Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP *** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Lĩnh vực Người viết Tổ Năm học Số điện thoại : : : : : Toán học Nguyễn Đình Ngọ Toán - Tin 2020 - 2021 0974.364.777 Quỳ Hợp, tháng 3-2021 MỤC LỤC Trang PHÂN I ĐĂT VÂN ĐÊ .4 I LÝ DO CHỌN ĐÊ TÀI II MỤC TIÊU CỦA ĐÊ TÀI III GIỚI HẠN CỦA ĐÊ TÀI PHÂN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ CỦA ĐÊ TÀI Cơ sở ly luân .6 Cơ sở thực tiễn II THỰC TRẠNG CỦA ĐÊ TÀI .7 III NÔI DUNG CHINH CỦA ĐÊ TÀI .7 A CƠ SỞ LÝ THUYẾT .8 B MÔT SÔ DẠNG BÀI TÂP VÂN DỤNG 10 Một số toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 10 Một số toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 12 Một số tập tính khoảng cách hai đường thẳng chéo .25 Một số tập tính khoảng cách đường thẳng m ăt phẳng song song 34 Một số tập tính khoảng cách hai m ăt phẳng song song .36 Một số tập đề nghi .39 IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG 41 PHÂN III KẾT LUẬN .42 Quá trinh thực hiên đề tài 42 Ý nghĩa của đề tài 42 Khả ứng dụng, triển khai .43 Hướng phát triển 43 Kiến nghi .43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐÊ I LÝ DO CHỌN ĐÊ TÀI Trong chương trình tốn học THPT bài tốn khoảnh cách là dạng tốn tương đới khó với đối tượng học sinh Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp THPT năm gần bài tập khoảng cách xuất nhiều và khiến đại phận học sinh cảm thấy bế tắc trình định hướng tìm lời giải đới với lớp bài tốn này Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hành, bài tốn tính khoảng cách trình bày là và hạn chế Chỉ có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ và đưa cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm Hơn nữa, số tiết phân phới chương trình cho phần này q (3 tiết) nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Với học sinh việc giải bài tập khoảng cách nhiều thời gian với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua bài tập đó lại càng nhiều thời gian và cơng sức Chính khó khăn đó cản trở đến trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh hoạt động giảng dạy Trong trình giảng dạy trường THPT Quỳ Hợp nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải lớp bài tốn này, cịn lúng túng nhầm lẫn trình làm bài Vì xếp bài tập khoảng cách có tính hệ thớng giúp học sinh có tảng kiến thức vững hơn,tự tin giải bài tập hình học khơng gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, sáng tạo cho em Với lý trên, chọn đề tài: ”Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ tính khoảng cách cho học sinh qua bài tốn khoảng cách khơng gian” nhằm cải thiện chất lượng dạy học trường THPT nói chung và chất lượng dạy học trường THPT Quỳ Hợp nói riêng II MỤC TIÊU CỦA ĐÊ TÀI Mục tiêu chung - Rèn luyện cho học sinh cách tư duy, cách phân tích và kĩ giải toán và tạo bài toán - Rèn luyện cho em đức tính cần cù, chịu khó tìm tịi, sáng tạo và đồng thời hình thành cho em thói quen tự học, tự nghiên cứu - Hình thành cho em thói quen biết khai thác vấn đề đơn giản Toán học Mục tiêu cụ thể Xây dựng, xếp bài tập khoảng cách có tính hệ thớng, thơng qua đó để phát huy tính tích cực, định hướng tư duy, cách phân tích bài tốn, rèn kỹ tính khỏng cách cho học sinh III GIỚI HẠN CỦA ĐÊ TÀI Về đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, tìm hiểu tài liệu, đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, tốt nghiệpTHPT năm qua.Thực hành thông qua tiết dạy lớp, dạy ôn học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệpTHPT mơn Tốn nhà trường Về khơng gian Đang áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 11 và lớp 12 trường THPT Quỳ Hợp PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ CỦA ĐÊ TÀI Cơ sở lý luận Toán học là môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ vận dụng để giải sớ vấn đề xảy thực tế Vì việc dạy học mơn Tốn là dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực từ đó giúp học sinh học tập và tiếp thu kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào sớng Dạy học mơn Tốn người thầy khơng dạy cho học sinh kiến thức tốn học (những cơng thức, định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy phải dạy cho học sinh có lực, trí tuệ để giải vấn đề nêu học tập và sau này Với phương pháp dạy học đại ngoài việc giúp học sinh lĩnh hội kiến thức, hình thành và phát triển kỹ bản cần thiết cho học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa kiến thức học cách hệ thống để học sinh có khả vận dụng kiến thức học để tự giải vấn đề cách động sáng tạo Cơ sở thực tiễn Bài tốn tính khoảng cách mơn hình học khơng gian là bài tốn khó đới với học sinh THPT là môn học có phần trừu tượng Dạng toán liên quan đến thiết diện đa dạng và thường xuyên có mặt đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm Việc giải bài tốn tính khoảng cách khơng đơn giản, yêu cầu người giải không nắm vững kiến thức bản mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và phải cần thực hành nhiều Mặt khác, tiến khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật tri thức Trong năm gần đây, ngành giáo dục liên tục có thay đổi nhằm để phù hợp với xu thời đại, điều đó thể năm học thơng qua hình thức thi trắc nghiệm và liên mơn Đới với hình thức thi này, người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tịi cách giải mới; liên tục rèn luyện đạt kết quả cao II THỰC TRẠNG CỦA ĐÊ TÀI Hình học khơng gian là nới tiếp hình học phẳng, khoảng cách không gian nằm chung đó Do vậy, trước học khoảng cách không gian học sinh phải nắm vững khái niệm, định lí liên quan với nó hình học phẳng.Ngoài cịn phải nắm vững kiến thức quan hệ song song,quan hệ vuông góc và mối quan hệ chúng không gian Một vấn đề quan trọng việc giải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽ hình biểu diễn, xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng, hình chiếu điểm lên mặt phẳng…Đây là vấn đề gây nhiều khó khăn cho hoc sinh Khoảng cách không gian và hình học phẳng có mới liên hệ khăng khít Ví dụ khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng song song giữ nguyên chuyển sang hình học khơng gian Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng không gian khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo làm học sinh khó hình dung,hầu hết em cảm thấy mơ hồ không xác định hướng làm cho bài toán,dẫn đến tâm lý chán nán làm bài tập vấn đề này Tiến hành cho em làm bài kiểm tra 45 phút cho lớp kết quả thu là: Lớp Điểm < 3.5 3.5≤ Điểm < 5.0 5,0 ≤ Điểm 11A2 15% 55% 30% 11A1 5% 45% 50% Đối với giáo viên, dạy Khoảng cách mà đơn truyền thụ cho học sinh kiến thức sách giáo khoa gây nhiều khó khăn cho việc tiếp thu em không mang lại hiệu quả cần đạt giáo dục Tuy nhiên ta biết xếp, xâu chuỗi kiến thức để phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú cho học sinh giải bài toán khoảng cách tình trạng khắc phục cách đáng kể Vì đề tài này chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc định hướng tư duy, cách phân tích bài tốn và rèn kỹ nắng tính khoảng cách cho học sinh tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo III NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐÊ TÀI A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng a d (M, ∆) = MH,, đó H là hình chiếu M ∆ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng (α) d(O, (α)) = OH , đó H là hình chiếu O (α) Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O (α) và tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vng góc với (α) - Tìm giao tuyến ∆ (P) và (α) - Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) Khi đó d(O, (α)) = OH Cách Sử dụng cơng thức thể tích Thể tích khới chóp V = S.h ⇔ h = 3V Theo cách này, để tính khoảng S cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V và S Cách Sử dụng phép trượt đỉnh Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ d(M;(α)) = d(N; (α)) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) d(M; (α)) MI = d(N; (α)) NI Đặc biệt: + M là trung điểm NI d(M; (α)) = d(N;(α)) + I là trung điểm MN d(M;(α)) = d(N;(α)) Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA ) và H là hình chiếu O mặt phẳng (ABC) 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng công thức sau: + d(M; (α)) = Ax + By + Cz + D với M(x ; y ; z ) , (α) : Ax + By + Cz + D = A + B2 + C uuuu r r MA ∧ u r r + d(M, ∆) = với ∆ là đường thẳng qua A và có vectơ phương u u r uu r uuuur u ∧ u '.AA ' uu r + d(∆, ∆ ') = r uur với ∆ ' là đường thẳng qua A ' và có vtcp u ' u ∧u' Chú ý: Để giải tốn hình học không gian phương pháp sử dụng tọa độ Đê -các không gian Oxyz, ta thường thực bước sau: Bước 1: Từ giả thiết cả bài tốn, lập hệ tọa độ thích hợp từ đó suy tọa độ điểm cần thiết Bước 2: Chuyển hẳn bài tốn sang hình học giải tích không gian cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định + Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết quả cần chứng minh + Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị, quỹ tích… Cách Sử dụng phương pháp vectơ Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa giả thiết kết luận bài tốn hình học cho ngôn ngữ “véc tơ” Bước 2: Thực u cầu bài tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bước 3: Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết quả hình học tương ứng Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với + d (∆, (α)) = d (M, (α)), đó M là điểm nằm ∆ + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song + d ( (α), (β) ) = d (M, (β) ), đó M là điểm nằm (α) + Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung a, b + Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi là đoạn vuông góc chung a, b + Độ dài đoạn IJ gọi là khoảng cách a, b + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với nó + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó * Đặc biệt + Nếu a ⊥ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp (P), hạ đường cao IH Khi đó d(a, b) = IH + Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nới hai trung điểm AB và CD là đoạn vuông góc chung AB và CD B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Một sớ tốn khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vng góc với (ABC) và SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a2,BC = a Tính khoảng cách từ S đến BC Nhận xét: Đây toán tính khoảng cách nên học sinh có khả giải quyết được 10 bên và mặt đáy 600 Gọi O là tâm hình vng ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB, SC Phân tích, định hướng: Ta thấy AB SC hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB SC độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB SC không đơn giản, đó ta thực tính khoảng cách AB mặt phẳng (SCD) song song với nó chứa đường thẳng SC Khi đó ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn điểm A Lúc ta cần xác định hình chiếu A lên mặt phẳng (SCD), việc làm gặp phức tạp phải chọn mặt phẳng qua A vuông góc với (SCD) Do đó ta thực đổi khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn giải: Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp Gọi M là trung điểm CD, (SOM) ⊥ (SCD) và (SOM) ∩ (SCD) = SM Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK ⊥ SM (K ∈ SM) OK ⊥ (SCD) Do đó d (O, (SCD)) = OK Từ tam giác vuông SAO ta tính AO = a a , SO = 2 Hình vng có độ dài cạnh a nên OM = Từ tam giác SOM ta tính OK = a a 14 Mặt khác ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) đó AB // (SCD) Vậy d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) Mà AO ∩ (SCD) = C nên d( A , ( SCD) ) d( O, ( SCD) ) = AC =2 OC 30 ⇒ d (A, (SCD)) = d (O, (SCD)) = 2OK = a 42 Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp cơng thức thể tích Ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) đó AB // (SCD) Vậy d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) Từ tam giác vng SAO ta tính AO = a a , SO = 2 Từ tam giác vng SOM ta tính OM = a a , SM = 2 1 a2 a ∆ACD = Khi đó S∆SCD = SM.CD = và VS.ACD = SOS 12 Vậy d (A, (SCD)) = 3VS ACD a 42 = S∆SCD Cách 3: Phương pháp tọa độ khơng gian Từ giả thiết bài tốn ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với gốc tọa độ là: O (0; 0; 0), và điểm có tọa độ a     a   a a 6  a  ;0;0 ÷, B  0; − ;0 ÷, C  − ;0;0 ÷, S  0;0 ;0 ÷ A ÷, D  0; 2 2           uuur uuu r uuur  AB, SC AC   a 42 uuur uuu r d (AB, CD) = =  AB, SC   Chú ý: Ta có thể thực tính cách khác sau: Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (SCD): Do đó d (A, (SCD)) = 3x - 3y - z + a = a 42 Bài 16 Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ có A′ ABD hình chóp và AB = AA′ = a Tính theo a thể tích khới hộp ABCD.Α ΒΧ∆ và khoảng cách hai đường thẳng AB′ và A′ C′ 31 Hướng dẫn giải: a Tính thể tích khới hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ Do A′ ABD là hình chóp đều, đó gọi G là trọng tâm tam giác ABD A′ G ⊥ (ABD) hay A′ G là chiều cao hình hộp Gọi O là giao điểm BD và AC AG = a 3 Trong tam giác A′ AG ta có A′G = A′A − AG = a a2 a3 Do đó SABCD = 2SABD = và VABCD.A′B′C′D′ = A′G.SABCD = 2 b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB′ A′ C′ chéo Phân tích, định hướng: Ta thấy AB′ A′ C′ hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB′ A′ C′ độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB ′ A′ C′ phức tạp, đó ta thực tính khoảng cách A ′ C′ mặt phẳng (AB′ C) song song với nó chứa đường thẳng AB′ Khi đó ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý A′ C′ đến mặt phẳng (AB′ C), chẳng hạn điểm H Lúc ta cần xác định hình chiếu K H lên mặt phẳng (AB ′ C), đó ta cần chọn mặt phẳng qua H vuông góc với mặt phẳng (AB′ C), ta thực giải sau: Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp Gọi H là giao điểm B′ D′ và A′ C′ Do A′ C′ // AC nên A′ C′ // (AB′ C) 32 Do đó d (A′ C′ , AB′ ) = d (A′ C′ , (AB′ C)) = d (H, (AB′ C)) Kẻ HE // A′ G (E ∈ AC) ta có mặt phẳng (B′ HE) vuông góc và cắt mặt phẳng (AB′ C) theo giao tuyến B′ E Kẻ HK ⊥ B′ E (K ∈ B′ E) HK ⊥ (AB′ C) hay d (H, (AB′ C)) = HK Trong tam giác B′ HE ta có: 11 1 a 22 = ⇒ HK = = + HK B′H HE 2a 11 Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp cơng thức thể tích Phân tích, định hướng: Ta thấy AB′ A′ C′ hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB′ A′ C′ độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB ′ A′ C′ phức tạp, đó ta thực tính khoảng cách A ′ C′ mặt phẳng (AB′ C) song song với nó chứa đường thẳng AB′ Khi đó ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý A′ C′ đến mặt phẳng (AB′ C), chẳng hạn điểm A′ Lúc ta cần xác định hình chiếu A′ lên mặt phẳng (AB′ C), nhiên việc xác định gặp phức tạp đó ta thực tính khoảng cách từ điểm B sau: Dễ thấy d (A′ , (AB′ C)) = d (B, (AB′ C)) a3 Ta có VB′ ABC = VABCD.A′B′C′D′ = 12 Trong tam giác B′ HE ta có B′E = B′H + HE = a 33 a 11 Khi đó tam giác AB′ C có diện tích S∆AB′ C = B′E AC = d (B, (AB′ C)) = 3VB′.ABC a 22 = S∆AB′C 11 Cách 3: Phương pháp tọa độ khơng gian: Từ giả thiết bài tốn ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với gố tọa độ O (0; 0; 0), và tọa đọ điểm: 33 a  a a 6  − 5a a   − a −a a  ;0; ;0; ; ; ;0;0 ÷, A′  A ÷÷, C′  ÷÷ , B′  ÷ 6 3 ÷         