Không gian sobolev hs (rn), s thuộc r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ HUYỀN KHÔNG GIAN SOBOLEV H s(Rn), s ∈ R KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI KIÊN CƯỜNG Lời cảm ơn Khoá luận tốt nghiệp hoàn thành với bảo, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Kiên Cường , người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khoá luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2017 Sinh viên thực Vũ Thị Huyền Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan đề tài Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2017 Sinh viên thực Vũ Thị Huyền Mục lục Lời mở đầu Không gian hàm suy rộng tăng chậm 1.1 1.2 1.3 Không gian định chuẩn không gian Hilbert 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Hilbert 11 Không gian hàm luỹ thừa bậc p khả tích Lp (I) 12 1.2.1 Một số định nghĩa 12 1.2.2 Một số kết 13 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) 14 1.3.1 Định nghĩa ví dụ không gian hàm giảm nhanh 1.3.2 1.4 1.5 14 Sự hội tụ không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) 16 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 17 1.4.1 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 17 1.4.2 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 18 1.4.3 Sự hội tụ không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 20 Biến đổi Fourier 22 Biến đổi Fourier L1 (R) 22 1.5.1 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp 1.5.2 Biến đổi Fourier S(Rn ) 29 1.5.3 Biến đổi Fourier S (Rn ) 32 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R 2.1 2.2 36 Định nghĩa tính chất 36 2.1.1 Định nghĩa 36 2.1.2 Các tính chất 38 Toán tử Elliptic không gian H s (Rn ), s ∈ R 43 2.2.1 Một số định nghĩa: 43 2.2.2 Tính chất toán tử Elliptic 44 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành giải tích toán học, nghiên cứu không gian vectơ trang bị thêm cấu trúc tôpô phù hợp toán tử tuyến tính liên tục chúng Các kết phương pháp thâm nhập vào nhiều ngành khác lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán cực trị biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, Ra đời vào năm đầu kỷ 20, bắt nguồn từ công trình phương trình tích phân Hilbert, Fredholm, Sobolev , đến giải tích hàm tích lũy thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức toán học Kiến thức lớp với thời gian ngắn khó sâu nghiên cứu vấn đề môn giải tích hàm, với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn này, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, góc độ sinh viên chuyên ngành Toán, phạm vi khoá luận tốt nghiệp em chọn đề tài: "Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R" Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu không gian hàm suy rộng tăng chậm - Nghiên cứu không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu - Không gian hàm giảm nhanh, hàm suy rộng tăng chậm, hàm luỹ thừa