Mũ
•
•
•
•
•
• & ' ( ' ) !
• ! &* ( + " ,- .-/ 01 21
• 3,-! .-4 # 01 ! 56
• 3,-! .-4 # 01 ' 56
• 7 18
+ ℝ nếu α nguyên dương
+ ℝ +
nếu α nguyên âm hay α = 0
+ (0 ; + ∞ ) các trường hợp còn lại
Logarit : >B2
• >B2 H I J K
• >B29 >B2 M >B2
• N >B2 O >B29
• >B2L F >B2
• >B2 O >B2 >B2
• >B2 >B29 >B2 H.H.IIN
• >B2 H.P Q L>B2
• 3>B201 >B221
! &* ( + / 3 01 ! &01 2144
• 3>B201 ! >B221
! / 3 21 ! &01 ! 5644
• 3>B201 ! >B221
& ' ( ' / 3 01 ! &01 ' 5644
-V 7WV S-V S
X
V
SVX O XXY VS FS[V OFSSYV
S \ X \ ]V SV\ XV\ ]V V SVX] M SXV] M SX]V
18V α 18
Z1[V O1Y R1TV
`1
aGC 1V 9Ba 1
9Ba 1V O aGC 1
bC 1V9BaY1
9Bb 1V OaGCY1
-V ->C
c-V c
->B21V
>C 1V1
S8V α S8 Sd
ZS[V OSSYV RSTV SV
`S
aGC SV Sd 9Ba S
9Ba SV OSd aGC S
bC SV9BaSdYS
9Bb SV OaGCSdYS
WV W SV >C
cWV SdcW
>B2SV Sd
>C SVSdS
e &f1 _
e f1 1 M _
g1 f1 >C h1h M _
e cL-f1 F cL-M _
e 18f1 18
e -f1 >C M _
-e aGC F1 f1 OF 9BaF 1 M _
e 9Ba F1 f1 F aGC F1 M _
g9BaY1 f1 bC 1 M _
gaGCY1 f1 O 9Bb 1 M _
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
N
Thể tích vật thể tròn xoay:
1n K o Cp1p
pq
K
aYK o Cp1pY
J
pq
OKYro Cp1p
J pq
s
Y
Thống kê : Cho mẫu số liệu kích thước N {x1,x2,…,xN }
số trung bình: 1n -t -uv-
J Jw 1J p
pq
Phương sai : aYJw 1J pY
pq OJuRw 1Jpq pTYJw 1Jpq p Y
S gọi là ñộ lệch chuẩn
Nếu mẫu số liệu cho ở dạng bảng phân bố tần số hay tần số ghép lớp:
p$p
x< 1p
l< 1O yYM 1YO yYM v 1O yY o1pO yY $p
pq
p
Y$p
pq
s O yY
p x< 1p
biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,…,xn }
Kỳ vọng : z< 1$M 1Y$YM v 1$
Phương sai :
ðộ lệch chuẩn : {< |l<
\ Y Y\ ` M Y ; \ } }\ ~Y M ~Y\ }
YO Y M O ; }\ } \ Y M Y
_ _L M _L _L
M o _L L
_M _ M v M _
Tổ hợp và xác suất:
L LL ;x C `~ C
hh
• x Y
x M xY M v x p
• xY xxY x p
xF _ $L O $L
• P(AB)=P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
• P(A1A2…An)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)
• p
• 7ca " xL Q Q
wt
XS biến cố A xuất hiện ñúng k lần trong n phép thử Becnuli:
Trang 2GL L G GLY O GL} OG
M G VM VG / V d
M G \ VM VG \ V M \ VG
M GVM VG VO V M VM VG
h Vh hh hV Vh hh M hV
hhY V V hhV nY nV n
Z [V
nnnnnn
V V hhhVh
Số phức:
ðơn vị ảo i: GY O
• dạng ñại số : M G ,a,b ∈ ℝ
nnnn nd
z là số thực
hh Y Y=
Y ]
V V V M GaGC M V¡
VV V M GaGC O V¡
Z9Ba M `FmC M `FmC [
4
F & C O nnnnnnnnnnnn
nếu z = x+yi , w = a+bi thì :31Y`17 O 7Y 4
› Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là \
› Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là
› Phương trình bạc hai : YM M _ &
¢ YO £_ ; δ là một căn bậc 2 của e
*Y\¥Y Y OY
• Dạng lượng giác:
(cos +isin ) với ¦9Ba Y Y
§
§
(cos +isin ) d d(cos ^+isin ^)
aGCY1 M 9BaY
bC 1 aGC 1 9Ba 1
M bCY1 9BaY1
M 9BbY1 aGCY1
Lượng giác :
bC 1 9Bb 1
aGC 1 aGC 7 ` 9Ba1 O 7 O 9Ba1 M 7¡ aGC 1 9Ba 7 ` aGC1 M 7 M aGC1 O 7¡ 9Ba 1 9Ba 7 ` 9Ba1 M 7 M 9Ba1 O 7¡ Tích thành tổng:
aGC1 \ 7 aGC 1 9Ba 7 \ aGC 7 9Ba 1 9Ba1 \ 7 9Ba 1 9Ba 7 aGC 1 aGC 7 bC1 \ 7 bC 1 bC 7bC 1 \ bC 7 Cộng:
aGC 1 M aGC 7 ` aGC1 M 7` 9Ba1 O 7` aGC 1 O aGC 7 ` 9Ba1 M 7` aGC1 O 7` 9Ba 1 M 9Ba 7 ` 9Ba1 M 7` 9Ba1 O 7` 9Ba 1 O 9Ba 7 O` aGC1 M 7` aGC1 O 7`
aGC1aGC7
Tổng thành tích :
aGCm` M 9Ba 9Bam` M O aGC bCm` M O9Bb 9Bbm` M ObC
aGCm` O 9Ba 9Bam` O aGC bCm` O 9Bb 9Bbm` O bC aGCm O aGC
9Bam O O9Ba bCm O ObC 9Bbm O O9Bb
aGCm M OaGC 9Bam M O9Ba bCm M bC
9BbOα O9Bbα
aGCm` M 9Ba 9Bam` M OaGC bCm` M O9Bb 9Bbm
9Bbm M 9Bb
¨©COα OaGCα 9BaOα 9Baα bCOα ObCα
YM YaGC1 M α
YM Y
YM Y
aGC 1 \ 9Ba 1 ` aGC1 \m£
aGC ~1 ~ aGC 1 O £ aGC}1 9Ba ~1 £ 9Ba}1 O ~ 9Ba 1 Nhân ba :
Y1 O aGCY1 ` ` 9BaY1 O
O ` aGCY1 bC `1 O bC` bC 1Y 9Bb` 9Bb 1Y1 O
aGCY1 O 9Ba `1` Y1 M 9Ba `1`
b bC` aGC1 1 M b`bY
O bY
O bY
Nhân ñôi và hạ bậc : aGC `1 ` aGC 1 9Ba 1
£ªY `YM `9YO Y
j ` D` 9aGC 9£« $
|$$ O $ O $ O 9
aGC aGC aGC_ `«9
Trung tuyến:
Diện tích tam giác :
ðl hàm số Cosin: Y YM 9Y-2bc.cosA
ðl hàm số sin:
& ~& £¬ & ®& sin
& ` `` ~` cos
~` `` ` & tan
& ~~ ~ hh cot hh
~ ~~ &
aGC 1 aGC α
1 m O α M F`m4
1 Oα M F`m4 bC 1 bC α / 1 α M Fm 9Bb 1 9Bb α / 1 α M Fm
°
±
±
±
±
±
±
±
² aGC 1 / 1 m` M F`m aGC 1 O / 1 Om` M F`m aGC 1 & / 1 Fm 9Ba 1 / 1 F`m 9Ba 1 O / 1 m M F`m 9Ba 1 & / 1 m` M Fm
4
aGC 1 ª Phương trình:
Có nghiệm / hªh
Có nghiệm / YM Y 9Y
S µ* S S
SLSLM S` L
S SM C O f
jCS`M SC`SM C O f¡`
j S O ¶ ¸ O ¶S
Cấp số Cọng :
Cấp số nhân :
SL SL SL S ¶
>GªaGC 1 aGCS 1 ¹¸Z MC[ >Gª¹¸ M C c-O -O >C M 1
1 Một số giới hạn :
Trang 3Hệ 2 ẩn :
3 1 M 7 9V1 M V
V V - º9 9d dº » º 9d 9dº
¼
¼ ¾
¼
Hệ 3 ẩn :¿ V1 M 7 M 9 f1 M V7 M 9V fV
VV1 M VV7 M 9VV fVV
V V 9V
VV VV 9VVÀ + &4
Có nghiệm 6 ÁÂ
Á
Á Ä Á
Á Æ Á
với ÇÈ Àfd f V 99V
fVV VV 9VV » ÀV ffV 99V
VV fVV 9VV É ÀV V ffV
VV VV fVVÀ
hh O hh h M h hh M hh
M YM Y