uuuur uuur uuuu r A ′C′, AB′.AC′   a 22 uuuur uuur Ta có d (A′ C′ , AB′ ) = = A ′C′, AB′ 11   Chú ý: Ta có thể thực tính cách khác sau: Từ hệ tọa độ chọn ta có phương trình mặt phẳng (AB′ C): 2 y - 3z = d (A′ C′ , AB′ ) = d (A′ C′ , (AB′ C)) = d (A′ , (AB′ C)) = a 22 11 Một sớ tập tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Bài 17: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) Nhận xét: Ta có AB// (SCD) nên khoảng cách từ AB đến (SCD) khoảng cách từ điểm A (hoặc điểm nằm AB) đến (SCD) Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm hình vng ABCD Khi đó SO ⊥ (ABCD) , kẻ OI ⊥ CD ; OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SCD) Ta tính được: OI = AD a = 2 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppDat a\\Local\\Temp\\FineReader 11.00\\media\\image9.jpeg" \* MERGEFORMATINET 34 OA = a a ; SO = SA2 − OA2 = 2 Và ta có 1 a = + ⇒ OH = OH SO OI Vậy: d(AB;(SCD) = d(A;(SCD) = a 6 Bài 18: Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' có cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') Nhận xét: Đây toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song nên ta có thể tính tương tự 17, ta có thể tính khoảng cách phương pháp tọa độ Hướng dẫn giải: Từ giả thiết bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A (0; 0; 0); B (1; 0; 0); D (0; 1; 0); A’ (0; 0; 1); INCLUDEPICTURE C (1; l; 0); B' (l; 0; l); D' (0; 1; l); C’ (l; 1; l) "C:\\Users\\admin\\A ppData\\Local\\Temp \\FineReader11.00\\m edia\\image10.jpeg" \ * MERGEFORMATIN ET uuur uuuur CB ' = (0; -1; 1); CD ' = (-1; 0; 1) 35 r uuur uuuur Mặt phẳng (CB'D') có véc tơ pháp tuyến là n = [CB ';CD '] = (-1; -1; -1) Khi đó X+y+z-2=0 phương trình d(BD;(CB ' D ') = d(B;(CB ' D ') = Vậy: d(BD;(CB ' D ') = mặt phẳng (CB'D') là 3 a 3 Một sớ tập tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài 19: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( α ) qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) b) Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) cho diện tích thiết diện cắt mp ( α ) và hình lập phương là bé Phân tích, định hướng: Với hình lập phương ta chọn được hệ toạ độ thích hợp, đó tạo độ đỉnh biết nên việc tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’ Lời giải: Chọn hệ toạ độ cho gốc A z N B C D H y A' B' x D' M C' toạ độ O ≡ D ' ( 0;0;0 ) A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1) Gọi M là điểm đoạn thẳng C’D’, tức M ( x;0;0 ) ; ≤ x ≤ a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x+ y−z=0 36 ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ') ) = d ( A ', ( ACD ') ) = b) Giả sử ( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên ( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và DN//MB’ Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N Gọi H là hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N = DB '×MH = DB '×d ( M , DB ' ) Ta có: DB ' = uuuu r uuuu r  MD; DB ' 2x2 − 2x +   d ( M , DB ') = = uuuu r DB ' S DMB ' N 1 3  = 2x − 2x + = 2 x − ÷ + ≥ 2 2  Dấu đẳng thức xảy x = 1  Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M  ;0;0 ÷, hay M là trung điểm D’C’ 2    Hoàn toàn tương tự M ( 0; y;0 ) ⇒ M  0; ;0 ÷   Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ M là trung điểm D’C’ M là trung điểm D’A’ Bài 20: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D ' có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD) Lời giải: Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp Phân tích, định hướng: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) Tuy nhiên ta cần chọn điểm cho qua điểm đó có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' ) , đó nếu gọi O O′ lẩn lượt tâm hai hình vng ABCD A 'B'C'D' điểm O chính điểm thỏa mãn yêu cầu 37 Gọi O và O′ lẩn lượt là tâm hai hình vng ABCD và A 'B'C'D' Dễ thấy ( AB' D' ) // (C ' BD) nên d ( (AB'D') , (C ' BD) ) = d (O, ( AB' D' ) ) Mặt khác mặt phẳng ( A 'C'CA ) qua O và vuông góc và cắt mặt phẳng ( AB' D' ) theo giao tuyến O'A , đó kẻ OK ⊥ O'A (K∈ O'A ) OK ⊥ ( AB' D' ) Vậy d (O, ( AB' D' ) ) = OK Trong tam giác vuông O'OA ta có O'O = a và OA = a a , suy OK = Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp công thức thể tích Phân tích, định hướng: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) Khác với cách giải 1, ta chọn điểm C' Ta có C'A′ ∩ ( AB' D' ) = O' nên d ( C′,(AB'D') ) = d ( A′,(AB'D') ) a3 a Mặt khác VA′.B′D′A = và S∆B′D′A = Vậy d ( A′,(AB'D') ) = 3VA′.B′D′A a = S∆B′D′A Cách 3: Phương pháp tọa độ không gian Phân tích, định hướng: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) ,ta chọn điểm B Từ giả thiết bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với C (0; 0; 0), B (a; 0; 0), A (a; a; 0), C′ (0; 0; a) B′ (a; 0; a), D′ (0; a; a) 38 Ta có phương trình mặt phẳng ( AB' D' ) : x + y + z - 2a = Vậy d ( B,(AB'D') ) = a Một sớ tập đề nghi Bài 1: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác cạnh a Biết AC = a và M là trung điểm BD Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật Biết AD = 2a, SA = a Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Bài K-D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết · SB = SB = 2a và SBC = 300 Tính thể tích khới chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài (K-D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài 5: (K- B 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Bài 6: (THPTQG-2019).Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) Bài 7: (THPTQG-2020-Lần 1).Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có tất cả cạnh a Gọi M là trung điểm CC ′ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A′BC ) Bài 8.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB và AD 39 Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc và OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM và CN Bài 10 (K- D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khới lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài 11: (K-A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a Gọi M và N là trung điểm cạnh AB và AD; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a Bài 12 (K- A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60o Tính thể tích khới chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a Bài 13 (THPTQG-2018).Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SB Bài 14: (THPTQG-2020-Lần 2).Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A , AB = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SM Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), mặt đáy ABCD là hình thang vng có chiều cao AB = a Gọi I và J là trung điểm AB và CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ và (SAD) Bài 16: Cho hình thang vng ABCD vng A AD = 2a Trên đường thẳng vuông góc D với (ABCD) lấy điểm s với SD = a Tính khoảng cách đường thẳng DC và (SAB) Bài 17: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A' B'C'D' có cạnh đáy a Gọi M, N, P là trung điểm AD, DC, A' D' Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) và (ACC') Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = Mặt phẳng (ACD') tạo với mặt đáy góc 60° Tính khoảng cách hai mặt đáy hình hộp 40 IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trong năm học vừa qua,giảng dạy áp dụng đề tài cho lớp 11A2, 11A1 thấy kết quả đạt sau: - Hầu hết học sinh hiểu, nắm chắc, khắc sâu kiến thức phần học - Học sinh hứng thú giải bài tập Tạo khơng khí sơi nởi, có phát mẻ có tính sáng tạo học - Giáo viên nhàn trình lên lớp mà đạt mục đích