Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

MỤC LỤC I ĐẶT VẤN ĐỀ…… ………………………………………….… II NỘI DUNG ………………….……………………………… 1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …….………… Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …………………………………………………… Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 3.1 Một số dấu hiệu nhận biết nhanh số cực trị hàm số………………………………………………………… 3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh tốn cực trị hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.3 Các dạng tốn ……………………………………… Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt y = f ′( x ) đối cho hàm số ……………………………… 15 Bài tốn 2: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt 31 f ′( x ) đối cho bảng biến thiên, bảng xét dấu …… 30 30 Bài tốn 3: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối cho đồ thị ……………………………………… 22 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm ……………………… III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ …………………………………… Tài liệu tham khảo ………………………………………………… I ĐẶT VẤN ĐỀ Mỗi giáo viên dạy tốn trường THPT ln trăn trở, suy nghĩ tìm biện pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh kiến thức cốt lõi để giúp em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ làm thi cách trôi chảy, giúp học sinh luyện thi vào trường Đại học có kết tốt Trong kì thi THPT quốc gia năm gần năm 2020 gọi kì thi Tốt nghiệp THPT, tốn tìm cực trị hàm số dạng toán thường gặp đề thi THPT quốc gia mơn Tốn với mức độ từ dễ đến khó, tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất đề thi tương đối khó Vì để giải dạng tốn cần tìm hiểu chất, phân loại toán xây dựng phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại tốn Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn nhiều góc độ, biết khai thác giả thiết toán để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh khả tư duy, biết phân loại theo dạng tốn để tìm phương pháp giải điều cần thiết Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn giúp học sinh hoàn thiện kỹ định hướng giải toán Với mong muốn giúp em học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học mức độ khá, giỏi kể trung bình giải toán cực trị hàm số dấu giá trị tuyệt đối cách trơi chảy, có đáp án xác nhanh thơng qua việc biết phân loại tốn tìm phương pháp giải, chọn đề tài "Rèn luyên kỹ cho học sinh giải toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối" Trong đề tài tơi khơng có tham vọng nêu phương pháp để giải tất toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối mà mạnh dạn nêu lên số phương pháp mà chúng tơi áp dụng q trình giảng dạy ơn thi cho học sinh Coi kinh nghiệm qua số ví dụ minh hoạ, với mong muốn góp phần tạo phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu cao qua giảng II NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 1.1 Cực trị hàm số a Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục khoảng x0 ∈ (a; b) +∞ ) điểm +) Nếu tồn số (có thể a −∞ b ; x ≠ x0 h>0 f ( x ) < f ( x0 ) x ∈ ( x0 − h; x0 + h) h>0 f ( x ) > f ( x0 ) x ∈ ( x0 − h; x0 + h) cho với y = f ( x) x0 ta nói hàm số đạt cực đại +) Nếu tồn số ( a; b ) cho với và x ≠ x0 y = f ( x) x0 ta nói hàm số đạt cực tiểu * Chú ý y = f ( x) x0 x0 +) Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) gọi điểm cực f ( x0 ) đại (điểm cực tiểu) hàm số; gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) fCÐ ( fCT ) M ( x0 ; f ( x0 )) hàm số, kí hiệu , cịn điểm gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số +) Các điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số b Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị y = f ( x) x0 * Định lí 1: Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi hàm số y = f ( x) x0 f ′( x0 ) = có đạo hàm c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị y = f ( x) K = ( x0 − h; x0 + h) * Định lí 2: Giả sử hàm số liên tục có đạo K \ {x0 } h>0 K hàm trên , với f '( x ) > ( x0 − h; x0 ) f '( x) < ( x0 ; x0 + h) x0 +) Nếu khoảng y = f ( x) điểm cực đại hàm số f ′( x ) < ( x0 − h; x0 ) f ′( x ) > ( x0 ; x0 + h) x0 +) Nếu khoảng y = f ( x) điểm cực tiểu hàm số Minh họa bảng biến thiến * Chú ý +) Giá trị cực đại (cực tiểu) y = f ( x) f ( x0 ) hàm số nói chung khơng phải y = f ( x) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số tập xác định +) Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số x0 hàm số khơng có đạo hàm Ngược lại, đạo hàm điểm x0 hàm số không đạt cực trị điểm y = f ( x) * Định lí 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) h>0 với Khi đó: f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > x0 +) Nếu điểm cực tiểu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < x0 +) Nếu điểm cực đại 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ a Định nghĩa: +) Hàm số y = f ( x) với tập xác định D gọi hàm số chẵn ∀x ∈ D −x ∈ D f ( −x ) = f ( x) +) Hàm số y = f ( x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ ∀x ∈ D −x ∈ D f ( −x) = − f ( x) b Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 1.3 Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp cách vẽ đồ thị hàm số a Hàm số Ta có: y = f ( x)  f ( x ) f ( x ) ≥ y = f ( x) =  − f ( x ) f ( x ) < Nhận xét: Hàm số y = f ( x) nhận giá trị không âm Cách vẽ đồ thị: +> Vẽ đồ thị ( C1 ) +> Gọi +> Gọi qua trục hàm số ( C) y = f ( x) Nhận xét: Đồ thị hàm số Ta có: ( C) phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía trục hồnh +> Vậy đồ thị hàm số b Hàm số y = f ( x) phần đồ thị nằm phía trục hoành ( C2 ) Ox ( C) gồm y = f ( x) ( C1 ) ( C2 ) ln nằm trục hồnh y= f ( x)  f ( x ) x ≥ y= f ( x) =  f ( − x ) x < y= f ( x) Nhận xét: Hàm số hàm số chẵn Cách vẽ đồ thị: +> Vẽ đồ thị +> Gọi +> Gọi ( C1 ) ( C) hàm số phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung ( C2 ) phần đồ thị đối xứng với +> Vậy đồ thị hàm số y= f ( x) Nhận xét: Đồ thị hàm số c Hàm số y = f ( x) gồm y= f ( x) ( C1 ) ( C1 ) qua trục Oy ( C) ( C2 ) nhận trục tung làm trục đối xứng y= f ( x) Cách vẽ đồ thị: Cách 1: +> Vẽ đồ thị ( C) +> Từ đồ thị hàm số ( C) y = f ( x) hàm số y = f ( x) ta suy đồ thị ( C1 ) hàm số y = f ( x) = g ( x) +> Từ đồ thị ( C1 ) hàm số y = f ( x) = g ( x) ta suy đồ thị ( C2 ) hàm số y = g( x ) = f ( x ) Cách 2: +> Vẽ đồ thị ( C) +> Từ đồ thị hàm số ( C) y = f ( x) hàm số y = f ( x) ta suy đồ thị ( C1 ) hàm số y = f ( x ) = h( x) +> Từ đồ thị ( C1 ) hàm số y = f ( x ) = h( x) ta suy đồ thị ( C2 ) hàm số y = h( x) = f ( x ) Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Với xu giáo dục phát triển lực học sinh cách toàn diện, đổi thi cử, đánh giá ngành giáo dục, đặc biệt việc thi đánh giá lực học sinh phương pháp thi trắc nghiệm Yêu cầu số lượng câu hỏi lớn, nội dung thi phủ rộng chương trình học Vì việc làm phong phú hệ thống câu