TAI LIEU ON THI TNTHPT MON TOAN

a) Định nghĩa: véctơ chỉ phương (vtcp) của một đường thẳng là véctơ khác véctơ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợ[r]

Ph n Ph nPh n

Ph n IIII KH O SÁT KH O SÁT KH O SÁT KH O SÁT HÀM SHÀM SHÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANHÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương vấn đề liên quan

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

1 Tập xác định: D =ℝ

2 Tính y′

3 Cho y′ =0 để tìm nghiệm x0 (nếu có)

4 Tính hai giới hạn: lim ; lim

x→−∞y x→+∞y

5 Vẽ bảng biến thiên hàm số

6 Nêu đồng biến, nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số

7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba)

8 Lập bảng giá trị

9 Vẽ đồ thị hàm số nêu nhận xét

3 2 ( 0)

y =ax +bx +cx+d a ≠

Số nghiệm phương

trình y′ =0 a >0 a <0

0

y′ = có nghiệm phân biệt

0

y′ = có nghiệm kép

0

y′ = vô nghiệm

4 2 ( 0)

y =ax +bx +c a ≠

Số nghiệm phương

trình y′ =0 a >0 a <0

0

y′ = có nghiệm phân biệt

0

y′ = có nghiệm

Đồ thị hàm số trùng phương đối xứng qua trục tung b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng – biết toạ độ tiếp điểm M0)

1 Chỉ rõ x0 y0 (hoành độ & tung độ điểm M0) Tính f x′( )0

3 Cơng thức: y−y0 = f x′( )(0 x−x0)

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng – biết trước hệ số góc k)

1 Lập luận để có f x′( )0 =k (*)

2 Thay y x′( )0 vào (*) để tìm x0

3 Có x0, tìm y0 dùng công thức

0 ( )(0 0)

y−y =f x′ x−x

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y =ax +b có hệ số góc k = a

Tiếp tuyến vng góc với y =ax+b a( ≠0) có hệ số

góc

a k = −

d) Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình dạng: f x( )=BT m( )

2 Lập luận: số nghiệm phương trình cho với số giao điểm đồ thị ( ) :C y =f x( ) đường thẳng d y: =BT m( )

Lưu ý: toán yêu cầu tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, nghiệm,… ta khơng cần lập bảng kết mà cần rõ trường hợp thoả đề

e) Sự tương giao đồ thị (C ):y = f(x) đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( )C d:

( )

f x =ax +b (*)

2 Lập luận: số giao điểm ( )C d bằng với số nghiệm (*)

3Đếm số nghiệm (*) suy số giao điểm ( )C d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Cho hàm số y =x3−6x2+9x+1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C giao điểm ( )C với

trục tung

c) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm nhất: x3−6x2 +9x+m=0

Bài giải

Câu a: Hàm số y =x3−6x2 +9x+1 Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ =3x2 −12x+9

Cho y′ = ⇔0 3x2−12x+ = ⇔ =9 0 x 1 x =3 Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = −∞ x→+∞y = +∞

Hàm số đồng biến khoảng (–∞;1) (3;+∞) Hàm số nghịch biến khoảng (1;3)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1; 5), điểm cực tiểu T(3;1)

Cho

6 12

y′′= x− y′′= ⇔ = ⇒ =x y Điểm uốn I(2; 3)

Bảng biến thiên:

(chú ý: a > 0) x −∞

+∞

y′ + – +

y +∞

–∞

m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…

Bảng giá trị: x

y 5

Đồ thị hàm số đường cong đối xứng qua điểm I(2; 3) hình vẽ bên đây:

Câu b: Cho x = ⇒0 y(0)=1

Giao điểm ( )C với trục tung là: A(0;1) (0)

f′ =

Phương trình tiếp tuyến ( )C A là:

1 9( 0)

y− = x− ⇔ =y x+

Câu c: Ta có, x3−6x2 +9x+m= ⇔0 x3−6x2 +9x = −m

3 6 9 1 1

x x x m

⇔ − + + = − (*)

Phương trình (*) có nghiệm đồ thị ( )C

đường thẳng d y: = −1 m cắt điểm

1

1

m m

m m

 − >  < −

 

⇔ ⇔

− < >

 

 

Bài 2: Cho hàm số y =3x2 −2x3

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C giao điểm ( )C

với trục hoành

c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 4x3 −6x2−3a =0 Bài giải

Câu a: Hàm số y =3x2−2x3 Tập xác định: D =

ℝ Đạo hàm: y′ =6x−6x2

Cho y′ = ⇔0 6x−6x2 = ⇔ =0 x 0 x =1 Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = +∞ x→+∞y = −∞

Hàm số đồng biến khoảng (0;1) Bảng biến thiên:

(chú ý: a < 0)

x −∞ +∞

y′ – + –

y +∞

Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) (1;+∞)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1;1), điểm cực tiểu O(0; 0)

Cho 1

2

6 12

y′′= − x y′′= ⇔ = ⇒ =x y Điểm uốn 1

2

( ; )

I

Bảng giá trị:x

2

−

2 1

y 1

2

Đồ thị hàm số đường cong đối xứng qua điểm 1

2

( ; )

I hình vẽ bên đây: Câu b: Cho y= ⇔0 3x2−2x3 =0

3

0

x x

 = 

⇔  =



Giao điểm ( )C với trục hoành là: O(0; 0)

2

( ; 0)

B

Tại O(0; 0): f′(0)=0, phương trình tiếp tuyến là: y=0

Tại

( ; 0)

B :

2

( )

f′ = − , phương trình tiếp tuyến là:

27

9

2 2

0 ( )

y− = − x− ⇔ = −y x+

Câu c: Ta có,

3 2 3

4x −6x −3a = ⇔0 6x −4x = −3a ⇔3x −2x

2a

= − (*)

Số nghiệm phương trình (*) với số giao điểm đồ thị ( )C

và đường thẳng

2

:

d y= − a

Do dựa vào đồ thị ( )C d ta có bảng kết số nghiệm phương trình cho sau đây:

a

2a

− Số giao điểm của

( )C d

Số nghiệm phương trình (*)

2

a < −

2a

− > 1

2

a = −

2a

− = 2

2

3 a

− < <

2

0< − a <1 3

0

a = −32a =0 2

0

a >

2a

Bài 3:a) Khảo sát vẽ đồ thị ( )C hàm số

3 3 3

2

x x x

y= + +

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng

2 :y x

∆ =

c) Tìm toạ độ giao điểm ( )C với đường thẳng

2 2

y= x+

Bài giải Câu a:

3 3 3

2

x x x

y = + + Tập xác định: D =ℝ

Đạo hàm

2

3

0,

x x

y′ = + + ≥ ∀ ∈x ℝ hàm số ln đồng

biến ℝ không đạt cực trị Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = −∞ x→+∞y = +∞ Bảng biến thiên:

1

3

y′′ = x+ = ⇔ = − ⇒ = −x y

Điểm uốn

( 1; )

I − −

Bảng giá trị:x −3 −2 −1

y

2

− −1

2

−

2

Đồ thị hàm số đường cong đối xứng qua điểm

( 1; )

I − −

Câu b: Tiếp tuyến ( )C song song với đường thẳng :y x

∆ = có hệ

số góc

0 2

( )

k=f x′ =

2

0

3

2

x + x +

⇔ =

2

2

0

0

0

3

2

x

x x

x

 =



⇔ + = ⇔  = −



Với x0 =0 y0 =y(0)=0, tiếp tuyến tương ứng

3

2

0 ( 0)

y− = x− ⇔ =y x (trùng với ∆)

x −∞ −1 +∞

y′ + +

y +∞

–∞

Với x0 = −2 y0= − = −y( 2) 1, tiếp tuyến tương ứng

3

2

1 ( 2)

y+ = x+ ⇔ =y x+ (song song với ∆)

Vậy, tiếp tuyến thoả đề

2

y= x+

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) ( )C

2 2

y= x+ nghiệm phương trình

3 3 3

2

x + x + x

= 2 3 3 3 4

2x+ ⇔x + x + x = x+

3 3 4 0 ( 1)( 4 4) 0

2

x

x x x x x

x

 = 

⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔  = −



2

1

x= ⇒ =y x = − ⇒ = −2 y

Vậy, ( )C

2

:

d y= x+ cắt điểm: ( )7

2

1;

A B( 2; 1)− −

Bài 4:a) Khảo sát vẽ đồ thị ( )C hàm số: y =x4−2x2−3

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C điểm ( )C

có hồnh độ x nghiệm phương trình f′′( )x =20

c) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nhiều hai nghiệm: 2 0

x − x +m=

Bài giải

Câu a:Hàm số y =x4−2x2 −3 Tập xác định: D =

ℝ

4

y′ = x − x Cho y′ = ⇔0 4x3 −4x = ⇔ =0 x 0;x = ±1

Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = +∞ x→+∞y = +∞ Bảng biến thiên:

x –∞ –1 +∞

y′ – + – +

y +∞ −3 +∞

–4 –4

Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(0; 3)−

và hai điểm cực tiểu T1( 1; 4), (1; 4)− − T2 −

Bảng giá trị:

x − –1

y –3 –4 –3 –4 –3

Đồ thị hàm số đường cong đối xứng qua trục tung hình vẽ

Câu b: Ta có, y′′ =12x2− =4 20⇔12x2 =24⇔x2 = ⇔ = ±2 x

Đáp số: y=4 2x−11 y= −4 2x−11 (học sinh tự giải)

Câu c: Ta có, x4−2x2+m= ⇔0 x4−2x2− = − −3 m 3 (*)

Phương trình (*) có nhiều nghiệm ( )C

:

d y = − −m cắt nhiều điểm (3 điểm)

3

0

3

m m

m

m m

 

− − ≤ −  ≥

 

⇔− − > − ⇔ < ⇔ ≤ <

 

 

 

Bài 5:a) Khảo sát vẽ đồ thị ( )C hàm số: y = − +x4 4x2−3

b) Dùng đồ thị ( )C biện luận số nghiệm pt sau: x4 −4x2 +m=0

Hướng dẫn giải đáp số Câu a: HS tự giải để có đồ thị:

Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 4 0 4 3 3

x − x +m= ⇔ − +x x − =m−

Từ số nghiệm phương trình cho với số giao điểm hai đường sau

4

( ) :C y = − +x 4x −3 d y: =m−3

Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng kết số nghiệm phương trình cho sau:

m m –3 của Số giao điểm ( )C d phương trình (*) Số nghiệm

m > m –3 > 0

m = m –3 = 2

0 < m < –3 < m –3 < 4

m = m –3 = –3 3

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Bài 6: Cho hàm số y =x3 – 3x+1 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C điểm thuộc ( )C có hồnh độ

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc

d) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

3 – 3 1 2 0

x x+ + m=

Bài 7: Cho hàm số 3

2 2

y = − x + x −

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C song song với đường thẳng d:

2

y = − x+

c) Tìm giá trị k để phương trình sau có nghiệm nhất: x3 −3x2− − =4 k 0

Bài 8: Cho hàm số y =2x3 +3x2−1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C giao điểm ( )C với trục hoành

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến song song với d y: =12x−1

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3 +3x2 +2m=0

Bài 9: Cho hàm số 3

3 2

y = − x + x − có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C điểm ( )C có hồnh độ x thoả y′′ =1

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )C d y: − =2

d) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

3

2e x −9e x +6m=0

Bài 10: Cho hàm số

3

y= x −x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt ( )C điểm ( )C có tung độ

c) Viết pttt ( )C song song với đường thẳng y =8x−3

Bài 11: Cho hàm số y =2x3−3x2−1 (*) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Tìm toạ độ giao điểm ( )C với đường thẳng d: y= − −x

c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình

3

4x −6x + −1 m=0

Bài 12: Cho hàm số y=x3−3x2 +2, m tham số

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt ( )C vng góc với đường thẳng d: 1

3

y = x−

c) Tìm giá trị a đường thẳng y=ax+2 cắt ( )C ba điểm phân biệt

Bài 13: Cho hàm số y= − +x3 3x2−2 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm A(0; –2)

c) Viết pttt ( )C biết tiếp tuyến song song với 9x−4y− =4

d) Biện luận theo m số giao điểm ( )C d y: =mx−2

Bài 14: Cho hàm số y=4x3 −3x−1, có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Tìm m để phương trình 4x3−3x− =1 m có nghiệm c) Viết pttt với ( )C giao điểm ( )C với trục hoành

d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với 72

:

d y = − x

Bài 15: Cho hàm số y=2x3−6x2 +6x−2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )C , Ox ,x =1,x =2

Bài 16: Cho hàm số y=x2(2−x2)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C điểm ( )C có hồnh độ −

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc 24

d) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm

4 2 0

Bài 17: Cho hàm số y=x4 +2x2−3

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt ( )C điểm ( )C có tung độ

c) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm:

4 2 3 2 0

x + x + + m=

Bài 18: Cho hàm số

y= x4−3x2 +

2 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc –8

c) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x4−6x2 +logm =0 Bài 19: Cho hàm số y= −(1 x2 2) −6 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x4−2x2 =m c) Viết pttt ( )C biết tiếp tuyến vng góc với

24

:

d y= − x

Bài 20: Cho hàm số

4

y= − x4 +2x2 −1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Tìm m để phương trình x4−8x2 + =4 m có nhiều nghiệm c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C điểm ( )C

có hồnh độ nghiệm phương trình y x′′( )=10

Bài 21: Cho hàm số

y= x4−2x2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt ( )C song song với d1:y =15x+2012

c) Viết pttt ( )C vng góc với d2 :

45 2012

y = − x +

d) Tìm m để phương trình − +x4 8x2 =m có nghiệm phân biệt Bài 22: Cho hàm số y=x4−mx2 −(m+1) có đồ thị (Cm)

a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểmM( 1; 4)−

b) Khảo sát vẽ đồ thị ( )C hàm số m= −2

c) Gọi ( )H hình phẳng giới hạn ( )C trục hồnh Tính thể

2 Hàm số biến vấn đề liên quan

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (c≠0,ad−cb≠0)

ax b

y

cx d

+ =

+ Tập xác định: \{ }d

c

D =ℝ −

2 Tính

2

( )

ad cb

y

cx d

− ′ =

+ khẳng định y′ dương hay âm,

d c x

∀ ≠ − 3Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng xác định ( ; d),( d; )

c c

−∞ − − +∞ không đạt cực trị

4 Tính giới hạn tìm hai tiệm cận: Tính lim

x

a y

c

→−∞ = xlim a y

c

→+∞ = , suy

a y

c

= TCN Tính

( )

lim

d c

x

y

−

→ −

( )

lim

d c

x

y

+

→ −

, suy x d c

= − TCĐ

5 Vẽ bảng biến thiên hàm số

6 Lập bảng giá trị.

7Vẽ đồ thị hàm số (có tiệm cận) nêu nhận xét

( 0, 0)

ax b

y c ad cb

cx d

+

= ≠ − ≠

+

0

y′ > y′ <0

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng – biết toạ độ tiếp điểm M0) Chỉ rõ x0 y0 (hoành độ & tung độ điểm M0)

2 Tính f x′( )0

3 Cơng thức: y−y0 = f x′( )(0 x−x0)

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng – biết trước hệ số góc k)

1 Lập luận để có f x′( )0 =k (*)

2 Thay y x′( )0 vào (*) để tìm x0

3 Có x0, tìm y0và dùng công thức y−y0 =f x′( )(0 x−x0)

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y =ax +b có hệ số góc k = a

Tiếp tuyến vng góc với y =ax+b a( ≠0) có hệ số

góc

a k = −

d) Sự tương giao đồ thị (C ):y = f(x) đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( )C d:

( )

f x =ax +b (*)

2 Lập luận: số giao điểm ( )C d bằng với số nghiệm (*)

3 Đếm số nghiệm (*) suy số giao điểm ( )C d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23: Cho hàm số

