Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña.. Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm.[r]
(1)MA TRẬN ðỀ
THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN BẢNG B ðỀ THI CHÍNH THƯC
(ðề tự luận)
Mức ñộ nhận thức Chủ ñề kiến thức
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Tổng Mức ñộ
thấp
Mức ñộ cao Giới hạn hàm số
(lớp 11)
1
4
1
4,0 Hệ thức lượng giác
hình học phẳng (lớp 11)
1
3
1
3,0 Giải phương trình, bất
phương trình, hệ có sử dụng tính chất hàm số
(lớp 10, 12)
1
4
1
4,0 Hình học khơng gian
(lớp 11)
1
4
1
2 2
6,0 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất biểu thức có dùng tính chất hàm số (lớp 10, lớp 12)
1
3 1
3,0 0
0,0 2
8,0 2
7,0 2
5,0 6
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN BẢNG B ðỀ CHÍNH THƯC
(Hướng dẫn chm ny cú 03 trang)
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm Bi
4 điểm Có :
3
1 lim x x x x → + − + =
(
)
1 ( 1) 1 lim
x
x x x x
x
→
+ − + + + − +
1,5
=
2
2
0 2 3
( 3) lim
1 ( 1) ( 1) ( 1) 3 (1 )
x
x x x
x x x x x x x x
→ − + + + + + + + + + + + =
0 3
1
lim
1 ( 1) ( 1) ( 1) (1 )
x
x
x x x x x x
→ − + + + + + + + + + + +
= 1
2
−
+ = 1,5
Bài 3 ñiểm
* Trường hợp góc β nhọn:
KỴ AH ⊥ BC, α < βnên BH<BM;
cã cotϕ = HM/AH, cotα = CH/AH, cotβ = BH/AH
1,0 Do: HM = BM-BH ; HM = CH-CM; BM=CM
nên cộng vế-vế ñẳng thức ta ñược: 2HM = CH-BH
0,5 0,5 => 2HM/AH = CH/AH - BH/AH ,
hay cotϕ = cotα - cotβ Ta có đpcm !
B
A
C
M
H
* Trường hợp góc β tù: Chứng minh tương tự
0,5
0,5
Bài 4 ñiểm
TXð: x∈ (-2; +∞) 0,25
Nếu x ∈[-2; 0] thì: BPT cho có VT ≤ + + < 18 = VP Suy ∀x ∈[-2; 0] ñều nghiệm BPT ñã cho
0,5 0,5
Nếu x > 0, xét hàm số y = f(x) = x2 + +x x+2 với x∈ (0; +∞)
Có f’(x) = 2x + + 3/ x+2> ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñồng biến (0; +∞) 0,75 Mà f(2) = 18 nên với x∈(0; +∞) ta có: BPT ñã cho <=> f(x) < f(2) <=> x<2
Kết hợp với x∈ (0; +∞) ñược < x <
1,0 0,5
(3)Bài Sơ lược lời giải Cho ñiểm Bài
6 ñiểm
4.1 (4 ñiểm)
Gọi E trung ñiểm BC, từ giả thiết suy H∈AE, I∈ME => IH cắt (d) N 0,5 Theo giả thiết (d)⊥mp(ABC) => (d)⊥BC hay MN⊥BC 1,0 Chứng minh ñược BH⊥mp(MAC) suy BH⊥MC
Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), từ suy MC⊥BN
1,0
1,0
Chứng minh tương tự, ñược MB⊥CN
Vậy tứ diện MNBC có cặp cạnh đối vng góc với (đpcm !) 0,5 4.2 (2 điểm)
Chứng minh ñược: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH suy IH⊥MB
Trong tam giác MNE, có: ANH = AEM (góc có cạnh tương ứng vng góc)
suy ∆ ANH ∼∆ AEM
1,0
0,5
do đó: AN AH
AE = AM => AM.AN = AE.AH =
2
3
2 2
a a a
=
Vậy tích AM.AN khơng ñổi (ñpcm !) 0,5
H
N
B
C
A
E
M
K
(4)Bài Sơ lược lời giải Cho ñiểm Bài
3 ñiểm ðặt:
a b t
b a
= + => t ≥2;
2 2
2
2 2 2
a b a b
t t
b a b a
= + + ⇒ + = − =>
4
4
4 4
a b
t t
b +a = − + 0,5
Khi đó: P =
4 2
4 2
a b a b a b
b a b a b a
+ − + + +
=
4 2
4 ( 2)
t − t + − t − + = −t t t + +t
Xét hàm: f t( )= t4−5t2+ +t với t ≥2, có: f t'( )=4t3−10t+1; f "( ) 12t = t2−10 0,75 Với t ≥2 f”(t) > => hàm f’(t) ñồng biến (-∞ ; -2] [2; +∞)
Nên : t > => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = -11 < 0 0,75
Ta có bảng biến thiên :
t –∞ –2 +∞
f’(t) – +
f(t) +∞
–2
+∞
Mà f(-2) = - < = f(2), suy : f(t) = –2 ; ñạt t = –2 <=> a = – b ≠ Vậy giá trị nhỏ P -2, ñạt ñược a = - b ≠
C¸c chó ý chÊm:
1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa
2 Các cách giải khác ñúng cho ñiểm Tổ chấm trao đổi thơng chi tiết khơng ñược số ñiểm dành cho câu, phần ñó
3 Có thể chia điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm
4 ðiểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải ñược trao ñổi tổ chấm cho ñiểm theo thống tổ