BAI TAP NGUYEN HAM TICH PHAN

Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.. 1..[r]

(1)

I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm ngun hàm hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x +

x ĐS F(x) = x 3 −

3x2

2 +lnx+C

2 f(x) = 2x4+3

x2 ĐS F(x) = 2x3

3 −

x+C

3 f(x) = x −1

x2 ĐS F(x) = lnx +

x + C

4 f(x) = x

2 −1¿2

¿ ¿ ¿

ĐS F(x) = x3

3 −2x+ x+C

5 f(x) = √x+√3x+√4 x ĐS F(x) = 2x 3 +

3x 4 +

4x 5 +C

6 f(x) =

√x−

√x ĐS F(x) = 2√x −3

√x2+C

7 f(x) = √x −1¿

2

¿ ¿ ¿

ĐS F(x) = x −4√x+lnx+C

8 f(x) = x −3

√x ĐS F(x) = x

3− x23+C

9 f(x) = sin2x

2 ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+

1

4sin 2x+C

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

sin2x cos2x ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) = cos 2x

sin2x cos2x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = −1

3cos 3x+C

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = −1

5cos 5x −cosx+C

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = 2e

2x

− ex+C

18 f(x) = ex(2 + e− x

cos2x ¿ ĐS F(x) = 2e

x + tanx + C

19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = 2ax lna+

3x

ln 3+C

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 3e

3x+1 +C

2/ Tìm hàm số f(x) biết

1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +

2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 2x −x3

(2)

3 f’(x) = √x − x f(4) = ĐS f(x) = 8x√x

3 −

x2 −

40

4 f’(x) = x -

x2+2 f(1) = ĐS f(x) = x2

2 +

x+2x −

2

5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6 f’(x) = ax + b

x2, f '(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2 ĐS f(x) = x2

2 +

x+

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = ∫f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx

 I = ∫f[u(x)].u'(x)dx=∫f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 ∫(5x −1)dx

3−2x¿5 ¿ ¿

dx

¿

∫¿

∫√5−2xdx ∫dx

√2x −1

2x2+1¿7xdx ¿ ∫¿

6 x3+5

¿4x2dx ¿ ∫¿

∫√x2+1 xdx ∫ x

x2+5dx

9 ∫ 3x

√5+2x3dx 10

1+√x¿2 ¿

√x¿

dx

¿ ∫¿

11 ∫ln

x

x dx 12 ∫x.e x2+1

dx

13 ∫sin

xcos xdx 14 ∫sinx

cos5x dx 15 ∫cotxdx 16

tan cos

xdx x

∫

17 ∫dx

sinx 18 ∫ dx

cosx 19 ∫tgxdx 20 ∫ e√x

√xdx 21 ∫ e

xdx

√ex−3 22 ∫ etgx

cos2x dx 23 ∫√1− x

2 dx 24 ∫dx

√4− x2 25 ∫x2

√1− x2 dx 26 ∫dx

1+x2 27 ∫ x

2 dx

(3)

28 ∫dx x2+x+1

29 ∫cos3xsin2xdx 30 ∫x√x −1 dx 31 ∫dx

ex+1 32 ∫x

√x2+1 dx

2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.

Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫u(x).v '(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx

Hay

∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 ∫x sin xdx ∫xcos xdx ∫(x2+5)sin xdx 4

∫(x2+2x+3)cos xdx

5 ∫xsin2 xdx ∫xcos2 xdx ∫x.exdx

∫ln xdx

9 ∫xln xdx 10 ∫ln2xdx 11 ∫ln xdx

√x 12

∫e√xdx

13 ∫ x

cos2x dx 14 ∫xtg

xdx 15 ∫sin√xdx 16 ∫ln(x2+1)dx

17 ∫ex cos xdx 18 ∫x3ex2dx 19 ∫xln(1+x2)dx 20

∫2xxdx

21 ∫xlg xdx 22 ∫2xln(1+x)dx 23 ∫ln(1+x)

x2 dx 24

∫x2cos xdx

TÍCH PHÂN

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1

(x  x 1)dx

∫

2

1

( )

e

x x dx x x

  

∫

3

1

2

x dx

∫

3

1

x dx

∫

3

(2sinx 3cosx x dx)



 

∫

5

0

(ex x dx)



∫

1

(x x x dx) ∫

1

( x1)(x x1)dx

∫

(4)

8

2

3

1

(3sinx 2cosx )dx

x



 