tiết dạy Chủ động khám phá tri thức với học sinh - Học sinh áp dụng làm bài tập khác đặc biệt là với đề bài có tính phát và phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh - Tiến hành cho em làm bài kiểm tra 45 phút kết quả thu khả quan so với trước áp dụng đề tài, kết quả thống kê: Lớp Điểm < 3.5 3.5≤ Điểm < 5.0 5,0 ≤ Điểm 12A2 5% 25% 70% 12A1 0% 15% 85% 41 PHẦN III KẾT LUẬN Quá trình thực hiện đề tài TT Thời gian Từ tháng đến tháng 5/ 2020 Nghiên cứu bài khoảng cách, khảo sát em học sinh Chọn đề tài lớp 11A1 và 11A2 Từ tháng đến tháng 7/2020 Nghiên cứu thêm tài liệu, trao đổi Đề cương sáng với đồng nghiệp, tổng hợp sở kiến; Hệ thống bài lý thuyết và hệ thống bài tập tập điển hình Từ tháng đến tháng 9/2020 Theo dõi tác Đưa vào dạy thực nghiệm ôn thi động đề tài và cho lớp 12A3 năm học 2020-2021 tiến học và ôn thi học sinh giỏi lớp 11 sinh Nghiên cứu thêm tài liệu và Từ tháng 10 đến đề thi qua năm Dạy ôn thi Thống kê kết quả tháng 12/2020 THPTQG cho lớp 12A1, 12A2 (Là lớp 11A1, 11A1 khảo sát) Từ tháng 12/2020 đến tháng 2/2021 Nội dung công việc Hoàn thiện đề tài Sản phẩm Đề tài thức Ý nghĩa đề tài - Giúp học sinh có nhìn tởng qt và có hệ thớng bài tốn tính khoảng cách, từ đó có kĩ giải thành thạo bài toán thuộc chủ đề này và có thể ứng dụng chúng vào bài tốn tính thể tích và sớ bài tốn thực tế khác - Giải cách tương đới triệt để bài tốn tính khoảng cách đới tượng điểm, đường thẳng và mặt phẳng - Thơng qua việc vẽ hình, tính tốn, tìm đường tới ưu để tính khoảng cách, tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tới đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ Giáo dục và Đào tạo Điều quan trọng là tạo cho em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ bài tốn hình học khơng gian - Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ bồi dưỡng chuyên môn và 42 nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải và thích hợp gặp sớ bài tốn tính khoảng cách Hi vọng đề tài này là nguồn tư liệu tham khảo cho quý thầy cô giáo trình giảng dạy tài liệu cho em học sinh học tập Khả ứng dụng, triển khai Với cách trình bày logic, khoa học, súc tích sở tảng là kiến thức bản toán THPT, đề tài có khả ứng dụng, triển khai buổi sinh hoạt Tổ chun mơn, câu lạc tốn học, cho ôn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi đại học để nâng cao kiến thức cho học sinh Hướng phát triển Hướng phát triển đề tài, tác giả sâu vào lớp bài toán khác liên quan đến chủ khoảng cách sớ bài tốn tính góc đới tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; bài toán ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài tốn hình học khơng gian,… Kiến nghi Mong đồng nghiệp và người đọc góp ý thêm để đề tài ngày hoàn thiện và phát triển thêm 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thành Minh, Giải tốn hình học 11, NXB Giáo dục Sách GK, bài tập, nâng cao toán 11, 12- Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi THPTQG năm 2018, 2019, 2020 - Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi thử trường, Sở Giáo dục và Đào tạo toàn quốc Báo tốn học t̉i trẻ; Các trang Web: mathscope.org; boxmath.vn; math.vn Hướng dẫn ôn thi THPT Quốc gia 2018, 2019, 2020 - Bộ Giáo dục ĐT Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 tốn hình học khơng gian, NXB Trẻ 44 ... bài tập hình học khơng gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, sáng tạo cho em Với lý trên, chọn đề tài: ? ?Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ tính. .. nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Với học sinh việc giải bài tập khoảng cách nhiều thời gian với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua bài tập... *** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN Lĩnh vực Người viết Tổ Năm học Số điện