Đề và đáp án môn Toán khối A từ năm 2010 đến năm 2016

THI TUYN SINH I HC NM 2010 Mụn: TON; Khi: A Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt B GIO DC V O TO CHNH THC I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = x3 2x2 + (1 m)x + m (1), m l tham s thc Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = Tỡm m th ca hm s (1) ct trc honh ti im phõn bit cú honh x1, x2, x3 tho iu kin x12 + x22 + x32 < Cõu II (2,0 im) (1 + sin x + cos x) sin x + = Gii phng trỡnh cos x + tan x 2 Gii bt phng trỡnh x x 2( x x + 1) 1 x2 + e x + x2e x + 2e x dx Cõu IV (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM Bit SH vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SH = a Tớnh th tớch chúp S.CDNM v tớnh khong cỏch gia hai ng thng DM v SC theo a (4 x + 1) x + ( y 3) y = (x, y R) Cõu V (1,0 im) Gii h phng trỡnh 2 x + y + x = II PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt hai phn (phn A hoc B) A Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a (2,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hai ng thng d1: x + y = v d2: x y = Gi (T) l ng trũn tip xỳc vi d1 ti A, ct d2 ti hai im B v C cho tam giỏc ABC vuụng ti B Vit v im A cú honh dng phng trỡnh ca (T), bit tam giỏc ABC cú din tớch bng x y z + = = v mt phng (P): x 2y + z = Trong khụng gian to Oxyz, cho ng thng : Gi C l giao im ca vi (P), M l im thuc Tớnh khong cỏch t M n (P), bit MC = Cõu III (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm phn o ca s phc z, bit z = ( + i ) (1 i ) B Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 im) Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(6; 6); ng thng i qua trung im ca cỏc cnh AB v AC cú phng trỡnh x + y = Tỡm to cỏc nh B v C, bit im E(1; 3) nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ó cho x+2 y2 z +3 = = Trong khụng gian to Oxyz, cho im A(0; 0; 2) v ng thng : Tớnh khong cỏch t A n Vit phng trỡnh mt cu tõm A, ct ti hai im B v C cho BC = (1 3i )3 Cõu VII.b (1,0 im) Cho s phc z tha z = Tỡm mụun ca s phc z + i z i - Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh P N THANG IM THI TUYN SINH I HC NM 2010 Mụn: TON; Khi A (ỏp ỏn - thang im gm 04 trang) B GIO DC V O TO CHNH THC P N THANG IM Cõu I (2,0 im) ỏp ỏn im (1,0 im) Khi m = 1, ta cú hm s y = x3 2x2 + Tp xỏc nh: R 0,25 S bin thiờn: - Chiu bin thiờn: y ' = 3x2 4x; y '( x) = x = hoc x = Hm s ng bin trờn cỏc khong (; 0) v ; + ; nghch bin trờn khong - Cc tr: Hm s t cc i ti x = 0; yC = 1, t cc tiu ti x = ; yCT = 27 - Gii hn: lim y = ; lim y = + x - Bng bin thiờn: 0; 0,25 x + x + y' 0 y th: + 0,25 + + 27 y 0,25 O 27 x (1,0 im) Phng trỡnh honh giao im: x3 2x2 + (1 m)x + m = (x 1)(x2 x m) = x = hoc x2 x m = (*) 0,25 th ca hm s (1) ct trc honh ti im phõn bit, v ch phng trỡnh (*) cú nghim phõn bit, khỏc 0,25 Ký hiu g(x) = x2 x m; x1 = 1; x2 v x3 l cỏc nghim ca (*) > Yờu cu bi toỏn tha v ch khi: g (1) 2 x2 + x3 < + 4m > m < m < v m + 2m < Trang 1/4 0,25 0,25 Cõu II (2,0 im) ỏp ỏn im (1,0 im) iu kin: cosx v + tanx Khi ú, phng trỡnh ó cho tng ng: sin x + (1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx sin x + cos x cos x sinx + cos2x = cos x (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = 2sin2x sinx = sinx = (loi) hoc sinx = x= + k2 hoc x = 0,25 0,25 0,25 + k2 (k Z) 0,25 (1,0 im) iu kin: x 2( x x + 1) = Ta cú: x + ( x 1) + > 1, suy Do ú, bt phng trỡnh ó cho tng ng vi: Mt khỏc 2( x x + 1) = 2( x x + 1) x + x 0,25 (1) 0,25 x (2), ú: x (3) ý rng: + Du bng (2) xy ch khi: x = x kộo theo x + + 1x = 2(1 x) + 2( x ) x + 2( x x + 1) = x + (1) 2( x x + 1) < x ng thi x + x x 0, ú: (3) x = x x 1 x (1 x) = x x x + = III (1,0 im) 0,25 , tha iu kin x x = 1 ex ex I = x + d x = x d x + + 2e x dx + 2e x 0 Ta cú: x dx = x v ex + 2e x dx = = 0,25 0,25 0,25 d(1 + 2e x ) , suy ra: + 2e x 0,25 I = 1 1 + 2e 1 + 2e + ln(1 + 2e x ) = + ln = + ln 3 2 3 S IV (1,0 im) K N A M H D Th tớch chúp S.CDNM SCDNM = SABCD SAMN SBCM 1 = AB2 AM.AN BC.BM 2 2 a a a = a2 = 8 VS.CDNM = a3 SCDNM.SH = 24 C B Khong cỏch gia hai ng thng DM v SC ADM = DCN ADM = DCN DM CN, kt hp vi DM SH, suy DM (SHC) H HK SC (K SC), suy HK l on vuụng gúc chung ca DM v SC, ú: d(DM, SC) = HK Trang 2/4 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn Ta cú: HC = V (1,0 im) 2a CD = v HK = CN SH HC SH + HC im = 3a 3a , ú: d(DM, SC) = 19 19 ; y Phng trỡnh th nht ca h tng