Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài Mục tiêu giáo dục phổ thơng tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện, trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Trong q trình dạy học tốn bậc phổ thơng, việc bồi dưỡng kiến thức phát triển tư cho học sinh nhiệm vụ trọng tâm người giáo viên Thực tế cho thấy nhiều giáo viên dạy học còn nặng khâu truyền thụ kiến thức, kiến thức đưa hầu sẵn có, yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọng nhiều việc dạy học sinh cách học, chưa phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Thơng thường em học sinh giải trực tiếp tập toán mà chưa khai thác tiềm tốn Học sinh có khả giải vấn đề cách rời rạc mà có khả xâu chuỗi chúng lại với thành hệ thống kiến thức lớn Chính việc bồi dưỡng, phát triển tư tương tự hóa, khái quát hóa,… cần thiết học sinh phổ thông Việc làm giúp em tích lũy nhiều kiến thức phong phú, khả nhìn nhận, phát vấn đề nhanh giải vấn đề có tính lơgic hệ thống cao Mặt khác, Toán học môn đòi hỏi phải tư logic, phải biết vận dụng kết hợp linh hoạt nhiều kiến thức lại với Do đó, việc hình thành phương pháp giải dạng toán cho em học sinh cần cần thiết, đặc biệt để vừa đảm bảo tính xác nhanh lẹ Trong chương trình Tốn học THPT, hình học khơng gian chủ đề trọng tâm, xuyên suốt Đặc biệt toán cực trị, liên quan đến chủ đề ln gây khơng khó khăn cho người học; toán loại xuất nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11, 12 kỳ thi tốt nghiệp THPT mức độ vận dụng đề thi Để học tốt chủ đề người học việc nắm vững hệ thống kiến thức cần có thêm nhiều kỹ giải, có tư độc lập tư sáng tạo Vì vậy, trình dạy học, người dạy biết cách khai thác toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, đại lượng Hình học từ kiến thức bản, tập đơn giản thì giúp em học tập có hiệu mà cịn tạo hứng thú học tập cho em học sinh, còn góp phần quan trọng việc rèn luyện bồi dưỡng tư sáng tạo cho người học Từ ý tưởng lý nêu trên, định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: ‘‘Phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc khai thác số tốn cực trị hình học khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu mặt lý luận dạy học - Nghiên cứu khai thác số tính chất hình học phẳng hình học khơng gian vào giải tốn cực trị hình khơng gian - Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tịi, phát tính chất hình học, kiến thức tổng hợp đại số, giải tích để giải tốn liên quan đến đề tài nghiên cứu Bên cạnh nâng cao tinh thần lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển lực tư cho học sinh trình tìm tòi, định hướng, giải toán thân học sinh 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh giỏi THPT, đặc biệt học sinh khối 11, 12 đam mê có định hướng tham gia kì thi HSG hay kì thi tốt nghiệp THPT với mục tiêu cao - Giáo viên THPT - Bám sát nội dung chương trình Toán THPT - Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG 1.4 Phương pháp nhiệm vụ nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích - Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng toán hỗ trợ học sinh luyện tập trình tự học, thực nghiệm cho lớp giảng dạy đồng nghiệp sử dụng để rút kết luận, bổ sung vào đề tài - Xây dựng lớp toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ hình học không gian theo nội dung mà đề tài đưa - Định hướng khai thác, mở rộng hoặc sáng tạo toán phát huy lực tư học sinh 1.5 Tổng quan đề tài tính đề tài Nội dung đề tài khai thác số tốn hình học khơng gian phát triển lực tư cho học sinh Đề tài đề cập tới