1

x y

x

+ =

+

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm ( )C có tung

độ

c) Chứng minh đường thẳng d y: = −2x+m cắt đồ thị ( )C điểm phân biệt

Bài giải

Câu a: Hàm số

1

x y

x

+ =

+ Tập xác định:D =ℝ\ { 1}−

Đạo hàm:

2

1

0,

( 1)

y x

x

′ = > ∀ ≠ −

+ , hàm số đồng biến

Giới hạn tiệm cận:

lim ; lim

x x

y y

→−∞ = →+∞ = ⇒y = tiệm cận ngang

( 1) ( 1)

lim ; lim

x x

y y

− +

→ − → −

= +∞ = −∞ ⇒ x = −1 tiệm cận đứng

Bảng biến thiên:

x −∞ −1 +∞

y′ + +

y +∞

2

2

−∞

Bảng giá trị:

x –2

2

− –1

2

y

Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng qua điểm I( 1;2)− hình vẽ

Câu b: Với

2

y = 2(2 1) 5( 1)

1

x

x x x

x

+ = ⇔ + = + ⇔ = −

+

Ta có 2

4 ( 2)

( 3)

f

−

′ − = =

Vậy, tiếp tuyến ( )C

2

( 3; )

M − là:

5 1 13

2 4( 3) 4

y− = x+ ⇔ =y x+

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) ( )C d là nghiệm phương trình

2

2 ( )( 1)

1

x

x m x x m x

x

+ = − + ⇔ + = − + +

+ , x ≠ −1

2

2x (4 m x) m

⇔ + − + − = (*) (x = −1 không thoả (*))

Biệt thức phương trình (*):

2 4 12 ( 2)2 8 0,

m m m m

∆ = − + = − + > ∀ ∈ℝ

Do ∆ >0 nên (*) ln có nghiệm phân biệt, từ ( )C d

ln có điểm chung phân biệt

Bài 24:a) Khảo sát vẽ đồ thị ( )C hàm số

2

x y

x

− =

−

b) Viết pttt ( )C biết tiếp tuyến song song với d y: = −x

c) Tìm giá trị m để đường thẳng d y: = − +x m cắt đồ thị

Câu a: Hàm số 3

2

x x

y

x x

− −

= =

− − + Tập xác định:D =ℝ\ {2}

Đạo hàm:

2

1

0, (2 )

y x

x

−

′ = < ∀ ≠

− , hàm số nghịch biến

khoảng (−∞;2), (2;+∞) không đạt cực trị Giới hạn tiệm cận:

lim ; lim

x→−∞y = − x→+∞y = − ⇒y= −1 tiệm cận ngang

2

lim ; lim

x x

y y

− +

→ = −∞ → = +∞ ⇒

2

x = tiệm cận đứng

Bảng biến thiên:

x −∞ +∞

y′ − −

y −1

−∞ +∞ −1

Bảng giá trị:

x

y

2

− –2

2 −

Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng qua điểm I(2; 1)− hình vẽ

Câu b: Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −x nên có hệ số góc k= f x′( )0 = −1

2

1

1 (2 x )

−

⇔ = −

−

2

(2 x )

⇔ − = 0

0

2 1

2

x x

x x

 − =  =

 

⇔ ⇔

− = − =

 

 

Đáp số:có tiếp tuyến thoả đề y = − −x y = − +x

Câu c: Phương trình hồnh độ giao điểm ( )C d:

3

x

x m

x

− = − +

−

2 ( 3) 2 3 0

x m x m

⇔ − + + + = (*)

( )C d cắt điểm phân biệt phương

trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔0 m2−2m− >3 0

( ; 1) (3; )

m

⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Vậy với m∈ −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) đồ thị ( )C đường thẳng

:

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Bài 25: Cho hàm số

1

x y

x

+ =

−

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc –3

c) Viết pttt với ( )C điểm ( )C có tung độ

2

d) Tìm m để d y: =m x( + +1) cắt ( )C điểm phân biệt

Bài 26: Cho hàm số

1

x y

x

+ =

+

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )H hàm số

b) Lập phương trình tiếp tuyến ( )H biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ

c) Viết pttt với ( )H điểm ( )H có hồnh độ −3 d) Tìm m để đường thẳng y =mx+1 cắt ( )C điểm phân biệt

Bài 27: Cho hàm số

2

x y

x

− =

−

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc

4 −

c) Chứng minh với giá trị tham số m đường thẳng y= −x m cắt đồ thị ( )C hai điểm phân biệt

Bài 28: Cho hàm số

1

y

x

= +

−

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với đồ thị ( )C giao điểm ( )C với trục hồnh

c) Tìm m để đường thẳng d y: =m−x cắt ( )C điểm phân biệt

Bài 29: Cho hàm số

3

x y

x

+ =

− có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C điểm ( )C có hồnh độ

c) Viết pttt với ( )C điểm ( )C có tung độ

2 − d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc

Bài 30: Cho hàm số

1

y x

=

+ có đồ thị ( )C

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C giao điểm

của ( )C với đường thẳng d y: =2x−1

c) Tìm giá trị lớn hàm số đoạn [0;2]

d) Viết pttt ( )C biết tiếp tuyến song song với

2

y = − x+

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )C trục hoành hai

đường thẳng x = 0, x =

Bài 31: Cho hàm số

1

x y

x

− =

+ có đồ thị ( )C a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm điểm M trục hồnh mà tiếp tuyến ( )C qua điểm M song song với đường thẳng d : y = –2x

Bài 32: Cho hàm số

1

x y

x

− =

+

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C giao điểm ( )C với d y: =2x−3

c) Viết pttt ( )C vng góc với đường thẳng

2 2012

y= x+

d) Tìm m để đường thẳng d:y =mx +2 cắt hai nhánh ( )C

Bài 33: Cho hàm số

1

x y

x

− =

−

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )C , Ox và x =2

c) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng

3

y= − +x đồng thời tiếp xúc với đồ thị ( )C

Bài 34: Cho hàm số

1

x y

x

+ =

−

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

b) Viết pttt với ( )C giao điểm ( )C với trục tung

c) Viết pttt với ( )C giao điểm ( )C với d y: = −2x−4

d) Tìm a để đường thẳng ∆ =:y ax +3 đồ thị ( )C không giao

3 Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) đoạn [a;b] 1Hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [a;b]

2 Tính y′=f x′( )

3 Cho y′ =0 để tìm nghiệm xi ∈[ ; ]a b (nếu có) số

xj ∈[ ; ]a b làm cho y′ không xác định (nhớ loại số xl ∉[ ; ]a b )

4 Tính giá trị f x( )i , f x( )j f a f b( ), ( )

(khơng tính f của xl bị loại)

5Chọn kết lớn kết nhỏ từ bước để kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [a;b]

4 Điều kiện để hàm số có cực trị (tóm tắt)

Nếu

0

( ) ( )

f x f x

 ′

 =

 ′′

 <

 hàm số y= f x( ) đạt cực đại x0

Nếu 0

( ) ( )

f x

f x

 ′

 =

 ′′

 >

 hàm số y=f x( ) đạt cực tiểu x0

Hàm số y =ax3 +bx2 +cx+d có cực đại, cực tiểu 0 y′

⇔ ∆ >

Hàm số y=ax4 +bx2 +c có cực đại, cực tiểu ⇔a b. <0

5 Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng xác định

Hàm số y =ax3 +bx2 +cx+d đồng biến ℝ

0 0,

0

y

y x

a

′ ∆ ≤  ′

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔  >

 ℝ

Hàm số y=ax3 +bx2 +cx +d nghịch biến ℝ

0 0,

0

y

y x

a

′ ∆ ≤  ′

⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔  <

 ℝ Hàm số y ax b

cx d

+ =

+ đồng biến khoảng xác định

0,

y′ x D ad cb

⇔ > ∀ ∈ ⇔ − > (khơng có dấu “=”)

Hàm số y ax b

cx d

+ =

+ nghịch biến khoảng xác định

0,

y′ x D ad cb

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 35: Tìm giá trị lớn giá nhị nhỏ hàm số: a) y=x3−8x2 +16x−9 đoạn [1;3]

b) y =x2−4 ln(1−x) đoạn [–3;0] c) y =2 ln3x−3 ln2x−2 đoạn [1; ]e2 d) y =e xx( 2− −x 1) đoạn [0;2]

Bài giải

Câu a: Hàm số y =x3−8x2 +16x−9 liên tục đoạn [1;3] Đạo hàm: y′ =3x2 −16x+16

Cho y′ = ⇔0 3x2−16x+16=0 loại

nhaän

3

4 [1; 3] ( ) [1; 3] ( )

x x

 = ∉ 

⇔  = ∈



Trên đoạn [1;3] ta có: ( )4 13 ; ;

3 27 (1) (3)

f = f = f = −

Do 13

27

6

− < < nên [1;3]

min (3)

x∈ y= f = − maxx∈[1;3]y ( )

4 13 27

f

= =

Câu b: Hàm số y =x2−4 ln(1−x) liên tục đoạn [–3;0]

4 2

2

1

x x

y x

x x

− + +

′ = + =

− −

Cho (nhaän)

(loại)

2 [ 3; 0]

0 2

2 [ 3; 0]

x

y x x

x

 = − ∈ − 

′ = ⇔ − + + = ⇔  = ∉ −



Trên đoạn [–2;0]: f( 1)− = −1 ln ; f( 3)− = −9 ln ; f(0)=0

Do

16

1−4 ln 2=ln e <0

2

9−8 ln 2= +1 lne >0 nên [ 3;0]

min ( 1) ln

x∈ − y = − = −f xmax∈ −[ 3;0]y= − = −f( 3) ln

Câu c: Hàm số 2 ln3 3 ln2 2

y= x− x− liên tục đoạn [1; ]e2

Đặt t =lnx x ∈[1; ]e2 ⇔ ∈t [0;2], hàm số trở thành

3

( )

y=g t = t − t − có ( ) 6 0 [0;2] [0;2]

t

g t t t

t

 = ∈ 

′ = − = ⇔  = ∈



Trên đoạn [0;2]: g(0)= −2 ; (1) g = −3 ; (2) g =2

Do − < − <3 2 nên

2

[1; ]

min (1)

x e

y g

∈ = = −

2

[1; ]

max (2)

x e

y g

Câu d: Đáp số: [0;2]

miny =f(1)= −e [0;2]

maxy =f(2)=e

Bài 36: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y =x3 +mx2+4x+3 a) Đồng biến ℝ b) Có cực đại cực tiểu

Bài giải Câu a: y=x3 +mx2 +4x+3 (*)

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y′ =3x2 +2mx+4 có 12 y′′ m

∆ = −

Hàm số (*) đồng biến ℝ⇔y′≥ ∀ ∈0, x ℝ

3 0

2

0 12

y a

m m

′



 

 >  >

 

⇔∆ ≤′ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

 

 

Vậy, với m∈ − ;2 3

  hàm số (*) đồng biến ℝ Câu b: Hàm số (*) có cực đại cực tiểu ⇔y′=0 có nghiệm phân

biệt 0 12 0 ( ; 3) (2 3; )

y′′ m m

⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Vậy với m∈ −∞ −( ; 3) (2 3;∪ +∞) hàm số (*) có cực đại cực tiểu

Bài 37: Tìm điều kiện m để hàm số y=x3−3mx2 +(m2−1)x+2 đạt cực đại x0 =2

Bài giải Câu a: y =x3−3mx2 +(m2 −1)x+2 (*)

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y′=f x′( )=3x2 −6mx+(m2−1)

( ) 6

y′′=f′′x = x− m

Hàm số (*) đạt cực đại x0 =2

2

(2) 12 11 {1;11}

11

(2) 12

f m m m

m

f m m



 ′  

 =  − + =  ∈

 ⇔ ⇔ ⇔ =

 ′′  

 <  − <  >

  

 

  

Bài 38: Chứng minh sin x x y

e

= y′′+2y′+2y =0

Bài giải Hàm số sin x sin

x x

y e x

e

−

= = có tập xác định D =ℝ

( x) sin x.(sin ) x(cos sin )

y′= e− ′ x+e− x ′=e− x− x

( x) (cos sin ) x(cos sin ) x cos

y′′= e− ′ x− x +e− x− x ′= − e x

2 2 xcos x(cos sin ) xsin

y′′+ y′+ y = − e− x+ e− x− x + e− x =

Vậy, với x sin

y =e− x y′′+2y′+2y =0

BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau a) f x( )=2x3−3x2−12x+10trên đoạn [ 2; 0]−

b) f x( )=x5−5x4 +5x3 +1 đoạn [–1;2] c) f x( )=x4 −2x3 +x2−1 trên đoạn [–1;1] d) f x( )=x5−5x3 +10x−1 trên đoạn [–2;4] e) f x( )= 25−x2 đoạn [–3;4]

f) f x( )=2x+ 5−x2 trên tập xác định

g) ( )

2

f x x

x

= − + −

+ đoạn [–1;2] h) f x( )=3 sinx−2 sin3x +1 đoạn [0; ]π i) f x( )=cos 2x−sinx+3

j) f x( )=2 sinx+sin 2x đoạn [ ]

2

0; π

Bài 40: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau đây:

a) ( ) x x

f x =e +e − đoạn [ 1;2]− b) f x( )=(x−1)2e−x đoạn [0;2]

c) ( ) ( 1) x

f x = x − −x e− đoạn [ 1;1]− d) f x( )=2xex −2x−x2 trên đoạn [0;1]

e) ( ) 2( 2) x 2

f) f x( )=x2−ln(1−2 )x trên đoạn [ 2; 0]−

g) ( ) 2 4 ln

f x =x − x− x đoạn [1;2]

h) f x( )= −x ln(x2 +1) đoạn [0;2] i) f x( )=xlnx−2x+2 đoạn [1; ]e2

j) f x( )=2x2lnx−3x2 trên đoạn [1;2 ]e k) f x( ) ln2x

x

= đoạn [1;e3] l) f x( ) lnx

x

= đoạn

[ e;e2]

Bài 41: Tìm giá trị tham số m để hàm số sau đồng biến a) y=x3−mx2 +(m+6)x−2

b) y =x3 −2(m−1)x2 +(2m2−m+2)x+m−3

Bài 42: Tìm giá trị tham số a để hàm số sau nghịch biến

a) y= − +x3 (a+1)x2−(2a+1)x−3 b)

5

ax a

y

x a

+ − =

− + Bài 43: Tìm giá trị m để hàm số sau có cực đại cực tiểu

a) y=x3 +2(m−1)x2+(m2−3m+2)x+2 b)

2 2 4

2

x mx m

y

x

+ − −

=

+

c) y =(m−1)x4 −2mx2 −3

Bài 44: Tìm giá trị tham số m để hàm số:

a) y=2x3 +(m+1)x2+(m2−4)x−m+1 đạt cực đại

0

x =

b) y =(2m2−1)x3−mx2 +(2m+3)x−2 đạt cực tiểu

0

x = −

c)

3

m

y = − x3 +mx+1 đạt cực tiểu x0 =2

d)

2

y = x4 −mx2 +n đạt cực tiểu −2 x0 =1

Bài 45: Chứng minh

a) Nếu x(cos sin )

y=e x+ x y′′−2y′+5y=0

b) Nếu y =e4x +2e−x y′′′−13y′=12y

c) Nếu y lnx x

Ph n Ph nPh n

Ph n II.II PHII.II.PHPHPH NG TRÌNH NG TRÌNH NG TRÌNH NG TRÌNH B T PHB T PHB T PHB T PH NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! &&& LƠGARIT&LƠGARITLƠGARITLƠGARIT

1 Phương trình mũ (đơn giản)

Các tính chất luỹ thừa cần lưu ý: với a >0,b>0 m n, ∈ℝ ta có

( )

