Dap an mon Toan 2012

[r]

Câu I ( 2.0 điểm )

1 –TXĐ :

1 /

2 x R   

 

-Tiệm cận 12 lim

2

x x x 

   



1 x

là tiệm cận đứng

1

lim

2

x x x  

   



1 y

là tiệm cận ngang

- Sự biến thiên : y’ =

1

0 (2x 1)



 

1 x  

 Hàm số nghịch biến

1 ;

2

 

 

 

 

;

 



 

 

Bảng biến thiên x  

1

2 

y’ -

-y -

2 + 

- 

-1 - Đồ thị ( tự vẽ )

Đồ thị I

1 ; 2

 



 

 là giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Xét phương trình hoành độ giao điểm :

1

( )

2

x

x m x x

 

  



2x 2mx m 0 (*)

Ta thấy  ' m22mx 2 (m1)2  1 m Và

2

1 1

2.( )

2  m2 m  



(*) có nghiệm phân biệt khác ½



Gọi x1, x2 nghiệm (*) A(x1, y2) , B (x2, y2) Tiếp tuyến ( C) A, B có hệ số góc

1

1 '( )

(2 1) k y x

x 

 



1 2

2 '( )

(2 1) k y x

x 

 



Theo định lí Viet

1

1

1

x x m

m x x

 

 

 

   



 

 

k1 + k2 =

2

1

2

1 2

(2 1) (2 1)

(4 2 1)

x x

x x x x

   

   =

2

1 2

2

4( ) 4( )

( 2 1)

x x x x x x

m m

 

       

    = (4m24m 4 4m2)(4m28m6)

= 4(m1)2 22



k1 + k2 đạt max m = -1 Câu II.( 2,0 điểm )

1 ĐK : x k k Z (  ) Phương trình :

(1 + sìnx + cos2x) sin2x = sin sin 2x x

sin x2sin cosx x2cos 2x 2 cosx 0

 

2

sin xcosx2sinx2cosx 2 0

 

sin cos

sin cos

x x

x x

  

 



 

 

 

 

cos

sin(

4 x x 



 

 

 

 

 

 

2 ( )

2

x k

k z

x k

  



 

 

 



 

   

 

 

2 Xét (2) xy x y(  )2 2x y2 2 2 (x y )2 0

(x y ) (xy1) 2( xy 1)(xy1) 0

2

(xy 1)(x y 2xy 2xy 2) 0  2

2 xy

x y 

 

 

 

+ Trường hợp 1: xy =1, thay vào (1) ta được:

5x 4y3y  2x 2y0 3y33x 6y 0

y4 1 2y2 0

( Nhân hai vế với y0; xy =1)

y2 1

1;

1;

y x

y x

 

 

 

 

 

+ Trường hợp : x2y2 2thì y2  2 x2

Thay vào (1) : 5x y2  4xy23 (2y  x2) 2 x 2y0 2x y2  4xy2 2x4y0

xy x(  ) (y  x ) 0y 



2 x y xy



 

 



 

Trường hợp xy = xét

Trường hợp x=2y, kết hợp x2y2 2được 5y2 2



2 10

5

y 

Vậy hệ có cặp nghiệm

2 10 10 10 10 ( , ) (1;1);( 1; 1);( ; );( ; )

5 5

x y     

Câu III ( 1.0 điểm ).

4 4

0 0

4

sin cos cos ( sin cos )

sin cos sin cos

2

ln sin cos ln

4

x x x x x d x x x

I dx dx dx

x x x x x x

x x x

p p p

p

p p p

+ + +

= = +

+ +

+

= + + = +

ò ò ò

Câu IV ( 1.0 điểm ). N trung điểm AC

·

.tan

SA=AB SAB = a

Diện tích :

2

1

.2 2

2

ABC

S = a a= a

;

2

1

2

AMN

S = aa= a

Diện tích đáy:

2

2

2

Thể tích V =a3

2 Gọi P trung điểm BC NP//AB →AB//(SNP)

d[AB,SN] = d[AB,(SPN)] = d[A,(SPN)]= d[C,(SPN)] trung điểm N AC thuộc mp(SPN)

3

1 . 12 3.1

3 3

1

SPCN PCN

a

V SA S a a

PN AB a

= = =

= =

Kẻ AH ^PN tại H

( )

PN AH

PN SAH SH PN

PN SA

ìï ^

ï Þ ^ Þ ^

íï ^

ïỵ H.