số tốn điển hình cực trị vận dụng hình học không gian, chưa bao quát hết tất dạng tốn Tuy nhiên thơng qua tốn phần giúp em nắm phương pháp chung để vận dụng vào giải toán phát phát triển thêm toán mới, nhiều cách giải tốn góp phần nâng cao lực tư thân người học Đề tài khai thác số toán liên hệ thực tế để học sinh có nhìn sinh động sâu sắc tốn học nói chung hình học khơng gian nói riêng Đề tài tập trung vận dụng kết tốn đại số hay tính chất hình học để giải tốn hình học đồng thời vận dụng để giải tốn mở rộng, nâng cao mức độ tốn Vì giúp học sinh cố kiến thức học vừa phù hợp để ôn thi tốt nghiệp THPT vừa làm tài liệu tự học hỗ trợ cho học sinh giỏi Phần II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học a) Cơ sở lí luận: - Năng lực tư Có thể hiểu lực tư tổng hợp khả ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải vấn đề, xử lí tình trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng chúng vào thực tiễn Theo Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 mơn Tốn , biểu quan trọng lực tư lập luận toán học “thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018) - Phát triển lực tư Có thể nói, phát triển lực tư HS hình thành rèn luyện cho HS yếu tố tư gắn liền với việc hình thành phát triển cho học sinh thao tác tư (phân tích, so sánh, suy luận, tổng hợp, khát quát, đánh giá, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa); phẩm chất tư (tính linh hoạt, tính sáng tạo, tính bền bỉ, tính động, tính đa dạng, đa chiều tư duy); kỹ tư (kỹ tư phê phán, kỹ tư đối thoại, kỹ tư sáng tạo, kỹ tư giải vấn đề) - Khai thác số tính chất hình học phẳng hình học khơng gian, kiến thức cực trị hàm số, bất đẳng thức đại số thường dùng, sử dụng cho tốn tìm cực trị hình học khơng gian, từ HS tự tìm phương pháp giải toán phù hợp, cao phát biểu toán b) Cơ sở thực tiễn - Sau giải tốn ngồi việc kiểm tra, mở rộng tốn chúng ta ln suy nghĩ xem phương pháp, kết vận dụng vào việc giải toán khác - Giải tốn có tác dụng bổ sung, hồn thiện, nâng cao liên kết phần kiến thức lý thuyết liên quan cách trực tiếp rõ ràng Đồng thời giúp cho học sinh phát triển tính tự giác tích cực, tạo tiền đề nâng cao lực tư duy, khả tự học, củng cố cách trình bày lời giải, khả khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu - Thông qua hệ thống tập nâng cao giúp giáo viên có thêm kênh thơng tin đánh giá lực tư học tập học sinh Từ phát hỗ trợ em phát huy khả thân hiệu toàn diện 2.2 Thực trạng vấn đề - Trong thực tế q trình dạy học trường, tơi thấy việc học tập mơn hình học khơng gian cịn nhiều khó khăn học sinh, - Việc dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian đa số giáo viên cịn gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học xây dựng nguồn tập phong phú, đa dạng để kích thích tư người học - Nhóm nội dung kiến thức cực trị hình học không gian nội dung cần thiết cho học sinh giỏi Sách giáo khoa, sách tập đề cập đến dạng toán Và đặc biệt có nhiều tốn xuất kì thi HSG, toán mức độ vận dụng kì thi tốt nghiệp THPT năm gần Do đó, nội dung đề tài mang tính thời cao đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập phận không nhỏ giáo viên học sinh - Thực tế nội dung liên quan đến đề tài hạn chế nhiều nguồn tài liệu cách hệ thống nên viết phần hỗ trợ giáo viên học sinh có thêm nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy học tập môn hình học khơng gian - Trong q trình giải tốn, tiềm sáng tạo học sinh bộc lộ phát huy, em có thói quen nhìn nhận kiện góc độ khác nhau, biết đặt nhiều giả thuyết lý giải vấn đề, biết