1

n

m n m n m mn

m m

n

m n m n

n

n n

n n

a a a a a

a

a a a

a

a a

a a

+ − −

−

= =

= =

= =

i i

i i

i i

( )

( ) ( )

( )

n n

n n n

n

a a

b b

n n

a b

b a

ab a b

−

= = = i

i i a) Phương trình mũ bản: với a >0 a ≠1, ta có

x

a =b vơ nghiệm b ≤0 log

x

a

a = ⇔ =b x b b>0

b) Phương pháp đưa số: với a >0 a ≠1, ta có

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

a =a ⇔f x =g x

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ: Phương pháp giải chung:

0 Biến đổi phương trình theo f x( )

a , chẳng hạn:

2 ( ) ( )

f x f x

m a +n a + =p

( ) ( )

f x f x

a

m a +n + =p

1 Đặt t =af x( ) (kèm điều kiện cho t) thay vào phương trình

2 Giải phương trình theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Đối chiếu nghiệm t0 tìm với điều kiện bước tìm x

Lưu ý 1: gặp dạng m a f x( )+n a −f x( )+ =p 0, ta dùng biến đổi

( ) ( )

f x

f x a

a− =

Lưu ý 2: gặp dạng m a. ( )f x +n ab.( )f x( )+p b. ( )f x =0, ta chia vế phương trình cho ( )f x

b

d) Phương pháp lơgarit hố: với 0< ≠a 0< ≠b 1, ta có

( ) ( ) log ( ) log ( )

f x g x f x g x

a a

a =b ⇔ a  = b 

2 Phương trình lơgarit (đơn giản)

Phương pháp chung: Đặt điều kiện xác định phương trình Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có) Đối chiếu x tìm với điều kiện để kết luận Các cơng thức quy tắc tính lơgarit: với 0< ≠a b > 0, α≠0:

log 1a =0 log (n ) log

m m

a

a b = n ⋅ b (n ≠0)

log ( )a aα =α log (a m n )=logam+logan (m n, >0)

logab

a =b log ( )m log log

a n = am− an (m n, >0)

log ( )a bα =α logab log log

log c

c

b

ab= a (0< ≠c 1)

1

log loga

aαb= ⋅α b

1 log

log

b

ab= a (b≠1)

a) Phương trình lơgarit bản: với a >0 a ≠1, ta có logax = ⇔ =b x ab

b) Phương pháp đưa số: với a >0 a ≠1, ta có

loga f x( )=logag x( )⇔f x( )=g x( ) (kèm điều kiện f x( )>0) loga f x( )= ⇔b f x( )=ab

Lưu ý: Nếu có f x( )>0 loga f x( )2n =2 logn a f x( )

Nếu có f x( )≠0 logaf x( )2n =2 logn a f x( )

Biến đổi sau rất dễsai sót(khơng nên sử dụng): Đưa α ngoài: loga f x( )α thành α loga f x( )

Tách logaf x g x( ) ( ) thành loga f x( )+logag x( )

Tách ( )

( )

loga g xf x 

  thành loga f x( )−logag x( )

(chỉ dùng biến đổi f x( )>0, ( )g x >0)

Nên dùng biến đổi đây:

Đưa α vào trong: α loga f x( ) thành logaf x( )α

Nhập loga f x( )+logag x( ) thành loga f x g x( ) ( )

Nhập loga f x( )−logag x( ) thành ( )

( )

loga g xf x 

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:

0 Biến đổi phương trình theo loga f x( ), chẳng hạn:

2

loga ( ) loga ( )

m f x +n f x + =p

1 Đặt t =loga f x( ) thay vào phương trình

2 Giải phương trình theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Từ t =t0 ta giải phương trình lơgarit tìm x

d) Phương pháp mũ hố: với 0< ≠a 0< ≠b 1, ta có log ( ) log ( )

log ( ) log ( ) af x bg x

a f x = ag x ⇔a =a

3 Bất phương trình mũ – lơgarit (đơn giản)

Cũng có cách giải cách giải phương trình mũ, lơgarit Tuy nhiên giải bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit cần ý so sánh số a với để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số mũ hàm số lôgarit

Hàm số mũ y =ax đồng biến a > 1, nghịch biến 0< <a 1 Hàm số lôgarit y=logax đồng biến a > nghịch biến 0< <a

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Giải phương trình sau đây:

a) 5x2+3x =625 b) ( )2

3

(1, 5)x− = x+ c) 2x+1.5x =200 Bài giải

Câu a: 5x2+3x =625⇔5x2+3x =54 ⇔x2 +3x = ⇔4 x2 +3x− =4 0

1

x x

⇔ = = −

Vậy, phương trình cho có nghiệm: x =1 vaø x = −4

Câu b: ( )2 ( )3 ( )3

3 2

(1, 5)x− = x+ ⇔ x− = − −x ⇔5x− = − − ⇔ =7 x x

Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất: x =

Câu c: 2x 1.5x 200 2.2 5x x 200 10x 100 2

x

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất: x = Bài 2: Giải phương trình sau đây:

Hướng dẫn giải đáp số Câu a: 9x −5.3x + = ⇔6 0 32x −5.3x + =6 0

Đặt t =3x (t > 0), phương trình trở thành:

(nhận so với ) (nhận so với )

2 5 6 0

2

t t

t t

t t

 = >



− + = ⇔  =

> 

3

t = 3x = ⇔ =3 x t =2 3x = ⇔ =2 x log 23

Vậy, phương trình cho có nghiệm: x = x =log 23

Câu b:4x−1+2x+1−21=0 4

4

x

⇔ +2.2x −21= ⇔0 4x +8.2x −84=0

Hướng dẫn: đặt t =2 (x t>0) Đáp số: x=log 62

Câu c: 5 2.52 5 0 5 50 5 0

5

x x x

x

−

− + = ⇔ − + =

Hướng dẫn: đặt t =5 (x t >0) Đáp số: x=1

Câu d: 6.9x −13.6x +6.4x =0.Chia vế phương trình cho 4x ta

được: ( )9 ( )6 ( )3 ( )3

4 2

6⋅ x −13⋅ x + = ⇔ ⋅6 x −13⋅ x + =6

Hướng dẫn: đặt ( )3

2 ( 0)

x

t = t > Đáp số: x = ±1

Bài 3: Giải phương trình sau đây:

a)log2 x− +4 log2 x− =1 b)log5x+log25x =log0,2

c)

4

2

log x+2 log x +log x=13 d) 3

3

log (x− +2) log (x−4) =0

Hướng dẫn giải đáp số Câu a: log2 x− +4 log2 x− =1 (1)

Điều kiện: 4

1

x x

x

x x

 

 − >  >

 ⇔ ⇔ >

 

 − >  >

 

 

 

Khi đó,

(1)⇔log2 (x−4)(x−1) = ⇔1 (x−4)(x−1)=2

2

(x 4)(x 1) x 5x x

⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = x =5

Câu b: log5x+log25x =log0,2

3 (2)

Với điều kiện x > 0, 5 2 1( )

5

(2) log x log x log −

−

⇔ + =

Đáp số: x = 33

Câu c:

4

2

log x+2 log x +log x =13 (3)

Điều kiện: x > 0,

2

(3)⇔2 log x+log x + log x =13

Đáp số: x =8

Câu d:

3

log (x− +2) log (x−4) =0 (4)

Điều kiện: 20

4 ( 4)

x x

x x

 

 − >  >

 

 ⇔

 

 − ≠  ≠

 



(I) Khi đó,

3

(4)⇔2 log (x− +2) log (x−4) =0

2

2

3 3

log (x 2) log (x 4) log (x 2)(x 4)

⇔ − + − = ⇔  − −  =

2 ( 2)( 4)

( 2)( 4)

( 2)( 4)

x x

x x

x x

 − − =



 

⇔ − −  = ⇔ 

− − = −



Đáp số: x = x = +3

Bài 4: Giải phương trình sau đây:

a)

2

log x−log x− =6 b) 22

2

4 log x +log x =2

c)

5 log− x +1 log+ x =1 d) log (52 )

x x

− = −

Hướng dẫn giải đáp số

Câu a:

2

log x−log x− =6 (5)

Điều kiện: x > 0, đặt t=log2x, phương trình cho trở thành:

2 6 0 3

t − − = ⇔ =t t t = −2

Với t =3 log2x = ⇔ =3 x (thoả x > 0)

Với t = −2 log2x = − ⇔ =2 x 2−2 (thoả x > 0)

Vậy, tập nghiệm phương trình (5) là:

{ ; 8}

S =

Câu b:

2 2

4 log x+log x =2 (6)

1/2

2

2 2 2

(6)⇔4 log x +log x = ⇔2 log x+2 log x− =2

Hướng dẫn: đặt t =log2x Đáp số:

2

x = x =

Câu e:

5 log− x +1 log+ x =1 (7)

Điều kiện: x>0; logx ≠ −1 logx ≠5 (I) Đặt t =logx,

(7) trở thành

5−t +1+t = ⇔ + +1 t 2(5− =t) (5−t)(1+t)

2 5 6 0 3

t t t

⇔ − + = ⇔ = t =2

Với t =3 logx = ⇔ =3 x 1000 (thoả điều kiện (I))

Với t =2 logx = ⇔ =2 x 100 (thoả điều kiện (I))

Vậy, tập nghiệm phương trình (7) là: S ={100;1000}

Bài 5: Giải bất phương trình sau đây: a) 76x2+ −3x ≤49 b)( )

2

3

5 25

x x

− + +

> c)4x −3.2x + <2

Bài giải

Câu a: 76x2+ −3x ≤49(8) ⇔76x2+ −3x ≤72 6 3 7 2

x x

⇔ + − ≤

2

6x 3x

⇔ + − ≤

2

[ ;1]

x

⇔ ∈ − (giải bảng xét dấu)

Vậy, tập nghiệm bất phương trình (8) S =

[− ;1]

Câu b: ( ) ( ) ( )

2 7 2 7 2 2

(9)

3 3

5 25 5

x x x x

− + + − + +

> ⇔ > ⇔ − +x2 7x+ <2 2

2 7 0 ( ; 0) (7; )

x x x

⇔ − + < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ (giải bảng xét dấu)

Vậy, bất phương trình (9) có tập nghiệm: S = (–∞;0)∪(7;+∞) Câu c: 4x −3.2x + <2 (10)

Đặt t =2x(t > 0), (10) trở thành: t2 −3t+ <2 với t >

Bảng xét dấu: cho t2−3t + = ⇔ =2 0 t 1;t =2

t −∞ +∞

2 3 2

t − t+ + – +

Như vậy,

2

t t

 >   <  hay

2

0

1 2

x x

x

x x

 >  >

 

 ⇔ ⇔ < <

 

 <  <

 



Bài 6: Giải bất phương trình sau đây:

a)

0,5

log (x −5x+6)≥ −1 b)ln(x2 +2)≥ln(2x2−5x +2)

c) 1 1

3

2

log (2x+4)≤log (x − −x 6)

Bài giải

Câu a:

0,5

log (x −5x+6)≥ −1

Điều kiện: x2−5x+ > ⇔ <6 0 x 2 x >3 (I) Khi đĩ,

2

0,5

log (x −5x+6)≥ − ⇔1 x −5x+ ≤6 (0, 5)−

2 5 4 0 1 4

x x x

⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện (I) ta nhận giá trị: x∈[1;2) (3; 4]∪

Vậy, tập nghiệm bất phương trình là: S =[1;2) (3; 4]∪

Câu b: ln(x2 +2)≥ln(2x2−5x+2) Điều kiện:

hiển nhiên

2

2

2 :

x x

x

 − + >



 + >



1

2

x x

⇔ < > (I)

Khi đó, ln(x2 +2)≥ln(2x2−5x+2)⇔x2 + ≥2 2x2 −5x+2

2 5 0 0 5

x x x

⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện (I) ta nhận giá trị:

[0; ) (2; 5]

x∈ ∪

Vậy, tập nghiệm bất phương trình là:

[0; ) (2; 5]

S = ∪

Câu c: 1 1

3

2

log (2x +4)≤log (x − −x 6)

Điều kiện:

2 6 0 2 3

3

2

x x

x x

x x

x

 

 − − >  < − >

 

 ⇔ ⇔ >

 

 + >  > −

 



Với điều kiện x > ta có

1

3

2

log (2x +4)≤log (x − −x 6)⇔2x+ ≥4 x − −x

2 3 10 0 2 5

x x x

⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện x > ta nhận giá trị 3< ≤x

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Bài 7: Giải phương trình sau đây:

a) 72x −8.7x + =7 0 b) 2.22x +2x − =1 0

c) 9x −3x − =6 d) 25x +2.5x −15=0

e) 22x+1−2x =6 f) 82x −23x −56=0

g) 3x +33−x =12 h) 23−x −2x + =2 0

i) 52x −53 2− x =20 j) 7x +2.71−x − =9 0

k) e2x −4.e−2x =3 l) 6x+1+2.6−x −13=0

m)3.4x −2.6x =9x n) 25x +10x =22x+1

o) 25x +15x =2.9x p) 5.4x +2.25x −7.10x =0

q) e6x −3.e3x + =2 0 r) 24x+1−15.4x − =8 0

s) 52x−1+5.5x =250 t) 32x+1−9.3x + =6 0

u) 22x+6+2x+7 =17 v) 2x−1(2x +3x−1)=9x−1 Bài 8: Giải phương trình sau đây:

a) 22x+5+22x+3 =12 b) 2x+4 +2x+2 =5x+1+3.5x

c) 32x−1+32x =108 d) 52x +7 17x =7x +5 172x

e) 2 5x x−1 =0, 2.102−x f) 12 5x2+ −5x 11 2.4− x =48.32x

g) 8.43x−1 =23x−2 h) 2 33x x −23x+1.3x−1 =192

i) 3x2−x.2x2− +x 1=72 j) (0, 25)x−1 2 =0,125.162 3− x

Bài 9: Giải phương trình sau đây:

a) 3.2x +4x+1− =1 b) 52x+4 – 110.5x+1 – 75=0

c) ( )5 ( )2

3

1, x− = x+ d) ( )

5

2

2 16

9

(0, 75) x −x − − −x =0

e) 32x−1+32x =108 f) 16x +22(x+1)−12=0 g) 4.9x +12x −3.16x =0 h) 34x+8 −4.32x+5 +27=0 i) 3 (3x x+1−30)+27=0 j) 23x −22x+1−2x+3 =0 k) 22x+2−9.2x + =2 0 l) 1−3.21−x +23 2− x =0

m)32x −2.31 2−x + =5 0 n) 4.9x +12x −3.16x =0

q) ( )2 ( )3

3

4 x +2 x − =6 r) (2+ 3) (x + −2 3)x =4

s) 2x−1.4x +64x − =5 0 t) 4x −4 4x x+1+ =3 0 u) 36x −3x+1.2x − =4 0 v) 4x −21−x.4x − =3 0

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

Bài 10: Giải phương trình sau đây:

a) log(x2−6x+5)=log(1−x) b) 2

ln log (x x −2 )x =3 lnx

c) 1

7

2

log (x +2)+log (8−x)=0 d) 1

3

2

log (x −10)+log (3 )x =0

e) ln(4x− −4) ln(x− =1) lnx f) 2

2

log (x− =1) log (7−x)

g) log2 x− +2 log (4 x+ =1) h) 1

3

3

log (x− −2) log (x−4)=1

i) log (2 x− −1) log (22 x−11)=1 j) log (2 )2 x +log4x =log0,5x

k) log (2 x− −3) log (0,5 x+ =1) 3 l) 5 0,2

5

log x+log x−log x =2

m)log3x+log9x+log27x =11 n) logx4 +log(4 )x = +2 logx3

Bài 11: Giải phương trình sau

a)

5

log x−4 log x+ =3 b) 2 log22x+log2x− =1

c)

