Bài viết là một chút tìm tòi của tôi về một đẳng thức lượng giác rất đẹp của lượng giác sơ cấp và một số đẳng thức khác cùng loại với nó. Đây là một đẳng thức tuyệt đẹp của lượng giác sơ[r]
(1)VỀ MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG
GIÁC CỦA RAMANUJAN
Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Math - HNUE
Bài viết chút tìm tịi đẳng thức lượng giác đẹp lượng giác sơ cấp số đẳng thức khác loại với Có thể viết khơng làm thỏa mãn bạn đọc hiểu biết có hạn chế tơi, ý kiến đóng góp bạn gửi cho tơi qua địa www.facebook.com/minhtuan1210
Trước hết mở đầu toán
Bài toán : Chứng minh
3
r
cos2π +
3
r
cos4π +
3
r
cos8π =
3
s
5−3√3
Nhiều bạn thấy toán quen thuộc xuất số sách "Hệ thức lượng giác" thầy Trần Phương, "Một số toán chọn lọc lượng giác" thầy Nguyễn Văn Mậu Phạm Thị Bạch Ngọc Đây đẳng thức tuyệt đẹp lượng giác sơ cấp mà người tìm nhà tốn học người Ấn Độ tên Ramanujan Ban đầu thấy công thức sách, đinh ninh đề thi đó, nhiên, đọc viết thầy Hoàng Chúng báo THTT nhà tốn học này, tơi lại nhìn thấy cơng thức thực hứng thú, tìm tịi Trước hết tìm hiểu chút nhà toán học
Ramanujan (22/12/1887 - 26/4/1920) nhà toán học, thần đồng toán học Ấn Độ Ơng sống làm việc hồn cảnh nghèo khó, bệnh tật Ơng gương sáng tinh thần tự học, tự tìm tịi Ơng để lại khoảng 3000 công thức định lý, chủ yếu lĩnh vực phương trình đồng thức Một số kết khơng có chứng minh Năm 1976, người ta tìm thấy sổ thất lạc ông thư viện trường Cambridge, với 600 cơng thức Có số kết khiến nhiều người phải sửng sốt Một số công thức Ramanujan
3
r
1 9−
3
r
2 +
3
r
4 =
3
p√3
2−1
r
cos2π +
3
r
cos4π +
3
r
cos8π =
3
r
5−3√3
r
cos2π +
3
r
cos4π +
3
r
cos8π =
3
r
3√3 9−6
2
Công thức chứng minh đơn giản, hai cơng thức sau khơng đơn giản chút Ở viết tìm hiểu cơng thức số thấy
2π
7 , 4π
7 , 8π
(2)Việc đến với Định Lý Vi-et cho phương trình bậc
Định lý :Giả sửa, b, clà nghiệm ( kể phức ) phương trìnhx3+px2+qx+r= Khi
a+b+c=−p ab+bc+ca=q abc=−r
Trong phần việc quan trọng tìm A = √3a+√3b+√3c theo hệ số Ta đặt thêm B =√3 ab+√3ac+√3bc Khi ta có
A3 =a+b+c+ 3(√3a+√3 b+√3c)(√3 ab+√3 ac+√3bc)−3√3abc = 3AB−p+ 3√3r
B3 =ab+bc+ca+3(√3
ab+√3ac+√3
bc).√3
abc(√3a+√3
b+√3c)−3√3a2b2c2 =q−3√3 rAB−3√3r2 Ta hệ
A3 = 3AB−p+ 3√3 r
B3 =q−3√3 rAB−3√3 r2
Nhân vế với vế ta phương trình bậc ẩn AB Giải sau thay lại ta tìm raA
và B
Tiếp theo đến với số bổ đề quan trọng số nghiệm phương trình bậc
Bổ đề : Ba sốcos2π
7 , cos 4π
7 , cos 8π
7 nghiệm phương trình
t3+1 2t
2− 2t−
1 =
Chứng minh : Để ý 2π
7 , 4π
7 , 8π
7 nghiệm phương trình
cos 4x= cos 3x ⇐⇒ (cosx−1)(8 cos3x+ cos2x−4 cosx−1) = Do cos2π