Y
M M 9
~ 9Ì
}M }M 9}
}
M YYM v M Y M v M M v M
• Bất ñẳng thức giá tri tuyệt ñối : Ohh hh
• Cauchy:
Dấu bằng xảy ra khi các số hạng bằng nhau
• Bất ñẳng thức Bunhiacôpxki:
dấu bằng xảy ra khi : t
tu
u v
\4
hh / Í &O Í & 44
/ Í & Y & &
Y
Í ' & &4
Í & Y44 Trị tuyệt ñối và căn thức :
Õ1 7 / iÕÖÖÖÖÖÖ× 1 Ø×M 7 Ù×M FÖ×
Ö× 1 7 / Ö× 1 Ø× M 7 Ù× M FÖ×
Ö× Ö× / ¦1 1d7 7d
d
Ö× \ Ö× 1 \ 1V 7 \ 7V \ V
Ö× Ö× 11VM 77VM V
hÖ×h |1YM 7YM Y VM 77VM V &
Ö× Ö×
hÖ×h hÖ×h
11VM 77VM V
|1YM 7YM Y |1VYM 7VYM VY
ÖÖÖÖÖ× 1O 1 7O 7 O ÛÖÖÖÖÖ×Û |1O 1YM 7O 7YM O Y
1M 1
` 7M 7` M ` ÜÖ×* Ö×Ý º77 V Vº º 1V 1Vº º11 7V 7Vº
ÛÜÖ×* Ö×ÝÛ hÖ×h ÛÖ×Û aGC Ö×* Ö×
jÞß` ÛÜÖÖÖÖÖ×*_ ß¼ ÛÜÖÖÖÖÖ×*_ÖÖÖÖÖ×Ý=ÖÖÖÖÖ×Û
lààß¼ á á ß á ¼ á ÛÜÖÖÖÖÖ×*=ÖÖÖÖÖ×ÝV
Hình học giải tích trong không gian
Vectơ ñơn vị
Cho Ö× 1 7 Ö× 1d 7d d ;k ∈ ℝ :
ÕÖÖÖÖÖÖ× F ÕÖÖÖÖÖÖ× / 1â- L- ã
L â» L» ã
L âÉ LÉ ã
L
1 O YM 7 O YM O 9Y «Y
1YM 7YM Y YM YM 9YO f ! &
Mặt cầu :
Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R :
Phương trình :
+ Là PT mặt cầu tâm åO O O9 Bk « YM YM 9YO f
+ Nếu YM YM 9YO f & ta ñược 1 ñiểm åO O O9
+ Nếu YM YM 9Y
Mặt phẳng α cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn ( C ) thì:
+ Tâm J của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I lên (α)
+ Bán kính của ( C ) : «YO fY
YM YM _Y+ &
6 ( MÃæ MÅÑ
V1 M V7 M _V M =V &
xxV/VV__V+==V
x ç xV/VV__V==V
V/ ) ) _ + V) V) _d
x Ú xV/ VM VM V
Mặt phẳng:
+ Nếu một vectơ pháp tuyến của (P) là : ÒÖ× Ü(×* æÖ×Ý
+ Phương trình mặt phẳng (P) qua è 6 Ã Å nhận ÒÖ× Ð Î é làm vectơ pháp tuyến : 1 O 1 M 7 O 7 M _ O & + Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
+Phương trình theo ñoạn chắn : mặt phẳng (P) không qua O ,cắt 3 trục tại A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) :
Vị trí tương ñối của 2 mặt phẳng
Trong các tỉ lệ quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0
¦1 17 7 M bM b
M b9
1 O 1
7 O 7 O
V1 M V7 M _V M =V V4
ðường thẳng : +Phương trình tham số : ñường thẳng qua
Õ 1 7
+Phương trình chính tắc:
+ Phương trình tổng quát :
ðường thẳng này có 1 vectơ chỉ phương là : SÖ× ÜCÖ×* CÖÖÖ×Ý với CÖ×CV ÖÖÖ× là V
vtpt của (P) và (P’) +Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng d qua M0 có vtcp SÖ× và d’ qua
M0’có vtcp SÖ×d :
ÖÖÖ×Ý ¯SÖ×* ÕV ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê &Ö× ÕV
