Đề và đáp án môn toán khối A năm 2012

  !"#$%&'% "($)$*+',-'$./"01 23456789:$;,< =>79:$;,<Cho hm s 4 2 2 2 1 1y x ( m )x m ( )= − + + ,với m l tham s thực. a) Kho st sự biến thiên v vẽ đồ thị hm s (1) khi m = 0. b) Tìm m để đồ thị hm s (1) có ba điểm cực trị tạo thnh ba đỉnh của một tam gic vuông. =>79:$;,< Gii phương trình 3 sin2x+cos2x=2cosx-1 =>?79:$;,< Gii hệ phương trình 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 2 x x x y y y x y x y  − − + = + −   + − + =   (x, y ∈ R). =>@79:$;,<Tính tích phân 3 2 1 1 ln( 1)x I dx x + + = ∫ =>A79:$;,< Cho hình chóp S.ABC có đy l tam gic đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) l điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC v mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích của khi chóp S.ABC v tính khong cch giữa hai đường thẳng SA v BC theo a. =>B79:$;,<Cho cc s thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 3 3 6 6 6 x y y z z x P x y z − − − = + + − + + . 23CD7?9:$;,<Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) %E"FGH"IJ)1KL"">M =>8E*79:$;,< Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M l trung điểm của cạnh BC, N l điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Gi sử 11 1 ; 2 2 M    ÷   v đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. =>.E*79:$;,<Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 2 1 2 1 x y z+ − = = v điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I v cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam gic IAB vuông tại I. =>NE*79:$;,<ECho n l s nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 n n n C C − = . Tìm s hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 1 14 n nx x   −  ÷   , x ≠ 0. E"FGH"IJ)1KL"=)H*G =>8E-79:$;,<Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 = 8. Viết phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ di trục lớn bằng 8 v (E) cắt (C) tại bn điểm tạo thnh bn đỉnh của một hình vuông. =>.E-79:$;,<Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 2 2 1 1 x y z+ − = = , mặt phẳng (P) : x + y – 2z + 5 = 0 v điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d v (P) lần lượt tại M v N sao cho A l trung điểm của đoạn thẳng MN. =>NE-79:$;,<Cho s phức z thỏa 5( ) 2 1 z i i z + = − + . Tính môđun của s phức w = 1 + z + z 2 . 6O 5PQ 23456789:$;,< =>a/ Kho st, vẽ (C) : m = 0 ⇒ y = x 4 – 2x 2 D = R, y’ = 4x 3 – 4x, y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±1 Hm s đồng biến trên (-1; 0) v (1; +∞), nghịch biến trên (-∞;-1) v (0; 1) Hm s đạt cực đại tại x = 0 v y CĐ = 0, đạt cực tiểu tại x = ±1 v y CT = -1 lim x y →±∞ = +∞ Bng biến thiên : x -∞ -1 0 1 +∞ y’ − 0 + 0 − 0 + y +∞ 1 +∞ -1 -1 y = 0 ⇔ x = 0 hay x = 2± Đồ thị tiếp xúc với Ox tại (0; 0) v cắt Ox tại hai điểm ( 2± ; 0) b/ y’ = 4x 3 – 4(m + 1)x y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x 2 = (m + 1) Hm s có 3 cực trị ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1 Khi đó đồ thị hm s có 3 cực trị A (0; m 2 ), B (- 1m + ; – 2m – 1); C ( 1m + ; –2m – 1) Do AB = AC nên tam gic chỉ có thể vuông tại A. Gọi M l trung điểm của BC ⇒ M (0; -2m–1) Do đó ycbt ⇔ BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) ⇔ 2 1m + = 2(m 2 + 2m + 1) = 2(m + 1) 2 ⇔ 1 = (m + 1) 1m + = 3 2 ( 1)m + (do m > -1) ⇔ 1 = (m + 1) (do m > -1) ⇔ m = 0 =>E 3 sin2x+cos2x=2cosx-1 ⇔ 2 3 sinxcosx + 2cos 2 x = 2cosx ⇔ cosx = 0 hay 3 sinx + cosx = 1 ⇔ cosx = 0 hay 3 2 sinx + 1 2 cosx = 1 2 ⇔ cosx = 0 hay cos( ) cos 3 3 x π π − = ⇔ x = 2 2 k hay x k π π π + = hay 2 2 3 x k π π = + (k ∈ Z). =>? 