7 , cos 4π
7 , cos 8π
7 khác nên ta có điều phải chứng minh
Bổ đề : Ba số
cos2π
,
cos4π
,
cos8π
là nghiệm phương trình
t3+ 4t2−4t−8 =
Chứng minh : Thay t
t bổ đề ta có điều phải chứng minh
Bổ đề : Ba sốcos2 2π ,cos
2 4π ,cos
2 8π
7 nghiệm phương trình
t3−
4t 2+
8t− 64 =
Chứng minh : Do cos16π
7 = cos 2π
7 nên ba số cos 4π
7 ,cos 8π
7 ,cos 16π
(3)ngay điều phải chứng minh
Bổ đề : Ba số
cos2 2π
,
cos2 4π
,
cos2 8π
là nghiệm phương trình
t3−24t2+ 80t−64 =
Chứng minh : Trong bổ đề thay t
t ta có điều phải chứng minh
Bổ đề : Ba sốsin2 2π ,sin
2 4π ,sin
2 8π
7 nghiệm phương trình
t3−
4t
+ 8t−
7 64 =
Chứng minh : Trong bổ đề thay t bởi1−t ta có điều phải chứng minh
Bổ đề : Ba số
sin2 2π
,
sin2 4π
,
sin2 8π
là nghiệm phương trình
t3−8t2+ 16t− 64
7 =
Chứng minh : Trong bổ thay t
t ta có điều phải chứng minh
Bổ đề : Ba sốsin2π
7 ,sin 4π
7 ,sin 8π
7 nghiệm phương trình
t3− √
7 t
2+
√
7 =
Dựa vào bổ đề ta dễ dang tính đại lượng a+b+c, ab+bc+ca, abc theo
đại lượng a2, b2, c2
Bổ đề : Ba sốtan2 2π ,tan
2 4π ,tan
2 8π
7 nghiệm phương trình
t3−21t2+ 35t−7 =
Chứng minh : Vì
cos2a = + tan
2a nên từ bổ đề thay t bằng 1 +t ta có điều
phải chứng minh
Bổ đề : Ba sốcot2 2π ,cot
2 4π ,cot
28π
7 nghiệm phương trình
t3−5t2 + 3t−
7 =
Chứng minh : Trong bổ đề thay t
t ta có điều phải chứng minh
Bổ đề 10 : Ba số tan2π
7 ,tan 4π
7 ,tan 8π
7 nghiệm phương trình
t3+√7t2−7t−√7 =
(4)Bổ đề 11 : Ba số cot2π ,cot
4π
7 ,cot 8π
7 nghiệm phương trình
t3+√7t2−t− √1
7 =
Chứng minh : Trong bổ đề 10 thay t
t ta có điều phải chứng minh
Bổ đề 12 : Ba số sin3 2π ,sin
34π ,sin
3 8π
7 nghiệm phương trình
t3− √
7 t
2+21 64t+
7√7 512 =
Sử dụng bổ đề ta dễ dàng tính đại lượng a3+b3+c3, a3b3+b3c3+c3a3, a3b3c3
theo a+b+c, ab+bc+ca, abc
Bổ đề 13 : Ba số cos3 2π ,cos
3 4π ,cos
3 8π
7 nghiệm phương trình
t3+1 2t
2− 11 64t−
1 512 =
Bổ đề 14 : Ba số sin2π
7 cos 8π
7 ,sin 4π
7 cos 2π
7 ,sin 8π
7 cos 4π
7 nghiệm phương trình
t3− √
7 t
2+ 32t+
√
7 512 =
Chúng ta dùng bổ đề hệ phương trình ta xây dựng Định lý Vi-et để giải đẳng thức Ramanujan số đẳng thức khác
Bài : Chứng minh
3
r
cos2π +
3
r
cos4π +
3
r
cos8π =
3
s
5−3√3
Lời giải Đặt A=
r
cos2π +
3
r
cos4π +
3
r
cos8π ,
B =
r
cos2π cos
4π
7 +
r
cos4π cos
8π
7 +
r
cos8π cos
2π
7 Sử dụng bổ đề hệ phương trình ta
A3 = 3AB−2
B3 = 2AB−
5 Nhân vế với vế đặt AB=t ta thu
t3 = (3t−2)(3 2t−
5
4) ⇐⇒ t =
3−√3 Thay lên phương trình (1) ta A3 = 5−3
3
√
7
2 hay
3
r
cos2π +
3
r
cos4π +
3
r
cos8π =
3
r
5−3√3
(5)Từ ví dụ sau, thống đặt A B Một số kết "ăn theo" tốn (các bạn thử sức) :
Kết : Chứng minh
3