ng vi: (4x2 + 1).2x = (5 2y + 1) y (1) iu kin: x 0,25 0,25 Nhn xột: (1) cú dng f(2x) = f( y ), vi f(t) = (t2 + 1)t Ta cú f ' (t) = 3t2 + > 0, suy f ng bin trờn R Do ú: (1) 2x = 0,25 x 2y x2 y = Th vo phng trỡnh th hai ca h, ta c: 4x2 + x + 4x = (3) Nhn thy x = v x = khụng phi l nghim ca (3) Xột hm g(x) = 4x2 + x + 4x 7, trờn khong g '( x) = 8x 8x x 4x = 4x (4x2 3) 4x 0; < 0, suy hm g(x) nghch bin 1 Mt khỏc g = 0, ú (3) cú nghim nht x = ; suy y = 2 Vy, h ó cho cú nghim: (x; y) = ; VI.a 0,25 0,25 (1,0 im) (2,0 im) y d1 O B d1 v d2 ct ti O, cos(d1, d2) = d2 | 3 1.1| = v tam giỏc + + 0,25 OAB vuụng ti B, ú AOB = 60 BAC = 60 AB.AC.sin 60 = (OA.sin 60 ).(OA.tan 60 ) A 3 = OA2 I C , suy OA2 = Do ú: SABC = 3x + y = Ta A(x; y) vi x > 0, tha h: ; A x + y = ng thng AC i qua A v vuụng gúc vi d2, suy AC cú phng trỡnh: x 3y = x y = C ; Ta C(x; y) tha h: x y = 3 ; v bỏn kớnh IA = ng trũn (T) cú ng kớnh AC, suy tõm ca (T) l I 2 x Ta cú: SABC = 2 Phng trỡnh (T): x + + y + =1 Trang 3/4 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn im (1,0 im) ng thng cú vect ch phng v = (2; 1; 1) v mt phng (P) cú vect phỏp tuyn n = (1; 2; 1) M ( ) Gi H l hỡnh chiu ca M trờn (P), ta cú cos HMC = cos v, n C P ( ) d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = MC cos v, n H = Ta cú: z = (1 + 2 i) (1 VII.a (1,0 im) = 5+ z = | 1| = 6 i) 0,25 0,25 0,25 0,25 i, suy ra: 0,25 i 0,25 Phn o ca s phc z bng: VI.b 0,25 0,25 (1,0 im) (2,0 im) Gi H l trung im ca BC, D l trung im AH, ta cú AH BC Do ú ta D(x; y) tha h: A D E d B C x + y = D(2; 2) H( 2; 2) x y = 0,25 ng thng BC i qua H v song song d, suy BC cú phng trỡnh: x + y + = 0,25 im B, C thuc ng thng BC: x + y + = v B, C i xng qua H( 2; 2), ú ta B, C cú dng: B(t; t), C( t; t) im E(1; 3) nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ABC, suy ra: AB CE = (t 6)(5 + t) + ( 10 t)( t) = 0,25 2t2 + 12t = t = hoc t = Ta c: B(0; 4), C( 4; 0) hoc B( 6; 2), C(2; 6) 0,25 H (1,0 im) A B C Suy ra: d(A, ) = M VII.b (1,0 im) ng thng i qua im M(2; 2; 3), nhn v = (2; 3; 2) lm vect ch phng Ta cú: MA = (2; 2; 1), v, MA = (7; 2; 10) v, MA = v 49 + + 100 = 4+9+4 0,25 0,25 Gi (S) l mt cu tõm A, ct ti B v C cho BC = Suy bỏn kớnh ca (S) l: R = 0,25 Phng trỡnh (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25 0,25 Ta cú: (1 3i )3 = 0,25 Do ú z = = 4i, suy z = + 4i i 0,25 z + i z = 4i + ( + 4i)i = 8i 0,25 Vy: z + iz = 0,25 - Ht - Trang 4/4 B GIO DC V O TO THI TUYN SINH I HC NM 2011 Mụn: TON; Khi: A Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt CHNH THC PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) x + Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = 2x 1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho Chng minh rng vi mi m ng thng y = x + m luụn ct th (C) ti hai im phõn bit A v B Gi k1, k2 ln lt l h s gúc ca cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B Tỡm m tng k1 + k2 t giỏ tr ln nht Cõu II (2,0 im) + sin x + cos x = sin x sin x Gii phng trỡnh + cot x x y xy + y 2( x + y ) = ( x, y ) Gii h phng trỡnh 2 xy ( x + y ) + = ( x + y ) Cõu III (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x Cõu IV (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = 2a; hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC) Gi M l trung im ca AB; mt phng qua SM v song song vi BC, ct AC ti N Bit gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABC) bng 60o Tớnh th tớch chúp S.BCNM v khong cỏch gia hai ng thng AB v SN theo a Cõu V (1,0 im) Cho x, y, z l ba s thc thuc on [1; 4] v x y, x z Tỡm giỏ tr nh nht ca x y z biu thc P = + + y+z z+x 2x + y PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt hai phn (phn A hoc B) A Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a (2,0 im) Trong mt phng to Oxy, cho ng thng : x + y + = v ng trũn (C ) : x + y x y = Gi I l tõm ca (C), M l im thuc Qua M k cỏc tip tuyn MA v MB n (C) (A v B l cỏc tip im) Tỡm ta im M, bit t giỏc MAIB cú din tớch bng 10 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2; 0; 1), B(0; 2; 3) v mt phng ( P) : x y z + = Tỡm ta im M thuc (P) cho MA = MB = Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm tt c cỏc s phc z, bit: z = z + z B Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 im) x2 y2 + = Tỡm ta cỏc im A v B thuc (E), cú honh dng cho tam giỏc OAB cõn ti O v cú din tớch ln nht Trong mt phng