Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.. 1..[r]
(1)I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm ngun hàm hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x +
x ĐS F(x) = x 3 −
3x2
2 +lnx+C
2 f(x) = 2x4+3
x2 ĐS F(x) = 2x3
3 −
x+C
3 f(x) = x −1
x2 ĐS F(x) = lnx +
x + C
4 f(x) = x
2 −1¿2
¿ ¿ ¿
ĐS F(x) = x3
3 −2x+ x+C
5 f(x) = √x+√3x+√4 x ĐS F(x) = 2x 3 +
3x 4 +
4x 5 +C
6 f(x) =
√x−
√x ĐS F(x) = 2√x −3
√x2+C
7 f(x) = √x −1¿
2
¿ ¿ ¿
ĐS F(x) = x −4√x+lnx+C
8 f(x) = x −3
√x ĐS F(x) = x
3− x23+C
9 f(x) = sin2x
2 ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+
1
4sin 2x+C
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
sin2x cos2x ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) = cos 2x
sin2x cos2x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = −1
3cos 3x+C
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = −1
5cos 5x −cosx+C
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = 2e
2x
− ex+C
18 f(x) = ex(2 + e− x
cos2x ¿ ĐS F(x) = 2e
x + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = 2ax lna+
3x
ln 3+C
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 3e
3x+1 +C
2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +
2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 2x −x3
(2)3 f’(x) = √x − x f(4) = ĐS f(x) = 8x√x
3 −
x2 −
40
4 f’(x) = x -
x2+2 f(1) = ĐS f(x) = x2
2 +
x+2x −
2
5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6 f’(x) = ax + b
x2, f '(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2 ĐS f(x) = x2
2 +
x+
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx
I = ∫f[u(x)].u'(x)dx=∫f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 ∫(5x −1)dx
3−2x¿5 ¿ ¿
dx
¿
∫¿
∫√5−2xdx ∫dx
√2x −1
2x2+1¿7xdx ¿ ∫¿
6 x3+5
¿4x2dx ¿ ∫¿
∫√x2+1 xdx ∫ x
x2+5dx
9 ∫ 3x
√5+2x3dx 10
1+√x¿2 ¿
√x¿
dx
¿ ∫¿
11 ∫ln
x
x dx 12 ∫x.e x2+1
dx
13 ∫sin
xcos xdx 14 ∫sinx
cos5x dx 15 ∫cotxdx 16
tan cos
xdx x
∫
17 ∫dx
sinx 18 ∫ dx
cosx 19 ∫tgxdx 20 ∫ e√x
√xdx 21 ∫ e
xdx
√ex−3 22 ∫ etgx
cos2x dx 23 ∫√1− x
2 dx 24 ∫dx
√4− x2 25 ∫x2
√1− x2 dx 26 ∫dx
1+x2 27 ∫ x
2 dx
(3)28 ∫dx x2+x+1
29 ∫cos3xsin2xdx 30 ∫x√x −1 dx 31 ∫dx
ex+1 32 ∫x
√x2+1 dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫u(x).v '(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx