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 2 x x x y y y x y x y  − − + = + −   + − + =   Đặt t = -x Hệ trở thnh 3 3 2 2 2 2 3 3 9( ) 22 1 2 t y t y t y t y t y  + + + − + =   + + + =   . Đặt S = y + t; P = y.t Hệ trở thnh 3 2 3 2 2 2 3 3( 2 ) 9 22 3 3( 2 ) 9 22 1 1 1 2 ( ) 2 2 2 S PS S P S S PS S P S S P S P S S   − + − − = − + − − =   ⇔   − + = = + −     3 2 2 3 2 6 45 82 0 4 1 1 ( ) 2 2 2 S S S P P S S S  + + + =  =   ⇔ ⇔   = + −   = −   . Vậy nghiệm của hệ l 3 1 1 3 ; ; ; 2 2 2 2 −     −  ÷  ÷     x y -1 O - -1 1 Cch khc : 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 x x x y y y x y  − − + = + −   − + + =   . Đặt u = x 1 2 − ; v = y + 1 2 Hệ đã cho thnh 3 2 3 2 2 2 3 45 3 45 ( 1) ( 1) ( 1) 2 4 2 4 1 u u u v v v u v  − − = + − + − +    + =  Xét hm f(t) = 3 2 3 45 2 4 t t t− − có f’(t) = 2 45 3 3 4 t t− − < 0 với mọi t thỏa t≤ 1 ⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + 1 ⇒ (v + 1) 2 + v 2 = 1 ⇒ v = 0 hay v = -1 ⇒ 0 1 v u =   =  hay 1 0 v u = −   =  ⇒ Hệ đã cho có nghiệm l 3 1 1 3 ; ; ; 2 2 2 2 −     −  ÷  ÷     . =>@E 3 2 1 1 ln( 1)x I dx x + + = ∫ = 3 3 2 2 1 1 1 ln( 1)x dx dx x x + + ∫ ∫ = 1 3 1 1 x − − J+ = 2 3 J+ . Với 3 2 1 ln( 1)x J dx x + = ∫ Đặt u = ln(x+1) ⇒ du = 1 1 dx x + ; dv = 2 1 dx x , chọn v = 1 x − - 1 J = 3 1 ( 1)ln( 1) 1 x x − − + + 3 1 dx x ∫ = 3 1 ( 1)ln( 1) 1 x x − − + + 3 1 ln x = 4 ln 4 2ln 2 3 − + + ln3 = 2 ln 2 ln 3 3 − + . Vậy I = 2 2 ln 2 ln3 3 3 − + + Cch khc : Đặt u = 1 + ln(x+1) ⇒ du = 1 dx x + ; đặt dv = 2 dx x , chọn v = 1 x − , ta có : [ ] 3 1 1 1 ln( 1)I x x = − + + + 3 1 ( 1) dx x x + ∫ = [ ] 3 3 1 1 1 1 ln( 1) ln 1 x x x x − + + + + = 2 2 ln 2 ln3 3 3 − + + =>AE Gọi M l trung điểm AB, ta có  ? B a a a MH MB HB= − = − =     ? . 8  B ?B ? a a a a CH CH     = + = ⇒ =          8  ? a SC HC= = ; SH = CH.tan60 0 = 21 3 a ( )  ?  8 8 9 ? @  a a V S ABC a= = dựng D sao cho ABCD l hình thoi, AD//BC Vẽ HK vuông góc với AD. V trong tam gic vuông SHK, ta kẻ HI l chiều cao của SHK. Vậy khong cch d(BC,SA) chính l khong cch 3HI/2 cần tìm.  ? ? ?  ? a a HK = = , hệ thức lượng            ? ? ? HI HS HK a a ⇒ = + = +      ÷  ÷  ÷  ÷     [ ] @ ? ? @ @ 9     . a a a HI d BC SA HI⇒ = ⇒ = = =  %     !   =>BE x + y + z = 0 nên z = -(x + y) v có 2 s không âm hoặc không dương. Do tính chất đi xứng ta có thể gi sử xy ≥ 0 Ta có 2 2 2 2 3 3 3 12( ) x y y x x y P x y xy − + + = + + − + + = 2 2 2 3 3 3 12[( ) ] x y y x x y x y xy − + + = + + − + − ≥ 2 2 2 2 3 2.3 12[( ) ] y x x y x y x y xy + + + − + − + − ≥ 3 2 3 2.3 2 3 x y x y x y + − + − + . Đặt t = 0x y+ ≥ , xét f(t) = 3 2.( 3) 2 3 t t− f’(t) = 3 3 2.3( 3) .ln 3 2 3 2 3( 3.