đề xuất giải pháp khác xử lý tình Hơn thân nhận thấy để gây hứng thú học tập, kích thích tìm tòi, sáng tạo, khám phá kiến thức, học sinh, giáo viên cần phải trang bị cho mình kiến thức, kỹ năng, phương pháp học tập phù hợp Bản thân nhận thấy trình tham gia giảng dạy lớp 12 bồi dưỡng HSG tỉnh, thường bắt gặp toán mức độ vận dụng, vận dụng cao, có tốn cực trị hình học khơng gian thường hay gặp chủ đề thể tích, góc, khoảng cách, biểu thức độ dài, Oxyz, Do thân trăn trở suy nghĩ tìm cách rèn luyện cho học sinh cách tư đứng trước tốn Tơi hy vọng rằng, qua đề tài phần thực điều 2.3 Triển khai nội dung đề tài Đối với tốn cực trị hình học khơng gian có nhiều phương pháp giải giai đoạn để phù hợp với yêu cầu thực tế giải toán này, đòi hỏi đối tượng học cần nghiên cứu sâu sát, để có kĩ chuyển hóa, nhìn nhận vấn đề cách tốt nhất, vận dụng linh hoạt để hướng đến hướng giải theo lớp phương pháp cụ thể, từ người học giảm bớt nhiều khó khăn trình định hướng giải tốn Việc đề xuất hướng giải cho tốn cực trị hình khơng gian theo lớp phương pháp phân loại cụ thể góp phần phát triển lực tư người học Qua học sinh vạch hướng giải cho toán dần dần hình thành kĩ để có lựa chọn phù hợp phương pháp dựa vào đặc thù tốn Cụ thể đề tài tơi phân chia khai thác toán cực trị theo số nhóm phương pháp giải đồng thời cho học sinh tự rèn luyện tổng hợp số kết học sinh dạng giáo 2.3.1 Khai thác tính chất hình học giải tốn tìm cực trị hình học Các tính chất a) Nhóm tính chất hình học liên quan đến độ dài Tính chất Trong khơng gian, cho điểm phân biệt A, B Với điểm M tùy ý, ta ln có:  MA  MB  AB Dấu “=” xảy M , A, B thẳng hàng M thuộc đoạn AB  MA  MB  AB Dấu “=” xảy M , A, B thẳng hàng M nằm ngồi đoạn AB ( M trùng với A hoặc B ) Tính chất Cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R điểm A không thuộc mặt cầu  S  Gọi M điểm di động mặt cầu  S  , ta ln có tính chất sau: R  IA  AM  IA  R (Tính chất mở rộng lên từ tính chất tương tự hình học phẳng điểm đường trịn) b) Nhóm tính chất hình học liên quan đến khoảng cách Tính chất Cho mặt phẳng  P  điểm M  P  Với điểm N tùy ý thuộc  P  ta ln có: MN  MH , với H hình chiếu vng góc M  P  Dấu “=” xảy N  H Tính chất Cho đường thẳng d điểm M d Với điểm N tùy ý d , ta ln có MN  MH , với H hình chiếu vng góc M d Dấu “=” xảy N H Tính chất Cho hai điểm phân biệt A B Một mặt phẳng  P  thay đổi qua B Khi d  A;  P    AB Dấu “= ” xảy  P   AB Tính chất Cho điểm A đường thẳng d  A  d  Một mặt phẳng  P  thay đổi chứa đường thẳng d Khi d  A;  P    d  A; d  Dấu “= ” xảy  P  vng góc với mặt phẳng chứa A d Cho điểm A không thuộc mặt phẳng  P  đường thẳng d thay đổi nằm mặt phẳng  P  Khi d  A;  P    d  A; d  Dấu “= ” xảy d qua hình chiếu vng góc A lên  P  c) Nhóm tính chất hình học liên quan đến góc Tính chất Cho hai đường thẳng d1 d2 cắt khơng vng góc Một mặt phẳng (P) thay đổi ln chứa d2 Khi (d1;(P)) < (d1; d2) Dấu “= ” xảy (P) vng góc với mặt phẳng chứa d1 d2 Chứng minh: Gọi I  d1  d2 Lấy M  d1 Gọi H , K lần lượt hình chiếu vng góc M lên  P d1 M d2 I H K Mặt khác sin  d1; d2   sin MIK  MK MH ;sin  d1;  P    sin MIH  MI MI  sin  d1;  P    sin  d1; d2    d1;  P     d1; d2  Khi MH  MK Dấu “=” xảy H  K  Mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng chứa d1 , d Tính chất Trong khơng gian cho hai mặt phẳng  P   Q  cắt đường    thẳng d   Q  Khi đó, d ,  P    P  ,  Q  , dấu “=” xảy d vng góc với giao tuyến  P   Q  Chứng minh: Gọi I  d   P  Lấy M  d , M  I Gọi H hình chiếu vng góc M lên  P  K hình chiếu H lên giao tuyến  P   Q  Khi