f x g x  f x g x

Bài Giải phương trình sau:

a) 4x 2 x 5; b) x2 7x10 3 x1; c) 3x  x 3;

d) x2 2x 3 2x1; e) x26x9 | 2 x1|; f) 3x26x 4 x 3 0; Giải:

2

2

2

5

4

4 (2 5)

4 20 25

5

5

6

2

2

4 24 34 12 17

6 2

x x

x x

x x

x x x

x

x x

x x

x x x x

x



  

 

      

  

     

 

  

 

   

  

        

        

 

 

 

 

2

2 2

2

) 10; ) 2; ) 3;

6

) ; ) 0; ) 3

3

) 3 ( 1)

2

a x x b x x x c x x x

d x x e x x f x x x x

x

g x x x x

           

           



     

* Phương trình dạng: f x( ) g x( ) Cách giải:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x

f x g x

f x g x

g x

f x g x

f x g x

 

  

 

 

  

 

hc

Ví dụ Giải phương trình:

a) 2x2 5x x2 4; b) 3x2 4x 4 x5; c) 2x23x 4 7x2

HD:

a)

2

2

2

2

2

2

2

2 4

1

2

5

4 x x

x x

x

x x x x

x

x x x

x x

x

 

  



   

   

          



   



  

   

  

 

*Phương trình dạng: f x( ) g x( )a Cách giải: ĐK:

( ) ( ) f x g x

 



 

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

f x  g x  a f x g x  f x g x a  f x g x a  f x g x

Ta phương trình dạng f x( )g x( ) Bài tập Giải phương trình sau:

) 1; ) 14 49 14 49 14

a x  x  x  x  b x x  x x 

c) √2x+9=√4− x+√3x+1 ; d) √4x −1+√4x2−1=1 ;

e) √x+8−√5x+20+2=0 ; f) √3x −3−√5− x=√2x −4 ;

g) √3x+1=8−√x+1 ; h) 3x 4 x 2 x;