5 0,2

log x +log x−12=0 d) ln2x−ln( ) 1ex − =0

e)

2 0,5

log x+5 log x + =4 f) 22 0,5

2

3 log x−log x =log (2 )x

g) log22x−6 log4 8( )x =7 h)

0,2

log x +5 log x + =6

i) log2x−3 logx =logx2−4 j) log (10 )2 x =9 log(0,1 )x k) log3x+log 9x =3 l) log 27x −3 log3x =8

m)

2

2 log 2x +log x =5 n) 6 ( )

6

2 log log x

x

x− =

Bài 12: Giải phương trình sau

a)

3

log (x − −x 5)=log (2x+5) b) log (2 x) log (10 )x

π

π − = −

c) 4log3x −5.2log3x + =4 0 d) log (10 )2 x −3 logx− =1 0

e) 5

5

log (x+2)=log (4x+5) f) log (3 )23 x +log3x− =1

g)

2 0,5

2

i) log log

log log

x x

x x

− −

+ − + = j)

2

4 16

log log (4 )

log (2 ) log (2 )

x x

x = x

k)

3

log (3x −1) log (3x+ −3)=6 l) log5x x( +2)=log (5 x +6)

m)log(10 ) log(0,1 ) log 3

x x = x −

n) 4 2

2

log x +4 log x+log (4 )x =12

o)

4 2 2

log (x−2) + log (3x− =1)

p) log2 log (2 1)( 4)

x

x x

x

−  

+  − +  =

+

BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LƠGARIT

Bài 13: Giải bất phương trình sau

a)(0, 5)2x2−3x ≥2 b)2x +2−x − <3 c)2− +x2 3x <4

d)3x+2 +3x−1 ≤28 e)4x −3.2x + >2 f)3x2−x <9

Bài 14: Giải bất phương trình sau

a)22x+6+2x+7 >17 b)52 – 3x – 2.5x−2 ≤3 c)4x >2x +3

d)2.24x – 24x – 42 –2x 15≤ e)5.4x +2.25x ≤7.10x f)4x+1 16− x ≥3

Bài 15: Giải bất phương trình sau a) log (2 x+5)≤log (3 – ) – 42 x b)

3

5

log x>log –x

c)

8 3

2 log (x−2) – log (x−3)> d) 1

3

3

log

2

x x

− > +

e) log (4 x+7)>log (1 – )4 x f) log22+log2x ≤0

Bài 16: Giải bất phương trình sau

a) 1 1

2

2

log (5x+10)<log (x +6x+8)

b) log (2 x−3)+log (2 x−2)≤1 c) 1 1

2

log (2x+3)>log (3x+1)

Ph n Ph n Ph n

Ph n III NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂNIII NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂNTÍCH PHÂN VÀ (NG D*NGTÍCH PHÂNVÀ (NG D*NGVÀ (NG D*NG VÀ (NG D*NG

1 Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm hàm số f x( ) K nếu ( ) ( ),

F x′ =f x ∀ ∈x K

Lưu ý: Các nguyên hàm f x( ) K sai khác số C

Họ nguyên hàm f x( ) K ký hiệu ∫ f x dx( ) ( ) ( )

f x dx =F x +C

∫

2 Bảng công thức nguyên hàm nguyên hàm mở rộng

1 2 ( ) ( ) 1

1 ln

ln

1

1 1 1

( )

ax b

x x ax b

dx x C a dx ax C

ax b

x

x dx C ax b dx C

a

ax b

dx x C dx C

x ax b a

ax b

dx x C dx C

a

x ax b

dx C dx C

x a ax b

x ax b

e

e dx e C e dx

a α α α α α α + + + + = + = + + = + + = ⋅ + + + + = + = + + + = + = + + = − + = − ⋅ + + + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i i i 2 2 sin( )

cos sin cos( )

cos( )

sin cos sin( )

tan( )

1

tan

cos cos ( )

cot( )

1

cot

sin sin ( )

C

ax b

x dx x C ax b dx C

a

ax b

x dx x C ax b dx C

a

ax b

dx x C dx C

a

x ax b

ax b

dx x C dx C

a

x ax b

+ + = + + = + + = − + + = − + + = + = + + + = − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i

3 Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến: ∫ f t x t x dx ( ) ( ). ′ =F t x( )+C

4 Cơng thức tích phân

Với F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) đoạn [ ; ]a b

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a

a f x dx =F x =F b −F a

∫

5 Phương pháp đổi biến số (loại 2): xét b ( ) ( )

a

I =∫ f t x  ′t x dx

1 Đặt t =t x( )⇒dt =t x dx′( ) (và số biểu thức khác cần)

2 Đổi cận: x = ⇒ =b t t b( ) ( )

x = ⇒ =a t t a

3 Thay vào: ( )

( ) ( )

t b t a

I =∫ f t dt tính tích phân (biến t)

Vài dạng tích phân đổi biến thơng dụng:

Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng

( ) ( )

t x dx t x

′ ⋅

∫ t =t x( ) mẫu

( )t x( ) ( )

f e t x dx′

∫ t =t x( ) mũ

( )( ) ( )

f t x t x dx′

∫ t =t x( ) ngoặc

( )n ( ) ( )

f t x t x dx′

∫ t =nt x( ) căn

( )ln dx

f x

x

⋅

∫ t =lnx lnx

(sin ) cos

f x xdx

∫ t =sinx cos x dx đi kèm biểu thức theo sinx

(cos ) sin

f x xdx

∫ t =cosx sin x dx đi kèm biểu thức theo cosx

2

(tan ) cos

dx

f x

x

⋅

∫ t =tanx

2

cos

dx x

đi kèm biểu thức theo tanx

2

(cot ) sin

dx

f x

x

⋅

∫ t =cotx

2

sin

dx x

đi kèm biểu thức theo cotx

( ax).ax

f e e dx

∫ ax

t =e e dxax đi kèm biểu thức theoeax

6 Phương pháp tích phân phần ( )

b b b

a

a u dv = u v − a v du

∫ ∫

Vài dạng tích phân đổi biến thơng dụng:

Với P x( ) đa thức, ta cần ý dạng tích phân sau

( ) sin

P x ax dx

∫ , ta đặt ( )

sin

u P x

dv ax dx

 = 

 =



( ) cos

P x ax dx

∫ , ta đặt ( )

cos

u P x

dv ax dx

 = 

 =



( ).ax

P x e dx

∫ , ta đặt ( )

ax

u P x

dv e dx

 = 

 =



sin

ax

e bx dx

∫ , ta đặt

sin

ax

u e

dv bx dx

 = 

 =

 (không có )

( ) lnn ,

f x x dx

dx x

∫

ta đặt ln

( )

n

u x

dv f x dx

 = 

 =

 7 Tính diện tích hình phẳng

Cho hai hàm số y =f x( ) ( )

y=g x liên tục đoạn

[ ; ]a b , H là hình phẳng giới hạn

đường: ( ) :C1 y =f x( ),(C2) :y =g x x( ), =a x =b

Khi đó, diện tích hình phẳng H là: b ( ) ( )

a

S =∫ f x −g x dx

Lưu ý:

Nếu ( )C2 trục hồnh g x( )=0 b ( )

a

S =∫ f x dx

Để tính b ( )

a s x dx

∫ ta xét dấu s x( ) [ ; ]a b để khử dấu Nếu s x( )≥ ∀ ∈0, x [ ; ]a b b ( ) b ( )

a s x dx = a s x dx

∫ ∫

Nếu s x( )≤ ∀ ∈0, x [ ; ]a b b ( ) b ( )

a s x dx = − a s x dx

8 Tính thể tích vật thể trịn xoay

Hình H giớihạn bởi: y =f x( ), Ox, x=a x, =b Thể tích vật thể hình H quanh trục hồnh là:

2

[ ( )]

b a

V =π∫ f x dx

Lưu ý:

Cho H là hình phẳng giớihạn đường:

( )

y= f x , y =g x( ), x =a x, =b a( ≤b)

Nếu f x( ) g x( ) luôn dấu [ ; ]a b

thể tích vật thể H quay quanh trục Ox là: 2( ) 2( )

b a

V =π∫ f x −g x dx

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Chứng minh ( ) ln( 1)

F x = x+ x + nguyên hàm

hàm số f x( )= x2 +1 ℝ Bài giải Ta có

2

2

1

1

2 2

1

( 1)

( ) ( ),

( 1) 1

x x

x

x x

x x

F x f x x

x x x x x x

+ +

+ +

+ ′

+ +

′ = = = = ∀ ∈

+ + + + + +

ℝ Vậy, F x( )=ln(x+ x2+1) nguyên hàm f x( )= x2 +1

ℝ Bài 2: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

x x

e x

f x

xe

+

= thoả mãn

điều kiện F(1)=0

Bài giải

Theo giả thiết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

x x

e x

f x

xe

+

= nên

4

( ) ln

x

x x

x

e x

F x dx e dx x e C

x xe

− −

 

+  

=∫ =∫  +  = − +

Do F(1)=0 nên ln 1−3e−1+C =0 3

e C C e

⇔ − + = ⇔ =

Vậy, ( ) 4 ln 3

x e

e

Bài 3: Tính 3 x A dx x = + ∫ cos sin (1 cos )

x C dx x x π π − = + ∫ 2

13 x

B x e dx

−

=∫

2 ln ln x D dx x x + =∫ Bài giải

Câu a:

0 x A dx x = +

∫ Đặt t = x2 + ⇒1 t2 =x2 +1

2 t dt x dx t dt x dx

⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x = ⇒ t =2

x = ⇒ t =1

Vậy, 2 ( )2

1

1

3

3 3

tdt

A dt t

t

=∫ =∫ = = − =

Câu b: 2

13 x

B x e dx

−

=∫ Đặt t =x2

2

2

dt xdx xdx dt

⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x =2 ⇒ t =4

x = − ⇒ t =1

Vậy, ( )3 4

2 2

1 t t e dt

B=∫ = e = e − e

Câu c: 2

3

1 cos sin

sin (1 cos ) (1 cos )

x x

C dx dx

x x x

π π π π − = = + + ∫ ∫

Đặt t = +1 cosx ⇒dt = −sin x dx ⇒sin x dx = −dt

Đổi cận:

2

x = π ⇒ t =1

3

x = π ⇒

2

t =

Vậy, ( )

3 2 1

2 1 1

1 t dt C dt t t

= −∫ =∫ = − (2 1)

3

= − − =

Câu d:

2 ln ln x D dx x x +

=∫ Đặt t lnx dt 1dx

x

= ⇒ =

Đổi cận: x =4 ⇒ t =2 ln 2

x = ⇒ t =ln

Vậy, ln ln ( )ln

ln ln ln

1

1 ln

t

D dx dt t t

t t   +   = =  +  = +  ∫ ∫ ( ) ( )

ln ln ln ln ln ln ln

   

Bài 4: Tính tích phân sau đây:

0 ( 1) sin

E =∫ x− xdx

π

2 13

x

F x e dx

−

=∫ 2

1 (3 1) ln

G =∫ x − x dx

Bài giải

Câu e:

0 ( 1) sin

E =∫ x− xdx

π

Đặt

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

   = −  =  ⇒    =  = −      

Suy ra, ( )2 ( )2

0 0

( 1) cos cos sin

E = − −x x +∫ xdx = − − + x

π

π π

2

1 sin sin 0

= − + π − =

Câu f:

13 x

F x e dx

−

= ∫ Đặt u 3xx du x3dx

dv e dx v e

   =  =    ⇒    =  =      

Như vậy, ( )2 2 ( )2

1

1

3 x x 3 x

F x e e dx e e− e

−

− −

= −∫ = + −

2 2 3

6e 3(e e ) 6e 3e 3e

e e e e

−

= + − − = + − + = +

Câu g: 2

1 (3 1) ln

G =∫ x − x dx Đặt 2

3

1 ln

(3 1)

u x du dx

x

dv x dx v x x

    =  =  ⇒    = −    = −  

( ) 2 ( )2

3

3

1

1

ln ( 1) ln ln

G = x −x x −∫ x − dx = − x −x = −

Bài 5: Tính tích phân sau

1

1

x

H x e dx

x

 

 

=∫  −  2

0 ( 1)

I =∫ x+ x + xdx

3

2

et t

J dt

t

− +

= ∫

0 (1 sin ) sin

K a ada

π

=∫ +

Bài giải

Câu h: 2 2

1 1

1

( 1)

x x x

H x e dx xe dx xe dx dx

x

 

 

=∫  −  =∫ − =∫ −∫

Xét 1

1 :

x

H =∫ xe dx Đặt u x x du xdx

dv e dx v e

( )2 2 ( )2 2

1 1 1 1

x x x

H xe e dx e e e e

⇒ = −∫ = − − =⋯=

Xét 2 ( )2

1

1 1

H =∫ dx = x = − =

Vậy,

1

H =H −H =e −

Câu i: 2 2 2

0 ( 1) 0

I =∫ x+ x + x dx =∫ x dx+∫ x + xdx

Xét 2 ( )1

1 0 3 3

0

I =∫ x dx = x =

Xét 2

2 0

I =∫ x + xdx Đặt t = x2 + ⇒1 tdt =xdx

Đổi cận: x =2 ⇒ t =

x = ⇒ t =1

( )

5 5 2 1 3

2 1 1 3

1

I t tdt t dt t

⇒ =∫ =∫ = 5

3

−

=

Vậy, 5

1 3

I =I +I = +

Câu j: 22 12

1 2 ln 1

e

et t e t

t t

t t

J = − + dt= t− + dt = − t − 

 

∫ ∫

( 1) (1 1) 1 3

2 ln 2 ln 1 2

e e

e e

e

= − − − − − = − −

Câu k: 2

0 (1 sin ) sin (sin sin )

K a ada a a da

π π

=∫ + =∫ +

2

0 (sina cos )a da

π

=∫ + − ( sin 2 )2

2 0

cosa a a

π

= − + −

( sin ) ( sin 0)

2 2 2

cos cos 0

= − π + −π π − − + − = +π

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây: a) y=x3−3x+2, trục hoành, x = −1 x =3

b) y = − −4 x2 y =2x2−x4

Hướng dẫn giải đáp số Câu a: Xét

3

3

( )

( ) ( )

( )

f x x x

f x g x x x

g x

 = − +

 ⇒ − = − +

 =



Diện tích cần tìm

1

S x x dx

−

=∫ − +

Bảng xét dấu x3−3x+2 đoạn [ 1;2]−

x −1

3 3 2

x − x+ + +

Vậy, 2( )

1

S x x dx

−

=∫ − + ( )2 21

4 2 1

x x x

−

= − + =

Câu b: Xét

2

4

2

( )

( ) ( )

( )

f x x

f x g x x x

g x x x

 = − −

 ⇒ − = − −

 = −



Cho x4−3x2 − =4 0 ⇔⋯⇔ = ±x 2 Diện tích cần tìm

2

S x x dx

−

=∫ − −

Bảng xét dấu x4−3x2 −4 đoạn [ 2;2]−

x −2

4 3 4

x − x − −

( )2

2 4 2 1 5 3 96

5

2( 4) 2

S x x dx x x x

− −

⇒ = −∫ − − = − − − =

Câu c: HD: viết phương trình tiếp tuyến thoả đề (đáp số: y = +x 2)

Xét

3

3

( )

( ) ( ) ( )

f x x x

f x g x x x

g x x

 = −

 ⇒ − = − −

 = +



Cho x3−3x− = ⇔ = −2 0 x 1 x =2 Diện tích cần tìm là:

1

S x x dx

−

=∫ − −

Bảng xét dấu x3−3x−2 đoạn [ 1;2]−

x −1

3 3 2

x − x− −

( )2

2 3 1 4 3 2 27

4

1( 2) 1

S x x dx x x x

− −

= −∫ − − = − − − =

Câu d: Xét

3

3

2

( )