HK  HI (Q) d M I K (P) Ta có tan   P  ;  Q    tan MKH  H MH MH , tan  D;  P    tan MIH  IH KH Do đó: tan  d ;  P    tan   P  ;  Q     d ;  P      P  ;  Q   Dấu xảy K  I hay d  a với a   P    Q  d) Nhóm tính chất liên quan đến véc tơ  AB  AB , A, B  u  v  u  v  u  v , u1  u2   un  u1  u2   un  Cho n điểm phân biệt A1, A2 , , An số k1, k2 , , kn thỏa mãn n k1  k2   kn  Khi tồn điểm I cho  k IA  i 1 i i  Trong không gian, bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng với điểm M tùy ý ta ln có MA  a.MB  b.MC  c.MD a  b  c 1 Trong nội dung này, tác giả chọn lọc đưa số tốn cực trị hình khơng gian có sử dụng đến tính chất hình học hệ thống Đồng thời đưa phân tích, quy trình huy động kiến thức số bình luận phù hợp để việc tìm lời giải cho tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải tổng quát Qua góp phần truyền thụ cho học sinh cách thức suy nghĩ, định hướng tìm tịi lời giải cho tốn từ hình thành số lực tư nâng cao kĩ năng, hiệu giải tốn q trình em tự học Mỗi toán đưa sau phân tích trình bày theo hướng tìm thuật giải chung gồm: Bước 1: Phân tích tốn: Tìm yếu tố để phát liên hệ đến tính chất hình học cụ thể biết Bước 2: Sử dụng tính chất giải toán Bước 3: Khai thác toán dạng hướng dẫn cho học sinh tự học Ví dụ áp dụng Trong phần tác giả hướng dẫn học sinh tự rèn luyện toán phân loại theo yêu cầu toán sử dụng tính chất hình Ta xét tốn cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện, tốn cực trị độ dài gắn liền với thực tế, tốn góc, khoảng cách sử dụng vecto tọa độ tính chất hình học liên quan Bài toán Cho tứ diện ABCD cạnh a , G trọng tâm tam giác BCD Gọi I trung điểm cạnh SG Mặt phẳng  P  thay đổi qua I , cắt cạnh AB, AC, AD lần lượt M , N , P Khi khoảng cách từ A đến  P  lớn nhất, tính thể tích khối đa diện MNPABC A M P I B D N G C Bước 1: Phân tích tốn Bài toán rõ mặt phẳng qua điểm I cố định Nên sử dụng Tính chất ta suy d  A;  P    AI suy khoảng cách lớn AI Bước 2: Giải tốn Áp dụng tính chất 5, ta d  A;  P    AI Dấu “=” xảy VAMNP 7 2a AI   P    P  //  BCD     VMNP ABC  VABCD  VABCD 8 96 Bước 3: Khai thác tốn kết hợp tính chất liên quan đến khoảng cách hướng dẫn cho học sinh tự học Sử dụng tính chất 5, khoảng cách độ dài thay đổi số yếu tố toán liên quan đến giả thiết hay u cầu đưa ra, ta có thêm tốn theo mức độ khác Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng  P  cho tam giác ABC cạnh 8cm điểm S di động mặt phẳng  P  cho tam giác MAB ln có S M diện tích 16 3cm , với M trung điểm SC Gọi  S  mặt cầu qua bốn đỉnh M , A , B , C Khi thể tích khối chóp S ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ  S  A C I H B Bài tốn 1.2 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh SA vuông với mặt phẳng  ABCD  S SA  a Gọi E điểm đoạn BD cho DE  3EB Gọi M điểm thuộc đoạn AB cho AM  x Tìm x để khoảng cách từ D đến  SME  lớn A D M E B C Bài tốn 1.3 Cho hình chóp S ABCD có AB  a, SA  2a Mặt phẳng  P  thay đổi qua A cắt cạnh SB, SD lần lượt M , N cho 1   Tìm giá trị lớn SM SN a khoảng cách từ C đến  P  S E M N I D A O B C Sản phẩm học sinh tự học 1.1 Cách 1: Cách 2: 1.2 1.3 10 Bài toán 12.1 Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' Lấy điểm E, F lần lượt đoạn AB, DA ' thỏa mãn DA DA '   Gọi V , V ' lần DE 27 DF lượt thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' khối tứ diện V' BDEF Khi GTNN tỉ số V bao nhiêu? Bài tốn 12.2 Hình hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' , có đường chéo AC '  d hợp với mặt phẳng  ABCD  góc  , hợp với mặt bên  BCC ' B ' góc  Biết d