ta Oxy, cho elip ( E ): Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu ( S ) : x + y + z x y z = v im A(4; 4; 0) Vit phng trỡnh mt phng (OAB), bit im B thuc (S) v tam giỏc OAB u Cõu VII.b (1,0 im) Tớnh mụun ca s phc z, bit: (2 z 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 i ) = 2i - Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: B GIO DC V O TO CHNH THC P N THANG IM THI TUYN SINH I HC NM 2011 Mụn: TON; Khi A (ỏp ỏn - thang im gm 05 trang) P N THANG IM Cõu I (2,0 im) ỏp ỏn im (1,0 im) Tp xỏc nh: D = \ S bin thiờn: Chiu bin thiờn: y ' = ( x 1) 0,25 < 0, x D 1 Hm s nghch bin trờn cỏc khong ; v ; + 2 1 Gii hn v tim cn: lim y = lim y = ; tim cn ngang: y = x x + 2 lim + y = + ; tim cn ng: x = lim y = , x Bng bin thiờn: x 2 x y y 0,25 y th: 0,25 + + 2 (C) O 2 x 0,25 (1,0 im) Honh giao im ca d: y = x + m v (C) l nghim phng trỡnh: x + m = x +1 2x 1 (x + m)(2x 1) = x + (do x = khụng l nghim) 2x + 2mx m = (*) ' = m2 + 2m + > 0, m Suy d luụn ct (C) ti hai im phõn bit vi mi m 0,25 0,25 Gi x1 v x2 l nghim ca (*), ta cú: k1 + k2 = 4( x1 + x2 ) x1 x2 4( x1 + x2 ) + 1 = (2 x1 1) (2 x2 1) (4 x1 x2 2( x1 + x2 ) + 1) Theo nh lý Viet, suy ra: k1 + k2 = 4m2 8m = 4(m + 1)2 Suy ra: k1 + k2 ln nht bng 2, v ch m = Trang 1/5 0,25 0,25 Cõu II (2,0 im) ỏp ỏn im (1,0 im) iu kin: sin x (*) Phng trỡnh ó cho tng ng vi: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 sin2xcosx + sin2x + cos2x = 2 cosx (do sinx 0) cosx (cosx + sinx cosx = x = ) = + k, tha (*) 0,25 0,25 0,25 ) = x = + k2, tha (*) 4 Vy, phng trỡnh cú nghim: x = + k; x = + k2 (k Z) cosx + sinx = sin(x + 0,25 (1,0 im) x y xy + y 2( x + y ) = (1) 2 (2) xy ( x + y ) + = ( x + y ) 0,25 Ta cú: (2) (xy 1)(x2 + y2 2) = xy = hoc x2 + y2 = xy = 1; t (1) suy ra: y4 2y2 + = y = Suy ra: (x; y) = (1; 1) hoc (x; y) = (1; 1) x2 + y2 = 2; t (1) suy ra: 3y(x2 + y2) 4xy2 + 2x2y 2(x + y) = 2 6y 4xy + 2x y 2(x + y) = (1 xy)(2y x) = xy = (ó xột) hoc x = 2y Vi x = 2y, t x2 + y2 = suy ra: 10 10 10 10 (x; y) = ; ; hoc (x; y) = 5 10 10 10 10 Vy, h cú nghim: (1; 1), ( 1; 1), ; ; , 5 III (1,0 im) ( x sin x + cos x) + x cos x I = dx = x sin x + cos x 4 dx + x cos x x sin x + cos x dx 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cú: dx = x 04 = v IV (1,0 im) 0,25 x cos x dx = x sin x + cos x d(x sin x + cos x) x sin x + cos x = ( ln x sin x + cos x ) = ln + Suy ra: I = + ln + (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi (ABC) SA (ABC) S AB BC SB BC SBA l gúc gia (SBC) v (ABC) SBA = 60o SA = AB tan SBA = 2a Mt phng qua SM v song song vi BC, ct AC ti N H MN //BC v N l trung im AC D N C A BC AB MN = = a, BM = = a M 2 B ( BC + MN ) BM 3a = Th tớch: VS.BCNM = S BCNM SA = a 3 Din tớch: SBCNM = 2 Trang 2/5 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn im K ng thng i qua N, song song vi AB H AD (D ) AB // (SND) d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) H AH SD (H SD) AH (SND) d(A, (SND)) = AH Tam giỏc SAD vuụng ti A, cú: AH SD v AD = MN = a d(AB, SN) = AH = V (1,0 im) SA AD = 2a 39 13 0,25 0,25 SA + AD 1 + (*), vi a v b dng, ab Trc ht ta chng minh: + a + b + ab 2 Tht vy, (*) (a + b + 2)(1 + ab ) 2(1 + a)(1 + b) 0,25 (a + b) ab + ab a + b + 2ab b )2 0, luụn ỳng vi a v b dng, ab Du bng xy ra, v ch khi: a = b hoc ab = p dng (*), vi x v y thuc on [1; 4] v x y, ta cú: x 1 P= + + + 3y 2x + 3y + z + x x 2+ 1+ y z x y ( ab 1)( a Du " = " xy v ch khi: x z x = hoc = y y z 0,25 (1) x t2 + = t, t [1; 2] Khi ú: P 2t + + t y t t (4t 3) + 3t (2t 1) + 9) t2 < Xột hm f(t) = + , t [1; 2]; f '(t ) = 2t + + t (2t + 3) (1 + t ) f(t) f(2) = 0,25 34 x = x = 4, y = (2) ; du " = " xy v ch khi: t = y 33 34 T (1) v (2) suy du " = " xy v ch khi: x = 4, y = v z = 33 34 Vy, giỏ tr nh nht ca P bng ; x = 4, y = 1, z = 33 P VI.a 0,25 (1,0 im) (2,0 im) ng trũn (C) cú tõm I(2; 1), bỏn kớnh IA = A I B M o T giỏc MAIB cú MAI = MBI = 90 v MA = MB SMAIB = IA.MA 0,25 MA = IM = IA2 + MA2 = M , cú ta dng M(t; t 2) IM = (t 2)2 + (t + 3)2 = 25 2t2 + 2t 12 = 0,25 t = hoc t = Vy, M(2; 4) hoc M( 3; 1) 0,25 0,25 (1,0 im) x y z + = Gi M(x; y; z), ta cú: M (P) v MA = MB = ( x 2) + y + ( z 1) = x + ( y + 2) + ( z 3) = Trang 3/5 0,25 Cõu ỏp ỏn im x y z + = x + y z + = ( x 2) + y + ( z 1) = 0,25 x = y z = 3y y 11y + = 0,25 12 12 ; Vy cú: M(0; 1; 3) hoc M ; ; 7 7 (x; y; z) = (0; 1; 3) hoc ; VII.a Gi z = a + bi (a, b