r
cos2π cos
4π
7 +
r
cos4π cos
8π
7 +
r
cos8π cos
2π
7 =
s
4−3√3
Kết :
3
r
cos2π + cos
4π
7 +
r
cos4π + cos
8π
7 +
r
cos8π + cos
2π
7 =
s
4−3√3
Bài : Chứng minh
3
v u u t
1 cos2π
7 +
v u u t
1 cos4π
7 +
v u u t
1 cos8π
7 =
q
8−6√3
Lời giải Quy đồng vế trái thành
r
cos2π cos
4π
7 +
r
cos4π cos
8π
7 +
r
cos8π cos
2π
7
r
cos2π cos
4π
7 cos 8π
7 Sử dụng kết bổ đề ta
V T =
v u u t
4−3√37
=
q
8−6√3
Bài : Chứng minh
3
r
tan2π +
3
r
tan4π +
3
r
tan 8π =
18√ 73
r
33
q
3(1−√3 +√3
49)−3p3 + 3√3
7−3√3
49−6−√3
Lời giải Đặt A B trên, sử dụng bổ đề 10 hệ phương trình xây dựng ta thu
A3 = 3AB−√7−3√6
B3 = 3√6
7AB−3√3 7−7 Nhân vế với vế đặt AB=t ta thu
(6)Phương trình ta phải đổi biến sử dụng công thức Cardano để giải =)) Ta giải
t =√6
3
q
3(1−√3
7 +√3 49)−
q
5 + 3√37−3√349−1
Thay lên phương trình (1) ta
A3 =√6
3q3
3(1−√3 +√3
49)−3p3 + 3√3
7−3√3 49
−6√6
7−√7 =√6
7
33
q
3(1−√3 +√3
49)−3p3 + 3√3
7−3√3
49−6−√3
Đến lấy bậc hai vế ta thu
r
tan2π +
3
r
tan4π +
3
r
tan 8π =
18√ 73
r
33
q
3(1−√3 +√3
49)−3p3 + 3√3
7−3√3
49−6−√3
Bài : Chứng minh
3
r
cot2π +
3
r
cot4π +
3
r
cot8π = 18√
3
r
3
√
49−6 + 33
q
3(1−√3 +√3
49)−3p3 + 3√3
7−3√3 49
Bài : Chứng minh
3
s
sin2π7 sin8π7 +
3
s
sin4π7 sin2π7 +
3
s
sin8π7 sin4π7 =
3
q
5−3√7
Lời giải Sử dụng công thức nhân đôi với ý sin2π = sin
16π
7 ta thu
r
2 cos8π +
3
r
2 cos2π +
3
r
2 cos 4π =
3
q
5−3√3
Đây tốn
Một tương tự
Bài : Chứng minh
3
s
sin2π7 sin4π7 +
3
s
sin4π7 sin8π7 +
3
s
sin8π7 sin2π7 =
3
q
4−3√3
Bài : Chứng minh
3
r
1 + cos2π +
3
r
1 + cos4π +
3
r
1 + cos8π =
3
q
(7)Lời giải Khơng khó khăn dựa vào bổ đề ta + cos2π
7 ,1 + cos 4π
7 ,1 + cos 8π
7 nghiệm phương trình
t3−2t2−2t+ =
Đến cơng việc có lẽ đơn giản
Một vài tốn áp dụng bổ đề
Bài : Chứng minh
3
s
2 + cos2π7 +
3
s
2 + cos4π7 +
3
s
2 + cos8π7 =
3
q
6√37−10
Bài : Chứng minh
3
r
cos2 2π +
3
r
cos2 4π +
3
r
cos2 8π =
3
s
(5−3√3 7)2
4 −
3
q
8−6√3
Bài 10 : Chứng minh
3
s
cos2π7 cos4π7 +
3
s
cos4π7 cos8π7 +
3
s
cos8π7 cos2π7 =−
3
√
7
Lời giải Ta tìm xem sốx= cos 2π
7 cos4π7 , y =
cos4π7 cos8π7 , z =
cos8π7
cos2π7 nghiệm phương trình Ta dùng số bổ đề để tìm
Dễ thấy xyz = Tiếp theo ta tìm xy+yz+zx Ta có xy+yz +zx=
cos2π cos8π
7 +
cos4π cos2π
7 +
cos8π cos4π
7 Chú ý cos 2a= cos2a−1và cos2π
7 = cos 16π
7 Vậy
xy+yz+zx= 2(cos2π + cos
4π
7 + cos 8π
7 )−( cos2π
7
+
cos4π
+
cos8π
) = 2.−1
2 + = Cuối
x+y+z =
P
cos2cos8π cos2π
7 cos 4π
7 cos 8π
7
= 8Xcos2cos8π =
X
(1 + cos4π ) cos
8π
7
= 4Xcos8π +
X
cos4π cos
8π
7 =−4 Như A=
s
cos2π7 cos4π7 +
3
s
cos4π7 cos8π7 +
3
s
cos8π7
cos2π7 nghiệm hệ
A3 = 3AB−7
B3 = 3AB
(8)Vậy
s
cos2π7 cos4π7 +
3
s