Hay
∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 ∫x sin xdx ∫xcos xdx ∫(x2+5)sin xdx 4
∫(x2+2x+3)cos xdx
5 ∫xsin2 xdx ∫xcos2 xdx ∫x.exdx
∫ln xdx
9 ∫xln xdx 10 ∫ln2xdx 11 ∫ln xdx
√x 12
∫e√xdx
13 ∫ x
cos2x dx 14 ∫xtg
xdx 15 ∫sin√xdx 16 ∫ln(x2+1)dx
17 ∫ex cos xdx 18 ∫x3ex2dx 19 ∫xln(1+x2)dx 20
∫2xxdx
21 ∫xlg xdx 22 ∫2xln(1+x)dx 23 ∫ln(1+x)
x2 dx 24
∫x2cos xdx
TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
(x x 1)dx
∫
2
2
1
( )
e
x x dx x x
∫
3
1
2
x dx
∫
3
1
1
x dx
∫
3
(2sinx 3cosx x dx)
∫
5
0
(ex x dx)
∫
1
(x x x dx) ∫
1
( x1)(x x1)dx
∫
(4)8
2
3
1
(3sinx 2cosx )dx
x
∫
2
(ex x 1)dx
∫
10
2
2
1
(x x x x dx) ∫
11
1
( x1)(x x1)dx
∫
12
3
x dx
( )
∫
13
2 -1
x.dx x
∫
14
2
e
1
7x x dx x
∫
15 x
5
2
dx x2
∫
16
2
x dx
x x x
( ) ln
∫
17
2
3
x dx x
cos sin
∫
18
2
tgx dx x
cos
∫
19
1 x x
x x
0
e e
e e dx
∫
20
1 x
x x
0
e dx
e e
∫
21
2
dx 4x 8x ∫
22
x x
0
dx
e e
ln
∫
22
dx sinx
∫
24 ∫
−1
(2x2
+x+1)dx 25 ∫
(2x3− x −2
3)dx
26 ∫
−2
x(x −3)dx 27 ∫ −3
(x2−4)dx
28 ∫
1
(x12+
x3)dx 29 ∫1
x2−2x
x3 dx
30 ∫
1 e √e
dx
x 31 ∫1 16
√x dx
32 ∫
1 e2
2√x+5−7x
x dx 33 ∫1
(4x −
3√3x2)dx II PHƯƠNG PHÁP ĐỒI BIẾN:
3
3
sin xcos xdx
∫
2
2
3
sin xcos xdx
∫
3
0
sin
x dx cosx
∫
0
tgxdx
∫
(5)4 cotgxdx ∫
1 4sinxcosxdx
∫
x x dx
∫
x x dx
∫
x x dx
∫ x dx x ∫ 10
x x dx
∫ 11 1 1dx
x x
∫ 12 1x dx
∫ 13 1
2 2dx
x x ∫ 14 1dx x ∫ 15 2 (1 ) x dx
∫ 16 sin x e cosxdx ∫ 17 sin cosx e xdx ∫ 18 2 x
e xdx
∫
19
3
3
sin xcos xdx
∫ 20 sin x e cosxdx ∫ 21 sin cosx e xdx ∫ 22 2 x
e xdx
∫
23
2
3
3
sin xcos xdx
∫ 24 2 3
sin xcos xdx
∫ 25 sin x dx cosx ∫ 26 tgxdx ∫ 27 cotgxdx ∫ 28
1 4sinxcosxdx
∫ 29
x x dx
∫ 30
x x dx
∫ 31
x x dx
∫ 32 x dx x ∫ 33
x x dx
(6)34 1 1dx
x x
∫
35
1 ln e x dx x ∫
36
sin(ln )
e x
dx x
∫
37
1 3ln ln
e x x dx x ∫ 38 2ln 1
ee x
dx x ∫ 39 2 ln ln e e x dx x x ∫ 40 2 (1 ln )
e
e
dx cos x
∫
41
11
x dx x ∫ 42
0
x dx x ∫ 43 1
x x dx
∫ 44 1 dx
x x
∫ 45 1 dx
x x
∫ 46 1 x dx x ∫
46
1 ln e x dx x ∫
47
sin(ln ) e x dx x ∫
48
1 3ln ln
e x x dx x ∫ 49 2ln 1
ee x
dx x ∫ 50 2 ln ln e e x dx x x ∫ 51 2 (1 ln )
e
e
dx cos x
∫ 52 5 ∫x x dx 53
2
4
sin 1 cos
∫ x xdx
54
2
4 x dx ∫
55
2
4 x dx ∫ 56 1 dx x ∫
57 ∫
−1
e2x+3dx 58 ∫
0
e− xdx
59
1
3
x dx
(2x 1)
∫
60
1
0
x dx 2x 1
∫
61
1
0
x xdx
∫
62
1
4x 11 dx
x 5x
∫ 63
2x dx
x 4x