R), ta cú: z = z + z (a + bi)2 = a2 + b2 + a bi (1,0 im) 2 a b = a + b + a a b + 2abi = a + b + a bi a = 2b b(2a + 1) = 0,25 1 hoc (a; b) = 2 1 1 Vy, z = hoc z = + i hoc z = i 2 2 (a; b) = (0; 0) hoc (a; b) = ; (2,0 im) 0,25 0,25 2ab = b VI.b 0,25 ; 0,25 (1,0 im) Gi A(x; y) Do A, B thuc (E) cú honh dng v tam giỏc OAB cõn ti O, nờn: B(x; y), x > Suy ra: AB = 2| y | = y A H O B 0,25 x2 Gi H l trung im AB, ta cú: OH AB v OH = x Din tớch: SOAB = x x 2 x = x (4 x ) Du " = " xy ra, v ch x = 0,25 0,25 2 2 Vy: A 2; hoc A 2; v B 2; v B 2; 0,25 (1,0 im) (S) cú tõm I(2; 2; 2), bỏn kớnh R = Nhn xột: O v A cựng thuc (S) Tam giỏc OAB u, cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip r = OA = 3 (P) i qua O cú phng trỡnh dng: ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 (*) (P) i qua A, suy ra: 4a + 4b = b = a Khong cỏch: d(I, (P)) = d(I, (P)) = 2(a + b + c) a +b +c 2 0,25 R2 r = = 2c 2a + c 2 2c 2a + c 2 = 2a2 + c2 = 3c2 c = a Theo (*), suy (P): x y + z = hoc x y z = Trang 4/5 0,25 0,25 0,25 BO GIAO DUC VA AO TAO E CHếNH THữC AP AN - THANG IE5M E THI TUYE5N SINH AI HOC NA M 2014 Mon: TOAN; Khoãi A va Khoãi A1 (ap an - Thang ềiem gom 03 trang) ap an Cau a) (1,0 ềiem) (2,0ề) Tap xac ềnh D = R \ {1} Sễ bieãn thien: ; y < 0, x D (x 1)2 Ham soã nghch bieãn tren tng khoang (; 1) va (1; +) 0,25 - Chieu bieãn thien: y = - Gii haễn va tiem can: lim y = lim y = 1; tiem can ngang: y = x 0,25 x+ lim y = ; lim y = +; tiem can ềng: x = x1+ x1 - Bang bieãn thien: x y y iem P P + + P P PP PP q P 0,25 PP PP q P o th: y 0,25 O x b) (1,0 ềiem) M (C) M a; a+2 , a = a1 0,25 a+2 a+ a Khoang cach t M ềeãn ềng thang y = x la d = a2 2a + = d = |a2 + 2| = 2|a 1| a2 + 2a = a 2a + = 0: phng trẽnh vo nghiem a=0 a2 + 2a = Suy toễa ềo ềiem M can tẽm la: M (0; 2) hoaẻc M (2; 0) a = 0,25 0,25 0,25 ap an Cau Phng trẽnh ềa cho tng ềng vi (1,0ề) (sin x 2)(2 cos x 1) = sin x + cos x = + sin x cos x sin x = 0: phng trẽnh vo nghiem cos x = x = + k2 (k Z) Nghiem cua phng trẽnh ềa cho la: x = + k2 (k Z) 3 Phng trẽnh hoanh ềo giao ềiem cua ềng cong y = x x + va ềng thang x=1 (1,0ề) y = 2x + la x2 x + = 2x + x = iem 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Dien tèch hẽnh phang can tẽm la S = |x2 3x + 2|dx 0,25 x3 (x2 3x + 2)dx = = 3x2 2 + 2x 0,25 1 = 0,25 3a + b = a) aẻt z = a + bi (a, b R) T gia thieãt suy ab=5 (1,0ề) a = 2, b = Do ềo soã phc z co phan thễc baậng 2, phan ao baậng 0,25 0,25 b) Soã phan t cua khong gian mau la: C 416 = 1820 0,25 Soã keãt qua thuan lễi cho bieãn coã the ềễc ềanh soã chaán la: C 48 = 70 70 Xac suaãt can tènh la p = = 1820 26 0,25 Goễi M la giao ềiem cua d va (P ), suy M (2 + t; 2t; + 3t) 0,25 Do ềo M ; 3; 2 d co vect chấ phng u = (1; 2; 3), (P ) co vect phap tuyeãn n = (2; 1; 2) Maẻt phang () can vieãt phng trẽnh co vect phap tuyeãn [ u, n ] = (1; 8; 5) 0,25 Ta co A(2; 0; 3) d nen A () Do ềo () : (x 2) + 8(y 0) + 5(z + 3) = 0, ngha la () : x + 8y + 5z + 13 = 0,25 (1,0ề) M (P ) suy 2(2 + t) + (2t) 2(3 + 3t) = t = (1,0ề) Goễi H la trung ềiem cua AB, suy SH (ABCD) Do ềo SH HD Ta co SH = SD DH = SD (AH + AD ) = a S B H A a3 SH.SABCD = 3 Goễi K la hẽnh chieãu vuong goc cua H tren BD va E la hẽnh chieãu vuong goc cua H tren SK Ta co BD HK va BD SH, nen BD (SHK) Suy BD HE Ma HE SK, ềo HE (SBD) a Ta co HK = HB sin KBH = HS.HK a Suy HE = = 2 HS + HK 2a Do ềo d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Suy V S.ABCD = E C K D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ap an Ta co M N = 10 Goễi a la ềo dai caễnh cua hẽnh vuong ABCD, I C a 3AC 3a (1,0ề) D a > Ta co AM = va AN = = , 4 5a2 N nen M N = AM + AN 2AM.AN cos M AN = 5a2 Do ềo = 10, ngha la a = Goễi I(x; y) la trung ềiem cua CD Ta co IM = AD = BD A M B va IN = = 2, nen ta co he phng trẽnh x = 1; y = (x 1)2 + (y 2)2 = 16 17 2 (x 2) + (y + 1) = x= ;y = 5 Vi x = 1; y = ta co I(1; 2) va IM = (0; 4) ng thang CD ềi qua I va co vect phap tuyeãn la IM, nen co phng trẽnh y + = Cau 17 17 12 16 ; y = ta co I ; va IM = ; 5 5 5 ng thang CD ềi qua I va co vect phap tuyeãn la IM, nen co phng trẽnh 3x4y15 = Vi x = (1,0ề) iem 0,25 0,25 0,25 0,25 x 12 y + y(12 x2 ) = 12 (1) ieu kien: x 3; y 12 x 8x = y (2) x2 + 12 y y + 12 x2 Ta co x 12 y va y(12 x2 ) 2 x0 nen x 12 y + y(12 x ) 12 Do ềo (1) y = 12 x2 Thay vao (2) ta ềễc x3 8x = 10 x2 x3 8x + 2(1 10 x2 ) = 2(x + 3) (x 