SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TỈNH
TIEN GIANG Năm học 2012-2013
ĐÈ THỊ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Bang: A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê) Ngày thi thứ nhất: 23/10/2012 (Đề thi có 01 trang, gôm 03 bài / 06 câu) Bai 1: (7,0 điểm) 1) Ham sỐ y = f(x) xac định và có đạo hàm trên tập số thực, thoả điều kiện: [f(l+2x)] =x-[f(l-x)] , VxeR Hãy việt phương trình tiêp tuyên với đô thị hàm sô y = f{x) tại điêm có hoành độ x=]
2) Cho hai ham sé: f(x) =(m-—1)6* - = +2m+l và h(x)=x—6'* Tìm m để f(x).h(x) >0 với mọi x e|0;1]
Bài 2: (6,0 điểm)
L) Giải phương trình: 3(x? -3x +1)=-,/3(x* +x? +1)
2) Cho tập hợp A ={0;4;5;6; 7; 8} Hỏi có thê lập được bao nhiêu số có 4
chữ sô (các chữ sô này chọn từ tập A) Sao cho mỗi số tạo thành đều chia hết cho 4 ? Bài 3: (7,0 điểm) 1) Cho lục giác lỗi ABCDEF thoả mãn: AB = BC ; CD = DE ; EF =FA BC DE FA Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=——“+——+—— Khi đó có nhận xét gì về BE DA FC hình tính lục giác ABCDEFE ? 2) Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho (P., ) 1a d6 thi cua ham số: y =5x” + mx — (23m? + 10m + 2012)
Gọi (C,.) là đường tròn đi qua 3 giao điểm của (P ) với các trục tọa độ
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH
TIEN GIANG Nam hoc 2012-2013
DAP AN DE THI CHINH THUC Mơn:TỐN Bảng: A Ngày thi thứ nhất: 23/10/2012 (Gồm 03 trang) Bai Nội dung Điểm Bail | 1) (4,0 điển)
(7,0) Với x = 0 thi [f()] =-[f()] nén (1) = 0 hode f(1) =-1 1,0
Lay đạo hàm hai về của đẳng thức đã cho ta được:
4f(+2x)f'đ+2x)=1+3{fđ- x)Ï f'- x) 0,5 Voi x =0, ta cd: 4fF(D.£ (I) =1+43[f()] £'O
Suy ra: f(1) # 0 nên f(1) = -I 1,0 -4f{)=1+3f) ©>f()= - 0,5 Phương trình tiếp tuyến là: y + 1 = a(x - 1) 1,_$ 7 1,0 2) (3,0 diém) a Voi x = | thi dau dang thức xảy ra XÉt X€ [0;1) xX - Ta có: h(x)=x— 6f 2) là hàm đồng biến trên [0:1] với h(1) =0 T
Suy ra: h(x) < 0 véi moi x €[0;1)
Trang 442 at 2, Đặt g(t) = ——— véi te[16] + 2t —4t-4 Taco: g(t)= hae (1? + 2t) t=2 s()=0©[IL 2 3 Lập bảng biến thiên, ta có kết quả: m < ; 1,0 Bai2 | 1) (3,0 điểm) (6,0 ) Ta có: 4,2 11_ (2 2 2 (2 2 x +x +1=(x +1) —X =(x +x+1)(x -x+1)>0, Vx 0,5 x”~=3x+1=2(x”~x+1)—(X? +x+]) 0,5 Chia 2 về của phương trình cho x?+x +10 và đặt y= x x1 (DK: y 20) ta được: x +x] 3(2y’ — l)= 3y
Hay 6y? +A/3y—3=0 1,0
Giải phương trình được y = 8 (loại nghiệm y = 8 <0) 0,5
Trang 5Bài3 | 1) (4,0diém) —
(7,0) |: Ap dụng bât đăng thức Ptoleme cho tứ giác ACEF ta co: AC.EF + CE.AF 2 AE.CF (Dat AC = a, CE = b, AE =c) FA C Vì EF = FA nên ——> l FC arb CÓ b5 Tương tự: DE > 5 (2) 0,5 DA c+a BC > a (3) 0,5 BE b+c Tu (1), (2), (3) ta suy ra: BC DE FA, a + b + C = 0,5 BE DA FC b+c c+a a+b 2 Chứng minh: 2 2 2 Đặt P= a + b + = a + b + ¢
b+c c+a a+b ab+ac bc+ba ca+cb Su dung BDT Cauchy-Schwarz, ta co:
2 1,0
D> (a+b+c) ` 3(ab + bc + ca) _ 3
2(ab+bc+ca) 2(ab+bc+ca) 2
cv 3 _{a=b=c
Vay minF = — khi Suy 0.5
2 ACEF, ABCE, ACDE nội tiếp ,
Khi đó: ABCDEF Ia luc gidc déu 0,5 2) (3,0 diém) Ta có: ¢ = 23m? +10m +2012 >0, Vm 05 Suy ra phương trình: 5x” +mx —c=0 luôn có 2 nghiệm trái dâu xX, <0<x, voi moi m GỌI giao điểm của (P„„) với các trục tọa độ là: A(x, ;0), B(x,;0), C(0;c) Do đó: OA =x,; OB=x,; OC=c 0,5 ry , C Theo định lí Viet, ta có: x,x, = — (*) 0,5 1} —= 1 GỌI p{o;-2) thi OD = -—— 0,5 5 5
Khi do: (*)< OA.OB = OC.OD 0,5