∫

2

(ex x 1)dx

 

∫

10

2

1

(x x x x dx) ∫

11

1

( x1)(x x1)dx

∫

12

3

x dx

( )





∫

13

2 -1

x.dx x 

∫

14

2

e

1

7x x dx x

 

∫

15 x

5

2

dx x2 

∫

16

2

x dx

x x x

( ) ln

 

∫

17

2

3

x dx x

cos sin



 ∫

18

2

tgx dx x

cos



∫

19

1 x x

x x

0

e e

e e dx

 

 

∫

20

1 x

x x

0

e dx

e e





∫

21

2

dx 4x 8x ∫

22

x x

0

dx

e e

ln





∫

22

dx sinx 



∫

24 ∫

−1

(2x2

+x+1)dx 25 ∫

(2x3− x −2

3)dx

26 ∫

−2

x(x −3)dx 27 ∫ −3

(x2−4)dx

28 ∫

1

(x12+

x3)dx 29 ∫1

x2−2x

x3 dx

30 ∫

1 e √e

dx

x 31 ∫1 16

√x dx

32 ∫

1 e2

2√x+5−7x

x dx 33 ∫1

(4x −

3√3x2)dx II PHƯƠNG PHÁP ĐỒI BIẾN:

3

sin xcos xdx



∫

2

3

sin xcos xdx



∫

3

0

sin

x dx cosx





∫

0

tgxdx



∫

(5)

4 cotgxdx   ∫

1 4sinxcosxdx

  ∫

x x  dx

∫

x  x dx

∫

x x  dx

∫ x dx x  ∫ 10

x  x dx

∫ 11 1 1dx

x x 

∫ 12 1x dx

∫ 13 1

2 2dx

x x ∫   14 1dx x  ∫ 15 2 (1 ) x dx

∫ 16 sin x e cosxdx   ∫ 17 sin cosx e xdx   ∫ 18 2 x

e  xdx

∫

19

3

sin xcos xdx

  ∫ 20 sin x e cosxdx   ∫ 21 sin cosx e xdx   ∫ 22 2 x

e  xdx

∫

23

2

3

sin xcos xdx

  ∫ 24 2 3

sin xcos xdx

  ∫ 25 sin x dx cosx   ∫ 26 tgxdx  ∫ 27 cotgxdx   ∫ 28

1 4sinxcosxdx

  ∫ 29

x x  dx

∫ 30

x  x dx

∫ 31

x x  dx

∫ 32 x dx x  ∫ 33

x  x dx

(6)

34 1 1dx

x x 

∫

35

1 ln e x dx x  ∫

36

sin(ln )

e x

dx x

∫

37

1 3ln ln

e x x dx x  ∫ 38 2ln 1

ee x

dx x  ∫ 39 2 ln ln e e x dx x x  ∫ 40 2 (1 ln )

e

dx cos  x

∫

41

11

x dx x   ∫ 42

0

x dx x ∫ 43 1

x x dx

∫ 44 1 dx

x  x

∫ 45 1 dx

x  x

∫ 46 1 x dx x  ∫

46

1 ln e x dx x  ∫

47

sin(ln ) e x dx x ∫

48

1 3ln ln

e x x dx x  ∫ 49 2ln 1

ee x

dx x  ∫ 50 2 ln ln e e x dx x x  ∫ 51 2 (1 ln )

e

dx cos  x

∫ 52 5  ∫x x dx 53

 

2

4

sin 1 cos

∫ x xdx



54

2

4 x dx ∫

55

2

4 x dx ∫ 56 1 dx x  ∫

57 ∫

−1

e2x+3dx 58 ∫

0

e− xdx

59

1

3

x dx

(2x 1)

∫

60

1

0

x dx 2x 1

∫

61

1

0

x xdx

∫

62

1

4x 11 dx

x 5x

   ∫ 63

2x dx

x 4x

   ∫ 64 3 x dx

x 2x 1

∫

(7)

65

6

0

(sin x cos x)dx





∫

66

3

0

4sin x dx cosx





∫

67

4

1 sin2xdx cos x

 

∫

68

2

cos 2xdx



∫

69

2

6

1 sin2x cos2xdx sin x cosx



 