bậc p khả tích biến đổi Fourier không gian - Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Phạm vi nghiên cứu Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Cấu trúc khoá luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương 1: Không gian hàm suy rộng tăng chậm Chương 2: Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Chương Không gian hàm suy rộng tăng chậm Trước nghiên cứu không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) số kí hiệu trình bày khoá luận Cho N = {1, 2, } tập số tự nhiên Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm R tập số thực C tập số phức, đơn vị ảo √ −1 = i Với số tự nhiên n ∈ N, tập Zn+ = {α = (α1 , α2 , , αn )| αj ∈ Z+ ; j = 1, 2, , n} tập đa số Nếu α, β đa số |α| = α1 + α2 + + αn bậc α; α! = α1 ! + α2 ! + + αn !; α + β = (α1 + β1 , α2 + β2 , , αn + βn ) Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Rn kí hiệu không gian Euclide n chiều x = (x1 , x2 , , xn ), ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) phần tử Rn , chuẩn Euclide n x = xj j=1 tích vô hướng n (x, ξ) = xj ξj j=1 Nếu x ∈ Rn α đa số xα = xα1 xα2 xαnn ∂xk = ∂ ∂xk ∂xα = ∂xα11 ∂xα22 ∂xαnn Dxk = −i∂xk Dxαk = (−i)|α| ∂xα Với k ∈ Z+ , kí hiệu tập sau Ck (Rn ) = u : Rn → C | u khả vi liên tục đến cấp k Ck0 (Rn ) = u : Rn → C | u ∈ Ck (Rn ), suppu tập compact ∞ ∞ Ck (Rn ) không gian tuyến tính tất hàm khả vi n C (R ) = k=1 vô hạn Rn ∞ Ck0 (Rn ) không gian tuyến tính tất hàm khả vi n C∞ (R ) = k=1 vô hạn Rn với giá compact suppu = {x ∈ Rn | u(x) = 0} gọi giá hàm liên tục u Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp 1.1 1.1.1 Không gian định chuẩn không gian Hilbert Không gian định chuẩn Định nghĩa chuẩn không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu đọc chuẩn, thoả mãn tiên đề sau (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ); (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ; (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1., 2., gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim xn − x = Ký hiệu n→∞ lim xn = x hay xn → x (n → ∞) n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp định (f ∗ ϕ)∧ , φ = f ∗ ϕ, φˆ = (f ∗ ϕ) ∗ φˆ∧ (0) = ˇ∧ f, (ϕ ∗ φ) = ˇ∧ f, (ϕ) ˆ ∨ ∗ (φ) = f, (2π) (ϕφ) ˆ ∧ = n (2π) ϕˆfˆ, φ (Vì (ϕ) ˆ ∨ = ϕ) n φ ∈ S(Rn ) nên n (f ∗ ϕ)∧ (ξ) = (2π) fˆ(ξ)ϕ(ξ) ˆ n Tương tự (f ∗ ϕ)∨ (ξ) = (2π) fˇ(ξ)ϕ(ξ) ˇ ii) Ta có n ˆ ∨ (fˆ)∨ (fˆ ∗ ϕ)(ξ) ˆ = (2π) (ϕ) ∧ (ξ) n = (2π) (ϕf )∧ (ξ) n (fˇ ∗ ϕ)(ξ) ˇ = (2π) (ϕ) ˆ ∨ (fˆ)∨ n = (2π) (ϕf )∨ (ξ) Ví dụ 1.5.3 Cho hàm δ - Dirac xác định δ, ϕ = ϕ(0) −n δˆ = (2π) 34 ∨ (ξ) Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Thật vậy, ˆϕ δ, = δ, ϕˆ = ϕ(0) ˆ = (2π) −n ϕ(x)dx Rn −n = (2π) ϕ(x)dx Rn = −n (2π) , ϕ , −n Suy δ = (2π) 35 ϕ ∈ S(Rn ) Chương Không gian Sobolev H s(Rn), s ∈ R 2.1 2.