Theo hé thirc luong trong duong tron: chimg to duong tron (C,, )
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH TIEN GIANG Nam hoc 2012-2013 Mơn:TỐN Bảng: B ĐÈ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê) Ngày thi thứ nhất: 23/10/2012 (Đề thi có 01 trang, gồm 03 bài / 06 câu) Bài 1: (7,0 điểm) 2 Xx 1 Tìm trên trục hoành các điểm có thê kẻ đến đồ thị hàm số y= hai x-] tiếp tuyến tạo với nhau một góc 451
2 Tìm các đa thức Í{x) thoả mãn: x.f{(x-l) = (x-3).Í{x) với mọi sơ thực x Bài 2: (7,0 điểm)
1 Giải bất phương trình (4x — 3)\x/ —3x+42>8x-6
2, Gidi phuong trinh: 18x? -18xV/x -17x-8Vx -2=0
Bài 3: (6,0 điểm)
1 Trong mặt phăng toạ độ Oxy cho điểm M(-1; -3) và đường tròn (C) có phương trình: x°+y°—2x+4y+4=0 có tâm I Hãy viết phương trình đường thắng (d) đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện
tích lớn nhất
2 Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là ý, bán kính đường tròn đáy là r
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt câu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt câu nội tiệp hình nón)
a Tính theo r, ý diện tích mặt cầu tâm I;
b Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi Với điều kiện nào của bán kính
đáy thì diện tích mặt câu tâm I đạt giá trị lớn nhât?
Trang 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỶ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI CAP TINH
TIÊN GIANG Năm học 2012-2013
DAP AN DE THI CHINH THỨC Mơn: TỐN Bảng: B Ngày thi thứ nhất: 23/10/2012 (Gồm 03 trang) Bài Nội dung Điểm Bail | 1) (4,0 diem)
Trang 10Nén f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) 0,5 Thay vào (1) ta được: x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) hay P(x-l)= P(x); Vx "5 Suy ra: P(x) =C hăng số 0,5 Vậy f(x) = x.(x-1).(x-2).C với C là hằng số 0,5 Bài2 |1) (3,0 điểm) (7,0 ) Giai bat phuong trinh: (4x-3)vx°-3x+428x-6 (1) (1) (4x-3)(Vx? -3x+4-2)20 Ta có: 4x-3 =0 <=> x=3/4 Vx? -3x+4-2=0<=> x =0 hodc x =3 0,5 Bảng xét dau: X -00 0 1⁄2 3 + œ 4x-3 - - 0 + + x’ -3x+4-2 + 0 - - 0 + 2,0 Về trái - 0 + 0 - 0 + nak ` , CA 3 0,5 Vậy bât phương trình có nghiệm: xe l0 1 U[3; +00) 2) (4,0 điểm)
Đặt vx = y(y > 0) thì phương trình đã cho trở thành: 0.5
18y* —18y’ -17y’? —-8y-2=0
> (3y? - 4y -2)(6y? +2y +1)=0 L5 â3y -4y-2=0 ơ% 10 1,0 3 Ta co: y=x*x© ;rủ0 =x 2 2+V10) 14+4V10 hay x= =———— 1,0 3 9 , 1) (3,0 diém) - Ta có: (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 3
Phương trình đường thăng (d) qua M có dạng: 05
a(x+1)+b(y+3)=0 hay ax+by+a+3b=0 ,
Trang 11
Bai 3 (6,0 ) Diện tích tam giác IAB là:
Trang 13
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TỈNH
TIEN GIANG â Năm học 2012-2013
Mơn: TỐN Bang: A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê) Ngày thị thứ hai: 24/10/2012 (Đề thi có 01 trang, gồm 03 bài / 05 câu) ĐẺ THỊ CHÍNH THỨC Bài 1: (7,0 điểm) 1 Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm trên 2 đồ thị sau: (P):y=9—xŸ và (C):(x-3) +(y-6) =1 2 Tìm tât cả các hàm sô f{x) liên tục trên R thoa mãn điêu kiện: [fx)]'~ &x7+3)[f@«)]? + (xˆ+3)«) +x”—1=0, VxelR Bài 2: (7,0 điển)
1 Cho 2 số thực x, y thỏa điều kiện: Ix (4x -1)+ Sy (ly — 1) = 3/xy
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = Ÿ/x + ‡Íy + 4/xy
2 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: nếu các số p, p + d, p + 2d là các số nguyên tổ thì d chia hết cho 6
