[r]
(1)Câu I ( 2.0 điểm )
1 –TXĐ :
1 /
2 x R
-Tiệm cận 12 lim
2
x x x
1 x
là tiệm cận đứng
1
lim
2
x x x
1 y
là tiệm cận ngang
- Sự biến thiên : y’ =
1
0 (2x 1)
1 x
Hàm số nghịch biến
1 ;
2
;
Bảng biến thiên x
1
2
y’ -
-y -
2 +
-
-1 - Đồ thị ( tự vẽ )
Đồ thị I
1 ; 2
là giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Xét phương trình hoành độ giao điểm :
1
( )
2
x
x m x x
2x 2mx m 0 (*)
Ta thấy ' m22mx 2 (m1)2 1 m Và
2
1 1
2.( )
2 m2 m
(*) có nghiệm phân biệt khác ½
(2)Gọi x1, x2 nghiệm (*) A(x1, y2) , B (x2, y2) Tiếp tuyến ( C) A, B có hệ số góc
1
1 '( )
(2 1) k y x
x
1 2
2 '( )
(2 1) k y x
x
Theo định lí Viet
1
1
1
x x m
m x x
k1 + k2 =
2
1
2
1 2
(2 1) (2 1)
(4 2 1)
x x
x x x x
=
2
1 2
2
4( ) 4( )
( 2 1)
x x x x x x
m m
= (4m24m 4 4m2)(4m28m6)
= 4(m1)2 22
k1 + k2 đạt max m = -1 Câu II.( 2,0 điểm )
1 ĐK : x k k Z ( ) Phương trình :
(1 + sìnx + cos2x) sin2x = sin sin 2x x
sin x2sin cosx x2cos 2x 2 cosx 0
2
sin xcosx2sinx2cosx 2 0
sin cos
sin cos
x x
x x
cos
sin(
4 x x
2 ( )
2
x k
k z
x k
2 Xét (2) xy x y( )2 2x y2 2 2 (x y )2 0
(x y ) (xy1) 2( xy 1)(xy1) 0
2
(xy 1)(x y 2xy 2xy 2) 0 2
2 xy
x y
(3)+ Trường hợp 1: xy =1, thay vào (1) ta được:
5x 4y3y 2x 2y0 3y33x 6y 0
y4 1 2y2 0
( Nhân hai vế với y0; xy =1)
y2 1
1;
1;
y x
y x
+ Trường hợp : x2y2 2thì y2 2 x2
Thay vào (1) : 5x y2 4xy23 (2y x2) 2 x 2y0 2x y2 4xy2 2x4y0
xy x( ) (y x ) 0y
2 x y xy
Trường hợp xy = xét
Trường hợp x=2y, kết hợp x2y2 2được 5y2 2
2 10
5
y
Vậy hệ có cặp nghiệm
2 10 10 10 10 ( , ) (1;1);( 1; 1);( ; );( ; )
5 5
x y
Câu III ( 1.0 điểm ).
4 4
0 0
4
sin cos cos ( sin cos )
sin cos sin cos
2
ln sin cos ln
4
x x x x x d x x x
I dx dx dx
x x x x x x
x x x
p p p
p
p p p
+ + +
= = +
+ +
+
= + + = +
ò ò ò
Câu IV ( 1.0 điểm ). N trung điểm AC
·
.tan
SA=AB SAB = a
Diện tích :
2
1
.2 2
2
ABC
S = a a= a
;
2
1
2
AMN
S = aa= a
Diện tích đáy:
2
2
2
(4)Thể tích V =a3
2 Gọi P trung điểm BC NP//AB →AB//(SNP)
d[AB,SN] = d[AB,(SPN)] = d[A,(SPN)]= d[C,(SPN)] trung điểm N AC thuộc mp(SPN)
3
1 . 12 3.1
3 3
1
SPCN PCN
a
V SA S a a
PN AB a
= = =
= =
Kẻ AH ^PN tại H
( )
PN AH
PN SAH SH PN
PN SA
ìï ^
ï Þ ^ Þ ^
íï ^
ïỵ H.