∫ 64 3 x dx
x 2x 1
∫
(7)65
6
6
0
(sin x cos x)dx
∫
66
3
0
4sin x dx cosx
∫
67
4
1 sin2xdx cos x
∫
68
2
cos 2xdx
∫
69
2
6
1 sin2x cos2xdx sin x cosx
∫
70
1 x
1 dx e 1
∫
71
cos4x −sin4x (¿)dx
∫
0 π
¿
72 ∫
0 π
cos2x
1+2sin 2xdx
73 ∫
0 π
sin 3x
2 cos 3x+1dx 74 ∫0 π
cosx
5−2 sinxdx
75 ∫
−2
2x+2
x2+2x −3dx 76 ∫−1
dx
x2+2x+5
77
2
3
0
cos xsin xdx
∫
78
2
cos xdx
∫
79
4
2
sin 4x dx cos x
∫
80
1
3
0
x x dx
∫
81
2
2
0
sin 2x(1 sin x) dx
∫
82
4
1 dx cos x
∫
83
e
1
1 ln xdx x
∫
84
4
0
1 dx cosx
∫
85
e
1
1 ln xdx x
∫
86
1
5
0
x (1 x ) dx
∫
87
6
2
cosx dx
6 5sin x sin x
∫
88
3
0
tg x dx cos2x ∫
89
4
0
cos sin
3 sin
x x dx
x
∫
90 ∫0 π
sin 2x
√cos2x
+4 sin2x
dx
(8)91 ∫
ln ln
dx ex
+2e− x−3 92
2+sinx¿2 ¿ ¿
sin 2x
¿ ∫
0 π
¿
93 ∫
π π
ln(tgx)
sin 2x dx 94 ∫
0 π
(1−tg8x)dx
95 ∫
π π
sinx −cosx
√1+sin 2x dx 96 ∫
0 π
sin 2x+sinx
√1+3 cosx dx
97 ∫
0 π
sin 2xcosx
1+cosx dx 98 ∫0 π
(esinx+cosx)cos xdx
99 ∫
1
x
1+√x −1dx 100 ∫1 e
√1+3 lnxlnx
x dx
101 ∫
0 π
1−2sin2x
1+sin 2x dx 102
1
2
1 x dx
∫
103
1
1 dx x
∫
104
1
2
1 dx
4 x
∫
105
1
1 dx
x x 1
∫
106
1
4
0
x dx
x x 1
∫
107
2
0
1
1 cosx sinxdx
∫
108
2 2
2
x dx
1 x
∫
109
2
2
1
x x dx
∫
110
2
2
1 dx
x x 1
∫
101
3
2
9 3x dx x
∫
112
1
5
1
(1 xx dx)
∫
113
2 2
3
1dx x x
∫
114
2
0
cos cos2
x dx
x
∫
115
1
6
1
1 x dxx
∫
116
cos cos
x dx
x
∫
117 ∫
−1
dx
x2+2x+2 upload.123doc.net ∫0
1 dx
(9)119 ∫1
x√x −1
x −5 dx 120.
8
1 1dx x x
∫
121
7
3
0
x dx
x
∫
122
3
5
0 x x dx ∫
123
ln2 x
1 dx
e 2 ∫
124
7 3
1
3
x dx
x
∫
125
2
2
0
1 x x dx ∫
126 ∫√5 2√3
dx
x√x2+4
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d u x v x v x u x dx
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax f x cosax dx
e
∫
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
∫
@ Dạng 2:
( ) ln( )
f x ax dx
∫
Đặt
ln( )
( ) ( )
dx du
u ax x
dv f x dx v f x dx
∫
@ Dạng 3:
sin
∫eax cosaxax dx
Ví dụ 1: tính tích phân sau
a/
1 2 0( 1)
x
x e dx x
∫
đặt
2
2
( 1)
x
u x e dx dv
x
b/
3 2( 1)
x dx x
∫
đặt
5
( 1)
u x x dx dv
x
c/
1 2 1
1
2 2 2 2
0 0
1
(1 ) (1 ) (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
∫ ∫ ∫ ∫
Tính I1
1 01
dx x
∫
(10)Tính I2 =
1 2 0(1 )
x dx x
∫
phương pháp phần : đặt (1 2)
u x x dv dx
x
Bài tập
1
3
ln
e
x dx x
∫
2
ln
e
x xdx
∫
3
1
2
ln( 1)
x x dx
∫
2
ln
e
x xdx
∫
3
ln
e
x dx x
∫
ln
e
x xdx