khơng đổi, A ' D ' CB hình vng thể tích khối hộp lớn Khi giá trị biểu thức  +  bao nhiêu? Bài toán 12.3 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Điểm M N lần lượt thay đổi cạnh BB ' D D ' cho  MAC    NAC  BM  x , DN  y Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ACMN A' B' F D' C' A B E D C C' D' B' A' C D B A A' D' B' C' M A D I x N B C Bài tốn 12.4 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  BD  CD  Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn khoảng cách hai đường thẳng AD BC ? A K y 1 B x H D C 39 Bài toán 13 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB  a, AD  a 2, AA  a Gọi G trung điểm BD , mặt phẳng  P  qua G cắt tia AD, CD, DB tương ứng ba điểm phân biệt H , I , K Tìm 1   giá trị nhỏ biểu thức T  D'H D'K D'I D' C' K A' B' G H I D C A B Bước 1: Tham số hóa chuyển yêu cầu toán qua biểu thức đại số (1 ẩn nhiều ẩn) DH DI DK  x,  y, z Đặt DA DC DB 1 1 ta có DG  DB  DA  DC  DD 2 2 Ta có DH  xDA  x DD  DA  DH  DD  DA x DI  yDC  y DD  DC   DI  DD  DC  y DK  zDA  z DA  DC   DK  DA  DC z 1  DG  DH  DI  DK Do G, H , I , K đồng phẳng nên 4x 4y 4z 1 DA DC DB   1    4 4x y 4z DH DI DK Bước 2: Sử dụng kiến thức bất đẳng thức giải toán       Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1   DA DC DB         DA2  DC  DB2   2  DI DK   DH DI DK   DH 16 16 4 T    Vậy Tmin  2 2 DA  DC  DB 12a 3a 3a 40 Bước 3: Khai thác toán hướng dẫn cho học sinh tự học Bất đẳng thức Bunhiacopski công cụ phổ biến thường dùng tốn chứng minh bất đẳng thức hay tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ta xét số tốn cực trị hình học khai thác bất đẳng thức Bài toán 13.1 Cho tứ diện ABCD Gọi K điểm thuộc cạnh CD cho KD  3KC , I điểm thuộc đoạn thẳng BK cho IK  2IB Mặt phẳng    qua I cắt tia AB, AC, AD lần lượt điểm M , N , P   A Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A M D B C AB AC AD T 4 9  16 AM AN AP Bài tốn 13.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB song song với CD , AB  2CD , cạnh bên có độ dài Gọi O  AC  BD , I trung điểm SO Mặt phẳng    thay đổi qua I cắt cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt M , N , P, Q Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T 1 1   2 2 SM SN SP SQ K C D S N M A I P Q B O D C 41 13.3 (Đề HSG Nghệ An 2020 – 2021) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA  , SB  SC  2 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Một mặt phẳng   thay đổi qua I lần lượt cắt tia SA, SB, SC M , N , P Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P   2 SM SN SP S M P A I C B N Sản phẩm tự học học sinh 13.1 13.2 42 13.3 Cách 2: 43 Ta khai thác kết hợp bất đẳng thức với việc giải tốn cực trị hình Bài tốn 13.4 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Điểm M nằm cạnh AA ' cho góc BMD ' lớn nhất, đặt góc lớn  Tính cos A' B' D' C' A B D Bài tốn 13.5 Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vng B Biết thể tích khối chóp Tính giá trị nhỏ diện tích 24 tồn phần chóp S ABC C S A C B Sản phẩm tự học học sinh 44 13.4 13.5 Cách 2: 45 Ngoài bất đẳng thức quen thuộc thường sử dụng Cauchy, Bunhiacopski, ta khai thác dạng tốn với số bất đẳng thức khác Bài toán 14 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh Trên đoạn AC  lấy điểm E cho AE  Một mặt phẳng    thay đổi qua E , cắt tia AB, AD, AA lần lượt M , N , P Tìm giá trị nhỏ biểu thức T AM AN AP   AM  AN  AP  46 Bước 1: Tham số hóa chuyển yêu cầu toán qua biểu thức đại số Đặt AB AD AA  x,  y,  z AM AN AP 1 1 x y z Ta có AE  AC   AB  AD  AA  AM  