→ SH đường cao ΔSPN
ΔSAH vuông A, AH = BP = a nên:
2
2 13 13. 13
2
SPN
a
SH = SA +AH =a Þ S = a a=
3
2
3
3 3 39
;( )
13 13
2
SPCN PCN
a V
d C SPN
S a
é ù= =
ê ú
ë û
Câu V ( điểm ).
Xét ( )
x y z
P Z
x y y z z x
= + +
+ + +
Nếu x= Ỵ ê úy é ùë û1;4
6
( ) 1;
5
P z = " Ỵ ê úz é ùë ûx Nếu x > y:
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
'( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y x x y z y x z x y z xy
P z
y z x z y z x z y z x z
- + - + -
-= + = =
+ + + + + +
Vì x > y nên x – y > P z'( )=0 z= xy<x Vậy :
( ) ( )
2
xy
x y
P z P xy
x y y xy xy x
³ = + +
+ + +
2
2 2 3
1
x y
x y
x y x y x x
y y
= + = +
+ + +
(5)Đặt
x t
y
=
4
x
y x t
y
£ £ £ Þ £ £ Þ £ £
Câu VI.a ( 2,0 điểm ).
1 ( ) : (C x- 2)2+(y- 1)2=5 ( C) có tâm I(2 ;1) bán kính R =
SMAIB = 10Û MA R =10 ( IA = IB = R, MA = MB )
10 2 5
5
MA
Û = =
: MI = MA2+IA2 = 20 5+ =5 Giả sử tọa độ M thuộc Δ (a ; -a-2)
Ta có : MI =
2 25 ( 2)2 ( 2 1)2 25
3
a
MI a a
a
é = ê
= Û - + - - - = Þ ê
=-ê ë
Vậy có điểm thỏa mẵn đề : M1(2; 4);- M2( 3;1)
-2 MA = MB suy M thuộc mặt phẳng trung trực (Q) A Mặt phẳng ( Q) qua trung điểm I(1 ;-1 ;2) cảu AB nhận AB( 2; 2;2)-
-uuur
làm VTCO nên pt (Q) :
2(x 1) 2(y 1) 2(z 2) x y z
- - - - + - = Û + - =
( )
( )
2
3
3
2
2
M M M
M M M
M M
M M
M
M M M
M P x y z
M Q x y z
x y
x y
x
x y z
ì ì
ï Ỵ ï - - + =
ï ï
Û íï Ỵ Û íï + - + =
ï ï
ỵ ỵ
ìï =
-ì ï
ï - + = ï
ï ï
Û íï - + = Û íï +
=
ï ï
ỵ ïïỵ
Hay M có tọa độ (2b-2 ; b ; 3b) ; MA =
2 2
1
(2 2) (3 1) 4
7
b
b b b
b
é = ê ê
- - + + - = Þ
ê = ê ë
Vậy có hai điểm M thỏa mãn M1(0;1;3)
6 12
( ; ; )
7 7
M -Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi:
Z a bi ( ,a b R )
2 | |2
Z Z Z (a bi )2 a2b2 a bi
2
2
2 (2 )
2
a b a b ab b i
ab b
(6)2
0
1 ;
1
2 2
a ab
a b b
a b a
Vậy ta có đáp án:
1 1 0; ;
2 2
Z Z i Z i
Câu VI.b (1,0 điểm)
Gọi B x y z( ; ; )B B B Þ OA2=32
2 2 2
2 ( 4)2 ( 4)2 64 8 8
B B B
B B B B B
OB x y z OA
OC x y z x y
= + + =
= - + - + = -
-2 32 4(1)
B B
AB = Þ x +y =
2 2
2 2
( ) 4
32 4.4 4 32 16(2)
B B B B B B
B B B B B
B S x y z x y z
z z x y z
ẻ ị + + - - - =
Þ - - = Þ = Þ + = - =
Từ (1) (2)
0 4; (0;4;4)
4 0; (4;0;4)
B B B
B B B
x y z B
x y z B
é = ® = = é
ê ê
Þ ê Þ ê
= ® = =
ê ê
ë ë
Suy phương trình
0
x y z x y z
é - - = ê
ê - + = ê
ë .
Câu VII.b
Đặt Z= a +bi ( ,a b Z )
Pt (3a 3b 2) ( b a i ) 0
3
0 a b b a
1
1 a
b