Đang tải... (xem toàn văn)
Tính th ể tích hình chóp SABC.. Tính th ể tích hình chóp.[r]
(1)
PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện:
B
h
a b c
a a a
B h
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h
với B : diện tích đáy h : chiều cao
a)Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
với a,b,c ba kích thước b)Thể tích khối lập phương:
V = a3 với a độ dài cạnh
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V=1
3Bh với ⎧⎨B : diện tích đáyh : chiều cao
⎩
3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
SABC
SA ' B ' C '
V SA SB SC
V = SA ' SB ' SC '
C'
B' A'
C B
A
S
4 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: V = h3(B B'+ + BB') với ⎧⎨B, B' : diện tích hai đáyh : chiều cao
⎩
B A
C
A' B'
C'
(2)LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1) Dạng 1: Khối lăng trụđứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
a 3a
C' B'
A'
C B
A
a
Lời giải: Ta có
ABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụđứng ⇒AA' AB⊥
2 2
AA'B⇒AA' =A'B AB− =8a
AA' 2a 2
⇒ =
Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ
5a 4a
D' C'
B' A'
D C
B A
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' lăng trụđứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒BD 3a= ABCD hình vng AB 3a
2
⇒ =
Suy B = SABCD = 9a2 4
Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
Ví dụ 3: Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ
A' C'
B'
A C
I
Lời giải:
Gọi I trung điểm BC Ta có
ABC nên
AB
3 &
AI 2 AI BC
A 'I BC(dl3 ) =
= ⊥
⇒ ⊥ ⊥
A'BC A'BC
2S
S BC.A 'I A 'I
2 BC
= ⇒ = =
AA' (ABC)⊥ ⇒AA' AI⊥ 2 A'AI⇒AA '= A'I −AI =2
(3)
Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏđi góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp
A' D
B' C'
A'
C D'
C'
B' B D'
A
D'
A'
C'
B' D
A
C
B
Giải
Theo đề bài, ta có
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3
Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ
Tính thể tích hình hộp
60
D' C'
B' A'
D C
B A
Lời giải:
Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD = a2
2
Theo đề BD' = AC = 2a 3 a 2 = 3
2
DD'B⇒DD'= BD' BD− =a
Vậy V = SABCD.DD' = a 63 2
2)Dạng 2: Lăng trụđứng có góc giữa đường thẳng mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụđứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ
o 60
C'
B' A'
C
B A
Lời giải:
Ta có A'A (ABC)⊥ ⇒A'A AB& AB⊥ hình chiếu A'B đáy ABC
Vậy góc[A 'B,(ABC)] ABA' 60= = o
0
ABA '⇒AA ' AB.tan 60= =a 3
SABC = 1BA.BC a2
2 = 2
Vậy V = SABC.AA' = a 33 2
(4)Ví dụ 2: Cho lăng trụđứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ
a o 60
o 30
C'
B' A'
C B
A
Lời giải: ABC⇒AB AC.tan60= o =a Ta có:
AB AC;AB AA'⊥ ⊥ ⇒AB (AA'C'C)⊥ nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o
o
AB
AC'B AC' 3a
t an30
⇒ = =
V =B.h = SABC.AA'
2
AA'C'⇒AA'= AC' A'C'− =2a 2
ABC
nửa tam giác nên SABC =a 322 Vậy V = a 63
Ví dụ 3: Cho lăng trụđứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300
Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ
o 30
a D'
C' A'
B'
D
C B
A
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụđứng nên ta có: DD' (ABCD)⊥ ⇒DD' BD⊥ BD hình chiếu BD' ABCD
Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30= 0 a 6 BDD' DD' BD.tan 30
3
⇒ = =
Vậy V = SABCD.DD' = a 63
3 S = 4SADD'A' = 4a 6
3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o
Tính thể tích hình hộp
a o 30
o 60
D' C' B'
A'
D
C B