( 3) ln 3 1) 0 t t − = − > ⇒ f đồng biến trên [0; +∞) ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2 M 3 x y− ≥ 3 0 = 1. Vậy P ≥ 3 0 + 2 = 3, dấu “=” xy ra ⇔ x = y = z = 0. Vậy min P = 3. %E"FGH"IJ)1KL"">M =>8*E Ta có : AN = 10 3 a ; AM = 5 2 a ; MN = 5 6 a ; cosA = 2 2 2 2 . AM AN MN AM AN + − = 1 2 ⇒ · 45 o MAN = (Cch khc :Để tính · MAN = 45 0 ta có thể tính · · 1 2 3 ( ) 1 1 1 2. 3 tg DAM DAN − − = = + ) Phương trình đường thẳng AM : ax + by 11 1 2 2 a b− − = 0 · 2 2 2 1 cos 2 5( ) a b MAN a b − = = + ⇔ 3t 2 – 8t – 3 = 0 (với t = a b <⇒t = 3 hay 1 3 t = − + Với t = 3 ⇒ tọa độ A l nghiệm của hệ : 2 3 0 3 17 0 x y x y − − =   + − =  ⇒ A (4; 5) + Với 1 3 t = − ⇒ tọa độ A l nghiệm của hệ : 2 3 0 3 4 0 x y x y − − =   − − =  ⇒ A (1; -1) Cch khc: A (a; 2a – 3), 3 5 ( , ) 2 d M AN = , MA = 3 10 . 2 2 MH = ⇔ 2 2 11 7 45 ( ) (2 ) 2 2 2 a a− + − = ⇔ a = 1 hay a = 4 ⇒ A (1; -1) hay A (4; 5). =>.*E Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi d u uur = (1; 2; 1) l vectơ chỉ phương của đường thẳng d. [ , ] 2 ( , ) 2 2 d d MI u AB R IH d I d u = = = = uuur uur uur , [ , ] ( 2;0;2) d MI u = − uuur uur ⇒ IH = 8 2 6 3 = 2 2 2 3 R = ⇒ R = 2 6 3 ⇒ phương trình mặt cầu (S) l : 2 2 2 8 ( 3) 3 x y z+ + − = . =>NE*E 1 3 5 n n n C C − = ⇔ ( 1)( 2) 5. 6 n n n n − − = ⇔ 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) ⇒ n = 7 Gọi a l hệ s của x 5 ta có 7 2 7 5 7 1 . 2 i i i x C ax x − −     − =  ÷  ÷     ⇔ 7 7 14 3 5 7 1 ( 1) . . 2 i i i i C x ax − − −   − =  ÷   ⇒ 14 – 3i = 5 ⇒ i = 3 v 7 7 7 1 . 2 i i C a − −   − =  ÷   ⇒ a = 35 16 − . Vậy s hạng chứa x 5 l 35 16 − .x 5 . E"FGH"IJ)1KL"=)H*G B A C D N M =>8- Phương trình chính tắc của (E) có dạng : 2 2 2 2 1 ( ) x y a b a b + = > . Ta có a = 4 (E )cắt (C ) tại 4 điểm tạo thnh hình vuông nên : M (2;-2) thuộc (E) 2 2 4 4 1 a b ⇔ + = 2 16 3 b⇔ = . Vậy (E) có dạng 2 2 1 16 16 3 x y + = => E ( 1 2 ; ;2 )( )M d M t t t t R∈ ⇒ − + + ∈ ; A l trung điểm MN (3 2 ; 2 ;2 )N t t t⇒ − − − − ( )N P∈ 2t⇒ = ( 1; 4;0)N⇒ − − ; ∆ đi qua A v N nên phương trình có dạng : 1 4 2 3 2 x y z+ + = = =>N-E z x yi= + 5( ) 2 1 z i i z + = − + 5( ) 2 1 x yi i i x yi − + ⇔ = − + + 5[( ( 1) ) 2 ( 1) x y i i x yi − − ⇔ = − + + 5 5( 1) 2( 1) ( 1) 2x y i x x i yi y⇔ − − = + − + + + 5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 )x y i x y x y i⇔ − − = + + − + − 2 2 5 1 2 5( 1) x y x x y y + + =   + − = −  3 2 7 6 x y x y − =  ⇔  − = −  1 1 x y =  ⇔  =  z = 1 + i; 2 2 1 1 (1 ) (1 )w z z i i= + + = + + + + 1 1 1 2 ( 1)i i= + + + + + − 2 3i= + 4 9 13w⇒ = + = Bộ gio dục . 8  B ?B ? a a a a CH CH     = + = ⇒ =          8  ? a SC HC= = ; SH = CH.tan60 0 = 21 3 a ( )  ?  8 8 9 ? @  a a V S ABC a= = dựng D sao cho ABCD l hình thoi, AD//BC Vẽ. “=” xy ra ⇔ x = y = z = 0. Vậy min P = 3. %E"FGH"IJ)1KL"">M =>8*E Ta có : AN = 10 3 a ; AM = 5 2 a ; MN = 5 6 a ; cosA = 2 2 2 2 . AM AN MN AM AN + − . · 45 o MAN = (Cch khc :Để tính · MAN = 45 0 ta có thể tính · · 1 2 3 ( ) 1 1 1 2. 3 tg DAM DAN − − = = + ) Phương trình đường thẳng AM : ax + by 11 1 2 2 a b− − = 0 · 2 2 2 1 cos 2 5( ) a b MAN a