∫
1
2
ln( 1)
x x dx
∫
2
ln
e
x xdx
∫
9
2
(x cosx)sinxdx
∫
10
1
( ) ln
e
x xdx
x
∫
11
2
ln(x x dx)
∫
12
3
2
4
tan
x xdx
∫
13
5
lnx dx x
∫
14
0
cos
x xdx
∫ 15
1
0
x
xe dx ∫
16
0
cos
x
e xdx
∫
Tính tích phân sau
1) ∫
0
x.e3xdx 2) ∫
0 π
(x −1)cosxdx 3) ∫ π
(2− x)sin xdx 4)
∫
0 π
(11)5) ∫
1 e
xln xdx 6) ∫
1 e
(1− x2) lnx dx 7) ∫
1
4x lnx dx 8)
∫
0
x ln(3+x2
).dx 9) ∫
(x2+1).ex.dx 10)
∫
0 π
x cosx.dx 11)
∫
0 π
x2 cosx.dx 12) ∫ π
(x2+2x) sinx.dx
13) ln xdx x ∫ 14) 2
x cos xdx
∫ 15) x
e sin xdx ∫ 16) sin xdx ∫ 17) e
x ln xdx ∫
18)
3
x sin xdx cos x ∫ 19)
xsin x cos xdx
∫ 20)
x(2 cos x 1)dx
∫ 21) 2 ln(1 x)dx x ∫ 22) 2x
(x 1) e dx
∫
23)
e
2
(x ln x) dx ∫ 24) cosx.ln(1 cosx)dx ∫ 25) ln ( 1) e e x dx x ∫ 26) xtg xdx ∫ 27) ∫
(x −2)e2xdx
28)
∫
0
xln(1+x2 )dx
29) ∫
1 e
lnx
√x dx 30) ∫ π
(x+cos3x)sin xdx 31) ∫
(2x+7)ln(x+1)dx 32)
∫
2
ln(x2− x)dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫
3
2x −1
x2−3x+2dx ∫a b
1
(x+a)(x+b)dx
3 ∫
0
x3+x+1
x+1 dx ∫0
1
x3+x+1 x2+1 dx
5
3x+1¿3 ¿ ¿ x2 ¿ ∫ ¿
x+3¿2 ¿
x+2¿2¿ ¿ ¿ ∫ ¿
7 ∫
1
1− x2008
x(1+x2008)dx ∫−1
2x3−6x2
+9x+9 x2−3x+2 dx
9
x2−1¿2 ¿ ¿ x4 ¿ ∫ ¿ 10
1+x2¿n ¿ ¿
x2n −3
¿ ∫
0
(12)11 ∫
1
x2−3
x(x4+3x2+2)dx 12 ∫1
1 x(1+x4
)dx
13 ∫
0
1
4+x2dx 14 ∫0
1 x 1+x4dx
15 ∫
0
1
x2−2x+2dx 16
1+x2¿3 ¿ ¿
x
¿ ∫
0
¿
17 ∫
2
1
x3−2x2+x dx 18 ∫2
3x2+3x+3 x3−3x+2 dx
19 ∫
1
1− x2
1+x4 dx 20 ∫0
1 1+x3dx
21 ∫
0
x6
+x5+x4+2
x6+1 dx 22 ∫0
2− x4 1+x2 dx
23 ∫
1
0
1
dx x x
24
1
4 11
5 6
x
dx
x x
∫
25
1
0 1
dx x x ∫
26
∫
2
x+2 x −1dx
27 ∫
0
(2x+x −12−3)dx 28 ∫−1
0
(2x −x −21−2x+1)dx
29 ∫
0
(3x+2x −1− x −1)dx 30 ∫0
x2
+2x+3
x+3 dx
31 ∫
−1
(x2+x+1
x −1 −2x+1)dx 32 ∫0
(2x2+x −2
x+1 − x+1)dx
33 ∫
0
dx
x2+4x+3
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 ∫
0 π
sin2xcos4xdx
∫
0 π
sin2xcos3xdx
3 ∫
0 π
sin4xcos5xdx ∫
0 π
(sin3x+cos3)dx
5 ∫
0 π
cos 2x(sin4x+cos4x)dx ∫ π
(13)7 ∫
π π
1
sinx dx ∫
0 π
(sin10x+cos10x −cos4xsin4x)dx
9 ∫
0 π
dx
2−cosx 10 ∫0
π
1 2+sinxdx
11 ∫
0 π
sin3x
1+cos2xdx
12 ∫
π π
dx
sin4x cosx
13 ∫
0 π
dx sin2x
+2sinxcosx −cos2x
14 ∫
0 π
cosx
1+cosxdx
15 ∫
0 π
cosx
2−cosxdx 16 ∫0 π
sinx 2+sinxdx
17 ∫
0 π
cos3x
1+cosxdx
18 ∫
0 π
1
sinx+cosx+1 dx
19
1−cosx¿2 ¿ ¿
cos xdx
¿ ∫
π π
¿
20 ∫
−π π
sinx −cosx+1 sinx+2 cosx+3 dx
21 ∫
0 π
tg3xdx 22 ∫ π π
cotg3xdx
23 ∫
π π
tg4xdx 24.