A
Giải ABD
cạnh a ⇒SABD =a 324
ABCD ABD a
S 2S 2
⇒ = =
ABB'
(5)2)Dạng 3: Lăng trụđứng có góc giữa mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụđứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ
C'
B' A'
C
B A
o 60
Lời giải:
Ta có A'A (ABC)& BC AB⊥ ⊥ ⇒BC A 'B⊥
Vậy góc[(A'BC),(ABC)] ABA' 60= = o
ABA'⇒AA' AB.tan 60= =a 3
SABC = 1BA.BC a2
2 = 2
Vậy V = SABC.AA' = a 33 2
Ví dụ 2: Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC
Tính thể tích khối lăng trụ
x o 30
I C'
B' A'
C
B A
Giải: mà AA' nên A'I
ABC
BC
AI BC
⇒ ⊥ ⊥(ABC)
⊥ (đl 3⊥)
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =A 'IA = 30o Giả sử BI = x
2
x x
AI = =
⇒ Ta có
x x
AI AI
I A AI
A
3 3 30 cos : '
:
' = = = =
Δ
A’A = AI.tan 300 = x = x
3 3 . 3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = ⇒ x = 2
Do VABC.A’B’C’ =
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật
a
0
60
O
A' D'
B' C'
C
A D
B
Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vng nênOC BD⊥
CC'⊥(ABCD) nên OC'⊥BD (đl ) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = = 60o
⊥
COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD hình vuông nên SABCD = a2 OCC'
vuông nên CC' = OC.tan60o =a Vậy V = a 632
(6)Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật
2a
o 30 o
60
D' C'
B'
A'
D C
B
A
Ta có AA' ⊥(ABCD)⇒AC hình chiếu A'C (ABCD)
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA 30= o
BC ⊥AB ⇒BC ⊥A'B (đl 3⊥)
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA 60= o A'AC⇒
AC = AA'.cot30o = 2a 3
A'AB⇒
AB = AA'.cot60o = 2a
3 2 4a
ABC BC AC AB
3
⇒ = − =
Vậy V = AB.BC.AA' = 16a 23
3
4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a 3 hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ
H o 60 a
B'
A' C'
C B
A
Lời giải:
Ta có C'H (ABC)⊥ ⇒CH hình chiếu CC' (ABC)
Vậy góc[CC',(ABC)] C'CH 60= = o 3a CHC' C'H CC'.sin 60
2
⇒ = =
SABC = a2
4
= Vậy V = SABC.C'H = 3a 33
8 Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60
(7)H O
o 60
C'
A
a
B' A'
C
B
Lời giải:
1) Ta có A'O (ABC)⊥ ⇒OA hình chiếu AA' (ABC)
Vậy góc[AA',(ABC)] OAA' 60= = o Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ)
AO BC⊥ trung điểm H BC nên
BC A'H⊥ (đl ⊥)
BC (AA'H) BC AA'
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
BB'
mà AA'//BB' nên BC⊥ Vậy BB'CC' hình chữ nhật 2) ABC nên AO=23AH=2 a a3 2 = 33
o AOA '⇒A 'O AO t an60= =a
Vậy V = SABC.A'O = a 33
4
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với
AD = 7.Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy
3
AB =
góc 450 600 .Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên
H N
M
D'
C'
B' A'
D
C
B A
Lời giải:
Kẻ A’H ⊥(ABCD),HM⊥ AB, HN ⊥ AD AD
N A AB M
A ⊥ ⊥
⇒ ' , ' (đl ) ⊥
o o
A'MH 45 ,A'NH 60
⇒ = =
Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 =
3 2x
AN = AA −A N = − x = HM
3 '
'
2
2
Mà HM = x.cot 450 = x Nghĩa x =
7 3
4
3
= ⇒ −
x x
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3 7. 3 3
7 =
LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp
(8)_
\ / / a
B
S C
A Lời giải:
Ta có
(ABC) (SBC) (ASC) (SBC)
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
⊥
⊥ ⇒AC (SBC)⊥ Do V 1SSBC.AC 1 a 32 a a3
3 3 4
= = = 3
12 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o
1) Chứng minh mặt bên tam giác vng 2)Tính thể tích hình chóp
a o 60 S
C
B A
Lời giải:
1) SA (ABC)⊥ ⇒SA AB &SA AC⊥ ⊥ mà BC AB⊥ ⇒BC SB⊥ ( đl ) ⊥ Vậy mặt bên chóp tam giác vng