∫

70

1 x

1 dx e 1

∫

71

cos4x −sin4x (¿)dx

∫

0 π

¿

72 ∫

0 π

cos2x

1+2sin 2xdx

73 ∫

0 π

sin 3x

2 cos 3x+1dx 74 ∫0 π

cosx

5−2 sinxdx

75 ∫

−2

2x+2

x2+2x −3dx 76 ∫−1

dx

x2+2x+5

77

2

3

0

cos xsin xdx



∫

78

2

cos xdx



∫

79

4

2

sin 4x dx cos x





∫

80

1

3

0

x x dx

∫

81

2

0

sin 2x(1 sin x) dx





∫

82

4

1 dx cos x



∫

83

e

1

1 ln xdx x



∫

84

4

0

1 dx cosx



∫

85

e

1

1 ln xdx x



∫

86

1

5

0

x (1 x ) dx

∫

87

6

2

cosx dx

6 5sin x sin x



 

∫

88

3

0

tg x dx cos2x ∫

89

4

0

cos sin

3 sin

x x dx

x



 

∫

90 ∫0 π

sin 2x

√cos2x

+4 sin2x

dx

(8)

91 ∫

ln ln

dx ex

+2e− x−3 92

2+sinx¿2 ¿ ¿

sin 2x

¿ ∫

0 π

¿

93 ∫

π π

ln(tgx)

sin 2x dx 94 ∫

0 π

(1−tg8x)dx

95 ∫

π π

sinx −cosx

√1+sin 2x dx 96 ∫

0 π

sin 2x+sinx

√1+3 cosx dx

97 ∫

0 π

sin 2xcosx

1+cosx dx 98 ∫0 π

(esinx+cosx)cos xdx

99 ∫

1

x

1+√x −1dx 100 ∫1 e

√1+3 lnxlnx

x dx

101 ∫

0 π

1−2sin2x

1+sin 2x dx 102

1

2

1 x dx

∫

103

1

1 dx x

∫

104

1

2

1 dx

4 x

∫

105

1

1 dx

x  x 1

∫

106

1

4

0

x dx

x x 1

∫

107

2

0

1

1 cosx sinxdx



 

∫

108

2 2

2

x dx

1 x

∫

109

2

1

x x dx

∫

110

2

1 dx

x x 1

∫

101

3

2

9 3x dx x



∫

112

1

5

1

(1 xx dx)

 

∫

113

2 2

3

1dx x x 

∫

114

2

0

cos cos2

x dx

x





∫

115

1

6

1

1 x dxx

 

∫

116

cos cos

x dx

x

 

∫

117 ∫

−1

dx

x2+2x+2 upload.123doc.net ∫0

1 dx

(9)

119 ∫1

x√x −1

x −5 dx 120.

8

1 1dx x x 

∫

121

7

3

0

x dx

x



∫

122

3

5

0 x x dx ∫

123

ln2 x

1 dx

e 2 ∫

124

7 3

1

3

x dx

x

 

∫

125

2

0

1 x x  dx ∫

126 ∫√5 2√3

dx

x√x2+4

II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Cơng thức tích phân phần :

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

b b

b a

a a

x d u x v x  v x u x dx

∫ ∫

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )

ax

ax f x cosax dx

e





 

 

 

∫

( ) '( )

sin sin

cos

ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax dx v cosax dx

e e

 

 

 

   

 



     

 

     

   

 

∫

@ Dạng 2:

( ) ln( )

f x ax dx





∫

Đặt

ln( )

( ) ( )

dx du

u ax x

dv f x dx v f x dx

  

 



 



  

 ∫

@ Dạng 3:

sin  

 

∫eax cosaxax dx





Ví dụ 1: tính tích phân sau

a/

1 2 0( 1)

x

x e dx x

∫

đặt

2

( 1)

x

u x e dx dv

x

   



 

 b/

3 2( 1)

x dx x 

∫

đặt

5

( 1)

u x x dx dv

x

   



 



c/

1 2 1

1

2 2 2 2

0 0

1

(1 ) (1 ) (1 )

dx x x dx x dx

dx I I

x x x x

 

    

   

∫ ∫ ∫ ∫

Tính I1

1 01

dx x

 

∫

(10)

Tính I2 =

1 2 0(1 )

x dx x



∫

phương pháp phần : đặt (1 2)

u x x dv dx

x

   



 



Bài tập

1

3

ln

e

x dx x

∫

2

ln

e

x xdx

∫

3

1

2

ln( 1)

x x  dx

∫

2

ln

e

x xdx

∫

3

ln

e

x dx x

∫

ln

e

x xdx

∫

1

2

ln( 1)

x x  dx

∫

2

ln

e

x xdx

∫

9

2

(x cosx)sinxdx





∫

10

1

( ) ln

e

x xdx

x



∫

11

2

ln(x x dx)