∫
0 π
1 1+tgxdx
25 ∫
0 π
dx
cosxcos(x+π 4)
26 ∫
0 π
sinx+7 cosx+6 sinx+5 cosx+5dx
27 ∫
0 2π
√1+sinxdx 28 ∫
0 π
dx
2sinx+3 cosx+√13
29 ∫
0 π
4 sin3x
1+cos4xdx
30 ∫
0 π
1+cos 2x+sin 2x
sinx+cosx dx
31 ∫
0 π
sin 3x
1+cosxdx 32 ∫π
4 π
dx
(14)33 ∫
0 π
sin3x cos2x dx
34
1+sin2x¿3dx
sin 2x¿ ∫
0 π
¿
35 ∫
0 π
|cosx|√sinxdx 36 ∫
π π 3
√sin3x −sinx sin3xtgx dx
37 ∫
0 π
dx
1+sinx+cosx
38 ∫
0 π
dx 2sinx+1
39 ∫
π π
cos3xsin5xdx
40 ∫
0 π
sin xdx 1+cos2x
41 ∫
0 π
dx sinx+3
2 ∫
π π
dx
sin4xcosx
43 ∫
π π
dx
sinxsin(x+π 6)
4 ∫
π π
dx
sinxcos(x+π 4)
45 ∫
π π
sin2xdx
cos6x 46
tgxtg(x+¿π
6)dx
∫
π π
¿
47
sinx+cosx¿3 ¿ ¿
4 sin xdx
¿ ∫
0 π
¿
48
2+sinx¿2 ¿ ¿
sin 2x
¿ ∫
−π
¿
49 ∫
0 π
sin√3 xdx 50 ∫
0 π
x2cos xdx
51 ∫
0 π
sin 2x.e2x+1dx 52
∫
0 π
1+sinx 1+cosxe
xdx
53 ∫
π π
sin 3xsin 4x
tgx+cotg2x dx 54 ∫
0 π
sin xdx
sin2x −5 sinx+6
55 ∫
1
cos(lnx)dx 56 ∫
π6 π3
ln(sinx) cos2x dx
57 ∫
0 π
(2x −1)cos2xdx 58 ∫ π
(15)59 ∫
0 π
xtg2xdx 60 ∫
0 π
e2xsin2xdx
61 ∫
0 π
esin2
xsinxcos3xdx 62
∫
0 π
ln(1+tgx)dx
63
sinx+2cosx¿2 ¿ ¿
dx
¿ ∫
0 π
¿
64 ∫
0 π
(1−sinx)cosx (1+sinx)(2−cos2x)dx
65
2
2
sin sin
∫ x xdx
66
2
4
0
cos (sin cos )
∫ x x x dx
67
2 3
0
4sin cos
∫ x dx x
68 ∫
−π2 π
cos 5x.cos xdx
69 ∫
−π π
sin 7x sin xdx 70 ∫
0 π
sin x
2cos xdx
71 ∫
0 π
sin2xdx
V TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ:
∫
a b
R(x , f(x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: +) R(x, √a − x
a+x ) Đặt x = a cos2t, t [0; 2]
+) R(x, a2 x2 ) Đặt x = |a|sint hc x = |a|cost +) R(x, √nax+b
cx+d ) Đặt t = n
ax+b cx+d +) R(x, f(x)) =
(ax+b)√αx2+βx+γ Víi ( αx
+βx+γ )’ = k(ax+b) Khi đặt t = √αx2
+βx+γ , đặt t = ax+1b +) R(x, a2
+x2 ) Đặt x = |a|tgt , t [−π2; π2] +) R(x, √x2
−a2 ) §Ỉt x = |a| cosx , t
¿
[0; π] {π
(16)+) R
1 i
n n n
x; x; ; x
Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
1 ∫
√5 2√3
dx
x√x2+4
∫
2 √3 √2
dx x√x2−1 ∫
−12
dx
(2x+3)√4x2+12x+5
4 ∫
dx x√x3+1 ∫
1
√x2+2008 dx 6
∫
1
dx
√x2+2008 ∫
0
x2
√1+x2dx 8
1− x2
¿3 ¿ ¿
√¿ ∫
0
¿
9 ∫ √3
x2+1
x2√x2+1dx 10 ∫0 √2
√11+− xxdx 11
1+x2
¿3 ¿ ¿
√¿
dx
¿ ∫
0
¿
12
1− x2¿3 ¿ ¿
√¿
dx
¿ ∫
0 √2
2
¿
13 ∫
√1+x2dx 14 ∫
0 √2
2
x2dx
√1− x2 15 ∫
0 π
cos xdx
√7+cos2x
16 ∫ π
sinx√cosx −cos2xdx
17 ∫ π
cos xdx
√2+cos2x
18 ∫ π
sin 2x+sinx
√1+3 cosx dx
19 ∫ √7
x3dx
√1+x2 20 ∫0
3 x3
√10− x2dx 21 ∫
0
xdx
√2x+1 22 ∫0
1