2) Ta cóSA (ABC)⊥ ⇒AB hình chiếu SB (ABC)
Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60= o ABC
vuông cân nên BA = BC = a SABC = 12BA.BC=a42
o a SAB SA AB.t an60⇒ = = 2
Vậy V=31SABC.SA=1 a a a 63 22 = 243 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA
vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp
a
o 60
M C
B A
S Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác
ABC nên AM ⊥BC⇒SA⊥BC (đl3⊥) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60= o Ta có V = 13B.h=13SABC.SA
o 3a SAM⇒SA AMtan60= = 2
Vậy V = 13B.h=31SABC.SA=a383
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o
1) Tính thể tích hình chóp SABCD
(9)Lời giải: 1)Ta có SA (ABC)⊥ CD AD⊥ ⇒CD SD⊥ ).(1
D)] = SDA = ( đl ⊥ ) Vậy góc[(SCD),(ABC 0o
n60o SAD
vng nên SA = AD.ta = a H
a
D
C B
A S
o 60
Vậy =1 =1 a3
ABCD a
V 3S SA 3 a 3= 3 dựng AH
2) Ta ⊥SD,vì CD (SAD) (do (1) ) ⊥ nên CD ⊥AH⇒AH⊥(SCD)
Vậy AH khoảng cách từ A n (SCD) đế
2 2 2
1 1 1 1 1
SAD⇒ = + = +
AH SA AD 3a a =3a4
Vậy AH = a
9
2) Dạng : Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho h
BCD, ình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyA
1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Lời giải:
trung điểm AB mà
1) Gọi H SAB
⇒SH AB⊥
(SAB)⊥(ABCD)⇒SH (ABCD)⊥ Vậy
a H
D
C B
A S
H chân đường cao khối chóp 2) Ta có tam giác SAB nên SA =a 32
suy V=13SABCD.SH=a 336
í dụ 2:
V Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)⊥(BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o
Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải
o 60 a
H D
C
B
A :
à trung điểm BC
(BCD) , mà Gọi H l
Ta có tam giác ABC nên AH⊥ (ABC) ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥(BCD)
Ta có AH⊥HD⇒AH = AD.tan60o =a 3 & HD = AD.cot60o =a 33
BC = 2HD = BCD⇒
2a 33 suy
(10)Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đ C tam giác vng cân B, có
C = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy áy AB
B
góc 450
a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC
45
I
J H A
C
B
S Lời giải:
BC mp(SAC)⊥
a) Kẽ SH ⊥ mp(ABC) nên SH⊥mp(ABC)
H
Gọi I, J hình chiếu AB BC SI
⇒
⊥AB, SJ⊥BC, theo giả thiết SIH SJH= =45o Ta có: ΔSHI = ΔSHJ ⇒ HI = HJnên BH
đường phân giác ABCừđó H trung AC
suy điểm
b) HI = HJ = SH =
2
a
= ⇒VSABC
12
1
a SH
S =
3 ABC
3) Dạng : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đ cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kều SABC cẻ từ S cạnh hình chóp tâm cđáy a tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC
Lời giải:
Dựng SO⊥(ABC) Ta có SA = SB = SC suy = OC
OA = OB
Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên
AO = 23AH=2 a a 33 2 = 3
2 2 11a
SAO⇒ =
a 2a
H O
C
B A
S
SO =SA OA− 3 a 11
SO
3
⇒ = Vậy V=31SABC.SO=a31211 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất c độ dài a
1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác ạnh có 2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Lời giải:
Dựng SO ⊥(ABCD)
= SB = SC = SD nên
ABCD hình ABCD Ta có SA
OA = OB = OC = OD⇒
thoi có đường trịn gnoại tiếp nên hình vng
(11)a O
D C
B A
S
nên ASC vuông S 2
a OS
⇒ =
⇒
3
1 2
3 ABCD
a a
= = =
Vậy
V S SO a
3
a 2 V= 6
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC
a I
H O
M
C
B A
D
Lời giải:
a) Gọi O tâm ΔABC⇒ DO⊥(ABC)
1 . 3 ABC
V = S DO
2 3 4
ABC
a
S = ,
3
a OC = CI =
2
ơ ó :
DOC vu ng c DO DC OC
Δ = −
3
a
=
2
1 3 6
.
