Khong gian SOBOLEV

Trong trường hợp này không gian Sobolev được định nghĩa là một tập con của L p sao cho f và các đạo hàm yếu của nó tới bậc k nào đó có chuẩn L p hữu hạn, với p ≥ 1 cho trước..[r]

(1)

Trong tốn học, khơng gian Sobolev là không gian vectơ hàm số trang bị với chuẩn tổng chuẩn Lp của hàm số với đạo hàm bậc Các đạo hàm hiểu theo nghĩa yếu thích hợp để làm khơng gian trở thành đầy đủ, không gian Banach Nó đặt theo tên Sergei L Sobolev Sự quan không gian Sobolev nằm kiện nghiệm phương trình vi phân thường nằm không gian Sobolev không gian thông thường hàm số liên tục với đạo hàm hiểu theo nghĩa thông thường

Giới thiệu

Có nhiều tiêu chuẩn để định nghĩa độ trơn hàm số Tiểu chuẩn có lẽ tính liên tục Một khái niệm mạnh độ trơn tính khả vi (bởi hàm số khả vi liên tục) khái niệm mạnh độ trơn liên tục đạo hàm hàm số (những hàm số gọi — xem hàm trơn) Hàm số khả vi đóng vai trị quan trọng nhiều lãnh vực, đặc biệt phương trình vi phân Vào kỉ 20, người ta thấy không gian (hay , v.v.) không gian để nghiên cứu phương trình vi phân

Các khơng gian Sobolev thay toán học đại cho khơng gian cổ điển tìm nghiệm phương trình vi phân

Khơng gian Sobolev hình trịn đơn vị

Trong trường hợp không gian Sobolev định nghĩa tập Lp cho f và đạo hàm yếu tới bậc k nào có chuẩn Lp hữu hạn, với p≥ cho trước Phải cẩn thận để định nghĩa đạo hàm cách

chặt chẽ Trong toán chiều đủ để giả sử khả vi nơi khắp nơi với tích phân Lebesgue đạo hàm (điều giúp loại bỏ ví dụ hàm số Cantor mà khơng liên quan đến định nghĩa mà cố tiến tới)

Với định nghĩa này, không gian Sobolev có dạng khơng gian vectơ định chuẩn tự nhiên sau đây,

trang bị với chuẩn không gian Banach Chỉ cần lấy phần đầu phần cuối tổng này, nghĩa chuẩn định nghĩa

cũng tương đương với chuẩn định

Trường hợp p = 2

Các không gian Sobolev với p = đặc biệt quan trọng liên quan chúng với chuỗi Fourier chúng tạo thành khơng gian Hilbert Một kí hiệu đặc biệt dùng cho trường hợp này:

Khơng gian định nghĩa cách tự nhiên theo chuỗi Fourier, với cách sau,

(2)

Cả hai cách thể suy theo định lý Parseval đạo hàm tương đương với phép nhân hệ số Fourier với in Thêm vào đó, khơng gian Hk có tích vơ hướng, giống H0 = L2 Thật ra, tích vơ hướng Hk được định nghĩa theo tích vơ hướng L2 sau đây:

Không gian Hk trở thành không gian Hilbert với tích vơ hướng

Các ví dụ khác

Some other Sobolev spaces permit a simpler description For example, is the space of absolutely continuous functions on , while W1,∞(I) is the space of Lipschitz functions on , for every interval All

spaces Wk,∞ are (normed) algebras, i.e the product of two elements is once again a function of this Sobolev space,

which is not the case for p < ∞ (E.g., functions behaving like |x|−1/3 at the origin are in L2, but the product of two such functions is not in L2)

Không gian Sobolev với k không phải số tự nhiên k

Để tránh nhầm lẫn, nói k khơng phải số tự nhiên người ta thường kí hiệu s, i.e

Trường hợp p = 2

Trường hợp p = trường hợp đơn giản nhất, định nghĩa chuẩn sau

và không gian Sobolev không gian chứa hàm số mà chuẩn hữu hạn

Đạo hàm bậc phân số

Một cách tương tự sử dụng p khác Trong trường hợp định lý Parseval khơng cịn nữa, phép lấy đạo hàm tương ứng với phép nhân miền Fourier tổng quát hóa lên bậc khơng phải số tự nhiên Do ta định nghĩa toán tử đạo hàm bậc phân số bậc s bởi

hay nói cách khác, lấy biến đổi Fourier, nhân với lấy biến đổi Fourier nghịch (các toán tử định nghĩa theo Fourier-nhân-nghịch Fourier gọi toán tử nhân đề tài nghiên cứu riêng) Điều cho phép định nghĩa chuẩn Sobolev