x3dx x+√x2+1 23 ∫
2
dx
√2x+1+1 24 ∫0
1 x15
√1+3x8dx 25 ∫
0 π
6
√1−cos3xsinxcos5xdx 26 ∫ ln
dx
√ex+1 27 ∫
−1
dx
1+x+√x2+1
28 ∫ ln
e2xdx
(17)29 ∫
√12x −4x2−8 dx 30. ∫ e
√1+3 lnxlnx
x dx
31 ∫ √3
x5+x3
√1+x2dx 32 ∫0
4
√x3−2x2+xdx 33 ∫
−1
x(e2x+√3x+1)dx 34 ∫
ln ln
ln2x
x√lnx+1dx
35 ∫
0 π
3 √cos 2x
cos2x +2√3 tgx
cos2x dx
36
ex+1¿3 ¿ ¿
√¿
exdx
¿ ∫
0 ln
¿
37 ∫ π
cos xdx
√2+cos2x
38 ∫ π
cos xdx
√1+cos2x 39 ∫
0
x+2
√x+3dx 40 ∫0
2a
√x2+a2dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:
∫
− a a
f(x)dx=∫ a
[f(x)+f(− x)]dx
VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 3π ;
3π
2 ] tháa m·n f(x) + f(-x) =
√2−2cos 2x ,
TÝnh: ∫ −32π 3π
2
f(x)dx +) TÝnh ∫
−1
x4+sinx 1+x2 dx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: ∫
− a a
f(x)dx = VÝ dô: TÝnh: ∫
−1
ln(x+√1+x2)dx ∫ −π π
cosxln(x+√1+x2)dx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: ∫
− a a
f(x)dx =
∫
0 a
(18)VÝ dô: TÝnh ∫
−1
|x|dx x4− x2+1
2
2
cos 4 sin
∫x x dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:
∫
− a a
f(x)
1+bxdx=∫ a
f(x)dx (1 b>0, ∀ a)
VÝ dô: TÝnh: ∫ −3
x2+1
1+2xdx ∫
−π
sinxsin3xcos 5x 1+ex dx
Bài toán 4: NÕu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π
2 ], th× ∫ π
f(sinx)=∫ π
f(cosx)dx
VÝ dô: TÝnh ∫ π
sin2009x
sin2009x+cos2009xdx ∫ π
√sinx
√sinx+√cosxdx
Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: ∫
0 π
xf(sinx)dx=π 2∫0
π
f(sinx)dx VÝ dô: TÝnh ∫
0 π
x
1+sinxdx 0
xsinx 2+cosxdx
Bài toán 6: ∫
a b
f(a+b − x)dx=∫ a b
f(x)dx ⇒ ∫ b
f(b − x)dx=∫ b
f(x)dx VÝ dô: TÝnh ∫
0 π
xsinx
1+cos2xdx ∫
0 π
sin 4xln(1+tgx)dx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T th×:
∫ a a+T
f(x)dx=∫ T
f(x)dx ⇒
∫
0 nT
f(x)dx=n∫ T
f(x)dx
VÝ dô: TÝnh 2008
1cos 2xdx Các tập áp dông:
1 ∫ −1
√1− x2
1+2x dx ∫
−π π
x7− x5
+x3− x+1
cos4x dx
3 ∫ −1
dx
(1+ex)(1+x2
) ∫
−π π
x+cosx 4−sin2xdx
5 ∫ −1 2
cos 2xln(1− x
1+x )dx
sinx+nx sin(¿)dx
∫
0 2π
(19)7 ∫ − π2 π2
sin5x
√1+cosxdx ∫1
e tga
xdx 1+x2+ ∫1
e cot ga
dx
x(1+x2)=1 (tga>0) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−3
|x2−1|dx ∫
0
|x2−4x+3|dx ∫
0
x|x − m|dx ∫
−π2 π
|sinx|dx
5 ∫ − π π
√1−sinxdx ∫
π π
√tg2x+cotg2x −2 dx
7 ∫ π 3π
4
|sin 2x|dx ∫
0 2π
√1+cosxdx ∫
−2
(|x+2|−|x −2|)dx 10 ∫
|2x−4|dx
11 ∫ −π π
cosx√cosx −cos3xdx 12 2)
4
x 3x 2dx
∫
13
5
3
( x x )dx
∫
14
2
2
2
1
x 2dx
x
∫