3 4 3 12
a a a
V
⇒ = = 2
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH
2
a MH = DO =
2
1
3
MABC ABC
a a a
V S MH
⇒ = = =
24 Vậy V a 23
24
=
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V 3a3
16
=
Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc ởđáy mặt bên 45o
1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = a 3 2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V=a63 Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy
(12)góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V=a 3324 Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V h 33
3
=
Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc ởđỉnh 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V h 33
8
=
Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB 60= o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs: S a 32
3
= 2) Tính thể tích hình chóp Đs: V=a 236 Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc ởđỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V=2h33 Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a
Tính thể tích hình chóp Đs: V=8a 333 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o
Tính thề tích hình chóp Đs: V=a 3123 4) Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a 2 , SA vng góc với đáy ABC , SA=a
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC
2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN
G M
N
I C
B A
S
Lời giải: a)Ta có:
1 . 3
S ABC ABC
V = S SA SA=a + ΔABC c n câ ó :AC =a 2⇒ AB=a
2
1 2
ABC
S a
⇒ = Vậy:
3
1 1
. .
3 2 6
SABC
a
V = a a =
b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có : 2
3
SG SI =
α // BC ⇒ MN// BC
3
SM SN SG SB SC SI
(13)SAMN . 49
SABC
V SM SN
V SB SC
⇒ = =
Vậy:
3 4 2 9 2 SAMN SABC a 7 = = V V
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A AB=a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD=a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ⊥(ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF a a F E B A C D
Lời giải: a)Tính
13
ABCD
V : VABCD =13SABC.CD=a63 b)Tacó:
,
AB⊥ AC AB⊥CD ⇒ AB⊥(ACD) ⇒ AB⊥EC
Ta có: DB⊥EC ⇒ EC ⊥(ABD)
c) Tính VDCEF:Ta có: (*
DCEF DABC
V DE DF
V = DA DB )
Mà DE DA = DC2, chia cho DA2
2
2
1
2
DE DC a DA DA a
⇒ = = =
Tương tự:
2
2 2
1
DF DC a
DB = DB = DC +CB =
Từ(*) DCEF 16
DABC
V V
⇒ = .Vậy 1
6 3 DCEF ABCD a 6 = = V V
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α)qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
N S O M B D C A
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N ∈SD)thì hình thang ABMN
thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM)
+ SANB SADB SABCD
SADB SAND V V V SD SN V V 2
1 ⇒ = =
= = SABCD SBCD SBMN SBCD SBMN V V V SD SN SC SM V V 8 1 4 1 4 1 2 1 . 2 1 . = = ⇒ = = =
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD
8
Suy VABMN.ABCD = VSABCD
(14)
Do : 53
=
ABCD ABMN
SABMN
V V
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
I
O A
B C
D S
E
F M
Lời giải:
a) Gọi I =SO∩AM Ta có (AEMF) //BD EF
// BD
⇒
b) D D
1
. 3
S ABC ABC
V = S SO D
ABC S = a với
+ SOA có : tan 60
2
a SO= AO ο =
Vậy :
3 D
6 6 S ABC
a
V =
c) Phân chia chóp tứ giác ta có EMF
S A
V = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC
Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có : 1
