Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0;1 và tạo với hai đường thẳng d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.. Viết phương trình đường thẳng d..[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn Tr−êng THPT Ng« Sü Liªn N¨m häc 2012- 2013 §Ò thi th¸ng lÇn M«n : to¸n 12 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề _ooo I PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm): C©u I ( 2,5 ®iÓm) Cho hàm số y = x4 - 8x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Xác định m để đường thẳng (d): y = mx - tiếp xúc với đồ thị hàm số trên C©u II (2,5 ®iÓm) x + + y(x + y − 4) = Giải hệ phương trình x + ( x + y − ) = y sin x.sin 3x + cos3 x.cos3x Giải phương trình: =− π π tan x- tan x + 3 6 C©u III (1 ®iÓm) Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A' lên (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng chứa BC và vuông góc với AA' cắt lăng trụ a2 theo thiết diện có diện tích là Tính VABC.A'B'C' theo a C©u IV (1 ®iÓm) Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị lớn ( P= ) a +1+ a a2 +1 + b + + b b2 + + c + + c c2 + a2 +1 b2 + c2 + II PhÇn riªng (3 ®iÓm): ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét hai phÇn ( phÇn hÆc phÇn 2) Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn: C©u Va (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x - 7y + 17 = và (d2): x + y - = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tạo với hai đường thẳng (d1), (d2) tam giác cân giao điểm hai đường thẳng (d1), (d2) C©u VIa (1 ®iÓm) a a a Cho a, b, c dương đôi khác và khác Chứng minh số log 2b , log 2b , log 2b có c c c c c c ít số nhỏ Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao: C©u Vb (2 ®iÓm) Cho (P) có phương trình y2 = 8x Đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) và cắt (P) hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng (d) C©u VIb (1 ®iÓm) Xác định m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực x − − x − + x + − x − = 2012m Häc sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu.Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh: .Sè b¸o danh: http://toanhocmuonmau.tk (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn §¸p ¸n: §¸p ¸n C©u I.1 x − 8x + = mx − Yêu cầu đầu bài ⇔ hệ có nghiệm 4x − 16x = m I.2 x = ⇔ m = Vậy m = là giá trị cần tìm Thay pt(1) vào pt(2) ta x = −2 x2 +1 +x+y−2= x + + y(x + y − 4) = x + + y(x + y) = 4y y ⇔ ⇔ 2 x + x + y − = y x + x + y − = y ( ) ( ) x + ( x + y − 2) = y II u + v = u = x2 +1 và v = x + y - ta hệ ⇔ Đặt u = u.v = v = x2 +1 x = x = −2 =1 Suy Kết luận ⇔ , x + y − = y = y = π π π π ĐK: sin x- sin x + cos x- cos x + ≠ 3 3 6 6 π π π π NX: tan x- tan x + = tan x- cot − x = −1 3 6 6 6 3 sin x.sin 3x + cos x.cos3x 1 Vậy = − ⇔ sin x.sin 3x + cos3 x.cos3x= π 8 π tan x- tan x + 3 6 II.2 − cos2x cos2x - cos4x + cos2x cos2x + cos4x ⇔ + = 2 2 1 ⇔ 2(cos2x + cos2x.cos4x) = ⇔ cos 2x = ⇔ cos2x = π x = + kπ π ⇔ Kết hợp đk ta x = − + kπ là họ nghiệm phương trình x = − π + kπ ( ) ( ) Điểm 1,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 Vẽ hình đúng Gọi M là TĐ BC, H là hình chiếu vuông góc M lên AA' đó(P) là (BCH) Vì A'AM là góc nhọn a2 a a a a Ta có AM = , AO = AM = Vì SBCH = HM.BC = ⇒ HM = 3 0,25 nên H nằm AA' Vậy thiết diện lăng trụ cắt (P) là tam giác BCH và SBCH = III AH = AM − HM = 3a 3a 3a − = 16 A 'O HM AO.HM a a a = ⇒ A 'O = = = AO AM AM 3a 1 a a a3 = A 'O.AM.BC = a = đvtt 2 12 Vì ∆ A'AO và ∆ MAH đồng dạng nên Vậy VABC.A'B'C' = A 'O.SABC 0,25 http://toanhocmuonmau.tk 0,25 0,25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn a +1+ a a2 +1 a +1 Xét hàm số f(x) = IV b + + b b2 + + b +1 x +1 + c + + c c2 + c +1 có TXĐ: R và f'(x) = x +1 (x a +1 = 1− x ) +1 a +1 x2 +1 + b +1 b +1 + c +1 c2 + +a +b+c f'(x) = ⇔ x = 0,25 Lập bbt hs y = f(x) ta f(x) ≤ với x a +1 b +1 c +1 Vậy ≤ 2, ≤ 2, ≤ 2 a +1 b +1 c2 + a +1 b +1 c +1 Theo giả thiết a + b + c ≤ Nên + + +a +b+c ≤ +3 a2 +1 b2 + c2 + Vậy Max P = + và đẳng thức xảy a = b = c = Gọi ∆ là đường phân giác d1 và d2 Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng qua M và ⊥ với d Giả sử I ∈ ∆ ⇒ d(I,d1) = d(I, d2) ⇔ x − 7y + 17 Va = x + y−5 ⇔ 2x + 6y + 21 = 3x − y − = Nếu ∆ : 2x + 6y + 21 = thì d có phương trình 3x - y + = Nếu ∆ : 3x - y - = thì d có phương trình x + 3y - = VIa 0,25 Ta có log 2a b 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 c a b log 2b log 2c = Vậy ta có điều phải chứng minh b c a c a (P) có tiêu điểm là F(2,0) + Nếu F ∈ (d) và d ⊥ Ox thì d có phương trình x = Giải hệ x = x = ⇔ ⇒ A(2; 4) và B(2; -4) ⇒ AB = ( thỏa mãn) y = ±4 y = 8x 0,5 + Nếu F ∈ (d) và d không ⊥ Ox thì d có phương trình y = k(x - 2) Tọa độ A, B là nghiệm hệ phương trình Vb y = k(x − 2) y = k(x − 2) ⇔ 2 y = 8x k (x − 2) = 8x ⇒ k2x2 - 4(k2 + 2)x + 4k2 = 0(*) NX: k ≠ vì k = thì d trùng với Ox, đó d cắt (P) điểm Vì ∆ = 16k2 + 16 nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt ⇒ d luôn cắt (P) hai điểm A(x1 kx1 - 2k) và B(x2, ( k +2 kx2 - 2k) và x1 + x2 = k ) và x x = ⇔ (1 + k ) k2 0,5 2 k4 2 2 0,5 (1 + k ) ( x + x ) − 4x x = 64 16 ( k + ) ( k + 1) = 64 ⇒ Vô nghiệm − 16 = 64 ⇔ Vì AB = ⇔ (1 + k2)(x12 + x22) = 64 ⇔ 0,5 Vậy phương trình d cần tìm là x = Đặt u = x − , u ≥ ⇒ x = u2 + Ta pt 0,25 u − 2u + + u − 6u + = 2012m ⇔ f(u) = u − + u − = 2012m −2u + .0 ≤ u < Ta có f(u) = ≤ u < VIb 2u − ≤ u Vẽ đồ thị hàm số y = f(u) Từ đồ thị hàm số ta (1) có đúng hai nghiệm ⇔ (2) có đúng hai nghiệm u ≥ ⇔ < 2012m ≤ ⇔ 1 <m≤ 1006 503 Chú ý: Học sinh làm cách khác mà đúng đ−ợc điểm tối đa http://toanhocmuonmau.tk 0,25 0,25 0,25 (4)