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Bổ đề 2.1 Công thức s + |ξ|2 f ∧ (ξ)g ∧ (ξ)dξ (f, g)s = (2.1) Rn tích vô hướng không gian S(Rn ) Chứng minh Do phép biến đổi Fourier đẳng cấu topo từ S(Rn ) vào S(Rn ) nên công thức (2.1) hoàn toàn xác định với f, g ∈ S(Rn ) Ta kiểm tra tiên đề tích vô hướng Với f, g ∈ S(Rn ) ta có s + |ξ|2 f ∧ (ξ)g ∧ (ξ)dξ (f, g)s = Rn + |ξ| = Rn = (g, f )s 36 s f ∧ (ξ)g ∧ (ξ)dξ Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Với λ ∈ K f, g ∈ S(Rn ) ta có s + |ξ| (λf, g)s = (λf )∧ (ξ).g ∧ (ξ)dξ Rn + |ξ| = λ s f ∧ (ξ)g ∧ (ξ)dξ Rn = λ(f, g)s Với f ∈ S(Rn ) ta có s + |ξ|2 f ∧ (ξ)f ∧ (ξ)dξ (f, f )s = Rn s + |ξ|2 |f ∧ (ξ)|2 dξ ≥ 0, = ∀ ξ ∈ Rn Rn (f, f )s = ⇔ |f ∧ (ξ)| = 0, ∀ ξ ∈ Rn hay f ∧ (ξ) = 0, ∀ ξ ∈ Rn Do f = Với f, g, h ∈ S(Rn ) ta có + |ξ| (f + g, h)s = s (f + g)∧ (ξ)h∧ (ξ)dξ Rn s s + |ξ|2 f ∧ (ξ)h∧ (ξ)dξ + = Rn + |ξ|2 g ∧ (ξ)h∧ (ξ)dξ Rn = (f, h)s + (g, h)s Với tích vô hướng (2.1), xác định chuẩn s f s s + |ξ|2 |f ∧ (ξ)|2 dξ = Rn Chú ý : Chuẩn s không đầy không gian S(Rn ) 37 (2.2) Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 2.1 Cho s ∈ R Bao đầy S(Rn ) theo chuẩn (2.2) gọi không gian Sobolev H s (Rn ), s gọi cấp không gian H s (Rn ) 2.1.2 Các tính chất Tính chất 2.1.1 H s (Rn ), s ∈ R, không gian Hilbert với tích vô hướng (2.1) Tính chất 2.1.2 Nếu s ≤ t H t (Rn ) ⊂ H s (Rn ) f s ≤ f t |(f, g)s | ≤ f s g Chứng minh s Với f ∈ H t (Rn ) ta có t f t + |ξ|2 |fˆ(ξ)|2 dξ = Rn s + |ξ|2 |fˆ(ξ)|2 dξ ≥ Rn = f s Ta có s + |ξ|2 f ∧ (ξ).g ∧ (ξ)dξ |(f, g)s | = Rn ≤     + |ξ|2 Rn  38 s f ∧ (ξ) + |ξ|2 s    ∧ g (ξ)dξ  Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Theo bất đẳng thức Holder ta có s + |ξ|2 |(f, g)s | ≤ 2 f ∧ (ξ) dξ s + |ξ|2 |g ∧ (ξ)|2 dξ Rn Rn = f s g s Tính chất 2.1.3 Nếu f ∈ H s+|α| (Rn ) Dα f s ≤ f s+|α| đa số Chứng minh Dα f s + |ξ|2 = s 2 (Dα f )∧ (ξ) dξ Rn s 2 + |ξ|2 |ξ|2|α| f ∧ (ξ) dξ = Rn + |ξ|2 ≤ s+|α| f ∧ (ξ) dξ Rn = f s+|α| Do Dα f s ≤ f s+|α| Tính chất 2.1.4 Nếu f ∈ H s+t (Rn ), g ∈ H s−t (Rn ) |(f, g)s | ≤ f |(f, g)s | ≤ (ε f với ε số dương tuỳ ý 39 s+t s+t g + s−t g ε s−t ) với α Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh |(f, g)s | = + |ξ| s f ∧ (ξ).g ∧ (ξ)dξ Rn s + |ξ|2 f ∧ (ξ).g ∧ (ξ) dξ ≤ Rn s+t 2 + |ξ| = ∧ s−t 2 f (ξ) + |ξ| g ∧ (ξ) dξ Rn Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có |(f, g)s | ≤ + |ξ| s+t ∧ 2 |f (ξ)| dξ + |ξ| s−t ∧ |g (ξ)| dξ Rn Rn = f s+t g s−t f s+t g s−t ≤ Ta có ε f 2 s+t + g ε s−t , ε > tuỳ ý Tính chất 2.1.5 Nếu s = H s (Rn ) = L2 (Rn ) Chứng minh Với s = 0, ta có chuẩn f H (Rn ) ∧ |f (ξ)| dξ = 0 Rn Từ đẳng thức Parseval ta có f ∧ (ξ) ⇒ f 0 = f (ξ) |f (ξ)| dξ = Rn ⇒ H (Rn ) = L2 (Rn ) 40 2 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Tính chất 2.1.6 Giả sử s1 < s2 < s3 , số tuỳ ý ε > hàm số tuỳ ý f ∈ H s3 (Rn ) ta có f s2 ≤ ε f s3 + Cε f s1 Cε −(s2 − s1 ) = C(s1 , s2 , s3 ).