∫

12

3

2

4

tan

x xdx



 ∫

13

5

lnx dx x

∫

14

0

cos

x xdx



∫ 15

1

0

x

xe dx ∫

16

0

cos

x

e xdx



∫

Tính tích phân sau

1) ∫

0

x.e3xdx 2) ∫

0 π

(x −1)cosxdx 3) ∫ π

(2− x)sin xdx 4)

∫

0 π

(11)

5) ∫

1 e

xln xdx 6) ∫

1 e

(1− x2) lnx dx 7) ∫

1

4x lnx dx 8)

∫

0

x ln(3+x2

).dx 9) ∫

(x2+1).ex.dx 10)

∫

0 π

x cosx.dx 11)

∫

0 π

x2 cosx.dx 12) ∫ π

(x2+2x) sinx.dx

13) ln xdx x ∫ 14) 2

x cos xdx

 ∫ 15) x

e sin xdx ∫ 16) sin xdx  ∫ 17) e

x ln xdx ∫

18)

3

x sin xdx cos x   ∫ 19)

xsin x cos xdx

 ∫ 20)

x(2 cos x 1)dx

  ∫ 21) 2 ln(1 x)dx x  ∫ 22) 2x

(x 1) e dx

∫

23)

e

2

(x ln x) dx ∫ 24) cosx.ln(1 cosx)dx   ∫ 25) ln ( 1) e e x dx x ∫ 26) xtg xdx ∫ 27) ∫

(x −2)e2xdx

28)

∫

0

xln(1+x2 )dx

29) ∫

1 e

lnx

√x dx 30) ∫ π

(x+cos3x)sin xdx 31) ∫

(2x+7)ln(x+1)dx 32)

∫

2

ln(x2− x)dx

III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1 ∫

3

2x −1

x2−3x+2dx ∫a b

1

(x+a)(x+b)dx

3 ∫

0

x3+x+1

x+1 dx ∫0

1

x3+x+1 x2+1 dx

5

3x+1¿3 ¿ ¿ x2 ¿ ∫ ¿

x+3¿2 ¿

x+2¿2¿ ¿ ¿ ∫ ¿

7 ∫

1

1− x2008

x(1+x2008)dx ∫−1

2x3−6x2

+9x+9 x2−3x+2 dx

9

x2−1¿2 ¿ ¿ x4 ¿ ∫ ¿ 10

1+x2¿n ¿ ¿

x2n −3

¿ ∫

0

(12)

11 ∫

1

x2−3

x(x4+3x2+2)dx 12 ∫1

1 x(1+x4

)dx

13 ∫

0

1

4+x2dx 14 ∫0

1 x 1+x4dx

15 ∫

0

1

x2−2x+2dx 16

1+x2¿3 ¿ ¿

x

¿ ∫

0

¿

17 ∫

2

1

x3−2x2+x dx 18 ∫2

3x2+3x+3 x3−3x+2 dx

19 ∫

1

1− x2

1+x4 dx 20 ∫0

1 1+x3dx

21 ∫

0

x6

+x5+x4+2

x6+1 dx 22 ∫0

2− x4 1+x2 dx

23 ∫



1

0

1

dx x x

24

1

4 11

5 6

x

dx

x x



 

∫

25

1

0 1

dx x  x ∫

26

∫

2

x+2 x −1dx

27 ∫

0

(2x+x −12−3)dx 28 ∫−1

0

(2x −x −21−2x+1)dx

29 ∫

0

(3x+2x −1− x −1)dx 30 ∫0

x2

+2x+3

x+3 dx

31 ∫

−1

(x2+x+1

x −1 −2x+1)dx 32 ∫0

(2x2+x −2

x+1 − x+1)dx

33 ∫

0

dx

x2+4x+3

IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:

1 ∫

0 π

sin2xcos4xdx

∫

0 π

sin2xcos3xdx

3 ∫

0 π

sin4xcos5xdx ∫

0 π

(sin3x+cos3)dx

5 ∫

0 π

cos 2x(sin4x+cos4x)dx ∫ π

(13)