→ SH đường cao ΔSPN

ΔSAH vuông A, AH = BP = a nên:

2

2 13 13. 13

2

SPN

a

SH = SA +AH =a Þ S = a a=

3

2

3

3 3 39

;( )

13 13

2

SPCN PCN

a V

d C SPN

S a

é ù= =

ê ú

ë û

Câu V ( điểm ).

Xét ( )

x y z

P Z

x y y z z x

= + +

+ + +

Nếu x= Ỵ ê úy é ùë û1;4

6

( ) 1;

5

P z = " Ỵ ê úz é ùë ûx Nếu x > y:

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

'( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x x y z y x z x y z xy

P z

y z x z y z x z y z x z

- + - + -

-= + = =

+ + + + + +

Vì x > y nên x – y > P z'( )=0 z= xy<x Vậy :

( ) ( )

2

xy

x y

P z P xy

x y y xy xy x

³ = + +

+ + +

2

2 2 3

1

x y

x y

x y x y x x

y y

= + = +

+ + +

Đặt

x t

y

=

4

x

y x t

y

£ £ £ Þ £ £ Þ £ £

Câu VI.a ( 2,0 điểm ).

1 ( ) : (C x- 2)2+(y- 1)2=5 ( C) có tâm I(2 ;1) bán kính R =

SMAIB = 10Û MA R =10 ( IA = IB = R, MA = MB )

10 2 5

5

MA

Û = =

: MI = MA2+IA2 = 20 5+ =5 Giả sử tọa độ M thuộc Δ (a ; -a-2)

Ta có : MI =

2 25 ( 2)2 ( 2 1)2 25

3

a

MI a a

a

é = ê

= Û - + - - - = Þ ê

=-ê ë

Vậy có điểm thỏa mẵn đề : M1(2; 4);- M2( 3;1)

-2 MA = MB suy M thuộc mặt phẳng trung trực (Q) A Mặt phẳng ( Q) qua trung điểm I(1 ;-1 ;2) cảu AB nhận AB( 2; 2;2)-

-uuur

làm VTCO nên pt (Q) :

2(x 1) 2(y 1) 2(z 2) x y z

- - - - + - = Û + - =

( )

( )

2

3

3

2

2

M M M

M M M

M M

M M

M

M M M

M P x y z

M Q x y z

x y

x y

x

x y z

ì ì

ï Ỵ ï - - + =

ï ï

Û íï Ỵ Û íï + - + =

ï ï

ỵ ỵ

ìï =

-ì ï

ï - + = ï

ï ï

Û íï - + = Û íï +

=

ï ï

ỵ ïïỵ

Hay M có tọa độ (2b-2 ; b ; 3b) ; MA =

2 2

1

(2 2) (3 1) 4

7

b

b b b

b

é = ê ê

- - + + - = Þ

ê = ê ë

Vậy có hai điểm M thỏa mãn M1(0;1;3)

6 12

( ; ; )

7 7

M -Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi:

Z a bi  ( ,a b R )

2 | |2

Z Z Z  (a bi )2 a2b2 a bi

2

2

2 (2 )

2

a b a b ab b i

ab b

  

    

2

0

1 ;

1

2 2

a ab

a b b

a b a

  

  



   

   

  

   

  

Vậy ta có đáp án:

1 1 0; ;

2 2

Z  Z   i Z   i

Câu VI.b (1,0 điểm)

Gọi B x y z( ; ; )B B B Þ OA2=32

2 2 2

2 ( 4)2 ( 4)2 64 8 8

B B B

B B B B B

OB x y z OA

OC x y z x y

= + + =

= - + - + = -

-2 32 4(1)

B B

AB = Þ x +y =

2 2

2 2

( ) 4

32 4.4 4 32 16(2)

B B B B B B

B B B B B

B S x y z x y z

z z x y z

ẻ ị + + - - - =

Þ - - = Þ = Þ + = - =

Từ (1) (2)

0 4; (0;4;4)

4 0; (4;0;4)

B B B

B B B

x y z B

x y z B

é = ® = = é

ê ê

Þ ê Þ ê

= ® = =

ê ê

ë ë

Suy phương trình

0

x y z x y z

é - - = ê

ê - + = ê

ë .

Câu VII.b

Đặt Z= a +bi ( ,a b Z )

Pt (3a 3b 2) ( b a i ) 0

3

0 a b b a

  

 

 

 

 

1

1 a

b

 



 

 

  

 