hỏi tập điều cần thiết Với tốn tìm cực trị hàm số xuất đề thi mức độ mức độ học sinh thường theo bước quy tắc tìm cực trị hàm số, với tốn tìm cực trị hàm số mức độ khó áp dụng quy tắc tìm cực trị học sinh thường lúng túng, cách giải vấn đề dài dòng, thời gian Trong nhiều trường hợp làm rơi vào bế tắc không giải Đặc biệt tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối điều bất lợi kiểm tra thi cử dạng trắc nghiệm: số lượng câu hỏi nhiều, thời gian làm bị rút ngắn lại Chính lẽ tơi tìm tịi nghiên cứu để phân loại tốn tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối áp dụng phương pháp vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia ôn thi tốt nghiệp THPT bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh Dưới số phương pháp cụ thể Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Một số dấu hiệu nhận biết nhanh số cực trị hàm số y = f ( x) +> Số điểm cực trị hàm đa thức f ′( x ) = số nghiệm bội lẻ phương trình +> Số điểm cực trị hàm số hàm số y = f ( x) số lần số điểm cực trị dương cộng với +> Số điểm cực trị hàm số y = f ( x) y= f ( x) tổng số nghiệm đơn y = f ( x) tổng số điểm cực trị hàm với số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình f ( x) = 3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh toán cực trị hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối Bước 1: Tìm tập xác định hàm số y = f ( u ( x) ) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số u = u ( x) y = f ( x) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan u với x với u ( x) f ( u) Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận 3.3 Các dạng toán Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối cho hàm số y = f ′( x ) Bài toán 1.1: Sử dụng tính chất 3.1 để giải nhanh tốn cực trị f ′( x ) = xi ( i = 1,2, , n ) +> Giải phương trình Xét xem nghiệm phương trình nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn +> Sử dụng tính chất mục 3.1 để kết luận Ví dụ Cho hàm số hàm số A y= f ( x) y = f ( x) f ′ ( x ) = ( x − 1) có ( x + 1) ( x − ) Số điểm cực trị B C D Lời giải Chọn B Ta có  x = −1 f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = Trong đó: +> +> x =1 f ′( x ) nghiệm bội nên x = −1 nghiệm đơn x = −1; x = điểm trị dương Do có điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số A x>0 có x =1 ⇒ f ′( x ) đổi dấu qua có điểm cực trị có điểm cực y= f ( x) hàm y = f ( x) y= f ( x) nghiệm bội y = f ( x) nên hàm số f ( x ) = f ( x) trị hàm số x=2 không đổi dấu qua hàm chẵn nên hàm số f ′ ( x ) = x ( 3x − ) ( x + 1) ( x − 3) y= f ( x) Số điểm cực B C D Lời giải Chọn D x =  x = −1  f ′( x ) = ⇔  x =   x = Ta có Trong đó: +> x = −1 nghiệm bội nên x = 0; x = +> f ′( x ) nghiệm đơn x = 0; x = ; x = 3 điểm cực trị dương f ( x ) = f ( x) Do có điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số cực trị hàm số A x=3 nên hàm số x>0 nghiệm bội y = f ( x) hàm y = f ( x) y= f ( x) không đổi dấu qua ⇒ f ′( x ) đổi dấu qua có điểm cực trị có điểm y= f ( x) có đạo hàm x =1 hàm chẵn nên hàm số f ′ ( x ) = −3x ( x − 3) (x y= f ( x) + 2) Số điểm là: B C D Lời giải Chọn B f ′ ( x ) = ⇔ − x ( x − 3) Ta có: f ′( x ) Do x=0 (x x = + 2) = ⇔  x = đổi dấu qua điểm x=0 nên hàm số y = f ( x) có điểm cực trị 10 ( ) y = f x + x − − + 2021 Suy đồ thị hàm số ( y = f x2 + 2x − − đồ thị hàm số không thay đổi) Ví dụ Cho hàm số f ′( x) y = f ( x) ) có 13 điểm cực trị (Tịnh tiến lên 2021 đơn vị số điểm cực trị xác định liên tục ¡ có bảng xét dấu sau: Xét hàm số hàm số g ( x) = e y = g( 2− x ) A 10 ( ) f x + x −1 +1 +2 ( ) f x + x −1 Gọi S tập hợp điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử B S C D Lời giải Chọn A Ta có g ' ( x ) = ( x + 1) f ' ( x + x − 1) e ( ) + x + f ' x + x − f ( x + x −1) ln ( ) ( ) f x + x −1 +1 2 f ( x + x −1) +1 f ( x + x −1) = ( x + 1) f ' ( x + x − 1)  2.e +2 ln ÷   Do 2.e ( ) f x + x −1 +1 +2 ( ) f x + x −1 ln > 0, ∀x ∈ ¡  x = −   2x + =  g ' ( x ) = ⇔ ( x + 1) f ' ( x + x − 1) = ⇔  ⇔  x + x − = −1  x2 + x − =  f ' ( x + x − 1) =   x + x − = 26   x = − x=−   2   ⇔ x + x = ⇔  x = −1; x =  x2 + x − =  x = 1; x = −2    x + x − =  x = 2; x = −3 Bảng xét dấu g′( x ) Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) 27 Bảng biến thiên hàm số u ( x) = − x Bảng biến thiên ta thấy hàm số y = g( 2− x ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = g( 2− x ) có điểm cực trị Hàm số đạt cực trị điểm tương ứng với x = x = 2 − x = x = 2− x =0     − x = ⇔  − x = −1 ⇔  x =   − x = 2 − x =  x =   − x = −2  x = Suy S = { 0;1;2;3;4} Vậy tổng phần tử S 10 Bài toán 3: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối cho đồ thị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ 28 Số điểm cực trị hàm số A y = f ( x2 − x ) B C D Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số Đặt y = f ( x) ta có bảng biến thiên u ( x ) = x2 − x Ta có:  x − x x ∈ [ 0; +∞ ) u ( x) =   x + x x ∈ ( −∞;0 ) 2 x − x ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ u′ ( x ) =  2 x + x ∈ ( −∞;0 ) 29 Bảng biến thiên hàm số y = u ( x) Bảng biến thiên hàm số Vậy hàm số y = f ( x2 − x ) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x2 − x ) có điểm cực trị y = f ( x) Hàm số y = f ′( x ) có đồ thị hình vẽ 30 Hàm số y = f ( x ) − x3 + x − x + A B có tối đa điểm cực trị ? C D Lời giải Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x3 + x − 8x + có: g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − x + 14 x − = ⇔ f ′ ( x ) = y = f ′( x ) Đường cong cắt parabol x = 0; x = 1; x = lượt y= x − x + ( *) 2 x − x+2 2 ba điểm có hồnh độ lần 31 Do x = ⇔ x =1  ( *)  x = Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số g ( x) = y = g ( x) có điểm cực trị phương trình có tối đa bốn nghiệm Vậy hàm số y = g ( x) có tối đa 3+ = điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị hàm số y = f ′( x ) hình vẽ 32 y= f Hàm số A ) ( x2 − 4x + − B có tối đa điểm cực đại? C D Lời giải Chọn B Đặt u ( x ) = x2 − 4x + − ⇒ u′ ( x ) = thiên 2x − x − 4x + = x−2 x − 4x + =0⇔ x=2 Bảng biến hàm số y = u ( x) 33 Từ thị số đồ hàm y = f ′( x ) ta có bảng biến thiên y= f Bảng biến thiên hàm số ( ) x2 − x + − y= f Dựa vào bảng biến thiên hàm số y= f ( ) ( ) x2 − 4x + − suy hàm số x2 − x + − có tối đa điểm cực đại 34 Ví dụ Cho hàm số bậc hình bên Số điểm cực trị hàm số A 19 bốn y = f ( − x + x − 1) B 10 y = f ( x) có đồ thị C 20 D Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số Trong Đặt y = f ( x) ta có bảng biến thiên a ∈ ( −2; −1) b ∈ ( −1;0 ) c ∈ ( 1;2 ) f ( b ) < −2 , , u ( x ) = − x2 + x − − x + x − x ∈ [ 0; +∞ ) u ( x) =  − x − x − x ∈ ( −∞;0 ) 35 −2 x + x ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ u′ ( x ) =  −2 x − x ∈ ( −∞;0 ) Bảng biến thiên hàm số Bảng biến thiên hàm số y = u ( x) y = f ( − x + x − 1) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( − x + x − 1) Mà f ( b ) < −2 Vậy hàm số y = f ( − x + x − 1) hàm số có điểm cực trị nên phương trình y = f ( − x + x − 1) f ( u ( x) ) = có 10 nghiệm đơn có 19 điểm cực trị 36 Ví dụ Biết hàm số y = f ( x) xác định, liên tục hình vẽ bên Tìm số điểm cực tiểu hàm số A B ¡ có đồ thị cho y = f  f ( x )  + 2021 C D Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số y = f ( x) có thiên Đặt ta bảng biến u ( x) = x Bảng biến thiên hàm số y = u ( x) 37 Bảng biến thiên hàm số Bảng biến thiên hàm số y= f ( x) y = f  f ( x )  + 2021 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f  f ( x )  + 2021 y = f  f ( x )  + 2021 suy hàm số có điểm cực tiểu Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy, ơn thi THPT Quốc gia, ôn thi tốt nghiệp THPT bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh, tơi tích lũy số kinh nghiệm rèn luyện cho học sinh biết sử dụng dấu 38 hiệu giải toán cực trị hàm số; biết ghép bảng biến thiên để giải toán hàm hợp, đặc biệt tơi áp dụng cụ thể tốn tìm cực trị hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cụ thể năm học 2018 – 2019 áp dụng phương pháp lớp 12C1, thấy em học sinh tiếp thu tốt hơn, nắm bắt vấn đề nhanh đến kết xác Kết thi THPT QG năm học 2018 – 2019 điểm trung bình mơn Tốn lớp 12C1 8,17 điểm, có nhiều em đạt điểm từ trở lên, có em đạt điểm 9,8 Phương pháp cịn kích thích khả tư duy, tìm tịi sáng tạo học sinh cho đạt kết nhanh Đây thực tài liệu hữu ích tơi kiểm chứng thực tế cho kết tốt III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trong đề tài đề cập đến số phương pháp giải nhanh toán tìm cực trị mà tơi đồng nghiệp vận dụng Tuy nhiên trình giải tốn tìm cực trị nói riêng tốn hàm số nói chung, khơng có phương pháp tuyệt đối Mà cần bổ trợ nhiều phương pháp, nhiều cách giải vận dụng cách nhuần nhuyễn, khéo léo nhiều kiến thức khác Trong phương pháp giải nhanh vận dụng cách chủ đạo nhất, thuận lợi Tôi hi vọng vấn đề nhiều giáo viên học sinh quan tâm Với mục đích nghiên cứu đề tài áp dụng cho học sinh lớp 12 Đặc biệt dùng cho học sinh ôn tập thi THPT quốc gia Với cố gắng thân đồng nghiệp tin chất lượng giáo dục ngày nâng cao Qua đề tài tơi thiết nghĩ rằng: Phải kiên trì học hỏi, đầu tư nhiều công sức, vận dụng sáng tạo phương pháp dạy học tốn học, có giảng thu hút học sinh Mặc dù cố gắng nhiều q trình hồn thành đề tài, song khơng thể tránh thiếu sót, mong quan tâm, đóng góp ý kiến cấp lãnh đạo, đồng nghiệp học sinh để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 (nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa đại số 10 (nhà xuất giáo dục) 39 Các đề thi thức THPT quốc gia đề thi thử THPTQG trường nước Phương pháp ghép trục toán hàm hợp (Kênh PPT Tivi – Sưu tầm mạng Internet) 40 ... pháp giải, chọn đề tài "Rèn luyên kỹ cho học sinh giải toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối" Trong đề tài tơi khơng có tham vọng nêu phương pháp để giải tất toán cực trị hàm số chứa dấu. .. S 10 Bài toán 3: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối cho đồ thị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ 28 Số điểm cực trị hàm số A y = f ( x2 − x ) B C D Lời giải. .. dạng toán Bài tốn 1: Tìm cực trị hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối cho hàm số y = f ′( x ) Bài toán 1.1: Sử dụng tính chất 3.1 để giải nhanh tốn cực trị f ′( x ) = xi ( i = 1,2, , n ) +> Giải