( ) ( )

( )

f x x x

f x g x x x x

g x x x

 = −

 ⇒ − = + −

 = −



Cho x3 +x2−2x = ⇔ = −0 x 2;x =0;x =1 Diện tích cần tìm

2

S x x x dx

−

=∫ + −

HD: xét dấu 2

x +x − x đưa đến công thức

0 3 2 3 2

2( ) ( )

S x x x dx x x x dx

−

=∫ + − −∫ + −

( )0 ( )1

4 37

1 1

4x 3x x −2 4x 3x x 0 12

= + − − + − =

Bài 7: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình (H) quanh trục Ox biết (H) giới hạn bởi:y=sinx,Ox,x =0

2

x = π

Bài giải Ta có, f x( )=sinx Xét đoạn [ ]

2

0; π

Thể tích cần tìm là:

3

2

0 (sin )

V x dx

π π

= ∫

3 3

2 2

0 0

1 cos cos sin

2 2

x x

V xdx dx dx

π π π π π − π   = ∫ = ∫ = ∫  −  ( ) ( ) 2

1 3

2x 4sin 2x 0 4sin π

π π

π π π π

= − = − − =

BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN Bài 8: Tính tích phân sau

a)

0 x.(2x−1)dx

∫ b) ln

0 (3 5)

x x

e e− − dx

∫ c)

1(2 )x dx

− −

∫

d)

1

1 tet t dt t

+ −

∫ e)

1

(1 ) x x

x e x

dx xe

+ −

∫ f)

1

3t t

dt t

+ −

∫

g) 2( 1)2

1 t− t dt

∫ h) ( 2)2

2 x x x dx

−

− +

∫ i)

0 x(1−x dx)

∫

j)

6

cos cos 3x xdx

π π

∫ k)

4

sin sin t t dt

π π −

∫ l)

0 tan xdx

π

∫

m) 2

0 cos

x x e e dx x −      +      ∫ n) ln x x e dx e + +

∫ o)

0 1−x dx

p)

2t t dt t

−

∫ q) 2

0 1 x x dx x − − +

∫ r) 1

2

1 3 1

( 1) x dx x x + + ∫ m) 2 tan cos sin x x dx x π π −

∫ n)

2

2 cos cos

x dx x

π −

∫ o)

0 sin x dx

π ∫

Bài 9: Tính tích phân sau

a)

0

sin cos

x dx x

π +

∫ b) 2

1 x dx x x − − −

∫ c) 1

0 x x e− dx

∫ d) 1/ 2 x e dx x

∫ e)

6

cos (1 sin )

xdx x π π − + ∫ f) 1(1 )

x dx x − − ∫ g) sin cos

x dx x

π

+

∫ h) 19

0

3

xdx

x +

∫ i)

1 ln e x dx x + ∫

j) 1

(1 ln )

e

e

dx

x − x

∫ k)

3

1 4 ln

e dx

x − x

∫ l) 1 ln

.(ln 3)

e

e x dx

x x+

∫

m) 2012

0 x x( −1) dx

∫ n)

0 x x +1dx

∫ o)

0 x x+1dx

∫

p)

2

3

sin x cos x dx

π π −

∫ q)

4

0 sin 2

cos

x

e xdx

π −

∫ r)

5x x dx

− − ∫ s) 2 sin cos x dx x π π +

∫ t) 2 2

0 (2 1) x dx x +

∫ u) ln

0 1 x

dx e−

+ ∫

Bài 10: Tính tích phân sau

a)

0 ( 1) x x+ e dx

∫ b)

0 (2 1) x x− e dx

∫ c)

0 x x e −dx

∫

d) ln

ln 2 ( 1) x

x e − dx

∫ e) ln

0 ( 1)

x x− e dx−

∫ f)

0 cos x x dx

π ∫

g)

0 (2x 1) cosxdx

π −

∫ h) (1 x) cosxdx

π

− −

∫ i)

0 sinx xdx

π ∫

j)

0 (x 1) sin 2xdx

π +

∫ k)

0 xsin 2xdx

π

∫ l)

1 ln e

x dx

∫

m)

1 (ln 1) e

x x− dx

∫ n)

2 ln(x x−1)dx

∫ o) 2

1

lnxdx x

∫

p) 2

0 ( 1) x

x + e dx

∫ q)

0 sin x

e xdx

π

∫ r)

1 x e dx

Bài 11: Tính tích phân sau

a)

0 (3 )

x x

e e− − x dx

∫ b) ( )

0 x x cosx dx

π

+

∫ c) 2

0 ( )

x x x +e dx

∫ d) ln x x dx x +

∫ e)

1 x x e dx x +

∫ f) 2

1

1 ln

e x x

dx x

+ ∫

g) ( )

1 ln

e

x x+ dx

∫ h)

0 (x cos ) sinx xdx

π +

∫ i)

1 ( )

x

x+ xe dx

∫ j) 1 x x xe x dx e + + +

∫ k)

0 sin cos x dx x π − +

∫ l) 2

1

(x 1) lnx dx x

− ∫

Bài 12: Tính tích phân sau

1) 0( 1)

1 x

x e

e dx

− −

∫ 2)

1 ( 1)

dx x x+

∫ 3)

0

cos sin

xdx x π + ∫ 4)

0 3x+1.dx

∫ 5)

1 (2x+1) ln x dx

∫ 6)

1 ln( 1) e

x+ dx

∫ 7)

2

1 ln x dx x + ∫ 8) ln

e x dx

x ∫ 9) 2 ln x x dx x + ∫ 10) 1 x dx x − +

∫ 11)

1 ( 2)

dx

x x +

∫ 12)

3 2

0 1

x dx x + ∫ 13) tan cos x e dx x π

∫ 14)

0 cos sin cos x x dx x π − + ∫ 15) ln

0 ( 4)

x x e dx e + ∫ 16)

ln

x x

e e + dx

∫ 17)

0 ( cos ) x

x e x dx

π

+

∫ 18)

0 sinx xdx

π ∫ 19) cos sin cos x x dx x π + ∫ 20) (ln 1)

e dx

x x+

∫ 21)

2

1

ln (ln 2)

e x dx

x x+

∫

22) 2

0 sin sinx x dx

π

∫ 23) 2

0 sin x cos xdx

π

∫ 24)

0 (4 1) x x+ e dx

∫ 25)

2

ln

ex x

dx x

+

∫ 26)

0

sin cos

x dx x

π +

∫ 27)

0

sin sin

x dx x

π

+ ∫

28) (1 cos ) cos x x dx

π

− −

∫ 29) 2( )

0 x− 4x+1 dx

∫ 30)

0 ( 3)

x

xe + dx

∫ 31) π( cosx x 2)dx

π

− −

∫ 32)

1 ( ln 2)

e

x x x+ dx

∫ 33)

0 x x e dx

BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau

a) y=x2+1, trục hoành, x = −1 và x =2

b) 2

3

y = − x +x − , trục hoành, x = x = c) y =x3−12x y =x2

d) y = −x2 +2x y+ =x 2

e) y =x3−1 tiếp tuyến điểm có tung độ –2 f) y=x3 −3x+2 trục hoành

g) y=x2−2x y = − +x2 4x h) y=x2−2x y =x

i) y=x3−x2 1( )

9

y = x−

j) ( ) :C xy = +1 x x, =1 tiếp tuyến với ( )C điểm ( )3

2

2;

k) 1, ,

1

x

y Ox x

x

+

= =

−

l) ln , 1,

e

y= x x = x =e trục hoành

m)y x lnx

x

= − + , y = −x x =e

Bài 14: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục ∆ kèm theo

a) y =x2−4 ,x trục hoành, x =0,x =3 (∆ trục hoành) b) y =cos ,x trục hoành, x =0,x =π (∆ trục hoành) c) y =tan ,x trục hoành,

4

0,

x = x= π (∆ trục hoành)

d) y=ex x, trục hoành x =1 (∆ trục hoành)

e) ,

2

y

x

=

BÀI TẬP VỀ NGUYÊN HÀM

Bài 15: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số

2

1

( ) x

f x

x

+

= thỏa mãn điều kiện F( 1)− =3.

Bài 16: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=x(2−x)2 thỏa mãn

điều kiện F( 1)− =3

Bài 17: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số

2

(1 )

( ) x

f x

x

−

= thỏa mãn

điều kiện F( 1)− =1

Bài 18: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=cos (2x −3 tan )x biết

rằng F( )π =1

Bài 19: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=(4x+1)ex thỏa mãn điều kiện F(1)= −e

Bài 20: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số

2

1 ln

( ) x

f x

x

+

= thỏa mãn

điều kiện F e( )=0

Bài 21: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) (1 ln )

x

x x e

x

f x = + thỏa mãn

điều kiện F(1)= −e

Bài 22: Chứng minh hàm số F x( )=e xx( +1) nguyên hàm hàm số ( ) x( 1)2

f x =e x+ ℝ

Bài 23: Chứng minh hàm số F x( )=xlnx− +x nguyên

hàm hàm số f x( )=lnx ℝ+

Bài 24: Chứng minh F x( )=sin4x +cos4x ( ) cos

4

x

G x = −

nguyên hàm hàm số với x thuộc ℝ

Bài 25: Tìm giá trị tham số m để F x( )=mx3+(3m+2)x2−4x+3 nguyên hàm hàm số f x( )=3x2 +10x−4

ℝ Bài 26: Tìm a,b c để F x( )=(ax2 +bx +c e) x là nguyên hàm

Ph n Ph n Ph n

Ph n IV S PH(CIV S PH(CIV S PH(C IV S PH(C

1 Các khái niệm phép toán liên quan đến số phức

Đơn vị ảo i: 1

i = −

i i i3 = −i ii4 =1

Số phức z = +a bi số có phần thực a ∈ℝ phần ảo b∈ℝ Môđun số phức z = +a bi là: z = a2 +b2

Số phức liên hợp số phức z = +a bi là: z = −a bi

Hai số phức nhau: a bi c di a c

b d

 = 

+ = + ⇔  =



Phép cộng hai số phức: (a +bi)+ +(c di)=(a+ + +c) (b d i)

Phép trừ hai số phức: (a +bi) (− +c di)=(a− + −c) (b d i)

Phép nhân hai số phức: (a +bi).(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc i)

Phép chia hai số phức: 1 2 2

z z z

z =z z (nhân tử lẫn mẫu cho z2)

Số phức nghịch đảo z là:

z

z = z z

Mỗi số thực a âm có bậc hai phức là: ± a i

Chú ý:số phức có phần ảo (phần thực 0) gọi số ảo

2 Giải phương trình bậc hai hệ số thực (∆ < 0) tập số phức

Cho phương trình bậc hai az2 +bz + =c 0 ( , ,a b c∈ a ≠0) ℝ

Tính ∆ =b2−4ac ghi kết dạng ( ∆ )i Kết luận phương trình có nghiệm phức:

1

z =

2

b i a

− − ∆

z =

2

b i a

− + ∆ Lưu ý:

Chỉ dùng công thức nghiệm nêu ∆ <

Trường hợp ∆ ≥0 ta giải pt bậc hai tập số thực (như trước) Khi giải phương trình trùng phương C, ta đặt t =z2(không cần

điều kiện cho t)

Nếu dùng biệt thức ∆′ cơng thức tìm hai nghiệm phức

z = b i

a

′ ′ − − ∆

2

z = b i

a

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Thực phép tính

a)(2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i b)(3−4 )i c)

i i

+ + Bài giải

Câu a: (2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i = −6 10i+12i−20i2 +28−21i

6 10i 12i 20 28 21i 54 19i

= − + + + − = −

Câu b: (3−4 )i = −9 24i+16i2 = −9 24i−16= − −7 24i

Câu c: (2 )(3 ) 42 222 62

3 (3 )(3 ) 4 13 13

i i

i i i i i

i i i i i

+ −

+ − + − − +

+ = + − = − = + = −

Bài 2: Tìm mơđun số phức sau

a)z = +3 2i+(1+i)2 b)

(1 )(2 )

i

i i

z +

+ −

=

Bài giải

Câu a: z = +3 2i+(1+i)2 = +3 2i+ +1 2i+i2 = +3 2i+ + −1 2i 1

2 2

3 4

z i z a b

⇒ = + ⇒ = + = + =

Câu b: 3 2 3

(1 )(2 ) 2 2 1

i i i i

i i i i i i i i

z + + + + z

+ − − + − − + + +

= = = = = ⇒ =

Bài 3: Tìm số phức nghịch đảo số phức:z= −(1 i) (22 +i) Bài giải

2 2

(1 ) (2 ) (1 )(2 ) ( )(2 ) 2

z = −i + = − +i i i + = −i i + = − −i i i = − i

Suy

2

2 4

1 1

2 (2 )(2 ) 16 20 10

i i i

z i i i i i

+ + +

− − + −

= = = = = +

Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: 2iz+ =3 5z+4i

Bài giải

2iz+ =3 5z+4i ⇔5z−2iz = −3 4i ⇔(5−2 )i z = −3 4i

2 2

(3 )(5 ) 15 6 20 8

3 23 14

5 (5 )(5 ) 29 29

i i i i i

i

i i i i

z − − + + − − i

− − + −

⇔ = = = = −

Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức:

a)− + − =z2 z 2 0 b) z4 +2z2 –3=0 c)z3 + =1 0 Bài giải

Ta có, 12 4.1.2 7 0 ( )2

i

∆ = − = − < ⇒ ∆ =

Vậy, phương trình (1) có nghiệm phức phân biệt

1 7

1 2 i 2 2

z = − = − i 7

2 2 i 2 2

z = + = + i

Câu b: z4 +2z2 –3=0 (2)

Đặt t =z2, phương trình (2) trở thành:

2

2 – 0

3

t

t t

t

 = 

+ = ⇔  = −

 Từ đó,

2

1

3

z z

z i

z

 =  = ±

 ⇔

 = −  = ±

 



Vậy, phương trình (2) có nghiệm phức phân biệt :

1 1, 1, 3

z = z = − z = i z4 = − 3.i

Câu c: (3)

2 (*)

1

1 ( 1)( 1)

1

z

z z z z

z z

 = − 

+ = ⇔ + − + = ⇔ 

− + = 

Giải (*) : ta có ∆ = −( 1)2−4.1.1= − < ⇒ ∆ =3 0 ( )i

(*) có nghiệm phức phân biệt: 2 i

z = + ; 2

2

i

z = −

Vậy, phương trình (3) có nghiệm phức phân biệt

1

z = − , 2

2

z = + i 3

2

z = − i

Bài 6: Tìm mơđun số phức z biết:

a) 3iz+(3−i)(1+ =i) b)iz+5z =11 17− i

Bài giải

Câu a: 3iz+(3−i)(1+ = ⇔i) 2 3iz + +3 3i− −i i2 =2

3iz 3i i 3iz 2i

⇔ + + − + = ⇔ = − − 2

3

i i

z − −

⇔ = 2

3

z i

⇒ = − + ⇒ z = a2 +b2 = ( ) ( )2 2 2

3 3

− + =

Câu b: Với z = +a bi a b( , ∈ℝ) ta có z = −a bi,

5 11 17 ( ) 5( ) 11 17

iz + z = − i ⇔i a+bi + a−bi = − i

2 5 5 11 17 (5 ) ( 5 ) 11 17

ia bi a bi i a b a b i i

⇔ + + − = − ⇔ − + − = −

2

5 11

3 4

5 17

a b a

z i z

a b b

 

 − =  =

 

⇔ − = − ⇔ = ⇒ = + ⇒ = + =

 

 

III BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Bài 7: Thực phép tính

a) (1+i)2 b) (3−4 )i c) ( 2− +i)2 d)(2+3 )i e) (1− 3 )i f) (1−i)2012 g) (1+i)2012 h)(1− 3 )i 2012 i) 2