fhhfV/ ëÜSÖ×* SV ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×ê + &Ö× ÕV
V/ ÜSÖ×* SÖÖÖ×Ý ÕV ÕV ÖÖÖ×Ý + &Ö× } V
V/ ÜSÖ×* SÖÖÖ×ÝÕV ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ× + & ÕV
9Ba hVM VM Vh
YM YM _Y VYM VYM _VY
aGC hSÖ×h hCÖ×h hSÖ× CÖ×h h M M _9h
YM YM _Y YM YM 9Y
9Ba hVM VM 99Vh
YM YM 9Y VYM VYM 9VY
Góc : +Góc giữa 2 mp
+Góc giữa ñường thẳng d có vtcp
+Góc giữa 2 ñường thẳng :
Trang 4h1đM 7đM _đM =h
YM YM _Y
fÕ* f ÛÜÕÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ×*SÖ×ÝÛÕ
hSÖ×h
íí* íV ºÜîÖ×* îÖÖÖ×Ý ỉV ỉV
ÛÜîÖ×* îÖÖÖ×ÝÛV
ñNầW£~ m«}
jòẳẵ§ụ
jïõóẵ§ụ j-M `j» `mD M `mY
lLăöpô§ụ fbð9D7 _DGềS_B mYD
j-J: ườC2aGCD π>
jïJ: j-M j» m> M mY
~ mY D
Khoảng câch :
+ Khoảng câch từ ñiểm Õ1đ* 7đ* đ tới mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0
Khoảng câch giữa 2 ñường thẳng chĩo nhau d ( qua M0 có vtcp
(qua M’0 có vtcp îÖ×d) :
1 O 1 M 7 O 7 &
f) 1 M 7 M 9 V Y1 M Y7 M 9Y &
= ø
Y 9Y » º99Y Yº
1 M 7 M 9
YM Y \V1 M V7 M 9V
|VYM VY 9Baf* fV hVM Vh
YM Y VYM VY
.ðường thẳng
• PTTsố của ñ.t qua Õ1 7 vă có vtcp SÖ×
7 7 M b4 PTCTắc: --ù
• PT ñường thẳng qua Õ1 7 vă có VTPT CÖ× :
• P.T theo ñoạn chắn :
-M»
• Hệ số góc : F
với ñt d
• ðt có hsg k thì có 1vtcp
.Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng : Cho 2 ñ.t:
• (d) cắt (d’) # D+0#) Y+ Y
) Y Y+ 9 9Y
) Y Y 9 9Y
Khoảng câch vă góc: fÕ* ¢ h-ú »úNh
| u u
•
•
x;ường phđn giâc của góc tạo bởi 2 ñ.t d vă d’
1 O YM 7 O Y «Y
ðường tròn : PTðtròn tđm I(a;b) bân kính R:
• Phương trình :
lă phương trình ñường tròn tđm I(a;b) ,bk « YM YO 9
• ðường thẳng : 1 M 7 M 9 & tiếp xúc với ñường tròn
«
•
1Y
YM7YY
Ellip:
Bân kính qua tiíu ñiểm
Y
Y
Y
Bân kính qua tiíu ñiểm : MF = p/2 + xM
3 ñường cônic
Cho F cố ñịnh , ñường thẳng e không qua F M ∈ Cônic ( C )
• ( C ) lă ellip
• ( C ) lă parabol
• ( C ) lă hyperbol
1Y
YO7YY 9Y YM Y* ÑậÒ " Ê \ư
( \(Y
Õ h M c 1đ Y h O c 1đh
Hyperbol:
N
Bân kính qua tiíu ñiểm
... M v M• Bất đẳng thức giá tri tuyệt ñối : Ohh hh
• Cauchy:
Dấu xảy số hạng
• Bất đẳng thức Bunhiacơpxki:
dấu xảy : t... &4
Í & Y44 Trị tuyệt ñối thức :
Õ1 / iÕƯƯƯƯƯƯ× 1 Ø×M 7 Ù×M FƯ×
Ư× 1 / Ư× 1 Ø× M 7 Ù×... ĩệệệệệì*_ệệệệệìí=ệệệệệì
lòẳ ỏ ỏ ò ỏ ẳ ỏ ÛÜƯƯƯƯƯ×*=ƯƯƯƯƯ×ÝV
Hình học giải tích khơng gian
Vectơ đơn vị
Cho Ư× 1 Ư× 1d 7d d ;k ∈ ℝ :