7 ∫

π π

1

sinx dx ∫

0 π

(sin10x+cos10x −cos4xsin4x)dx

9 ∫

0 π

dx

2−cosx 10 ∫0

π

1 2+sinxdx

11 ∫

0 π

sin3x

1+cos2xdx

12 ∫

π π

dx

sin4x cosx

13 ∫

0 π

dx sin2x

+2sinxcosx −cos2x

14 ∫

0 π

cosx

1+cosxdx

15 ∫

0 π

cosx

2−cosxdx 16 ∫0 π

sinx 2+sinxdx

17 ∫

0 π

cos3x

1+cosxdx

18 ∫

0 π

1

sinx+cosx+1 dx

19

1−cosx¿2 ¿ ¿

cos xdx

¿ ∫

π π

¿

20 ∫

−π π

sinx −cosx+1 sinx+2 cosx+3 dx

21 ∫

0 π

tg3xdx 22 ∫ π π

cotg3xdx

23 ∫

π π

tg4xdx 24.

∫

0 π

1 1+tgxdx

25 ∫

0 π

dx

cosxcos(x+π 4)

26 ∫

0 π

sinx+7 cosx+6 sinx+5 cosx+5dx

27 ∫

0 2π

√1+sinxdx 28 ∫

0 π

dx

2sinx+3 cosx+√13

29 ∫

0 π

4 sin3x

1+cos4xdx

30 ∫

0 π

1+cos 2x+sin 2x

sinx+cosx dx

31 ∫

0 π

sin 3x

1+cosxdx 32 ∫π

4 π

dx

(14)

33 ∫

0 π

sin3x cos2x dx

34

1+sin2x¿3dx

sin 2x¿ ∫

0 π

¿

35 ∫

0 π

|cosx|√sinxdx 36 ∫

π π 3

√sin3x −sinx sin3xtgx dx

37 ∫

0 π

dx

1+sinx+cosx

38 ∫

0 π

dx 2sinx+1

39 ∫

π π

cos3xsin5xdx

40 ∫

0 π

sin xdx 1+cos2x

41 ∫

0 π

dx sinx+3

2 ∫

π π

dx

sin4xcosx

43 ∫

π π

dx

sinxsin(x+π 6)

4 ∫

π π

dx

sinxcos(x+π 4)

45 ∫

π π

sin2xdx

cos6x 46

tgxtg(x+¿π

6)dx

∫

π π

¿

47

sinx+cosx¿3 ¿ ¿

4 sin xdx

¿ ∫

0 π

¿

48

2+sinx¿2 ¿ ¿

sin 2x

¿ ∫

−π

¿

49 ∫

0 π

sin√3 xdx 50 ∫

0 π

x2cos xdx

51 ∫

0 π

sin 2x.e2x+1dx 52

∫

0 π

1+sinx 1+cosxe

xdx

53 ∫

π π

sin 3xsin 4x

tgx+cotg2x dx 54 ∫

0 π

sin xdx

sin2x −5 sinx+6

55 ∫

1

cos(lnx)dx 56 ∫

π6 π3

ln(sinx) cos2x dx

57 ∫

0 π

(2x −1)cos2xdx 58 ∫ π

(15)

59 ∫

0 π

xtg2xdx 60 ∫

0 π

e2xsin2xdx

61 ∫

0 π

esin2

xsinxcos3xdx 62

∫

0 π

ln(1+tgx)dx

63

sinx+2cosx¿2 ¿ ¿

dx

¿ ∫

0 π

¿

64 ∫

0 π

(1−sinx)cosx (1+sinx)(2−cos2x)dx

65

2

sin sin



∫ x xdx



66

2

4

0

cos (sin cos )

∫ x x x dx



67

2 3

0

4sin cos

∫ x dx x



68 ∫

−π2 π

cos 5x.cos xdx

69 ∫

−π π

sin 7x sin xdx 70 ∫

0 π

sin x

2cos xdx

71 ∫

0 π

sin2xdx

V TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ:

∫

a b

R(x , f(x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: +) R(x, √a − x

a+x ) Đặt x = a cos2t, t [0; 2]

+) R(x, a2 x2 ) Đặt x = |a|sint hc x = |a|cost +) R(x, √nax+b

cx+d ) Đặt t = n

ax+b cx+d +) R(x, f(x)) =

(ax+b)√αx2+βx+γ Víi ( αx

+βx+γ )’ = k(ax+b) Khi đặt t = √αx2

+βx+γ , đặt t = ax+1b +) R(x, a2

+x2 ) Đặt x = |a|tgt , t [−π2; π2] +) R(x, √x2

−a2 ) §Ỉt x = |a| cosx , t

¿

[0; π] {π

(16)