3) x2 + 3x + + = (3) + 10 x2 Do x nen x2 + 3x + + 2(x + 3) > + 10 x2 Do ềo (3) x = Thay vao he va ềoãi chieãu ềieu kien ta ềễc nghiem: (x; y) = (3; 3) Ta co (x y z)2 = x2 + y + z 2xy 2xz + 2yz = 2(1 xy xz + yz), (1,0ề) nen x2 + yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 xy xz + yz) x(x + y + z + 1) x2 x Suy x + yz + x + x+y+z+1 Maẻc khac, (x + y + z) = x2 + y + z + 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z) x+y+z (x + y + z)2 + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz) Do ềo P x+y+z+1 36 aẻt t = x + y + z, suy t va t = (x + y + z)2 = (x2 + y + z ) + 2xy + 2yz + 2zx 2 2 2 + (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) = Do ềo t t t2 Xet f (t) = , vi t t + 36 t (t 2)(t2 + 4t + 9) Ta co f (t) = = , nen f (t) = t = 2 (t + 1) 18 18(t + 1)2 31 Ta co f (0) = 0; f (2) = va f ( 6) = , nen f (t) t 30 5 Do ềo P Khi x = y = va z = thẽ P = Do ềo gia tr ln nhaãt cua P la 9 Heãt 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BO GIAO DUC VA AO TAO KY THI TRUNG HOC PHO6 THOơNG QUOĂC GIA NA M 2015 E THI CHếNH THữC Mon thi: TOAN (e thi gom 01 trang) Thi gian lam bai: 180 phut, khong ke thi gian phat ềe Cau (1,0 ềiem) Khao sat sễ bieãn thien va ve ềo th cua ham soã y = x3 3x Cau (1,0 ềiem) Tẽm gia tr ln nhaãt va gia tr nho nhaãt cua ham soã f(x) = x + tren ềoaễn [1; 3] x Cau (1,0 ềiem) a) Cho soã phc z thoa man (1 i) z + 5i = Tẽm phan thễc va phan ao cua z b) Giai phng trẽnh log2 (x2 + x + 2) = Cau (1,0 ềiem) Tènh tèch phan I = (x 3)ex dx Cau (1,0 ềiem) Trong khong gian vi he toễa ềo Oxyz, cho cac ềiem A(1; 2; 1), B(2; 1; 3) va maẻt phang (P ) : x y + 2z = Vieãt phng trẽnh ềng thang AB va tẽm toễa ềo giao ềiem cua ềng thang AB vi maẻt phang (P ) Cau (1,0 ềiem) a) Tènh gia tr cua bieu thc P = (1 cos 2)(2 + cos 2), bieãt sin = b) Trong ềễt ng dch MERS-CoV, S Y teã phoã ềa choễn ngau nhien ềoi phong choãng dch c ềong soã ềoi cua Trung tam y teã dễ phong phoã va 20 ềoi cua cac Trung tam y teã c s ềe kiem tra cong tac chuan b Tènh xac suaãt ềe co èt nhaãt ềoi cua cac Trung tam y teã c s ềễc choễn Cau (1,0 ềiem) Cho hẽnh chop S.ABCD co ềay ABCD la hẽnh vuong caễnh a, SA vuong goc vi maẻt phang (ABCD), goc gia ềng thang SC va maẻt phang (ABCD) baậng 45 Tènh theo a the tèch cua khoãi chop S.ABCD va khoang cach gia hai ềng thang SB, AC Cau (1,0 ềiem) Trong maẻt phang vi he toễa ềo Oxy, cho tam giac ABC vuong taễi A Goễi H la hẽnh chieãu vuong goc cua A tren caễnh BC; D la ềiem ềoãi xng cua B qua H; K la hẽnh chieãu vuong goc cua C tren ềng thang AD Gia s H(5; 5), K(9; 3) va trung ềiem cua caễnh AC thuoc ềng thang x y + 10 = Tẽm toễa ềo ềiem A Cau (1,0 ềiem) Giai phng trẽnh x2 + 2x = (x + 1) x + tren tap soã thễc x 2x + Cau 10 (1,0 ềiem) Cho cac soã thễc a, b, c thuoc ềoaễn [1; 3] va thoa man ềieu kien a + b + c = Tẽm gia tr ln nhaãt cua bieu thc P = a2b2 + b2 c2 + c2a2 + 12abc + 72 abc ab + bc + ca Heãt Thè sinh khong ềễc s duễng tai lieu Can bo coi thi khong giai thèch gẽ them Hoễ va ten thè sinh: ; Soã bao danh: BO GIAO DUC VA AO TAO KY THI TRUNG HOC PHO6 THOơNG QUOĂC GIA NA M 2015 AP AN - THANG IE6M E THI CHếNH THữC Mon thi: TOAN (ap an - Thang ềiem gom 03 trang) ap an Cau (Trang 01) iem Tap xac ềnh: D = R Sễ bieãn thien: - Chieu bieãn thien: y = 3x2 3; y = x = 0,25 Cac khoang ềong bieãn: (; 1) va (1; +); khoang nghch bieãn: (1; 1) - Cễc tr: Ham soã ềaễt cễc ềaễi taễi x = 1, y C = 2; ềaễt cễc tieu taễi x = 1, y CT = - Gii haễn taễi vo cễc: lim y = ; lim y = + x Bang bieãn thien: x+ x y y (1,0ề) 0,25 + o th: + + + 0,25 y 1 O x 0,25 Ta co f (x) xac ềnh va lien tuễc tren ềoaễn [1; 3]; f (x) = x2 Vi x [1; 3], f (x) = x = 2 (1,0ề) 13 Ta co f (1) = 5, f (2) = 4, f (3) = 0,25 0,25 0,25 Gia tr ln nhaãt va gia tr nho nhaãt cua f (x) tren ềoaễn [1; 3] lan lễt la va 0,25 a) Ta co (1 i)z + 5i = z = 2i 0,25 Do ềo soã phc z co phan thễc baậng 3, phan ao baậng 0,25 b) Phng trẽnh ềa cho tng ềng vi x + x + = (1,0ề) x=2 x = Vay nghiem cua phng trẽnh la x = 2; x = 0,25 0,25 ap an Cau aẻt u = x 3; dv = (1,0ề) Khi ềo I = (x 3)ex = (x 3)ex (Trang 02) Suy du = dx; v = ex dx ex 1 0,25 0,25 ex dx ex 0,25 0,25 = 3e Ta co AB = (1; 3; 2) (1,0ề) iem 0,25 x1 y+2 z1 ng thang AB co phng trẽnh = = 0,25 Goễi M la giao ềiem cua AB va (P ) Do M thuoc AB nen M (1 + t; + 3t; + 2t) 0,25 M thuoc (P ) nen + t (2 + 3t) + 2(1 + 2t) = 0, suy