ε s3 − s2 C(s1 , s2 , s3 ) = const > Chứng minh Thật vậy, số tuỳ ý µ > ta có + |ξ| s2 = + |ξ| Áp dụng Bổ đề 1.1, chọn p = s1 µ + |ξ| s2 −s1 s3 − s1 s3 − s1 ; q= , ta có: s2 − s1 s3 − s2 1 s2 − s1 s3 − s2 + = + p q s3 − s1 s3 − s1 s2 − s1 + s3 − s2 = s3 − s1 s3 − s1 = s3 − s1 = 41 µ Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Ta có µ + |ξ| ⇒ + |ξ|2 s1 µ + |ξ|2 s2 −s1 s2 −s1 s2 −s1 1 1 ≤ [µ + |ξ| ]p + ( )q µ p q µ s −s 1 p −(ss 3−s−s1 ) = µ + |ξ| + µ p q s −s s −s 1 1 −(s3 −s1 ) = µ s2 −s1 + |ξ|2 + µ s3 −s2 p q ≤ µ + = + = + + |ξ|2 s1 1 ss3 −s µ −s1 + |ξ|2 p −(ss 3−s−s1 ) µ q s3 1 ss3 −s µ −s1 + |ξ|2 p s1 −(ss 3−s−s1 ) µ + |ξ|2 q 1 ss3 −s µ −s1 (1 + |ξ|2 )s3 p −(s3 −s1 ) s2 −s1 −1 (p.p µ) s2 −s1 s3 −s2 (1 + |ξ|2 )s1 q s3 − s1 Đặt ε = p−1 µ s2 − s1 s2 ⇒ (1 + |ξ| ) ⇒ (1 + |ξ|2 )s2 ⇒ f s2 −(s2 − s1 ) ≤ ε + |ξ|2 + (pε) s3 − s2 + |ξ|2 q −(s2 − s1 ) s3 ≤ ε + |ξ|2 + (pε) s3 − s2 + |ξ|2 q ≤ ε f s3 + Cε f 2s1 s3 42 s3 −s1 s1 s1 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Toán tử Elliptic không gian H s(Rn), s ∈ R 2.2 2.2.1 Một số định nghĩa: Định nghĩa 2.2 Giả sử Ω tập mở Rn , N số nguyên dương, fα ∈ C ∞ (Ω) với đa số α với |α| ≤ N fα với |α| = N không đồng fα Dα tác động vào hàm suy Khi toán tử vi phân tuyến tính L = |α|≤N rộng u ∈ D (Ω) Lu = fα Dα u |α|≤N Số N gọi cấp toán tử L fα Dα gọi phần L Toán tử |α|=N fα y α bậc N theo biến y = Đa thức P (x, y) = |α|=N (y1 , y2 , , yn ) với hệ số thuộc C ∞ (Ω) gọi đa thức đặc trưng toán tử L Toán tử L gọi Elliptic P (x, y) = 0, ∀x ∈ Ω ∀y ∈ Rn , y = Ví dụ 2.2.1 Toán tử Laplace = ∂2 ∂2 + + có đa thức đặc trưng ∂x21 ∂x2n P (x, y) = −(y12 + + yn2 ) toán tử Elliptic ∂2 Ví dụ 2.2.2 Toán tử L = có đa thức đặc trưng ∂x1 ∂x2 P (x, y) = −y1 y2 43 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp L không toán tử Elliptic s Định nghĩa 2.3 Cho s ∈ R, ký hiệu λs (ξ) = (1 + |ξ|2 ) , ξ ∈ Rn Toán tử λs (D) : S(Rn ) → S(Rn ) xác định λs (D)ϕ(x) = (2π)−n e−ixξ λs (ξ)ϕ(ξ)dξ, ˆ ϕ ∈ S(Rn ) gọi toán tử giả vi phân với biểu trưng λs (ξ) Do λs (ξ) Elliptic, toán tử λs (D) toán tử Elliptic Tương tự, toán tử λs (D) : S (Rn ) → S (Rn ) cho λs (D)u, ϕ = u, λs (D)ϕ , u ∈ S (Rn ), ϕ ∈ S(Rn ) gọi toán tử giả vi phân (Elliptic) S (Rn ) 2.2.2 Tính chất toán tử Elliptic Định nghĩa 2.4 Nếu A toán tử tuyến tính liên tục từ H s (Rn ) vào H s−t (Rn ) với s, t ∈ R ta nói toán tử A có cấp t Định lý 2.1 Nếu t ∈ R ánh xạ u → v cho t vˆ(ξ) = (1 + |ξ|2 ) uˆ(ξ) (ξ ∈ Rn ) đẳng cấu đẳng cự tuyến tính từ H s (Rn ) đến H s−t (Rn ) có cấp t Nếu b ∈ L∞ (Rn ) ánh xạ u → v xác định vˆ = bˆ u toán tử có cấp Với đa số α, Dα toán tử cấp |α| Nếu f ∈ S(Rn ) toán tử u → f u có cấp 44 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Ta có v s−t (1 + |ξ|2 )s−t |ˆ v |2 dξ = Rn (1 + |ξ|2 )s−t (1 + |ξ|2 )t |ˆ u|2 dξ = Rn (1 + |ξ|2 )s |ˆ u|2 dξ = Rn = u s Vậy với t ∈ R ánh xạ u → v cho t vˆ(ξ) = (1 + |ξ|2 ) uˆ(ξ) (ξ ∈ Rn ) đẳng cấu tuyến tính từ H s (Rn ) đến H s−t (Rn ) có cấp t Ta có v s (1 + |ξ|2 )s |ˆ v |2 dξ = Rn (1 + |ξ|2 )s |b|2 |ˆ u|2 dξ = Rn ≤ M2 Rn = M u (1 + |ξ|2 )s |ˆ u|2 dξ (vì b bị chặn nên |b(ξ)| ≤ M, ∀ξ ∈ R) s Vậy với b ∈ L∞ (Rn ) ánh xạ u → v xác định vˆ = bˆ u toán tử có cấp Ta có Dα v s (1 + |ξ|2 )s |Dˆα v|2 dξ = Rn (1 + |ξ|2 )s |ξ α vˆ|2 dξ = Rn (1 + |ξ|2 )s+|α| |ˆ v |2 dξ ≤ Rn = v s+|α| 45 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Vậy với đa số α, Dα toán tử cấp |α| Ta có s + |x − y|2 |s| s ≤ 2|s| + |x|2 + |y|2 với x, y Rn , s ∈ R Do với hàm đo h Rn , ta có h(x − y) s + |x|2 dx ≤ 2|s| + |y|2 s h(x) Rn s + |x|2 dx Rn n Bây giờ, ta giả sử u ∈ H s (Rn ), f ∈ S(Rn ), t > |s| + n ˆ ˆ Vì f ∈ S(R ), f t < ∞, đặt F = |ˆ u| ∗ |f | ta có t 1+|y|2 |fˆ(y)|2 dy (f u)∧ = Rn −t 1+|y|2 |ˆ u(x−y)|2 dy, Rn ∀x ∈ Rn Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên, ta thu s + |x|2 |F (x)|dx Rn s t + |y|2 |fˆ(y)|2 dy + |x|2 dx ≤ Rn ≤ 2|s| c f t u s + |y|2 Rn −t |ˆ u(y)|2 dydx Rn Từ suy fu s ≤ |s| c f t u s Định lý 2.2 Toán tử giả vi phân Elliptic với biểu trưng λs ánh xạ H t (Rn ) vào H t−s (Rn ) 46 Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận em Trong khoá luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết không gian hàm giảm nhanh, không gian hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R biến đổi Fourier không gian Sau nghiên cứu đề tài này, em hiểu sâu lớp kiến thức giải tích hàm, đặc biệt không gian hàm biến đổi Fourier không gian, làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian có hạn, vấn đề thân em, nên trình viết trình in ấn, khoá luận em không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô, để khoá luận em hoàn thiện tốt Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường hướng dẫn tận tình nghiêm khắc, để em hoàn thành khoá luận này, thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy cô Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện giúp em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! 47 Tài liệu tham khảo [1] PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] Hoàng Tuỵ (2004), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Đình Áng (Chủ biên) (2007), Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục [4] Xavier Saint Raymond (1991), Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, Studies in Advanced Mathematics 48 ... 1.5.1 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp 1.5.2 Biến đổi Fourier S( Rn ) 29 1.5.3 Biến đổi Fourier S (Rn ) 32 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R 2.1... - Không gian hàm giảm nhanh, hàm suy r ng tăng chậm, hàm luỹ thừa bậc p khả tích biến đổi Fourier không gian - Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Phạm vi nghiên cứu Không gian Sobolev H s (Rn... giảm nhanh (không gian Schwartz) Ta thường kí hiệu S = S( Rn ) Các phần tử S( Rn ) gọi hàm giảm nhanh 14 Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R Khoá luận tốt nghiệp Không gian S( Rn ) trang bị họ đếm