+) R 

1 i

n n n

x; x; ; x

Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)

Đặt x = tk

1 ∫

√5 2√3

dx

x√x2+4

∫

2 √3 √2

dx x√x2−1 ∫

−12

dx

(2x+3)√4x2+12x+5

4 ∫

dx x√x3+1 ∫

1

√x2+2008 dx 6

∫

1

dx

√x2+2008 ∫

0

x2

√1+x2dx 8

1− x2

¿3 ¿ ¿

√¿ ∫

0

¿

9 ∫ √3

x2+1

x2√x2+1dx 10 ∫0 √2

√11+− xxdx 11

1+x2

¿3 ¿ ¿

√¿

dx

¿ ∫

0

¿

12

1− x2¿3 ¿ ¿

√¿

dx

¿ ∫

0 √2

2

¿

13 ∫

√1+x2dx 14 ∫

0 √2

2

x2dx

√1− x2 15 ∫

0 π

cos xdx

√7+cos2x

16 ∫ π

sinx√cosx −cos2xdx

17 ∫ π

cos xdx

√2+cos2x

18 ∫ π

sin 2x+sinx

√1+3 cosx dx

19 ∫ √7

x3dx

√1+x2 20 ∫0

3 x3

√10− x2dx 21 ∫

0

xdx

√2x+1 22 ∫0

1

x3dx x+√x2+1 23 ∫

2

dx

√2x+1+1 24 ∫0

1 x15

√1+3x8dx 25 ∫

0 π

6

√1−cos3xsinxcos5xdx 26 ∫ ln

dx

√ex+1 27 ∫

−1

dx

1+x+√x2+1

28 ∫ ln

e2xdx

(17)

29 ∫

√12x −4x2−8 dx 30. ∫ e

√1+3 lnxlnx

x dx

31 ∫ √3

x5+x3

√1+x2dx 32 ∫0

4

√x3−2x2+xdx 33 ∫

−1

x(e2x+√3x+1)dx 34 ∫

ln ln

ln2x

x√lnx+1dx

35 ∫

0 π

3 √cos 2x

cos2x +2√3 tgx

cos2x dx

36

ex+1¿3 ¿ ¿

√¿

exdx

¿ ∫

0 ln

¿

37 ∫ π

cos xdx

√2+cos2x

38 ∫ π

cos xdx

√1+cos2x 39 ∫

0

x+2

√x+3dx 40 ∫0

2a

√x2+a2dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:

∫

− a a

f(x)dx=∫ a

[f(x)+f(− x)]dx

VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 3π ;

3π

2 ] tháa m·n f(x) + f(-x) =

√2−2cos 2x ,

TÝnh: ∫ −32π 3π

2

f(x)dx +) TÝnh ∫

−1

x4+sinx 1+x2 dx

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: ∫

− a a

f(x)dx = VÝ dô: TÝnh: ∫

−1

ln(x+√1+x2)dx ∫ −π π

cosxln(x+√1+x2)dx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: ∫

− a a

f(x)dx =

∫

0 a

(18)

VÝ dô: TÝnh ∫

−1

|x|dx x4− x2+1

2

cos 4 sin 

 

∫x x dx x 



Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:

∫

− a a

f(x)

1+bxdx=∫ a

f(x)dx (1 b>0, ∀ a)

VÝ dô: TÝnh: ∫ −3

x2+1

1+2xdx ∫

−π

sinxsin3xcos 5x 1+ex dx

Bài toán 4: NÕu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π

2 ], th× ∫ π

f(sinx)=∫ π

f(cosx)dx

VÝ dô: TÝnh ∫ π

sin2009x

sin2009x+cos2009xdx ∫ π

√sinx

√sinx+√cosxdx

Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: ∫

0 π

xf(sinx)dx=π 2∫0

π

f(sinx)dx VÝ dô: TÝnh ∫

0 π

x

1+sinxdx 0

xsinx 2+cosxdx

Bài toán 6: ∫

a b

f(a+b − x)dx=∫ a b

f(x)dx ⇒ ∫ b

f(b − x)dx=∫ b

f(x)dx VÝ dô: TÝnh ∫

0 π

xsinx

1+cos2xdx ∫

0 π

sin 4xln(1+tgx)dx

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T th×:

∫ a a+T

f(x)dx=∫ T

f(x)dx ⇒

∫

0 nT

f(x)dx=n∫ T

f(x)dx

VÝ dô: TÝnh 2008

1cos 2xdx Các tập áp dông:

1 ∫ −1

√1− x2

1+2x dx ∫

−π π

x7− x5

+x3− x+1

cos4x dx

3 ∫ −1

dx

(1+ex)(1+x2

) ∫

−π π

x+cosx 4−sin2xdx

5 ∫ −1 2

cos 2xln(1− x

1+x )dx

sinx+nx sin(¿)dx

∫

0 2π

(19)

7 ∫ − π2 π2

sin5x

√1+cosxdx ∫1

e tga

xdx 1+x2+ ∫1

e cot ga

dx

x(1+x2)=1 (tga>0) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1 ∫

−3

|x2−1|dx ∫

0

|x2−4x+3|dx ∫

0

x|x − m|dx ∫

−π2 π

|sinx|dx

5 ∫ − π π

√1−sinxdx ∫

π π

√tg2x+cotg2x −2 dx

7 ∫ π 3π

4

|sin 2x|dx ∫

0 2π

√1+cosxdx ∫

−2

(|x+2|−|x −2|)dx 10 ∫

|2x−4|dx

11 ∫ −π π

cosx√cosx −cos3xdx 12 2)

4

x 3x 2dx



 

∫

13

5

3

( x x )dx



  

∫

14

2

1

x 2dx

x

 

∫

15

3 x

2  4dx ∫

16

1 cos2xdx

 

∫

17

2

0

1 sin xdx

 

∫

18 ∫0

|x2− x|dx

VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =

1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =

(20)

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2

Bài 1: Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình

phẳng giới hạn hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích

ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng

Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn

¿

x − x3 o ≤ x ≤1

y=0

¿y={ {

¿ Cã hai phÇn diƯn tÝch b»ng

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích

mỗi phần

Bài 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn

¿

y=x

+2 ax+3a2 1+a4 y=a

2 −ax 1+a4

¿{

¿

Tìm a để

diƯn tÝch lín nhÊt

Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau:

1) (H1):

2

2 x

y

4 x y

4



 

  

 



 2) (H2) :

2

y x 4x

y x

   

 

  

 3) (H3):

3x y

x y x

 

 

 

      

4) (H4):

2 y x

x y

   

 

 5) (H5):

y x y x

   

  

 6) (H6):

2

y x

x y

   



  



7) (H7):

ln x y

2 x y x e x

    

    

 

 8) (H8) :

2

y x 2x

y x 4x

  

 

 



 9) (H9):

2 3

y x x

2

y x



  

   



10) (H10):

2

y 2y x

x y

   



 

 11)

¿

(C):y=√x (d):y=2− x

(Ox)

¿{ {

¿

12)

¿

(C):y=ex (d):y=2 (Δ):x=1

¿{ {

¿

13)

¿

y2=2x+1 y=x −1

¿{

¿

14)

¿

y=−√4− x2

x2

+3y=0 ¿{

¿

15)

¿

y=√x x+y −2=0

y=0

¿{ {

(21)

16 ¿

y=x 2 y=

1+x2

¿{

¿

17

¿

y2=2x y=x , y=0, y=3

¿{

¿

18)

¿

y=lnx , y=0 x=1

e, x=e

¿{

¿

19

¿

y=

sin2x ; y= cos2x x=π

6 ; x= π

¿{

¿

20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tun cđa (p) ®i qua

M(5/6,6)

21)

¿

y=x2−4x+5 y=−2x+4 y=4x −11

¿{ {

¿

22)

¿

y=− x2+6x −5 y=− x2+4x −3

y=3x −15

¿{ {

¿

23) ¿

y=x y=1 x y=0 x=e

¿{ { {

¿

24)

¿

y=x2−1/❑

y=x/ +5

¿{

¿

25)

¿

y=−3x2− x/+2 y=0

¿{

¿

26)

¿

y=−3x2− x/+2 y=0

¿{

¿

27) ¿

y=x2+2 y=4− x

¿{

¿

28)

¿

y=x2−2x+2 y=x2+4x+5

y=1

¿{ {

¿

29)

¿

y=x2−1/

❑

y=− x2+7

¿{

¿

30)

¿

y=x3 y=0 x=−2; x=1

¿{ {

¿

31)

¿

y=sinx −2 cosx y=3 x=0; x=π

¿{{

¿

32)