t = Do ềo M (0; 5; 1) 1 14 Suy P = 2+ = 3 (1,0ề) b) Soã phan t cua khong gian mau la C 325 = 2300 a) Ta co cos = sin2 = Soã keãt qua thuan lễi cho bieãn coã co èt nhaãt ềoi cua cac Trung tam y teã c s la 2090 209 C220 C15 + C320 = 2090 Xac suaãt can tènh la p = = 2300 230 S (1,0ề) H A D M Tam giac SAM vuong taễi A, co ềng cao AH, nen 1 = + = AH SA2 AM 2a 10 a Vay d(AC, SB) = AH = AC Goễi M la trung ềiem AC Ta co M H = M K = , nen M thuoc ềng trung trễc cua HK ng trung trễc cua HK co phng trẽnh 7x + y 10 = 0, nen toễa x y + 10 = ềo cua M thoa man he 7x + y 10 = Suy M (0; 10) d C B A (1,0ề) M D B C H K Ta co SCA = (SC, (ABCD)) = 45 , suy SA = AC = a 1 2a VS.ABCD = SA.SABCD = a.a2 = 3 Ke ềng thang d qua B va song song AC Goễi M la hẽnh chieãu vuong goc cua A tren d; H la hẽnh chieãu vuong goc cua A tren SM Ta co SABM, M ABM nen AHBM Suy AH(SBM ) Do ềo d(AC, SB) = d(A, (SBM )) = AH Ta co HKA = HCA = HAB = HAD, nen AHK can taễi H, suy HA = HK Ma M A = M K, nen A ềoãi xng vi K qua M H Ta co M H = (5; 15); ềng thang M H co phng trẽnh 3x y + 10 = Trung ềiem AK thuoc M H va AKM H nen toễa ềo ềiem A thoa man he x+9 y3 + 10 = 2 (x 9) + 3(y + 3) = Suy A(15; 5) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ap an Cau (Trang 03) iem ieu kien: x Phng trẽnh ềa cho tng ềng vi x=2 (x 2)(x + 4) (x + 1)(x 2) x+4 x+1 = = (1) x2 2x + x+2+2 x2 2x + x+2+2 Ta co (1) (x + 4)( x + + 2) = (x + 1)(x2 2x + 3) ( x + + 2)[( x + 2)2 + 2] = [(x 1) + 2][(x 1)2 + 2] (2) 0,25 0,25 Xet ham soã f (t) = (t + 2)(t + 2) (1,0ề) Ta co f (t) = 3t2 + 4t + 2, suy f (t) > 0, t R, nen f (t) ềong bieãn tren R Do ềo (2) f ( x + 2) = f (x 1) x + = x x= 3+ 13 x x2 3x = oãi chieãu ềieu kien, ta ềễc nghiem cua phng trẽnh ềa cho la x = 2; x = 3+ 0,25 13 0,25 aẻt t = ab + bc + ca (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 + 3t 3t Suy t 12 Maẻt khac, (a 1)(b 1)(c 1) 0, nen abc ab + bc + ca = t 5; va (3 a)(3 b)(3 c) 0, nen 3t = 3(ab + bc + ca) abc + 27 t + 22 Suy t 11 Vay t [11; 12] Ta co 36 = (a + b + c)2 = Khi ềo P = 10 (1,0ề) a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc(a + b + c) + 72 abc ab + bc + ca (ab + bc + ca)2 + 72 abc = ab + bc + ca Xet ham soã f (t) = Do ềo f (t) Suy f (t) t2 + 72 t t2 + 5t + 144 = t 2t 0,25 0,25 t2 + 5t + 144 t2 144 , vi t [11; 12] Ta co f (t) = 2t 2t2 0,25 0, t [11; 12], nen f (t) nghch bieãn tren ềoaễn [11, 12] 160 160 f (11) = Do ềo P 11 11 Ta co a = 1, b = 2, c = thoa man ềieu kien cua bai toan va ềo P = Vay gia tr ln nhaãt cua P baậng 160 11 Heãt 160 11 0,25 B GIO DC V O TO K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA NM 2016 THI CHNH THC ( thi cú 01 trang) Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu I (1,0 im) Cho s phc z = + 2i Tỡm phn thc v phn o ca s phc w = z + z Cho log x = Tớnh giỏ tr ca biu thc A = log x + log x3 + log x Cõu II (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = x + x Cõu III (1,0 im) Tỡm m hm s f ( x) = x x + mx cú hai im cc tr Gi x1 , x2 l hai im cc tr ú, tỡm m x12 + x22 = ( ) Cõu IV (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = 3x x + x + 16 dx Cõu V (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(3; 2; 2), B(1;0;1) v C (2; 1;3) Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi ng thng BC Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn ng thng BC Cõu VI (1,0 im) Gii phng trỡnh 2sin x + 7sin x = Hc sinh A thit k bng iu khin in t m ca phũng hc ca lp mỡnh Bng gm 10 nỳt, mi nỳt c ghi mt s t n v khụng cú hai nỳt no c ghi cựng mt s m ca cn nhn liờn tip nỳt khỏc cho s trờn nỳt ú theo th t ó nhn to thnh mt dóy s tng v cú tng bng 10 Hc sinh B khụng bit quy tc m ca trờn, ó nhn ngu nhiờn liờn tip nỳt khỏc trờn bng iu khin Tớnh xỏc sut B m c ca phũng hc ú Cõu VII (1,0 im) Cho lng tr ABC A ' B ' C ' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AC = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' trờn mt phng ( ABC ) l trung im ca cnh AC , ng thng A ' B o to vi mt phng ( ABC ) mt gúc 45 Tớnh theo a th tớch lng tr ABC A ' B ' C ' v chng minh A ' B vuụng gúc vi B ' C Cõu VIII (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh BD Gi M , N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cỏc ng thng BC , BD v P l giao im ca hai ng thng MN , AC Bit ng thng AC cú phng trỡnh x y = 0, M (0; 4), N (2; 2) v honh im A nh hn Tỡm ta cỏc im P, A