3

i i

+

+ j) 21

i i

− −

− + k)

2 4i i

+ l)

2−i

m) 1 i i  −     

 +  n)

5 1 i i  +         −

  o)

2

(2−i) p)

(2 1) i i i − + Bài 8: Xác định phần thực, phần ảo môđun số phức sau đây:

a)(2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i b)(1−4 )(2i +3 )i − − −5( )i

c)(1−2 )i − −(2 3 )(3i +2 )i d)(2−3 )i 2− −(1 3 )(5i +2 )i e)(1+ 2 )i + −(1 2 )i f)(1+ 3 )i − −(1 3 )i g)(4+5 ) (4i − +3 )i 5 h)(5− − +i) (2 )i 3

i) (2 ) (1 )(4 )

3

i i i

i

+ + + −

+ j)

(2 ) (1 )(1 )

i i i

i

+ − − −

− k) (3 )(1 )

1 i i i i − + + − − l)

(2 )(1 )

(2 ) i i i i + − + − + Bài 9: Giải phương trình sau tập số phức:

a) 3z + − = +8 i 4i b) 2iz+(2 – )i = +2 3i

c) (3−i z) =(1+i)(4−2 )i d) (1+i z) +(1 – )i = −2 3i

e) 2

1 i i z i i + − + =

− + f)

2

1 2

i i z i i + − − = + +

g) (2−i z) + = +i 2i h)2 i z − =1 5.z −2i

i) 2iz+ =3 5z +4i j) z−3 i z = −5 3i

k) z+2z = +6 2i l) iz+3z = +7 5i

m)3z +2z = +5 2i n)i z +2z = −2 5i

Bài 10: Tính z+i z , biết rằng: a)z =(1+ )i b)

3 (1 ) (1 ) i i z + − = Bài 11: Tìm số phức nghịch đảo số phức sau đây:

a) z = −3 4i b) z =(4+i)(2−3 )i c)z =i(2−i)2

Bài 12: Cho z1 = +2 ,i z2 = +1 i Tính 2

Bài 13: Cho z = +2 3i Tìm phần thực, phần ảo mơđun

z i

iz

+ +

Bài 14: Cho z1 =( )

3 i

− + z2 =( )

3

2+i Tính z z1 Bài 15: Giải phương trình sau tập số phức:

a) 2 0

z + = b) 4z2 + =9 c) z2 –4z+ =8

d) 2z2 +2z+ =5 0 e) z2+2z+17=0 f) z2−3z+ =3 0

g) 4 0

z + z = h) z3 +7z =4z2 i) z3 + =8

j) z4 +2z2 –3=0 k) 2z4 +3z2 − =5 0 l) 9z4−16=0 m)2z2 +4z + =9 0 n) 2z2 +5z − =3 0 o) 4 11 0

z + z − =

Bài 16: Cho z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình 5z2−2z+ =1 0 Chứng minh tổng nghịch đảo z1 z2

Bài 17: Cho z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình z2−4z+ =5 0 Chứng minh 2

1

z +z =

Bài 18: Cho z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình 5z2−2z+ =2 0 Chứng minh z1+z2 =z z1 2

Bài 19: Cho z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình 3z2−2z+ =4 0 Tính giá trị biểu thức A=z1+z2 +z z1 2

Bài 20: Cho z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình 3z2−2z+ =1

và z2 có phần ảo số âm Tính z1 +2z2

Bài 21: Tìm số phức z có phần thực phần ảo z =2

Bài 22: Cho hai số phức z =m+(m−1)i z′ =2n+ −(2 )n i, với

,

m n ∈ℝ Tìm z z′ biết z+z′= +1 7i

Bài 23: Cho số phức z =m+(m+1) ,i m∈ℝ Tìm z biết z =5

Bài 24: Cho số phức z =(m− +1) (m+1) ,i m ∈ℝ Tìm z biết z z =10

Bài 25: Cho số phức z =2m+(m+2) ,i m ∈ℝ Tìm z biết z2 số phức có phần thực −5

Bài 26: Giải phương trình sau tập số phức

a)5(z−1)(z + +1) 2(4z+5)=0 b)2(2z−1)2 +z(17z+6)=0

Bài 27: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z trên mp phức biết

Ph n V

Ph n V Ph n V

Ph n V PHPHPHPH NG PHÁP TO+ Đ-NG PHÁP TO+ Đ-NG PHÁP TO+ Đ-NG PHÁP TO+ Đ- TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ toạ độ Oxyz

Gồm trục Ox,Oy,Oz đôi vuông góc có véctơ đơn vị là: i j k, ,

2 Toạ độ điểm

a) Định nghĩa

( M; M; M) M M M

M x y z ⇔OM =x i +y j +z k

b) Toạ độ điểm đặc biệt

Trung điểm I đoạn AB Trọng tâm G tam giác ABC

2 2

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

y y

y

z z

z

 +

 =

 

 +

 = 

 +

 = 

3 3

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

y

z z z

z

 + +

 =

 

 + +

 = 

 + +

 =



Hình chiếu vng góc điểm M x( M;yM;zM) lên:

Trục Ox : M x1( M; 0; 0) mp(Oxy):M12(xM;yM; 0)

Trục Oy : M2(0;yM; 0) mp(Oxz): M13(xM; 0;zM)

Trục Oz : M3(0; 0;zM) mp(Oyz): M23(0;yM;zM)

3 Toạ độ véctơ

a) Định nghĩa: a =( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ =a a i1 +a j2 +a k3

b) Công thức toạ độ véctơ

Nếu A x( ;A y zA; A), ( ;B xB yB;zB) AB=(xB −xA;yB −y zA; B −zA)

Nếu a =( ; ; )a a a1 2 3 , b =( ; ; )b b b1 2 3

1 2 3

( ; ; )

a + =b a +b a +b a +b

1 2 3

( ; ; )

a − =b a −b a −b a −b

1

( ; ; )

k a = ka ka ka , k∈ℝ c) Điều kiện phương hai véctơ

Cho a =( ; ; )a a a1 2 3 , b =( ; ; )b b b1 2 3 b ≠0 Khi đó,

a phương với b ⇔ tồn số thực t cho a =t b

1

2

3

a b

a b a b

a b

 =  

= ⇔ =

4 Tích vơ hướng hai véctơ

a) Công thức: Nếu 3

( ; ; ) ( ; ; )

a a a a

b b b b

 =   =

 a b =a b1 +a b2 +a b3

b) Ứng dụng: 2

1

a = a +a +a AB = AB

cos( , )

a b a b

a b

= a ⊥ ⇔b a b =0, với

0

a b

 ≠   ≠  5 Tích có hướng hai véctơ

a) Định nghĩa

Cho

1

( ; ; ) ( ; ; )

a a a a

b b b b

 =   =

 Khi đó, véctơ [ ]

2 3

2 3

, a a ; a a ;a a

a b

b b b b b b

 

 



= − 



 

được gọi tích có hướng hai véctơ a b

b) Lưu ý:Nếu n =[ , ]a b n ⊥a n ⊥b (giả sử a ≠0,b ≠0,n ≠0)

c) Ứng dụng 1: Cho ba véctơ khác a b c, , Khi đó,

a b phương với ⇔[ , ]a b =0 ,

a b c đồng phẳng với ⇔[ , ].a b c =0

A,B,C thẳng hàng ⇔[AB BC, ]=0

A,B,C,D đồng phẳng ⇔[AB AC AD, ] =0

d) Ứng dụng 2: (tính diện tích)

Diện tích hình bình hành ABCD

[ , ]

ABCD

S = AB AD

Diện tích tam giác ABC: ABC

S∆

2 [AB AC, ]

=

e)Ứng dụng 3: (tính thể tích)

Thể tích khối hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ [ , ]

hh

V = AB AD AA′

Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD

V =

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho OA=2i + −j 3k,

4 , (2; 7;1)

OB = i + j − k BC = − A′(4;1; 7)−

a) Chứng minh A,B,C đỉnh tam giác vuông b) Chứng minh AA′ ⊥(ABC)

c) Tính thể tích khối tứ diện A ABC′

d) Xác định toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

Bài giải

Từ giả thiết ta có A(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1),− B − C − − A′(4;1; 7)−

Câu a: (2;2;1) 10

(4; 5;2)

AB

AB AC AB AC

AC

 =

 ⇒ = − + = ⇒ ⊥

 = −



Vậy, ABC là tam giác vuông A

Câu b: Ta có, AA′ =(2; 0; 4)− AB =(2;2;1),AC =(4; 5;2)−

Do đó, 2.2 0.2 4.1

2.4 0.( 5) 4.2

AA AB AA AC

 ′ = + − =



 ′ = + − − =



( )

AA AB

AA ABC

AA AC

 ′

 ⊥

 ′

⇒ ′⊥ ⇒ ⊥

 Câu c:

2 2

2 2

2

4 ( 5)

AB AC

 = + + =



 = + − + =



2

ABC

AB AC S∆

⇒ = =

2 2

2 ( 4)

h =AA′= + + − =

Vậy, 1 5.2

3 3.2 15

A ABC ABC

V ′ = B.h = S∆ AA′= =

Câu d: ABCD hình bình hành ⇔AD =BC

2

1 (4; 6; 2)

3

D D

D D

D D

x x

y y D

z z

 

 − =  =

 

 

 

⇔ − = − ⇔ = − − −

 

 + =  = −

 

 

 

BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ

Bài 2: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 1), (3;2; 3), ( 1;1;1)− B C −

a) Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác b) Xác định toạ độ đỉnh D tâm I của hình bình hành ABCD c) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM =2OB−AC

Bài 3: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2; 1), (2;1; 0), (1;1; 1)− B C −

a) Chứng minh ABC là tam giác

b) Cho điểm A′(4; 0; 3)− Xác định toạ độ điểm B′ C′ để

ABC A B C′ ′ ′ hình lăng trụ

c) Chứng minh ABC A B C ′ ′ ′ lăng trụ

Bài 4: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho OM =3i −2j +3k A,B,C lần

lượt hình chiếu vng góc M lên trục toạ độ Ox,Oy,Oz a) Chứng minh ABC là tam giác cân

b) Tính thể tích tứ diện OABC, từ tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (ABC)

Bài 5: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho ON =3i −2j +3k A,B,C lần

lượt hình chiếu vng góc điểm N lên mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, Oxz

a) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện NABC b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (ABC)

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chứng minh O(0; 0; 0), A(0;1;2),B(2;3;1),C(2;2;–1) bốn đỉnh hình chữ nhật Bài 7: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho tứ diện ABCD cho

(2; 4; 1), , (2; 4; 3), (0; 2; 0)

A − OB = +i j −k C AD= −

a) Chứng minh AB, AC và AD đơi vng góc với b) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD Bài 8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1)− B − C − −

a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác vuông b) Tìm toạ độ điểm D để A,B,C,D là đỉnh hình chữ nhật Bài 9: Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ biết

rằng A(2; 4; 1), (1; 4; 1), (2; 4; 3),− B − C OA′=(2;2; 1)−

Bài 10:Tìm điểm N trên Oy cách hai điểm A(3;1; 0) B( 2; 4;1)−

Bài 11:Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxz) cách ba điểm A(1;1;1), ( 1;1; 0)

6 Phương trình mặt cầu

a) Dạng 1: mặt cầu ( )S tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình:

( ) ( )

2 2

( – )x a + y –b + z –c =R

b) Dạng 2: với điều kiện a2 +b2 +c2 − >d 0

2 2 – 2 – 2 – 2 0

x +y +z ax by cz+ =d

phương trình mặt cầu Tâm I(a;b;c)

Bán kính 2

R= a +b +c −d

c) Điều kiện tiếp xúc mặt cầu S(I,R) với mp(P): d I P( ,( ))=R

7 Phương trình tổng quát mặt phẳng

a) Định nghĩa: véctơ pháp tuyến mặt phẳng véctơ khác véctơ

0 có giá vng góc với mặt phẳng

b) Cơng thức: Nếu mặt phẳng ( )P qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 có véctơ

pháp tuyến n =( ; ; )A B C ≠0 ( )P có phương trình tổng qt là:

0 0

( ) ( ) ( )

A x −x +B y−y +C z−z =

c) Một số lưu ý:

☺Mặt phẳng ( ) :P Ax +By+Cz+D =0 có vtpt n =( ; ; )A B C

☺Nếu mặt phẳng ( )P song song chứa giá hai véctơ không

cùng phương a b ( )P có véctơ pháp tuyến n =[ , ]a b

☺Cho trước mặt phẳng ( ) :Q Ax +By+Cz+D =0 Nếu ( )€( )P Q ( )P có phương trình dạng Ax+By+Cz+D′=0 (D′ ≠D) d) Cách xác định véctơ pháp tuyến cho mặt phẳng

Nếu ( )P ⊥AB ( )P có vtpt n =AB

Đường thẳng d có vtcp ud Nếu ( )P ⊥d ( )P có vtpt n =ud

Mặt phẳng trung trực đoạn MN có vtpt n =MN

Cho mặt cầu ( )S tâm I Nếu mặt phẳng ( )P

tiếp xúc với ( )S H thì mặt phẳng ( )P có

véctơ pháp tuyến n =IH

Hình Hình Hình

Mặt phẳng (ABC) có véctơ pháp tuyến n =[AB BC, ]

Cho d và d′chéo có vtcp udvà ud′ Nếu ( )P chứa d

và song song với d′thì ( )P có vtpt n =[ ,u ud d′]

Cho đường thẳng d có vtcp ud mặt phẳng ( )Q có vtpt nQ khơng

vng góc với d Nếu ( )P chứa d và vng góc với ( )Q ( )P có

véctơ pháp tuyến n =[ ,u nd Q]

Cho ( )α ( )β cắt có vtpt

nαvà nβ Nếu ( )P vng góc với ( )α lẫn

( )β ( )P có vtpt n =[ ,n nα β]

e) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng ( )P qua ba điểm phân biệt A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )

B b C c với abc≠0 có phương trình

x y z

a + + =b c

f) Khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (P)

0

( ,( ))

d M P = 0

2 2

Ax By Cz D

A B C

+ + +

+ +

8 Phương trình đường thẳng

a) Định nghĩa: véctơ phương (vtcp) đường thẳng véctơ khác véctơ có giá song song trùng với đường thẳng b) Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng d qua điểmM x y z0( ; ; )0 0 0 có vtcp u =( ; ; )a b c

Phương trình tham số d:

0 0

( )

x x at

y y bt t

z z ct

 = +



 = + ∈



 = + 

ℝ

Phương trình tắc d: x x0 y y0 z z0

a b c

− − −

= = (với abc≠0)

Hình Hình Hình

c) Cách xác định véctơ phương cho đường thẳng d

Hình Hình Hình

d qua điểm A B phân biệt d có vtcp u =AB

Cho đường thẳng ∆ có vtcp u∆ Nếu d€∆ d có vtcp u =u∆

Cho mặt phẳng ( )P có vtpt nP Nếu d⊥(P) d có vtcp u =nP

Hình Hình Hình

Cho hai véctơ không phương a b Nếu d vng góc với giá

của véctơ a b d có vtcp u =[ , ]a b

Cho đường thẳng ∆ có vtcp u∆và mặt phẳng ( )P có vtpt nP.Nếu d song song với ( )P vng góc với ∆ d có vtcp u =[nP,u∆]

Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q có vtpt nP nQ

Nếu d là giao tuyến ( )P ( )Q d có vtcp u =[nP,nQ]

Cho hai đường thẳng d1 d2 có vtcp u1 u2 khơng

cùng phương Nếu d vng góc với d1và d2 d có vtcp u =[ ,u u1 2]

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 12: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) ( ) :P x−2y+2z+ =1

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B, qua A

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài giải

Câu a: Gọi ( )S1 mặt cầu tâm B(2;1;2)và qua điểm A Khi

Tâm mặt cầu ( )S1 là: B(2;1;2)

