Không gian sobolev hs (rn), s thuộc r

Lý do chọn đề tàiGiải tích hàm là một ngành của giải tích toán học, nó nghiên cứu cáckhông gian vectơ được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và cáctoán tử tuyến tính liên tục giữa

KHOA TOÁN

VŨ THỊ HUYỀN

KHÔNG GIAN SOBOLEV Hs(Rn), s ∈ R

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Khoá luận tốt nghiệp này đã được hoàn thành với sự chỉ bảo, hướngdẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo BùiKiên Cường , người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốtthời gian làm khoá luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tớicác thầy cô giáo trong tổ Giải tích, cũng như các thầy cô giáo trong khoaToán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để emhoàn thành khoá luận tốt nghiệp này.

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huyền

Khoá luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệttình của thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường cùng với sự cố gắng củabản thân Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sựtrân trọng và lòng biết ơn.

Em xin cam đoan đề tài Không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R không

có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toànchịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huyền

Lời mở đầu 5

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Hilbert 91.1.1 Không gian định chuẩn 91.1.2 Không gian Hilbert 111.2 Không gian các hàm luỹ thừa bậc p khả tích Lp(I) 121.2.1 Một số định nghĩa 121.2.2 Một số kết quả 131.3 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn) 141.3.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian các hàm giảm

nhanh 141.3.2 Sự hội tụ trong không gian các hàm giảm nhanh

S(Rn) 161.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 171.4.1 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) 171.4.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 181.4.3 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng tăng chậm

S0(Rn) 201.5 Biến đổi Fourier 221.5.1 Biến đổi Fourier trong L1(R) 22

1.5.2 Biến đổi Fourier trong S(Rn) 29

1.5.3 Biến đổi Fourier trong S0(Rn) 32

2 Không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R 36 2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 36

2.1.1 Định nghĩa 36

2.1.2 Các tính chất cơ bản 38

2.2 Toán tử Elliptic trên không gian Hs(Rn), s ∈ R 43

2.2.1 Một số định nghĩa: 43

2.2.2 Tính chất của toán tử Elliptic 44

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học, nó nghiên cứu cáckhông gian vectơ được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và cáctoán tử tuyến tính liên tục giữa chúng Các kết quả và phương pháp của

nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình viphân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị

và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, Ra đời vào nhữngnăm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tíchphân của Hilbert, Fredholm, Sobolev , đến nay giải tích hàm tích lũyđược những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trongviệc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học

Kiến thức trên lớp với thời gian ngắn khó có thể đi sâu nghiên cứu

về một vấn đề nào đó của bộ môn giải tích hàm, với mong muốn đượcnghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, và bước đầu làm quenvới công việc nghiên cứu khoa học, dưới góc độ là một sinh viên chuyênngành Toán, trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp em đã chọn đềtài:

"Không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng tăng chậm

- Nghiên cứu về không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụcho mục đích nghiên cứu

4 Đối tượng nghiên cứu

- Không gian các hàm giảm nhanh, hàm suy rộng tăng chậm, hàm luỹthừa bậc p khả tích và biến đổi Fourier trong các không gian đó

- Không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R

5 Phạm vi nghiên cứu

Không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R

6 Cấu trúc của khoá luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo,khoá luận gồm 2 chương:

Chương 1: Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Chương 2: Không gian Sobolev Hs(Rn), s ∈ R

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn)chúng ta chỉ ra một số kí hiệu được trình bày trong khoá luận

|α| = α1 + α2 + + αn là bậc của α;

α! = α1! + α2! + + αn!;

α + β = (α1 + β1, α2 + β2, , αn + βn)

Rn là kí hiệu của không gian Euclide n chiều và x = (x1, x2, , xn),

ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) là các phần tử trong Rn, chuẩn Euclide

xα = xα1

1 xα2

2 xαn n

Ck0(Rn) là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi

vô hạn trên Rn với giá compact

trong đó suppu = {x ∈ Rn| u(x) 6= 0} được gọi là giá của hàm liên tục u

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Hilbert

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyếntính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là k.k vàđọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau đây

1 (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);

2 (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α|kxk;

3 (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề 1., 2., 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim

Ví dụ về không gian định chuẩn

Ví dụ 1.1.1 Đối với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt

Công thức (1.1) cho một chuẩn trên R Không gian định chuẩn tương ứng

ký hiệu là R1 Hơn nữa, R1 còn là không gian Banach

Ví dụ 1.1.2 Cho không gian vectơ k chiều Ek, trong đó Ek = {x =(x1, x2, , xk) : xj ∈ Rhoặc xj ∈ C} Đối với vectơ bất kỳ x = (x1, x2, , xk) ∈

Ek ta đặt

kxk =

vuut

∞

X

n=1

Công thức (1.3) cho một chuẩn trên l2 Không gian định chuẩn tương ứng

ký hiệu là l2, l2 là không gian Banach

Ví dụ 1.1.4 Cho không gian vectơ C[a,b] Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈

L[a,b] ta đặt

kxk =

Z b a

Công thức (1.5) cho một chuẩn trên L[a,b] Không gian định chuẩn tươngứng ký hiệu là L[a,b], L[a,b] là không gian Banach

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.5 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường

số thực R hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian

X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, ký hiệu (·, ·), thoảmãn tiên đề

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1., 2., 3., 4 gọi là

hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.6 Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích

vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert

Do đó, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.7 Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện

1 H là không gian tuyến tính trên trường P;

2 H được trang bị một tích vô hướng (·, ·);

3 H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là khônggian Hilbert con của không gian H

Lp(I)

1.2.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.8 Giả sử I là một tập đo được theo nghĩa Lebesgue trongkhông gian Rn và p là một số thực (1 ≤ p < ∞) Ta ký hiệu Lp(I) là lớpcác hàm đo được f : I → R và |f |p khả tích Lebesgue trên I, tức là

Định nghĩa 1.9 Một hàm f đo được trên I được gọi là chủ yếu bị chặntrên I nếu tồn tại một hằng số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên I.Cận dưới lớn nhất trong các hằng số k đó được gọi là esstial supremumcủa |f | trên I và được ký hiệu là ess sup

x∈I

|f (x)|

Định nghĩa 1.10 Ta ký hiệu L∞(I) là không gian vectơ gồm tất cả cáchàm u chủ yếu bị chặn trên I, các hàm này cũng được đồng nhất nếuchúng bằng nhau hầu khắp nơi trên I Rõ ràng phiếm hàm k.k∞ được xácđịnh bởi

kuk∞ = ess sup

Bổ đề 1.1 Nếu a, b là hai số không âm, p, q là một cặp số mũ liên hợpthoả mãn 1

1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian các hàm giảm nhanhĐịnh nghĩa 1.12 Kí hiệu:

Các phần tử của S(Rn) được gọi là các hàm giảm nhanh

Không gian S(Rn) được trang bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn

Chứng minh Theo giả thiết, ta có

kxk2 = x21 + x22 + + x2nnên

e−kxk2 = e−x2−x2− −x2n

= e−x2e−x2 e−x2n, x ∈ RnMặt khác

Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞(Rn) Ta chứng minh ϕ ∈ S(Rn).

Khi đó ta đặt suppϕ = K, K là tập compact trong Rn

Với mọi x /∈ K, suy ra Dβϕ(x) = 0, ∀β ∈ Zn+

Định nghĩa 1.13 (Dãy Cauchy)

Dãy {ϕm(x)} ⊂ S(Rn) được gọi là dãy Cauchy trong S(Rn) khi và chỉ khi:

Định lý 1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn) là không gian đầyđủ.

1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn)

1.4.1 Không gian hàm suy rộng D0(Ω)

Trong mục này, nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu Ω là tập mở trong Rn.Định nghĩa 1.14 Ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử với

D(Ω) = {φ ∈ C∞(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω}

Định nghĩa 1.15 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f làmột phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) Ký hiệu không gian cáchàm suy rộng trên Ω bởi D0(Ω)

Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là

f, ϕ

Hai hàm suy rộng f, g ∈ D0(Ω) được gọi là bằng nhau nếu

f, ϕ = g, ϕ

Chú ý:

Trên D0(Ω) có thể xây dựng một cấu trúc không gian vectơ trên C, nghĩa

là ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau

Các phép toán

1 Phép cộng

Với f, g ∈ D0(Ω) tổng f + g được xác định như sau

f + g : ϕ 7−→ f + g, ϕ = f, ϕ+ g, ϕ, ϕ ∈ D(Ω)

Khi đó f + g ∈ D0(Ω), nghĩa là, f + g là phiếm hàm tuyến tính liêntục trên D(Ω).

3 Phép nhân với một hàm trong C∞(Ω)

Với φ ∈ C∞(Ω), f ∈ D0(Ω), tích φf ∈ D0(Ω) được xác định như sau

φf : 7−→ φf, ϕ = f, φϕ, ϕ ∈ D(Ω)

1.4.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn)

Định nghĩa 1.16 Một phiếm hàm tuyến tính T trên không gian S(Rn)được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu với mọi dãy {ϕj} các hàm thuộcS(Rn) hội tụ tới 0 trong S(Rn) ta đều có T (ϕj) → 0 khi j→ ∞

Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm kí hiệu là S0(Rn)

Mệnh đề 1.1 Giả sử f là hàm chậm xác định trên Rn Khi đó phiếmhàm tuyến tính Tf trên S(Rn) xác định bởi

Chứng minh Do f là hàm chậm nên tồn tại số nguyên dương N sao cho

Z

Rn

|f (x)|

(1 + |x|)Ndx < ∞Khi đó với mọi ϕ ∈ S(Rn) thì

Vậy Tf là hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.18 Đạo hàm suy rộng của một hàm suy rộng tăng chậm