v B Cõu IX (1,0 im) Gii phng trỡnh 3log 32 ( ) + x + x + log ( + x + x log ( x ) + log ) Cõu X (1,0 im) Xột cỏc s thc x, y tha x + y + = ( ) x = x + y + (*) Tỡm giỏ tr ln nht ca x + y Tỡm m 3x + y + ( x + y + 1) 27 x y ( x + y ) m ỳng vi mi x, y tha (*) Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: Ch ký ca cỏn b coi thi 1: ; Ch ký ca cỏn b coi thi 2: BO GIAO DUC VA AO TAO E CHếNH THữC AP AN - THANG IE5M E THI TUYE5N SINH AI HOC NA M 2014 Mon: TOAN; Khoãi A va Khoãi A1 (ap an - Thang ềiem gom 03 trang) ap an Cau a) (1,0 ềiem) (2,0ề) Tap xac ềnh D = R \ {1} Sễ bieãn thien: ; y < 0, x D (x 1)2 Ham soã nghch bieãn tren tng khoang (; 1) va (1; +) 0,25 - Chieu bieãn thien: y = - Gii haễn va tiem can: lim y = lim y = 1; tiem can ngang: y = x 0,25 x+ lim y = ; lim y = +; tiem can ềng: x = x1+ x1 - Bang bieãn thien: x y y iem P P + + P P PP PP q P 0,25 PP PP q P o th: y 0,25 O x b) (1,0 ềiem) M (C) M a; a+2 , a = a1 0,25 a+2 a+ a Khoang cach t M ềeãn ềng thang y = x la d = a2 2a + = d = |a2 + 2| = 2|a 1| a2 + 2a = a 2a + = 0: phng trẽnh vo nghiem a=0 a2 + 2a = Suy toễa ềo ềiem M can tẽm la: M (0; 2) hoaẻc M (2; 0) a = 0,25 0,25 0,25 ap an Cau Phng trẽnh ềa cho tng ềng vi (1,0ề) (sin x 2)(2 cos x 1) = sin x + cos x = + sin x cos x sin x = 0: phng trẽnh vo nghiem cos x = x = + k2 (k Z) Nghiem cua phng trẽnh ềa cho la: x = + k2 (k Z) 3 Phng trẽnh hoanh ềo giao ềiem cua ềng cong y = x x + va ềng thang x=1 (1,0ề) y = 2x + la x2 x + = 2x + x = iem 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Dien tèch hẽnh phang can tẽm la S = |x2 3x + 2|dx 0,25 x3 (x2 3x + 2)dx = = 3x2 2 + 2x 0,25 1 = 0,25 3a + b = a) aẻt z = a + bi (a, b R) T gia thieãt suy ab=5 (1,0ề) a = 2, b = Do ềo soã phc z co phan thễc baậng 2, phan ao baậng 0,25 0,25 b) Soã phan t cua khong gian mau la: C 416 = 1820 0,25 Soã keãt qua thuan lễi cho bieãn coã the ềễc ềanh soã chaán la: C 48 = 70 70 Xac suaãt can tènh la p = = 1820 26 0,25 Goễi M la giao ềiem cua d va (P ), suy M (2 + t; 2t; + 3t) 0,25 Do ềo M ; 3; 2 d co vect chấ phng u = (1; 2; 3), (P ) co vect phap tuyeãn n = (2; 1; 2) Maẻt phang () can vieãt phng trẽnh co vect phap tuyeãn [ u, n ] = (1; 8; 5) 0,25 Ta co A(2; 0; 3) d nen A () Do ềo () : (x 2) + 8(y 0) + 5(z + 3) = 0, ngha la () : x + 8y + 5z + 13 = 0,25 (1,0ề) M (P ) suy 2(2 + t) + (2t) 2(3 + 3t) = t = (1,0ề) Goễi H la trung ềiem cua AB, suy SH (ABCD) Do ềo SH HD Ta co SH = SD DH = SD (AH + AD ) = a S B H A a3 SH.SABCD = 3 Goễi K la hẽnh chieãu vuong goc cua H tren BD va E la hẽnh chieãu vuong goc cua H tren SK Ta co BD HK va BD SH, nen BD (SHK) Suy BD HE Ma HE SK, ềo HE (SBD) a Ta co HK = HB sin KBH = HS.HK a Suy HE = = 2 HS + HK 2a Do ềo d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Suy V S.ABCD = E C K D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ap an Ta co M N = 10 Goễi a la ềo dai caễnh cua hẽnh vuong ABCD, I C a 3AC 3a (1,0ề) D a > Ta co AM = va AN = = , 4 5a2 N nen M N = AM + AN 2AM.AN cos M AN = 5a2 Do ềo = 10, ngha la a = Goễi I(x; y) la trung ềiem cua CD Ta co IM = AD = BD A M B va IN = = 2, nen ta co he phng trẽnh x = 1; y = (x 1)2 + (y 2)2 = 16 17 2 (x 2) + (y + 1) = x= ;y = 5 Vi x = 1; y = ta co I(1; 2) va IM = (0; 4) ng thang CD ềi qua I va co vect phap tuyeãn la IM, nen co phng trẽnh y + = Cau 17 17 12 16 ; y = ta co I ; va IM = ; 5 5 5 ng thang CD ềi qua I va co vect phap tuyeãn la IM, nen co phng trẽnh 3x4y15 = Vi x = (1,0ề) iem 0,25 0,25 0,25 0,25 x 12 y + y(12 x2 ) = 12 (1) ieu kien: x 3; y 12 x 8x = y (2) x2 + 12 y y + 12 x2 Ta co x 12 y va y(12 x2 ) 2 x0 nen x 12 y + y(12 x ) 12 Do ềo (1) y = 12 x2 Thay vao (2) ta ềễc x3 8x = 10 x2 x3 8x + 2(1 10 x2 ) = 2(x + 3) (x 3) x2 + 3x + + = (3) + 10 x2 Do x nen x2 + 3x + + 2(x + 3) > + 10 x2 Do ềo (3) x = Thay vao he va ềoãi chieãu ềieu kien ta ềễc nghiem: (x; y) = (3; 3) Ta co (x y z)2 = x2 + y + z 2xy 2xz + 2yz = 2(1 xy xz + yz), (1,0ề) nen x2 + yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 xy xz + yz) x(x + y + z + 1) x2 x Suy x + yz + x + x+y+z+1 Maẻc khac, (x + y + z) = x2 + y + z + 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z) x+y+z (x + y + z)2 + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz) Do ềo P x+y+z+1 36 aẻt t = x + y + z, suy t va t = (x + y + z)2 = (x2 + y + z ) + 2xy + 2yz + 2zx 2 2 2 + (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) = Do