KiÕn thøc cÇn nhí: 1.. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2 vµ lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt.[r]
(1)Sè nguyªn tè
I KiÕn thøc cần nhớ: 1 Dịnh nghĩa:
* Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ớc * Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai íc
2 TÝnh chÊt:
* NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q
* NÕu tÝch abc chia hết cho số nguyên tố p thõa sè cđa tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tố p
* Nếu a b không chia hết cho số nguyên tố p tích ab không chia hÕt cho sè nguyªn tè p
3 Cách nhận biết số nguyên tố:
a) Chia số lần lợt cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết số khơng phải số ngun tố
- Nếu chia lúc số thơng nhỏ số chia mà phép chia số d ssó số ngun tố
b) Một số có ớc số lớn số khơng phải số ngun tố
4 Phân tích số thừa số nguyên tố:
* Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dới dạng tích thừa số nguyên tố
- Dạng phân tích thừa số nguyên tố số ngun tố số - Mọi hợp số phân tích đợc thừa số nguyên t
ới , , số nguyên tố , , , N , , ,
A a b c
V a b c l
5 Sè ớc số tổng ớc số sè:
+1 1
¶ sư
ới , , số nguyên tố , , , N vµ , , ,
1 Số ớc số A là: ( +1)( +1) ( +1)
a 1
2 Tæng ớc số A là:
1 1
Gi A a b c
V a b c l
b c
a b c
6 Sè nguyªn tè cïng nhau:
* Hai số nguyên tố hai số có ƯCLN Hai số a b nguyên tố ƯCLN(a, b) = Các số a, b, c nguyên tố ƯCLN(a, b, c) =
Các số a, b, c đôi nguyên tố ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) =
ƯCLN(c, a) =1
II Các vÝ dô:
VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ
HD:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn
VD2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố
HD:
Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số nguyên tố tồn số ngun tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố
VD3: Tỉng cđa sè nguyªn tè cã thĨ 2003 hay không? Vì sao?
HD:
(2)VD4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố
HD:
Giả sử p sè nguyªn tè
- Nếu p = p + = p + = số nguyên tố
- Nếu p số nguyên tố p có d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + víi k N*.
+) Nếu p = 3k p = p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do p + hợp số
+) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do p + hợp số
VËy víi p = th× p + p + số nguyên tố
VD5: Cho p p + sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng p + hợp số
HD:
Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + víi k N*.
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố)
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) p + p + > Do
p + lµ hợp số
Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hỵp sè
VD6: Chứng minh số ngun tố lớn có dạng 4n + 4n –
HD:
Mỗi số tự nhiên n chia cho có số d: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết đợc dới dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k +
víi k N*.
- NÕu n = 4k n4 n hợp số.
- Nếu n = 4k + n2 n hợp số
Vy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n N*.
VD7: Tìm ssó ngun tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số ngun tố
HD:
¶ sư a, b, c, d, e số nguyên tố d > e Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*)
Tõ (*) a > a số nguyên tố lẻ b + c d - e số lẻ
Do b, d số nguyên tố b, d số lỴ c, e Gi
số chẵn c = e = (do c, e số nguyên tố)
a = b + = d - d = b +
Vậy ta cần tìm số nguyên tố b cho b + b + số nguyên tố
VD8: Tìm tất số nguyªn tè x, y cho: x2 – 6y2 = 1. HD:
2 2 2
2
2
2
ã: x 1 ( 1)( 1) 6 ( 1)( 1)
µ x - + x + = 2x x - vµ x + có tính chẵn lẻ x - x + hai số chẵn liên tiếp
( 1)( 1) 8
2 2
Ta c y x y x x y
Do y x x
M
x x y y
y y y x
VD9: Cho p p + số nguyên tè (p > 3) Chøng minh r»ng p + 16.
(3)Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có d¹ng: 3k + 1, 3k + víi k N*.
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do
p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1)
Do p số nguyên tố p > p lẻ k lẻ k + chẵn k + 12 (2)
Tõ (1) vµ (2) p + 16
II Bµi tËp vËn dơng:
Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + vµ p + 10
b) p + 10 vµ p + 20 c) p + 10 vµ p + 14 d) p + 14 vµ p + 20 e) p + 2vµ p + f) p + vµ p + 14 g) p + vµ p + 10 h) p + vµ p + 10
Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14
b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16
Bµi 3:
a) Cho p p + sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: p + hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 5p + hợp
số
d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + hợp
số
g) Cho p 8p + số nguyên tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp
sè
j) Cho p vµ 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp
số
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
a) NÕu p q hai số nguyên tố lớn th× p2 – q2 24.
b) NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) lµ số nguyên tố lớn k 6. Bài 5:
a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r hợp số Tìm số d r
b) Một số nguyên tố chia cho 30 cã sè d r T×m sè d r biết r không số nguyên tố
Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho
Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trớc d đơn vị Chứng minh d chia hết cho
Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số lập phơng số tự nhiên
Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết đợc dới dạng tích số nguyên tố liên tiếp
(4)Bµi 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 cịng lµ sè nguyên tố. Bài 12: Tìm tất ba sè nguyªn tè a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a
Bài 13: Tìm sè nguyªn tè p, q, r cho pq + qp = r. Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z tho¶ m·n xy + = z.
Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab ac l, số nguyên tố b2 cd b c
B i 16:à Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) lµ số nguyên tố
Chứng minh sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng
Bài 17: Tìm tất số nguyên tè x, y cho: a) x2 – 12y2 = 1.
b) 3x2 + = 19y2.
c) 5x2 – 11y2 = 1.
d) 7x2 – 3y2 = 1.
e) 13x2 – y2 = 3.
f) x2 = 8y + 1.
Bài 18: Tìm sè nguyªn tè cho tÝch cđa chóng gÊp lÇn tỉng cđa chóng
Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p2 + số nguyên tố
p =
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là số nguyên tố a2 – b2 = a + b. Bài 21: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n +
6n –
Bài 22: Chứng minh tổng bình phơng số nguyên tố lớn số nguyên tố
Bài 23: Cho số tự nhiên n2 Gọi p1, p2, , pn là số nguyên tè cho
pn n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dÃy số số tự nhiên liên tiếp:
A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố
Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố th× 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - 1p