Bài 3: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 và điểm D trên cạnh BC Gọi i, va r, theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABD va
ACD Tim vi tri diém D de tích r.r, đạt giá trị lớn nhất HET
Thí sinh không được sử dụng tài hiệu Giảm thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .- s5 sa Số báo danh: ssctertvxvzxerkesrxsred
Trang 15
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO — KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH
TIEN GIANG Nam hoc 2012-2013
DAP AN DE THI CHINH THUC
Trang 16> (x ~ f(x) + I(x + Ñx)~ I)? - f(x) + 1) = 0 f(x)=x+l 0,5 ©|f(x)=-x+l 0,5 f(x)=x’ +1 0,5 Bai2 | 1)(4,0 diém)
(7,0) Gọi T là tập giá trị của F |
Taco: m eT khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Vx (x -1)+ aly (ly -1) = aay 0,5 Ÿx + ty + ÿxy =m Đặt S= Ÿx + ly ; P= ‡xy thì hệ trở thành: S“-§-3P=0 _ |S7+2§-3m=0 2 S+P=m P=m-S S* +28 m= 3 2 pus 2 5 0,5 3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: S > 4P 4(S”—S Hay g„ 4Š -5) âS-4S<0 â0<S<4 0,5 Vi Đ e [0; 4] thì S“+2§— 3m =0 có nghiệm khi và chỉ khi: bà an mà~2 1,0 2 0<-1+v1+3m <4 1<A+3m <5 1s ©0<m<8 Vậy maxF = 8 0,5 minF = 0 0,5 2)(3,0 điểm)
Trang 17
Vay d:2 (I) 1,0
Ta co: p, p +d, p + 2d khong chia hét cho 3 va lon hon 3
Suy ra khi chia 3 số trên cho 3, có 2 số cùng dư (theo nguyên 0,5 li Dirichlet) Do do: (p+d)—p:3 (p+2d)-(p+d):3 © d:3 dD 0,5 (p+2d)—p:3 Ta lai co (2;3) = 1 (II) 0,5
Tir (1), (11), (II) suy ra d:6 0,5
Trang 19
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH
TIEN GIANG Nam hoc 2012-2013
DE THI CHINH THUC Mén: TOAN Bang: B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê)
Ngày thi thứ hai: 24/10/2012
(Đề thi có 01 trang, gôm 03 bài / 06câu) Bài 1: (7,0 điểm) l Hãy tìm phương trình của tât cả các tiếp tuyên với đô thị hàm sô 3 x +]
y={(x)= Biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục toạ độ
giới hạn một tam giác có diện tích bằng >
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f{x) trên đoạn [-1; 2] biết 0)=1 và [f(x)]’.P(x) = 1+ 2x +3x’ Bai 2: (6,0 diém) +") (ery) (x-1)(y-1) 1 Cho x,y € R vax, y > 1 Tim gia tri nhỏ nhất của P= x'-y` +3yˆ -3x-2=0 2 Tìm m đề hệ phương trình: có nghiệm thực io VI-x” -3 2y-y' +m=0 Bài 3: (7,0 điểm)
1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và D là điểm đôi xứng với
A qua tâm oO Tim quỹ tích những diém M sao cho
MA’+ MB? + MC* + 3MD*= I5R°
Trang 21
SO GIAO DUC VA DAO TAO
TIEN GIANG Nam hoc 2012-2013
DAP AN DE THI CHINH THUC Mén: TOAN Bang: B Ngày thi thứ hai: 24/10/2012 KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TỈNH (Gồm 04 trang) Bài Nội dung Điểm Bail | 1) (3,0 diém) (7,0) Tap xac định: R \ {0} 3 — - Đạo hàm fx)= ox 5 X
Goi A(a; f(a)) nam trên đồ thị thoả điều kiện bài toán
Trang 232) (3,0 diém) x? -y>+3y?-3x-2 = 0 (1) x? + 1-x? -3,/2y-y” +m=0 (2) ¬ ae pc Điêu kiện: & 2y-y >0_ |0<y<2 0,5
Đặt /=x + 1 >/e[0; 2]; ta có (1) ©f`- 3 =y' - 3y
Trang 24RV7 <= MG = —— 2 0,5 Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G, bán kính RYT 0,5 2) (3,0 diém) Taco: C(t; 1 - t)
Trung điểm M của AC là mS a] 0,5
.Ta có: MenMe2|° 7: +? y1=0 2 2
©t=-7
Vay: C(-7; 8) 0,5
Tt A(1; 2) ké AK LCD tail (K € BC)
Phương trình đường thắng AK:
(x- 1)-(y-2)=0 hay x-y+1=0
0,5
¬ ge x+y-1=0
Toa độ giao điểm I: | hay I(0; 1)
x-ytl= 0,5
- Ta có: AACK can tai C nên I là trung điểm AK
Suy ra: toạ độ điêm KỆ; 0) 0,5