15
3 x
2 4dx ∫
16
1 cos2xdx
∫
17
2
0
1 sin xdx
∫
18 ∫0
|x2− x|dx
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x
=
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x
=
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x
=
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =
(20)c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x
=
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích
ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng
Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn
¿
x − x3 o ≤ x ≤1
y=0
¿y={ {
¿ Cã hai phÇn diƯn tÝch b»ng
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích
mỗi phần
Bài 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn
¿
y=x
+2 ax+3a2 1+a4 y=a
2 −ax 1+a4
¿{
¿
Tìm a để
diƯn tÝch lín nhÊt
Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2 x
y
4 x y
4
2) (H2) :
2
y x 4x
y x
3) (H3):
3x y
x y x
4) (H4):
2 y x
x y
5) (H5):
y x y x
6) (H6):
2
y x
x y
7) (H7):
ln x y
2 x y x e x
8) (H8) :
2
y x 2x
y x 4x
9) (H9):
2 3
y x x
2
y x
10) (H10):
2
y 2y x
x y
11)
¿
(C):y=√x (d):y=2− x
(Ox)
¿{ {
¿
12)
¿
(C):y=ex (d):y=2 (Δ):x=1
¿{ {
¿
13)
¿
y2=2x+1 y=x −1
¿{
¿
14)
¿
y=−√4− x2
x2
+3y=0 ¿{
¿
15)
¿
y=√x x+y −2=0
y=0
¿{ {
(21)16 ¿
y=x 2 y=
1+x2
¿{
¿
17
¿
y2=2x y=x , y=0, y=3
¿{
¿
18)
¿
y=lnx , y=0 x=1
e, x=e
¿{
¿
19
¿
y=
sin2x ; y= cos2x x=π
6 ; x= π
¿{
¿
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tun cđa (p) ®i qua
M(5/6,6)
21)
¿
y=x2−4x+5 y=−2x+4 y=4x −11
¿{ {
¿
22)
¿
y=− x2+6x −5 y=− x2+4x −3
y=3x −15
¿{ {
¿
23) ¿
y=x y=1 x y=0 x=e
¿{ { {
¿
24)
¿
y=x2−1/❑
y=x/ +5
¿{
¿
25)
¿
y=−3x2− x/+2 y=0
¿{
¿
26)
¿
y=−3x2− x/+2 y=0
¿{
¿
27) ¿
y=x2+2 y=4− x
¿{
¿
28)
¿
y=x2−2x+2 y=x2+4x+5
y=1
¿{ {
¿
29)
¿
y=x2−1/
❑
y=− x2+7
¿{
¿
30)
¿
y=x3 y=0 x=−2; x=1
¿{ {
¿
31)
¿
y=sinx −2 cosx y=3 x=0; x=π
¿{{
¿
32)
¿
y=x+3+2 x y=0
¿{
¿
33)
¿
y=x2+2x y=x+2
¿{
¿
34)
¿
y=2x2−2x y=x2+3x −6
x=0; x=4
¿{ {
¿
35)
¿
y=x2−5x+6/❑
y=6
¿{
¿
36)
¿
y=2x2 y=x2−2x −1
y=2
¿{ {
¿
37)
¿
y=x2−3x+2/❑
y=2
¿{
¿
(22)38)
¿
y=x2−5x+6 /❑
y=x+1
¿{
¿
39)
¿
y=x2−3x+2/❑
y=− x2
¿{
¿
40)
¿
y=x2−4x +3/❑
y=3
¿{
¿
41) ¿
y=eÏ y=e− x
x=1
¿{ {
¿
42)
¿
y= x
√x2− x6 x=0; x=1
¿{
¿
43)
¿
y=sin/x/❑
y=x/− π
¿{
¿
44)
¿
y=2x2 y=x2−4x −4
y=8
¿{ {
¿
45)
¿
y2=2x 2x+2y+1=0
y=0
¿{ {
¿
46)
0
)
( 2
2
a
x a x y
47)
x+1¿2 ¿