AN  AP 3 3 3 Do điểm E, M , N , P đồng phẳng nên Khi T  x y z   1 x  y  z  3 1    x  y  9z Bước 2: Sử dụng kiến thức bất đẳng thức giải toán Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có: 1 62 32 22 T       x  y  z 36  x  36 y  36 z    2 121 T   49  36  x  y  z  157 Vậy Tmin  121 91 31 15 x  , y  , z  157 66 33 22 Bài toán 15 Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  Mặt phẳng    thay đổi qua trọng tâm tứ diện cắt SA, SB, SC lần lượt A1, B1, C1 Tìm giá trị lớn 1   SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 47 S A1 C1 G A B1 C B Bước 1: Tham số hóa chuyển u cầu tốn qua biểu thức đại số 1 ,b  ,c  Khi ta cần tìm giá trị lớn SA1 SB1 SC1 biểu thức T  ab  bc  ca Từ yêu cầu toán, đặt a  Bước 2: Sử dụng kiến thức bất đẳng thức giải tốn Ta có G trọng tâm tứ diện nên GA  GB  GC  GS  từ dẫn đến SA SB SC 4SG  SA  SB  SC  SA1  SB1  SC1 SA1 SB1 SC1 a b c  SG  a.SA1  b.SB1  c.SC1  SG  SA1  SB1  SC1 Do điểm A1, B1, C1, G đồng phẳng nên a  b  c  Sử dụng bất đẳng thức  ab  bc  ca  a  b  c  ta thu được:  1       1   SA1 SB1 SC1  16      3  SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1    A1B1C1  / /  ABC  1 16   Vậy giá trị lớn SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 Dấu “=” xảy  SA1  SB1  SC1  Bước 3: Khai thác toán tương tự hướng dẫn cho học sinh tự học Bài tốn 15.1 Cho hình chóp S ABC có cạnh bên Mặt phẳng    thay đổi qua trọng tâm hình chóp, cắt ba cạnh bên SA, SB, SC lần lượt 1 D, E , F Tìm giá trị lớn Pmax P    SD.SE SE.SF SF SD 48 S F D G C A I E K B Hướng dẫn giải Gọi I trọng tâm ABC Ta có:  SA  SB  SC  3SI  Ta có:  SA SB SC SD ; SB  SE ; SC  SF  SA  SD SE SF   Mà ta có SG  SI  SA  SB  SC 4  4SG  SA  SB  SC   SG   SA SB SC SD  SE  SF SD SE SF 1 SA SB SC SD  SE  SF SD  SE  SF  SD SE SF SD SE SF Do D, E , F , G đồng phẳng nên 1 1 1   1    4 SD SE SF SD SE SF 1 1 1        Ta lại có P   SD.SE SE.SF SF SD  SD SE SF  1 1 1  16       Vậy P    SD.SE SE.SF SF SD  SD SE SF  3 Dấu "  " xảy SD  SE  SF  SA Vậy PMax  16 2.3.4 Một số tốn tìm cực trị hình học học sinh tự sưu tầm Các em học sinh tổ chức buổi tự học theo nhóm với hình thức sưu tầm tốn giải Trích phần em sưu tầm toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện sau: 49 Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  b vng góc với ABCD  Điểm M thay đổi cạnh CD , H hình chiếu vng góc S BM Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH theo a , b Câu 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông A, AB  3a , AC  a Mặt phẳng DBC  , DAC  , DAB  lần lượt tạo với mặt phẳng  ABC  góc 90, ,   90 Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn bao nhiêu? Câu 3: Trong mặt phẳng   cho đường trịn T  đường kính AB  2R Gọi C điểm di động T  Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng   lấy điểm S cho SA  R Hạ AH  SB AK  SC Tìm giá trị lớn Vmax thể tích tứ diện SAHK Câu 4: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  đơi vng góc với Điểm M thay đổi tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song DA, DB , DC theo thứ tự cắt mặt phẳng DBC  , DCA , DAB  lần lượt A1;B1;C1 Tìm thể tích lớn khối tự diện MABC 1 M thay đổi Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA  a SA vng góc với mặt phẳng đáy M N hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC DC cho MAN  450 Tính tỉ số giá trị lớn với giá trị nhỏ thể tích khối chóp S AMN Câu 6: Cho hình lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' Lấy điểm E , F lần lượt DA DA '   Gọi V , V ' lần lượt thể đoạn AB , DA ' thỏa