T xác định bởi

DαT (ϕ) = (−1)|α|.T (Dαϕ), ϕ ∈ S(Rn)

Ví dụ 1.4.1 Cho hàm f là hàm khả vi cấp k trong R, f ∈ L1(R), khi đó

Định nghĩa 1.19 (Phép nhân của một hàm với hàm suy rộng tăng chậm)Cho hàm f ∈ C∞(Rn) thoả mãn tính chất: với mọi α là đa chỉ số, tồn tại

N ∈ Z+ sao cho

lim

|x|→∞|x|−N|Dαf (x)| = 0Hàm f như vậy gọi là hàm tăng chậm Kí hiệu tập hợp các hàm f ở trên

Định nghĩa 1.20 Cho fk, f ∈ S0(Rn), k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 được gọi

là hội tụ trong S0(Rn) đến f , viết là lim

Chú ý:

1 Khái niệm hội tụ trong S0(Rn) là phù hợp với cấu trúc tuyến tínhtrên đó, nghĩa là với λ, µ ∈ C, fk, f, gk, g, ψ ∈ S0(Rn), k = 1, 2, cónếu lim

k→∞fk = f , lim

k→∞gk = g thì lim

k→∞(λfk+ µgk) = λf + µg

Một dãy {fk}∞k=1 được gọi là dãy Cauchy trong S0(Rn) nếu

- Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho

- Dãy {fk}∞k=1 là dãy Cauchy trong D0(Rn)

2 Nếu ặ) ∈ C∞(Rn) sao cho với mỗi α ∈ Zn+ có một số thực m = m(α)

và một số dương c = c(α) có |Dαăx)| < c(1 + kxk)m thì ánh xạ biếnmỗi f thành af là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S0(Rn) vào S0(Rn)

1.5 Biến đổi Fourier

1.5.1 Biến đổi Fourier trong L1(R)

Định nghĩa 1.21 Giả sử hàm f ∈ L1(R), chúng ta định nghĩa phép biếnđổi Fourier của hàm f bởi

= cos λπ + i sin λπ − cos λπ + i sin λπ

λ .

r) (điều phải chứng minh).

Tính chất 1.5.3 Với y ∈ R, đặt fy(x) = f (x + y) Khi đó ta được

ˆ

fy(λ) = eiλyf (λ)ˆ

ˆg(λ) = −(2π)−n2

= f (λ)ˆ (điều phải chứng minh)

Tính chất 1.5.5 Cho f ∈ L1(R) Khi đó ˆf liên tục, bị chặn và ˆf → 0khi |λ| → ∞

Chứng minh Ta có ˆf bị chặn do

| ˆf | =

(2π)−n2

Z +∞

−∞

f (x).e−iλxdx

= (2π)−n2

Z +∞

−∞

f (x).e−iλxdx

dx (vì |e−iλx| = 1 )

= (2π)−n2 kf k1Trường hợp f là hàm đặc trưng của [a, b] thì

ˆ

f (λ) = (2π)−n2

Z b a

và là hàm liên tục tiến về 0 khi |λ| → ∞

Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng

Do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có ˆf liên tục vàtiến dần về 0 khi |λ| → ∞

Sau cùng, nếu f ∈ L1(R) do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong

L1(R) Ta tìm được dãy các hàm bậc thang (fn)n=1,2, hội tụ trong L1(R)

về f

Khi đó dãy (fˆn)n=1,2, hội tụ về ˆf trên R, suy ra ˆf liên tục và tiến dần về

0 khi |λ| → ∞

Tính chất 1.5.6 Cho f ∈ L1(R) thoả mãn suppf ∈ [−a, a] Khi đó ˆf làhàm giải tích trên C.

Tính chất 1.5.7 Cho f ∈ L1(R) thoả mãn tính chất f0 ∈ L1(R) và fliên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn Khi đó

ˆ(f0) = iλ ˆfChứng minh Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên

f (x) = f (0) +

Z x 0

Tính chất 1.5.8 Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1(R) thì ˆf hội

tụ về 0 càng nhanh khi λ → ∞, là vì

| ˆf (λ)| =

(f(n))∧(λ)

⇒ | ˆf (λ)| =

( ˆf0)(λ)

...

L1(R< /sub>) Ta tìm dãy hàm bậc thang (fn)n=1,2, hội tụ L1(R< /sub>)

về f

Khi dãy (fˆn)n=1,2, hội... L1(R< /sub>) thoả mãn suppf ∈ [−a, a] Khi ˆf làhàm giải tích C.

Tính chất 1.5.7 Cho f ∈ L1(R< /sub>) thoả mãn tính chất f0 ∈ L1(R< /sub>)... (2π)−n2

Z +∞

−∞

f (x).e−iλxdx

= (2π)−n2

Z +∞