2
SM SC
⇒ =
ΔSACcó trọng tâm I, EF // BD nên:
3
SI SF
SO SD
⇒ = =
D
1
3
SAMF SAC
V SM SF
V SC SD
⇒ = =
3
D D
1
3
SAMF SAC SAC
a
V V V
⇒ = = =
6
3
EMF
6 6
2
36 18
S A
a a
V
⇒ = =
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA=a 2 Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’
(15)A S
I
O D
B
C C'
D'
B'
Lời giải: a) Ta có:
3
1 2
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V = S SA=
b) Ta có BC⊥(SAB)⇒BC⊥ AB' & SB⊥ AB'Suy ra:AB' (⊥ SBC)
nên AB'⊥SC Tương tự AD' SC ⊥ Vậy SC ⊥(AB'D')
c) Tính VS A B C D. ' ' ' '
+Tính VS AB C ' : Ta có:
' ' '. '(
SAB C SABC
V SB SC
V = SB SC *) ΔSACvuông cân nên ' 1
2
S C S C =
Ta có:
2 2
2 2
' 2 2
3 3
SB SA a a
SB SB SA AB a
2
= = =
+ =
Từ(*) S A B C' ' 13
S A B C
V V
⇒ =
3
' '
1
3
SAB C
a a
V =
⇒ =
+
3 ' ' ' ' '
2 2
2
9 S A B C D S A B C
a
V = V =
5) Dạng : Ơn tập khối chóp lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60ο M trung điểm SB
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD
2a
o 60
H
D
C
B A
S
Lời giải:
a)Ta có = 13 ABCD.SA
a
V S
+ SABCD =(2 )a =4
+ ΔSAC có :SA= ACtanC =2a
3
1 8
4 6
3 3
a
V a a
⇒ = = 6
b) Kẻ MH / /SA⇒ MH ⊥(DBC)
Ta có:
MH = SA, 1 2
BCD ABCD
S = S
3 D
1 2
4 3
MBC
a
V V = 6
⇒ =
(16)Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp
60
A C
B H S
F E
J
Lời giải:
Hạ SH⊥(ABC), kẽ HE⊥AB, HF BC, HJ⊥ ⊥AC suy SE⊥AB, SF⊥BC, SJ⊥AC Ta có
O
SEH=SFH=SJH 60= ⇒
SJH SFH
SAH =Δ =Δ
Δ nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ΔABC) Ta có SABC = p(p−a)(p−b)(p−c)
với p = a b c 9a
2 =
+ +
Nên SABC = 9.4.3.2 a2
Mặt khác SABC = p.r 36 a
p S r = =
⇒
Tam giác vuông SHE:
SH = r.tan 600 = a 2 a
3
2 =
Vậy VSABC = 6 2.2 3
1
a a
a =
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a 3 , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’
M O
D'
C'
B' A'
D
C
B A
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có :V = AB A D.AA ' =a 3.a2=a3 3
ΔABD có :DB= AB2 +AD2 =2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên:
3 ' ' ' '
1 3
3 3
OA B C D
a
V V
⇒ = =
b) M trung điểm BC ⇒OM⊥( ' 'BB C)
2
' ' ' '
1 1 3
. .
3 3 2 2
OBB C BB C
a a a
V S OM
⇒ = = = 3
12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : ' '
'
3
' OBB C
OBB
V C H
S
(17)' 1 2
OBB
S a
⇒ = ⇒C H' =2a 3
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’
a D'
C'
B' A'
D C
B A
Lời giải:
Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
+Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích
Khối CB’D’C’ có
1 1 1
. .
3 2 6
V = a a = a +Khối lập phương tích: V2 =a3
⇒ ' ' 3
1 1
4.
6 3
ACB D
3
a a
= − =
V a
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụđứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC
b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE c)
J
I F
E
C'
B' A'
C
B A
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, ' ' ' '
1
. 3
A B BC A B B
V = S CI
2
1
3 2 12
a a a
= =
b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’
+Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên ' EF EF
1
' 3
A C C
V = S A A
2 EF
1 3
4 16
C ABC
a
S = S =
3 ' EF
3 48
A C
a V
⇒ =
+Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên
' ' F FB' 1
' 3
A B C C
V = S A J
2
FB' '
1
2
C CBB
a S = S =
(18)
2
' ' F
1
3 24
A B C
a a a V
⇒ = =
+ Vậy :
3 A'B'FE
3 16
C
a