mãn DE 27 DF tích khối lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' khối tứ diện BDEF Tìm V' GTNN tỉ số V Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a M thuộc đoạn thẳng AC ':C 'M  x C 'A , N thuộc đoạn thẳng CD ' : D 'N  2x CD ' Giá trị x để tứ diện CC 'NM tích lớn là: Câu 8: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B 'C 'D ' có cạnh bên AA '  a , đáy hình thoi cạnh a , BAD  600 Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (ACD ') Khi thiết diện hình hộp mặt phẳng (P) có diện tích lớn nhất, tính diện tích ACD ' Câu 9: Một người thợ gò làm thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp tơn Biết đường chéo hình hộp 6dm sử dụng vừa đủ 36dm tôn.Với yêu cầu người thợ làm thùng tích lớn Vdm Giá trị V gần giá trị giá trị sau? 50 Câu 10: Cho hình lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a Điểm M N lần lượt thay đổi cạnh BB ' D D ' cho MAC   NAC  BM  x , DN  y Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ACMN Phần III KẾT LUẬN Tóm lại, đề tài góp phần phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc trình bày ý tưởng, lựa chọn phương pháp giải toán liên quan đến cực trị hình học xây dựng hệ thống tập hỗ trợ em trình tự học với dạng tốn Đề tài đưa số hướng mở để tiếp tục hoàn thiện phát triển Chẳng hạn: + Tiếp tục khai thác cực trị hình học khơng gian xoáy vào chủ đề hẹp sâu xét riêng dạng hình tứ diện, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ, … + Khai thác cực trị hình học khơng gian theo mảng th̀n ứng dụng thực tế + Khai thác độc lập hình học giải tích hình học khơng gian tổng hợp Chun đề cực trị hình học hình học khơng gian tương đối rộng đòi hỏi nhiều kiến thức, bao gồm kiến thức Hình học thuần túy kiến thức Đại số Vì để giải tốt tốn thuộc chun đề đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức Đề tài hệ thống cách đọng kiến thức phần xây dựng hệ thống toán đa dạng, minh họa cho tình thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp THPT Qua thực tế giảng dạy, cho học sinh rèn luyện tự học, nhiều em nắm kiến thức, khơng cịn tâm lý e ngại giải toán thuộc chuyên đề này, đại phận học sinh làm có nhiều ý tưởng giải trước tốn cực trị hình học Chun đề áp dụng rộng rãi, đặc biệt học sinh khối 11 12 Áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi Tuy nhiên vào trình độ học sinh lớp mà người sử dụng khai thác, mở rộng, tăng độ khó, dễ cho phù hợp Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy giáo, học sinh, quan tâm đến đề tài để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn 51 Phụ lục Một số hình ảnh học sinh tổ chức tự học theo nhóm ngồi học khóa 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD Sách giáo khoa Hình học 11; Hình học 12 THPT hành Sách tập Hình học 11 12 THPT hành Đề thi THPT quốc gia đề thi thử THPT quốc gia mơn Tốn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố lớp 11, 12 Trang wed, nhóm Facebook Tốn học THPT 53 ... Định hướng khai thác, mở rộng hoặc sáng tạo toán phát huy lực tư học sinh 1.5 Tổng quan đề tài tính đề tài Nội dung đề tài khai thác số tốn hình học khơng gian phát triển lực tư cho học sinh Đề... đề xuất hướng giải cho tốn cực trị hình khơng gian theo lớp phương pháp phân loại cụ thể góp phần phát triển lực tư người học Qua học sinh vạch hướng giải cho toán dần dần hình thành kĩ để... chất ta có  lớn tan   Bước 3: Khai thác tốn sử dụng tính chất hình học tọa độ không gian hướng dẫn cho học sinh tự học Các ví dụ góp phần định hướng tư cho học sinh, thấy nhiều em tự tin không