ềo t t t2 Xet f (t) = , vi t t + 36 t (t 2)(t2 + 4t + 9) Ta co f (t) = = , nen f (t) = t = 2 (t + 1) 18 18(t + 1)2 31 Ta co f (0) = 0; f (2) = va f ( 6) = , nen f (t) t 30 5 Do ềo P Khi x = y = va z = thẽ P = Do ềo gia tr ln nhaãt cua P la 9 Heãt 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B GIO DC V O TO K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA NM 2016 THI CHNH THC P N - THANG IM Mụn thi: TON (ỏp ỏn - Thang im cú 04 trang) Cõu I (0,5 im) (1,0 im) Ta cú w ỏp ỏn 2i im 2i 0,25 2i Vy phn thc ca w l v phn o ca w l 2 (0,5 im) Ta cú A log2 x log2 x log2 x II (1,0 im) - log2 x 2 Tp xỏc nh: D S bin thiờn: Chiu bin thiờn: y 4x y x x 0 ;y 0,25 0,25 0,25 4x ; x 0 x Hm s ng bin trờn cỏc khong - Cc tr: hm s t cc i ti x - Gii hn: lim y - Bng bin thiờn: ;y x x ; v 0; Hm s nghch bin trờn cỏc khong x 0,25 1; v 1; 1, y cđ ; lim y 0,25 1; t cc tiu ti x 0, yCT x 0,25 th: 0,25 Hm s ó cho xỏc nh vi mi x III (1,0 im) Ta cú f (x ) 3x 6x m 0,25 Hm s cú hai im cc tr v ch phng trỡnh 3x phõn bit, tc l m 6x m cú hai nghim 0,25 Ta cú x 12 x 22 x1 x2 2x 1x (tha món) Vy m m IV (1,0 im) Ta cú I 3 m 0,25 3 0,25 16 dx 0,25 3x 2dx 3x x 0 I1 3x dx x3 3x x 16 dx 27 0,25 I2 t t x2 16, ta cú t 25 Do ú I 16 2x ; t(0) 16, t(3) 25 0,25 t dt 25 t t 61 0,25 16 Vy I I1 I2 88 V Ta cú BC 1; 1;2 (1,0 im) Mt phng (P ) i qua A v vuụng gúc vi BC cú phng trỡnh l x ng thng BC cú phng trỡnh l x y z Vỡ H BC nờn H - Vỡ H (P ) nờn t 2z t t ; t ;1 t y 0,25 t 0,25 2t Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BC Ta cú H - 0,25 (P ) BC t 2t 2t 0,25 Vy H 0;1; VI (0,5 im) (1,0 im) sin x Ta cú sin2 x sin x 0,25 sin x : vụ nghim sin x sin x 2 (0,5 im) Khụng gian mu x x 6 k2 (k 0,25 ) k2 A10 cú s phn t l n( ) 720 Gi E l bin c: B m c ca phũng hc Ta cú E (0;1;9),(0;2; 8),(0; 3; 7),(0; 4; 6),(1;2; 7),(1; 3;6),(1; 4; 5),(2; 3; 5) Do ú n(E ) Vy P(E ) n(E ) n( ) 90 0,25 0,25 H Gi VII (1,0 im) AH AC , l trung im ca ABC ta cú 45o A BH AC a v S ABC a Tam giỏc A HB vuụng cõn ti H , suy A H BH a A H S ABC a Do ú VABC A B C 0,25 Ta cú BH Gi I l giao im ca A B v AB , ta cú I l trung im ca A B v AB Suy HI A B Mt khỏc HI l ng trung bỡnh ca AB C nờn HI // B C Do ú A B B C Phng trỡnh MN: x y Ta P l nghim ca h x y P ; x y 2 VIII (1,0 im) Vỡ A AC : x nờn A a; a Ta cú a y a 5 ,a a a ABD AMP B 0,25 0,25 0,25 A(0; 1) ng thng BD i qua N v vuụng gúc vi AN nờn cú phng trỡnh l 2x 3y 10 ng thng BC i qua M v vuụng gúc vi AM nờn cú phng trỡnh l y 2x 3y 10 Ta B l nghim ca h y 0,25 0,25 Vỡ AM song song vi DC v cỏc im A, B, M , N cựng thuc mt ng trũn nờn ta cú PAM PCD Suy PA PM 0,25 0,25 1; iu kin: x IX (1,0 im) Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi log23 x log x log x2 x2 81x 68x 9x log log 3x x2 9x x x x log23 3x log 3x x log 3x x 0,25 3x 0,25 68 81 x2 x Kt hp vi iu kin log Vỡ x log 3x x 4 log x x x x x nờn 3x 2, ta cú nghim x x log 3x 17 x x 3x (1) 0,25 x Mt khỏc x x2 4 x x Do ú phng trỡnh (1) vụ nghim 0,25 17 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x X (0,25 im) (1,0 im) iu kin: x 2, y x y y x Ta cú (*) Vỡ x x y y y x x y y Vỡ x 3x 1 x x ), y 2x (do x y t t x x 3t f (t ) 3t 27 y 4 ln ln2 (vỡ x 1 x2 hoc 3t 27 t t y y 2y nờn x x y y, ta cú t Xột hm s f (t ) f (t ) y y t t 27 t 27 t ln 3x y x y x y x x y y 0) x y x y cú nghim nht t0 y 0,25 y Do ú 27 x y x 6t Ta cú f ( 1) y 0,25 2188 ; 243 6; 0, t [3;7] Suy f (t ) ng bin trờn (3;7) M f (t ) liờn tc trờn [3;7] v f (3)f (7) f (t ) 0,25 27 t ln ln y2 y2 t (**) Do ú giỏ tr ln nht ca biu thc x y nờn t (**) suy x y nờn t (**) suy x x y x y Ta cú x 6, y tha (*) v x bng (0,75 im) Vỡ x x 0, ú (3; 7) Bng bin thiờn 0,25 Suy 3x y y 27 ng thc xy x 2, y Vy m x x y x2 y2 148 vi mi x, y tha (*) 148 - Ht - ... vuong caễnh a, SA vuong goc vi maẻt phang (ABCD), goc gia ềng thang SC va maẻt phang (ABCD) baậng 45 Tènh theo a the tèch cua khoãi chop S.ABCD va khoang cach gia hai ềng thang SB, AC Cau (1,0... S.ABCD = E C K D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ap an Ta co M N = 10 Goễi a la ềo dai caễnh cua hẽnh vuong ABCD, I C a 3AC 3a (1,0ề) D a > Ta co AM = va AN = = , 4 5a2 N nen M N = AM + AN 2AM.AN... (C) M a; a+ 2 , a = a1 0,25 a+ 2 a+ a Khoang cach t M ềeãn ềng thang y = x la d = a2 2a + = d = |a2 + 2| = 2 |a 1| a2 + 2a = a 2a + = 0: phng trẽnh vo nghiem a= 0 a2 + 2a = Suy to a ềo