Bán kính ( )S1 là: R1 =AB= 12 + −( 2)2 +12 =

Câu b: Gọi ( )S2 mặt cầu đường kính BC Khi đó,

Tâm ( )S2 là: (1 2)

2

; ;

I − (trung điểm đoạn BC)

Bán kính ( )S2 : 69

2

BC

R= = ,

2 2

( 2;1; 8) ( 2) ( 8) 69

BC = − − ⇒BC = − + + − =

Phương trình ( )S2 2 69

2

(x−1) +(y− ) +(z+2) =

Câu c: Gọi ( )S3 mặt cầu tâm C(0;2;–6), tiếp xúc với ( )P Khi ( )S3

Tâm ( )S3 là: C(0;2;–6)

Bán kính của( )S3 :R3 =d C P( ,( ))

2 2

0 2.2 2( 6) 1 ( 2)

5

− + − + + − +

= =

Phương trình ( )S3 : x2 +(y−2)2 +(z+6)2 =25

Câu d: Giả sử 2

4

( ) :S x +y +z −2ax−2by−2cz+ =d mặt cầu qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) d =

9 13 10

29 10

11 2 11

9 4 4

40 12 12 40

a

a b c a b c

a b c a b c b

b c b c c



  

 − − − =  + + =  =

  

  

 − − − = ⇔ + + = ⇔ =

  

  

 − + =  − =  = −

  

 

  

Mà 2 ( ) ( ) ( )9 13 29

2 10 10

a +b +c − =d + + − > nên phương trình

mặt cầu ( )S4 cần tìm x2 +y2 +z2−9x−13 29

5 y+ z =0

Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng ( )α trường hợp sau đây: a) ( )α qua A(1; 2;2)− vng góc với OM biết M(3; 1;2)−

b) ( )α mặt trung trực đoạn MN với M(2; 3;1), ( 4;1; 5)N −

c) ( )α qua ba điểm A(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)K − D − −

d) ( )α qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD biết

(1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)

A B C − D −

Bài giải

Câu a: Do mặt phẳng ( )α qua A(1; 2;2)− vng góc với OM nên Điểm thuộc mặt phẳng ( )α là: A(1; 2;2)−

Véctơ pháp tuyến ( )α : n =OM =(3; 1;2)−

Phương trình mặt phẳng ( )α là:

Câu b: Do ( )α mặt phẳng trung trực đoạn MN nên Điểm thuộc ( )α:I( 1;2; 3)− (trung điểm đoạn MN)

Vtpt ( )α: n =MN = − −( 6; 2; 4)

Phương trình ( )α (đáp số): 3x+ −y 2z+ =7

Câu c: Do ( )α qua điểm A(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)K − D − − nên

Điểm thuộc mặt phẳng ( )α là: A(0;1;2)

Véctơ pháp tuyến ( )α là:

0 3

[ , ] ; ; (6; 7; 9)

3 5

n AK KD

 − − 

 



= = − − − − = −

− 

 

trong AK = −( 3; 0;2) KD =(4; 3; 5)− −

Phương trình mặt phẳng ( )α là:

6x−7(y− +1) 9(z−2)= ⇔0 6x−7y+9z−11=0

Câu d: Do ( )α qua A, B song song với CD nên

Điểm thuộc mặt phẳng ( )α là: A(1;1;1)

Véctơ pháp tuyến ( )α là:

1 1

[ , ] ; ; (1; 6; 1)

1 3 3

n AB CD

 

 



= = − − − − − = −

 

trong AB =(1; 0;1) CD =(3; 1; 3)− −

Phương trình mặt phẳng ( )α là:

1(x− +1) 6(y− −1) 1(z− = ⇔ +1) x 6y− − =z

Bài 14: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( )P x: −2y+2z−30=0

và mặt cầu ( ) :S x2 +y2+z2−2x+6y−8z+ =1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )α biết

a) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S điểm H(1;1;1) thuộc ( )S

b) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S song song với mặt phẳng ( )P

Bài giải

Câu a: Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3; 4)− bán kính R= ⋯=5

Do ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S H nên

Điểm thuộc ( )α là: H(1;1;1)

Vtpt ( )α là: n =IH =(0; 4; 3)−

Câu b: Do ( )€( )α P nên ( ) :α x−2y+2z+D =0 (D ≠ −30)

Do ( )α tiếp xúc với ( )S nên d I( ,( ))α =R

(loại) (nhận)

2 2

1 2( 3) 2.4 ( 2)

5 30

D

D D

− − + + + − +

⇔ = ⇔ = − =

Vậy phương trình ( )α x−2y+2z =0

Bài 15: Cho tam giác ABC có A(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)B− C − −

Viết phương trình đường thẳng d trong trường hợp sau đây: a) d đường trung tuyến ứng với cạnh BC tam giác ABC b) d là đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) C

Bài giải

Câu a: Trung điểm cạnh BC là:

2

( 1; ; )

I − −

Điểm thuộc trung tuyến AI là: A(0;1;2)

Vtcp AI là:

2

( 1; ; )

u =AI = − − − hay u′ =(2; 3;1)

Phương trình tắc trung tuyến AI

2

y

x = − =z−

Câu b: Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) C nên

Điểm thuộc d là: C(1; 2; 1)− −

Vtcp d cũng vtpt mặt (ABC): [ , ] (6; 7;9)

d

u = =n AB BC =⋯= −

trong đó, AB= −( 3; 0;2),BC =(4; 3; 5)− −

Phương trình tắc đường thẳng d

6

y z

x− + +

−

= =

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Bài 16: Viết phương trình mặt cầu ( )S trường hợp sau đây:

a) ( )S có tâm I(1; 0; 1)− đường kính

b) ( )S có tâm I(2;1; 2)− qua điểm A(3;2; 1)−

c) ( )S có đường kính AB với A(6;2;–5) B(–4;0;7)

d) ( )S có tâm T( 2;1; 5)− tiếp xúc với mp( ) : 3α x− − =y

e) ( )S có tâm K(2; 3; 1)− qua tâm I của mặt cầu sau

2 2 2 6 6 0

x +y +z − y+ z− =

f) ( )S có đường kính ON với N( 1; 4;2)−

g) ( )S có tâm I(6;3;–4) tiếp xúc với mặt phẳng Oxy

Bài 17: Viết phương trình mặt cầu ( )S trường hợp sau đây:

a) ( )S ngoại tiếp tứ diện OABC với A(2;2;3),B(1;2;–4),C(1;–3;–1) b) ( )S qua gốc toạ độ hình chiếu điểm M(2;–1;3) lần

lượt lên trục toạ độ

c) ( )S qua điểm A(3;0;1),B(2;1;–1),C(0;–7;0) D(2;–1;3)

d) ( )S qua ba điểm A(1;2;–4),B(1;–3;1),C(2;2;3) có tâm nằm

trên mặt phẳng Oxy

Bài 18:Cho S(35; 3;14), (4;2; 6), (5; 3; 1), (6; 8;2), (5; 5; 4)− A B − − C D

a) Chứng minh rằng, S.ABCD là hình chóp có đáy hình vng cạnh bên SA vng góc với mặt đáy

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Bài 19:Viết phương trình mặt phẳng ( )α trường hợp sau đây: a) ( )α qua điểm A(7;2; 1)− , vuông góc với đường thẳng BE với

(2;2; 3)

B − E( 1; 0; 6)−

b) ( )α mặt phẳng trung trực đoạn AK với A(1;1; 3) (2; 5;1),K

c)( )α qua C( 2; 2; 6)− − song song với ( )β :x−2y+ − =z

d) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( ) : (S x−1)2 +(y+1)2 +z2 =9 điểm H(3;1; 1)− thuộc mặt cầu ( )S

e) ( )α song song với mặt phẳng ( ) : 2Q x−3y+6z− =6 đồng

thời tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2+y2 +z2 −4x+2z− =4 0 f) ( )α qua O và vng góc với đường thẳng

2

:x y z

d − = = −

g) ( )α vng góc với đường thẳng

1

: x y z

d + −

− = = điểm M

trên d có hồnh độ

Bài 20:Viết phương trình mặt phẳng ( )P trường hợp sau a) ( )P qua ba điểm A( 2;1; 0), (3; 3; 4)− B C(1; 0; 1)−

b) ( )P qua hai điểm A( 1;2;1), (0; 3; 0)− B đồng thời song song với đường thẳng CD với C(1;1;1), (0; 5; 2)D −

c) ( )P qua hai điểm O A( 1;2; 3)− đồng thời vng góc với

mặt phẳng ( ) :Q x− − =y z

d) ( )P qua điểm G( 2;1;1)− chứa trục hoành

f) ( )P chứa đường thẳng d1 đồng thời song song với đường thẳng d2, biết

1

1

1

1

:

3

x t

d y t

z t

 = − + 

 = − 

 = + 

2

2

3

:

1

x t

d y

z t

 = −   = 

 = − 

g) ( )P qua điểm I(0;2;1) chứa đường thẳng :

2

y

x+ z

−

∆ = =

h) ( )P qua điểm A(3;2; 1)− đồng thời vng góc với giao tuyến

( ) :α x+ − + =y z ( ) : 2β x− +y 3z+ =1

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 21:Viết phương trình tham số đường thẳng d sau đây: a) d qua hai điểm A(2;–3;5) B(1;–2;3)

b) d qua điểm A(1;–1;3) đồng thời song song với đường thẳng BC biết B(1;2;0), C(–1;1;2)

c) d đi qua A(–1;0;2) vuông với mặt phẳng x− + − =y z

d) d đi qua N( 2; 2;1)− − song song với

2

:x+ y z−

−

∆ = =

e) d đi qua tâm I của mặt cầu ( )S song song với trục tung biết

2 2

( ) : (S x+1) +(y−2) +z =3

f) d đi qua giao điểm mặt cầu ( )S với trục tung đồng thời

vng góc với mặt phẳng ( ) : 2P x−3y+ − =z 0, biết mặt

cầu ( )S có phương trình x2 +y2 +z2 +2x−4y−3z+ =4

Bài 22:Viết phương trình tham số đường thẳng d sau đây: a) d qua điểm I( 1;1; 0)− vng góc với hai đường thẳng

1 :

∆

1 2

y

x− = − = z− ;

2 :

∆

1

y

x+ z−

− = =

b) d đi qua điểm K( 2;1; 3)− , song song với ( ) :α x−2z+ =2

đồng thời vng góc với đường thẳng

2

:x+ y− z−

∆ = =

c) d là giao tuyến ( ) 3α: x− + − =y z ( )β :x−3y+ =2

d) d là đường trung trực đoạn thẳng MN mặt phẳng

(OMN) biết M(2;1; 4), (0; 5;2)N −

e) d vng góc với trục tung, song song với mặt phẳng x +2y =1

đồng thời qua tâm I của mặt cầu x2+y2 +z2 −4y− =5 0 Bài 23: Viết phương trình tham số đường thẳng sau

a) d1:

2

y

x+ − z+

−

= = b) d2 :

2

y

x− + z

Tính n =[u u1, 2]

Xét M1 d2

1

d chéo d2

1

d cắt d2

1€2

d d

1

d ≡d

Tính T =n M M 1 2

n =

0

n ≠

1

M ∈d

1

M ∉d

0

T ≠

0

T =

(u1,u2 cùng phương)

(u1,u2 không phương)

9 Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) :P Ax+By+Cz+D =0 có vtpt n =( ; ; )A B C

mặt phẳng ( ) :Q A x′ +B y′ +C z′ +D′=0 có vtpt n′=( ;A B C′ ′ ′; )

a)Hai mặt phẳng song song với

( )€( )

n k n

P Q

D k D

 ′

 = 

⇔  ≠ ′



(Nếu A B C D′ ′ ′ ′, , , khác ( )€( ) A B C D

A B C D

P Q

′ ′ ′ ′

⇔ = = ≠ )

b) Hai mặt phẳng trùng

( ) ( )

n k n

P Q

D k D

 ′

 = 

≡ ⇔  = ′



(Nếu A B C D′ ′ ′ ′, , , khác ( ) ( ) A B C D

A B C D

P Q

′ ′ ′ ′

≡ ⇔ = = = )

c) Hai mặt phẳng cắt

caét

( )P ( )Q ⇔n n′ không phương với

Hai mặt phẳng vng góc

( )P ⊥( )Q ⇔n ⊥n′⇔n n ′=0

10 Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho đường thẳng d1 qua điểm M x y z1( ; ; )1 1 1 , có vtcp u1 =( ; ; )a b c1 1 1

đường thẳng d2đi qua điểm M x y z2( ; ; )2 2 2 có vtcp u2 =( ; ; )a b c2 2 2

Khi biết d1 cắt d2, ta viết phương trình tham số d d1, 2 theo

tham số khác t t1, 2 Giải hệ phương trình tạo nên chúng để tìm

11 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Cho :

0 0

( )

x x at

d y y bt

z z ct

 = +



 = + ∗



 = + 

mặt phẳng ( )P Ax: +By+Cz+D =0(1) Thay ( )∗ vào (1) ta phương trình (2) theo biến t

Nếu phương trình (2) vơ nghiệm t kết luận d€( )P

Nếu phương trình (2) có vơ số nghiệm t kết luận d ⊂( )P

Nếu phương trình (2) có nghiệm t =t0 thay t =t0 trở lại vào phương trình ( )∗ ta tìm ( ; ; )x y z0 0 0 Kết luận d (P)

cắt điểm M x y z0( ; ; )0 0 0

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 24: Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )α biết

1

1

:x y z

d + −

−

= = ( ) :α x−3y−2z− =2

Bài giải

Phương trình tham số đường thẳng d là:

1 ( )

x t

y t

z t

 = − + 

 = − ∗



 = + 

Thay x,y,z từ ( )∗ vào phương trình mặt phẳng ( )α ta

1 t 3( )t 2(4 )t 11 2t

− + − − − + − = ⇔ − − = ⇔ 11

2

t = −

Thay 11

2

t = − trở lại vào ( )∗ ta 13 11 25

2 ; ;

x = − y= z= −

Vậy, giao điểm d và ( )α ( 13 11 25)

2 ; ;

H − −

Bài 25: Xét vị trí tương đối đường thẳng

1

:x y z

d + −

−

= = với

a) 1:

1 2

x t

y t

z t

 = + 



∆  = −

 = + 

b) 2:

2

x t

y t

z t

 = + 



∆  = −

 = + 

c) 3:

1

x t

y t

z t

 = − − 



∆  = +

 = − + 

Bài giải

Câu a: Đường thẳng d qua điểm M( 1; 3; 0)− có vtcp u =(1; 1; 3)−

1

∆ qua điểm M1(1; 0; 3) có vtcp u1 =(2; 2; 6)−

Ta có, u1 =2u hay n =[ ,u u1]=0 nên u1 phương với u

Hơn nữa, toạ độ điểm M1 khơng thoả mãn phương trình d

Vậy, M1 ∉d d€∆1

Câu b: d qua điểm M( 1; 3; 0)− có vtcp u =(1; 1; 3)−

2

∆ qua điểm M2(2; 8;1) có vtcp u2 =(1; 2; 4)−

Ta có, [ , 2] 3; 1; (2; 1; 1) 4

n u u

− − 

 



= = − − = − − ≠

− 

 

nên u u2 không phương với

Ngoài ra, MM2 =(3; 5;1)⇒n MM 2 = ⇒0 d ∆2 cắt

Phương trình tham số

1

:

3

x t

d y t

z t

 = − + 

 = − 

 = 

và

2

2

2

2

:

1

x t

y t

z t

 = + 



∆  = −

 = + 

Xét

2

2 2

2

2 2

1 11

11

3 2

8

3 4

t t t t t

t

t t t t t

t

t t t t t t

  

− + = +  − =  =

    =

   

 − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ 

    =

   

 = +  − =  − = 

  

  

  

Giao điểm d và ∆2 H(10; 8; 33)−

Câu c: d qua điểm M( 1; 3; 0)− có vtcp u =(1; 1; 3)−

3

∆ qua điểm M3( 1; 4; 1)− − có vtcp u3 = −( 2;1; 3)

Ta có

3

1 3 1

[ , ] ; ; ( 6; 9; 1)

1 3

n u u

− − 

 



= = − = − − − ≠

− − 

 

nên u u3 không phương với Ngoài ra, MM3 =(0;1; 1)− ⇒n MM 3 = − ≠ ⇒8 d cheùo ∆3

Bài 26: Xác định toạ độ hình chiếu vng góc điểm M(2;1; 5) lên

a) ( ) : 3α x− + + =y z b)

1

:x y z

Bài giải

Câu a: Gọi d đường thẳng qua M(2;1; 5) vng góc với mặt phẳng ( ) : 3α x− + + =y z (1)

2

:

5

x t

d y t

z t

 = + 

 = − 

 = + 

(*) Gọi H là hình chiếu vng góc M lên ( )α H = ∩d ( )α

Thay (*) vào (1) ta được:

3(2+3 ) (1t − − +t) (5+ + = ⇔t) 11t+11= ⇔ = −0 t

Vậy, hình chiếu điểm M lên ( )α H( 1;2; 4)−

Câu b: Gọi ( )α mặt phẳng qua điểm M(2;1; 5) vng góc với d Hướng dẫn: viết phương trình ( )α phương trình tham số

của d dùng phương pháp tìm toạ độ giao điểm chúng Đáp số: ( ) :α x+3y+5z−30=0 H(1; 3; 4)

BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG, MẶT Bài 27: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau đây:

a) ( ) : 2P x−3y+ − =z 0 và ( ) : 4Q x−6y+2z− =3

b) ( ) : 3α x− + =y ( ) : 9β x−3y+ =6

c) ( ) :α1 x−2y+ =1 ( ) :α2 x−2z+ =1

Bài 28: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau đây:

a) d1:

1 1

y

x− − z−

−

= = d2 : 1

2 2

y

x− + z−

−

= =

b) d1:

2

y

x− = − = z−

2 :

d

3

y z

x− + +

−

= =

c) d1 :

2

y

x− − z

−

= = d2 :

2

y

x + z−

− = =

d)

1

1

1

2

:

1

x t

d y t

z t

 = + 

 = − 

 = − − 

2

2

2

7

:

12

x t

d y t

z t

 = − 

 = + 

 = 

Bài 29: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng mặt phẳng sau:

a) 12

4

:x y z

d − = − = − ( ) : 3α x+5y− − =z

b)

2

:x y z

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 30: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5) a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua C vng góc với AB b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (ABC) B Bài 31: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4) D(4;0;6)

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC) c) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc D lên (ABC) Bài 32: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(5;1;3), B(1;6;2) C(5;0;4)

a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC

b) Xác định toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa hình bình hành ABCD d) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với ( )α A Bài 33: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x−2y+ + =z 0,

mặt cầu ( ) : (S x−1)2 +(y+3)2+ −(z 4)2 =6 điểm A(2; 1; 3)− a) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng ( )P

đồng thời qua tâm I của mặt cầu ( )S

c) Viết phương trình mặt phẳng ( )β song song với mặt phẳng ( )P

đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( )S

Bài 34: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(5; 3; 1) (2; 3; 4) (1;2; 0) (3;1; 2)− ,B − ,C ,D −

a) Chứngminh rằngABCD là tứ diệncó cặp cạnh đối diện vng góc với Tính thể tích tứ diện ABCD

b) Viết phương trình mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện ABCD

c) Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu ( )S A

Bài 35: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Viết phương trình mặt phẳng (ACD) chứng minh điểm B

không thuộc mặt phẳng (ACD)

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD c) Viết phương trình mặt cầu đường kính BD

Bài 36: Cho ( )S mặt cầu có tâm I(5;–3;7) qua điểm M(1;0;7)

a) Chứng minh điểm N(5;1; 4) thuộc mặt cầu ( )S

b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S N

Bài 37: Cho điểm I(–2;1;1) mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + =

a) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )α b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm I song song với ( )α Bài 38: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(3; 1;2), (2;1; 0), (1; 3;1)− B C −

a) Chứng minh ABC tam giác vng cân Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Chứng minh OABC là tứ diện Tính thể tích tứ diện OABC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Bài 39: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A,B,C lần lượt hình chiếu vng góc điểm M(4; 6;12)− lên trục toạ độ Ox,Oy,Oz

a) Xác định hình chiếu vng góc điểm Mlên mặt phẳng (ABC)

b) Với điểm D( 1; 3; 4)− , chứng minh ABCD là tứ diện

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD đi qua gốc toạ độ O Bài 40: Cho A(1;2;3), B(1;6;2) mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – =

a) Viết phương trình mặt cầu ( )S1 có tâm A tiếp xúc với mp(β)

b) Viết phương trình mặt cầu ( )S2 có tâm B qua điểm A

c) Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (β) Từ đó, tìm toạ độ giao điểm d (β)

Bài 41: Cho mặt cầu ( )S x: +y2 +z2 =9 mp(α): x + 2y – 2z + = a) Xác định toạ độ tâm I tính bán kính R mặt cầu Tính

khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (α)

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu ( )S Tìm toạ độ tiếp điểm ( )S (β)

Bài 42: Cho điểm M(1;4;2) mặt phẳng (α): x + y + z – = a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)

b) Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với (α) Bài 43: Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0)

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tính diện tích b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c) Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ

đó suy thể tích tứ diện ABCD Bài 44: Cho A(–2;6;3), B(1;0;2), C(0;2;–1), D(1;4;0)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)

b) Chứng minh BCD tam giác vng, từ tính diện tích tam giác BCD

Bài 45: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(6;2;–5), B(–4;0;7) a) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB

b) Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu ( )S A

Bài 46: Viết phương trình mặt phẳng (α) trường hợp sau: a) (α) qua A(1;2;3) song song với mp(Oxy)

b) (α) qua A(1;2;3) song song với mặt phẳng x + y + z = Bài 47: Cho điểm A(1;0;0) đường thẳng ∆:

2

x t

y t

z t

 = + 

 = + 

 = 

a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A đường thẳng ∆ b) Tìm tọa độ A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa A ∆

Bài 48: Cho điểm M(1;4;2) mặt phẳng (α): x + y + z – = a) Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M (α) b) Tìm tọa độ M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α)

c) Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α)

Bài 49: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;–1;3), B(3;0;1), C(0;4;5) a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A vng góc với BC b) Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc điểm A lên

đường thẳng BC

c) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC Bài 50:Cho A(1;0;0) H hình chiếu A lên

1

:x− y− z

∆ = =

a) Tìm tọa độ điểm H Từ tính khoảng cách từ điểm A đến ∆ b) Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆

Bài 51: Cho : 11

16

x t

d y t

z t

 = 

 = − + 

 = − 

:

2

x y z

d′ − = − = − Chứng minh

rằng d d′cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d′

Bài 52: Cho (α): 3x – 2y – z + = ∆:

2

y

x− = − =z−

a) Chứng tỏ ∆ (α) song song với

Bài 53: Cho điểm A(3;2;1) đường thẳng d:

2

y z

x = = +

a) Chứng minh điểm A khơng thuộc đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua A chứa d

c) Viết phương trình đường thẳng d′qua A, vng góc d cắt d

Bài 54:Cho ( ) : 3α x−2y− + =z

2

:x y z

d − = − = −

a) Chứng minh d€( )α b) Tính khoảng cách d (α)

Bài 55: Cho hai đường thẳng :

6

x t

d y t

z t

 = 

 = + 

 = + 

1

:

3

x t

d y t

z t

 = + ′

 

′  = − + ′

 = − ′

 a) Chứng minh d d′chéo

b) Lập phương trình mặt phẳng qua O song song với d d′

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d song song với d′

Bài 56: Cho hai đường thẳng d1:

2

y

x− + z−

−

= = 2

7

: 2

1

x t

d y t

z t

 = + 

 = + 

 = − 

a) Chứng minh d1 d2 cắt

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 d2

c) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng d1 d2 đồng thời cắt hai đường thẳng

Bài 57: Cho hai đường thẳng d1:

1

1

4

2

x t

y t

z t

 = 

 = − 

 = − + 

2

2

2

: 2

1

x t

d y t

z t

 = 

 = + 

 = + 

a) Chứng minh d1 vng góc với d2 khơng cắt d2

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1và vng góc với d2 c) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2

Bài 58: Cho I( 1; 3; 4)− , ( ) :α x− − =z ( ) : 3β x+4y+3z− =4

a) Chứng minh ( )α ⊥( )β Viết phương trình mặt phẳng ( )γ

đi qua điểm I đồng thời vng góc với ( )α lẫn ( )β

b) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với giao tuyến

Ph n VI Ph n VI Ph n VI

Ph n VI TH TÍCH TH TÍCH TH TÍCH KH I ĐA DI/N TH TÍCH KH I ĐA DI/N KH I ĐA DI/N KH I ĐA DI/N KH I TRÒNKH I TRÒNKH I TRÒN XOAYKH I TRỊNXOAYXOAYXOAY 1 Một số hình khơng gian thường gặp

a)Hình chóp tam giác (tứ diện):

Hình 1: dùng cho loại hình chóp tam giác (tứ diện): Có cạnh bên vng góc với mặt đáy

Có cạnh đơi vng góc với qua đỉnh Hình 2: dùng cho loại hình chóp tam giác (tứ diện):

Hình chóp tam giác

Tứ diện (tất cạnh nhau) b)Hình chóp tứ giác:

Hình 3: Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) đáy ABCD là:

Hình bình hành

Hình chữ nhật

Hình thoi

Hình vng

Nếu ABCD là hình chữ nhật thì: BC ⊥(SAB) CD ⊥(SAD)

mặt bên tam giác vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp trung điểm I cạnh SC Hình 4: Hình chóp S.ABCD có SO⊥(ABCD) đáy ABCD là:

Hình bình hành

Hình chữ nhật

Hình thoi

Hình vng

Nếu S.ABCD là hình chóp thì: 4 cạnh bên

mặt chéo vng góc

c)Hình lăng trụ - hình hộp:

Lăng trụ Lăng trụ đứng Hình hộp

tam giác tam giác chữ nhật

d)Hình cầu – hình trụ - hình nón

2 Các cơng thức tính diện tích – thể tích

a) Thể tích (diện tích) khối chóp – khối nón Cơng thức tính thể tích:

1

V = B h

Diện tích xung quanh mặt nón:

nón

( ) xq

S =πrl

Lưu ý: diện tích hình trịn bán kính r là: S =π.r2 b) Thể tích (diện tích) khối lăng trụ – khối trụ

Cơng thức tính thể tích:

V =B h

Diện tích xung quanh mặt trụ:

truï

( )

xq

S = πrl

Diện tích tồn phần hình trụ:

trụ đáy

( )

tp xq

S =S + S

c) Thể tích (diện tích) khối cầu Cơng thức tính thể tích:

3

V = πR

Diện tích mặt cầu: m.caàu 4

BÀI TẬP VỀ KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Biết SA=AB =BC =a Tính

thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SB a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b) Chứng minh trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC =1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600

a) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a

b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích mặt cầu

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy

bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên

2

SA=a vng góc với mặt đáy, góc SC mặt đáy

bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt

đáy, SAD là tam giác vng cân a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có M trung điểm cạnh AB, AM = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a biết SA=a

Bài 10:Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân A, Hai mặt bên

(SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh BC Biết BC =a SA, =a góc mặt phẳng (SBC)

và (ABC) 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài 13:Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′có cạnh đáy a, A′B

tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ theo a

Bài 14:Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ Biết mặt phẳng (A BC′ ) tạo với mặt đáy góc 300 tam giác A BC′ có diện

tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

Bài 15:Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′có đáy tam giác cạnh a, hình

chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung

điểm M đoạn BC Góc hợp AA′ mặt đáy 300 Tính thể tích lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ theo a

Bài 16:Cho lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′có đáy ABC tam giác vng

cân C cho A C′ =a, góc hợp (A BC′ ) mặt phẳng đáy

bằng α Tìm α để lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′có thể tích lớn

Bài 17:Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách hai mặt đáy 7cm

a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ giới hạn hình trụ

b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục hình trụ cách trục 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên Bài 18:Cho hình trụ có bán kính r chiều cao h =r

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho

Bài 19:Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vng góc với đơi Biết SA=a,AB=BC = a Tính thể tích khối

chóp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 20:Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a (a >0) Tam

giác SAC cân S, góc SAC 60 ,0 (SAC)⊥(ABC) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Bài 21:Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp tứ giác có độ dài cạnh bên 2a gấp đôi độ dài cạnh đáy

P PP

PH* L*C IH* L*C IH* L*C I H* L*C I

(Bảng quy tắc cơng thức tính đạo hàm)

Quy tắc tính đạo hàm

(u±v)′=u′±v′ ( )uv ′=u v′ +uv′ ( )ku ′=ku′

2

u u v uv

v v

′

  ′ − ′

  =  

 

1 u u u ′   ′   = −  

  (f u x ( ))′=f u x′ ( ) ( )u x′

Đạo hàm hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số hợp

1

n n

x =nx −

( )

2 x x ′ = 1 x x ′     = −    

(sin )x ′ =cosx

(cos )x ′ = −sinx

2 (tan ) cos x x ′ = (cot ) sin x x ′ = − 1. n n

u =nu − u′

( ) u u u ′ ′ = u u u ′   ′   = −    

(sin )u ′ =u′.cosu

(cos )u ′ = −u′.sinu

2 (tan ) cos u u u ′ ′ = (cot ) sin u u u ′ ′ = − ( )

ax b ad bc

cx d cx d

′

 +  −

  =

 

 +  + ( )2

au b ad bc

u

cu d cu d

′

 +  −

  = ⋅ ′

 

 +  +

( )x x

e ′ =e

( )

lnx x

′ =

( )u u

e ′ =e u′

( )lnu u u

′ ′ =

( )ax ′ =ax.lna

( )

log

ln

ax ′ =x a

( )au ′ =u a′ .lnu a

(log )

P P P

PH* L*C IIH* L*C IIH* L*C IIH* L*C II (Bảng công thức lượng giác)

1 Công thức bản

2

sin α+cos α=1 2

1

1 tan cos α= + α

2

1

1 cot sin α = + α

sin tan cos α α α

= cot cos

sin

α α

α

= tan cotα α=1 2 Công thức cộng

sin(a+ =b) sin cosa b+cos sina b cos(a+ =b) cos cosa b−sin sina b

sin(a− =b) sin cosa b−cos sina b cos(a− =b) cos cosa b+sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b a b a b + + = − tan tan tan( )

1 tan tan

a b a b a b − − = + 3 Công thức nhân đôi

2

cos 2α=cos α−sin α

2

2 cos α

= −

2

1 sin α = −

sin 2α=2 sin cosα α

2 tan tan tan α α α = − 4 Công thức hạ bậc

2 cos

cos

2

α

α= + sin2 cos 2

α

α= − tan2 cos cos

α α α − = + 5 Cơng thức tổng thành tích

sin sin sin cos

2

a b a b

a+ b = + − cos cos cos cos

2

a b a b

a+ b= + −

sin sin cos sin

2

a b a b

a− b= + − cos cos sin sin

2

a b a b

a− b = − + −

sin( ) tan tan cos cos a b a b a b −

+ = tan tan sin( )

cos cos a b a b a b + − =

6 Cơng thức tích thành tổng

cos cosa b =

2cos(a− +b) cos(a+b)

sin sina b =

2cos(a− −b) cos(a+b)

sin cosa b =