¿

y=x+3+2 x y=0

¿{

¿

33)

¿

y=x2+2x y=x+2

¿{

¿

34)

¿

y=2x2−2x y=x2+3x −6

x=0; x=4

¿{ {

¿

35)

¿

y=x2−5x+6/❑

y=6

¿{

¿

36)

¿

y=2x2 y=x2−2x −1

y=2

¿{ {

¿

37)

¿

y=x2−3x+2/❑

y=2

¿{

¿

(22)

38)

¿

y=x2−5x+6 /❑

y=x+1

¿{

¿

39)

¿

y=x2−3x+2/❑

y=− x2

¿{

¿

40)

¿

y=x2−4x +3/❑

y=3

¿{

¿

41) ¿

y=eÏ y=e− x

x=1

¿{ {

¿

42)

¿

y= x

√x2− x6 x=0; x=1

¿{

¿

43)

¿

y=sin/x/❑

y=x/− π

¿{

¿

44)

¿

y=2x2 y=x2−4x −4

y=8

¿{ {

¿

45)

¿

y2=2x 2x+2y+1=0

y=0

¿{ {

¿

46)  

  

0

)

( 2

2



a

x a x y

47)

x+1¿2 ¿

x=sinπy ¿ ¿

y=¿

48)

¿

y2=x −1/❑

x=2

¿{

¿

49)

¿

x=y2−1/❑

x=2

¿{

¿

32)

y+1¿2 ¿

y=sinx

¿

x=0

¿

x=¿

33)

¿

y=√4−x2 y= x2

4√2

¿{

¿

34)

¿

x=0; x=

√2 y= x

√1− x4; y=0

¿{ {

¿

35)

¿

y=5x−2 y=0 x=0; y=3− x

¿{ {

¿

36)

¿

y2=6x x2

+y2=16

¿{

¿

37) ¿

y=x2 y=x2 27 y=27 x

¿{ {

¿

38)

4− x¿3 ¿

y2=4x ¿ ¿

y2 =¿

39)

¿

y=/logx/❑

y=0 x=

10 , x=10

¿{ {

¿

40) ¿

ax=y2 ay=x2

¿{

¿

(a>0) 41)

¿

y=x y=sin2x+x

0≤ x ≤ π

¿{ {

¿

42) y2

=2x x −1¿2

¿ ¿ ¿{ 27y2=8

¿

43) x2/25+y2/9 = vµ hai tiÕp

tuyÕn ®i qua A(0;15/4)

44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k

(23)

45)

¿

y=x3−2x2+4x −3 y=0

¿{

¿

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY

Cơng thức:

V=π∫

a b

[f(x)]2dx V=π∫ a b

[f(y)]2dy

Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x;y x;y 0  

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)  2 y = 4

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2;  22.

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường :

2 21 ;1 2 x

y y

x

 



Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + 4

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x12.e

x

2 ; y = ; x= ; x =

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e

a y0 b

) ( :

)

(C yf x

b a

x

b x

x y

O

b

a

x y

0



x

O

) ( : )

(C xf y

b y 

(24)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x √ln(1+x3

) ; y = ; x =

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox 1)

x −2¿2 ¿

y=4 ¿ ¿

y=¿

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

2)

¿

y=x2, y=4x2 y=4

¿{

¿

3)

¿

y= x2+1 y=0, x=0, x=1

¿{

¿

4)

¿

y=2x − x2 y=0

¿{

¿

5)

¿

y=x lnx y=0 x=1;x=e

¿{{

¿

quay quanh trôc a) 0x;

6) (D)

¿

y=x2 (x>0) y=−3x+10

y=1

¿{ {

¿

quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

7) ¿

y=x2 y=√x

¿{

¿

quay quanh trục a) 0x;

8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn elips (E): x2 +

y2

4 =1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

10)

¿

y=xeÏ y=0 x=1 ,;0≤ x ≤1

¿{ {

¿

(25)

11)

¿

y=√cos4x+sin4x y=0 x=π

2; x=π

¿{{

¿

quay quanh trôc 0x;

12)

¿

y=x2 y=10−3x

¿{

¿

quay quanh trục 0x;

13) Hình tròn tâm I(2;0) b¸n kÝnh R = quay quanh trơc a) 0x; b) 0y

14)

4 x −4 x=0; x=2

y=❑

❑

{

quay quanh trôc 0x;

15)

¿

y=√x −1 y=2 x=0; y=0

¿{ {

¿