cos4π7 cos8π7 +
3
s
cos8π7 cos2π7 =−
3
√
7
Cuối vài kết khác, đẳng thức thực khó so với toán sử dụng biến đổi đại số với toán lâu Có lẽ phải sử dụng số kết đa thức dãy số
Bài 11 : Chứng minh
cos4π
3
r
cos2π + cos
8π
7
r
cos4π + cos
2π
7
r
cos8π =
1 2√3
2
q
5 + 3√37−3√349 (1)
Bài 12 : Chứng minh
cos4π v u u t cos8π
7
+ cos8π v u u t cos2π
7
+ cos2π v u u t cos4π
7
=−3
r
3 4(1 +
3
√
7)2 (2)
Bài 13 : Chứng minh
cos4π
3
s
cos4π7 cos8π7 + cos
8π
7
s
cos8π7 cos2π7 + cos
2π
7
s
cos2π7
cos4π7 = (3)
Bài 14 : Chứng minh
cos2 4π
3
r
cos2π +cos
2 8π
3
r
cos4π +cos
2 2π
3
r
cos8π = √ 128 q
12√37−(4 + 3√3 7)2 (4)
Bài 15 : Chứng minh
cos2 4π v u u t cos8π
7
+ cos2 8π v u u t cos2π
7
+ cos2 2π v u u t cos4π
7 =
s
(5−3√3 7)2
64 (5)
Bài 16 : Chứng minh
cos3 4π v u u u u t
cos2π cos4π
7
+ cos3 8π v u u u u t
cos4π cos8π
7
+ cos3 2π v u u u u t
cos8π cos2π
7
=−3
8
√
7 (6)
Bài 17 : Chứng minh
3 v u u u u t
cos4π cos2π
7 + v u u u u t
cos8π cos4π
7 + v u u u u t
cos2π cos8π
7
= (7)
Bài 18 : Chứng minh
cos2π
3
r
cos4π + cos
4π
7
r
cos8π + cos
8π
7
r
cos2π =−
1
r
1 + 3
√
(9)Bài 19 : Chứng minh cos2π
7 v u u t cos8π
7
+ cos8π v u u t cos4π
7
+ cos4π v u u t cos2π
7 =
r
9 4(2−
3
√
7) (9)
Bài 20 : Chứng minh
cos2 4π v u u u u t
cos8π cos4π
7
+ cos2 8π v u u u u t
cos2π cos8π
7
+ cos2 2π v u u u u t
cos4π cos2π
7
=−1
4
√
49 (10)
Bài 21 : Chứng minh
cos24π
3
r
cos8π + cos
2 8π
3
r
cos2π + cos
2 2π
3
r
cos4π = √ 128 q
47 + 3√3 7−12√349 (11)
Bài 22 : Chứng minh
cos2 2π v u u t cos8π
7
+ cos2 8π v u u t cos4π
7
+ cos2 4π v u u t cos2π
7
=−√31
32
q
73 + 36√3 + 3√3 49 (12)
Bài 23 : Chứng minh
3 v u u u u t
cos2π cos24π
7 + v u u u u t
cos4π cos2 8π
7 + v u u u u t
cos8π cos2 2π
7 =
q
22−6√3 49 (13)
Bài 24 : Chứng minh
3
r
cos2π cos4π
7 +
3
r
cos4π cos8π
7 +
3
r
cos8π cos2π
7
=−3
q
36 + 36√37 (14)
Bài 25 : Chứng minh
3 v u u u u t
cos2π cos2 8π
7 + v u u u u t
cos4π cos2 2π
7 + v u u u u t
cos8π cos24π
7 =
q
6(−1 +√3 7−√3
49) (15)
Bài 26 : Chứng minh
3
r
cos2π cos8π
7 +
3
r
cos4π cos2π
7 +
3
r
cos8π cos4π
7
=
q
(10)Bài 27 : Chứng minh
3
v u u t
1 cos2 2π
7 +
v u u t
1 cos2 4π
7 +
v u u t
1 cos28π
7 =
q
4(12 + 6√37 + 3√349) (17)
Bài 28 : Chứng minh
3
v u u u u t
cot2π sin2π
7 +3
v u u u u t
cot4π sin4π
7 +3
v u u u u t
cot8π sin8π
7 =
r
8
r
6−2√3 7−33
q
3(1 +√3 7)2−33
q
−26 + 6√37 + 3√3 49 (18)
Bàu 29 : Chứng minh
sin2 2π
3
v u u u u t
sin8π sin2π
7
+ sin24π
3
v u u u u t
sin2π sin4π
7
+ sin2 8π
3
v u u u u t
sin4π sin8π
7 =
4
q
77−21√3 49 (19)
Bài 30 : Chứng minh
3
r
cos2π sin4π
7 +
3
r
cos4π sin8π
7 +
3
r
cos4π sin2π
7 =
3
√
4
√
7
q