x=sinπy ¿ ¿
y=¿
48)
¿
y2=x −1/❑
x=2
¿{
¿
49)
¿
x=y2−1/❑
x=2
¿{
¿
32)
y+1¿2 ¿
y=sinx
¿
x=0
¿
x=¿
33)
¿
y=√4−x2 y= x2
4√2
¿{
¿
34)
¿
x=0; x=
√2 y= x
√1− x4; y=0
¿{ {
¿
35)
¿
y=5x−2 y=0 x=0; y=3− x
¿{ {
¿
36)
¿
y2=6x x2
+y2=16
¿{
¿
37) ¿
y=x2 y=x2 27 y=27 x
¿{ {
¿
38)
4− x¿3 ¿
y2=4x ¿ ¿
y2 =¿
39)
¿
y=/logx/❑
y=0 x=
10 , x=10
¿{ {
¿
40) ¿
ax=y2 ay=x2
¿{
¿
(a>0) 41)
¿
y=x y=sin2x+x
0≤ x ≤ π
¿{ {
¿
42) y2
=2x x −1¿2
¿ ¿ ¿{ 27y2=8
¿
43) x2/25+y2/9 = vµ hai tiÕp
tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k
(23)45)
¿
y=x3−2x2+4x −3 y=0
¿{
¿
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
Cơng thức:
V=π∫
a b
[f(x)]2dx V=π∫ a b
[f(y)]2dy
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x;y x;y 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2) 2 y = 4
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2; 22.
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường :
2 21 ;1 2 x
y y
x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + 4
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x12.e
x
2 ; y = ; x= ; x =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e
a y0 b
) ( :
)
(C yf x
b a
x
b x
x y
O
b
a
x y
0
x
O
) ( : )
(C xf y
b y
(24)Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x √ln(1+x3
) ; y = ; x =
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox 1)
x −2¿2 ¿
y=4 ¿ ¿
y=¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)
¿
y=x2, y=4x2 y=4
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)
¿
y= x2+1 y=0, x=0, x=1
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
¿
y=2x − x2 y=0
¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
¿
y=x lnx y=0 x=1;x=e
¿{{
¿
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)
¿
y=x2 (x>0) y=−3x+10
y=1
¿{ {
¿
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7) ¿
y=x2 y=√x
¿{
¿
quay quanh trục a) 0x;
8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn elips (E): x2 +
y2
4 =1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)
¿
y=xeÏ y=0 x=1 ,;0≤ x ≤1
¿{ {
¿
(25)11)
¿
y=√cos4x+sin4x y=0 x=π
2; x=π
¿{{
¿
quay quanh trôc 0x;
12)
¿
y=x2 y=10−3x
¿{
¿
quay quanh trục 0x;
13) Hình tròn tâm I(2;0) b¸n kÝnh R = quay quanh trơc a) 0x; b) 0y
14)
4 x −4 x=0; x=2
y=❑
❑
{
quay quanh trôc 0x;
15)
¿
y=√x −1 y=2 x=0; y=0
¿{ {
¿