(3)

Một cách khác để đạt "không gian Sobolev bậc phân số" đưa nội suy phức(complex interpolation) Nội suy phức kỹ thuật tổng quát: với ≤ t ≤ X và Y là hai không gian Banach nhúng liên tục vào khơng gian Banach lớn tạo "khơng gian trung gian" kí hiệu [X,Y]t Không gian X và Y như gọi cặp nội suy

Chúng ta có số định lý hữu dụng nội suy phức:

Định lý (reinterpolation): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a

Theorem (interpolation of operators): if {X,Y} and {A,B} are interpolation pairs, and if T is a linear map defined on X+Y into A+B so that T is continuous from X to A and from Y to B then T is continuous from [X,Y]t to [A,B]t and we have the interpolation inequality:

Returning to Sobolev spaces, we want to get for non-integer s by interpolating between -s The first thing is of course to see that this gives consistent results, and indeed we have

Theorem: if n is an integer such that n=tm.

Hence, complex interpolation is a consistent way to get a continuum of spaces between the Further, it gives the same spaces as fractional order differentiation does (but see extension operators below for a twist)

Không gian nhiều chiều

Bây xét đến không gian Sobolev Rn và tập Rn Việc thay đổi từ hình tròn sang

đường thẳng làm thay đổi chuỗi Fourier thành biến đổi Fourier tổng thành tích phân Việc tổng quát lên không gian nhiều chiều cần thêm định nghĩa đạo hàm theo lý thuyết phân bố

Giả sử D là tập mở không gian Rn Chúng ta định nghĩa không gian Sobolev

như tập hàm số f định nghĩa D sao cho đa số (multi-index) với

chúng ta có hàm số

Chuẩn tổng chuẩn Lp trên đa số α Nó đầy đủ, khơng gian Banach Thức cách tiếp cận với trường hợp không gian chiều, không khác với định nghĩa

Các ví dụ

In multiple dimensions, it is no longer true that, for example, contains only continuous functions For example, 1/|x| belong to where is the unit ball in three dimensions It is true that for k sufficiently large, will contain only continuous functions, but for which k this is already true depends both on p and on the dimension

(4)

Định lý nhúng Sobolev

xem thêm bất đẳng thức Sobolev.

The Sobolev space is a subset of by definition A natural question to ask is: are there other Lp

spaces which contain ? The following answer admits a simple representation (cf.[1]):

Theorem: Let and Then the following statements hold:

1 if then as sets Moreover, the inclusion is a bounded operator.

2 if then all functions with compact support are elements of for any

.

Traces

Main article Trace operator.

Let s > ½ If X is an open set such that its boundary G is "sufficiently smooth", then we may define the trace (that is,

restriction) map P by

i.e u restricted to G A sample smoothness condition is uniformly , m≥ s (NB There is no connection here to trace of a matrix.)

This trace map P as defined has domain , and its image is precisely To be completely formal, P is first defined for infinitely differentiable functions and is extended by continuity to Note that we 'lose half a derivative' in taking this trace

Identifying the image of the trace map for is considerably more difficult and demands the tool of real interpolation, which we shall not go into The resulting spaces are the Besov spaces It turns out that in the case of the spaces, we don't lose half a derivative; rather, we lose 1/p of a derivative

Các toán tử mở rộng

If X is an open domain whose boundary is not too poorly behaved (e.g., if its boundary is a manifold, or satisfies the more permissive but more obscure "cone condition") then there is an operator A mapping functions of X to functions of Rn such that:

1 Au(x) = u(x) for almost every x in X and

2 A is continuous from to , for any ≤ p≤ ∞ and integer k We will call such an operator A an extension operator for X

Extension operators are the most natural way to define for non-integer s (we cannot work directly on X

since taking Fourier transform is a global operation) We define by saying that u is in if and only if Au is in Equivalently, complex interpolation yields the same spaces so long as X has an extension operator If X does not have an extension operator, complex interpolation is the only way to obtain the

spaces

(5)

We define to be the closure in of the space of infinitely differentiable compactly supported functions Given the definition of a trace, above, we may state the following

Theorem: Let X be uniformly Cm regular, m ≥ s and let P be the linear map sending u in to

where d/dn is the derivative normal to G, and k is the largest integer less than s Then is precisely the kernel of P.

If we may define its extension by zero in the natural way, namely

Theorem: Let s>½ The map taking u to is continuous into if and only if s is not of the form n+½ for n an integer.

Tham khảo

(6)

Nguồn người đóng góp vào bài

Khơng gian Sobolev Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=6765378 Người đóng góp: Pq, QT, Quangbao