Tài liệu ôn thi TN THPT C – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Yêu cầu – Hs nắm ñược ñịnh nghĩa nguyên hàm và tích phân, bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp, tính chất của nguyên hàm và t[r]
(1)TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ TỔ TOÁN -NGUYỄN SỸ AN − NGÔ BÁ GIANG NGUYỄN THỊ KIM LIÊN − NGUYỄN VĂN XÁ TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN ֠ THAM KHẢO NỘI BỘ Năm học 2009 – 2010 Lop12.net (2) MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ðẦU A – ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ I SỰ ðỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ II CỰC TRỊ III ðƯỜNG TIỆM CẬN IV KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ V BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VI BÀI TẬP THAM KHẢO B – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT I LÍ THUYẾT II VÍ DỤ 10 III BÀI TẬP THAM KHẢO 13 C – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 14 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 14 II.VÍ DỤ 15 III.BÀI TẬP THAM KHẢO 19 D – SỐ PHỨC 20 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 20 II.VÍ DỤ 20 III.BÀI TẬP THAM KHẢO 20 E – DIỆN TÍCH HÌNH ðA DIỆN, HÌNH TRÒN XOAY VÀ THỂ TÍCH KHỐI ðA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY 21 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 21 II.VÍ DỤ 21 III.BÀI TẬP THAM KHẢO 22 F – PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN 23 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 23 II.VÍ DỤ 25 III.BÀI TẬP THAM KHẢO 26 G – MỘT SỐ ðỀ THAM KHẢO THI TN THPT 27 Lop12.net (3) LỜI NÓI ðẦU Việc biên soạn tài liệu này là nội dung kế hoạch năm học tổ Toán, thể phần nỗ lực tổ Toán việc chuẩn bị cho kì thi TN THPT tới Rõ ràng tài liệu này chẳng có ý nghĩa gì ñối với học sinh trên lớp không chú ý nghe giảng và không tham gia tích cực các hoạt ñộng học theo dẫn giáo viên, nhà không dành thời gian hợp lí cho việc tự học Nhưng chúng tôi hi vọng, với các học sinh còn nuôi dưỡng ñược trái tim mình khát vọng vươn lên, ñây là người bạn nhỏ ñi bên cạnh các em suốt thời gian các em ôn luyện, chuẩn bị cho thi TN THPT, và mong nó ñóng góp phần nào ñấy vào kết mà các em ñạt ñược Chúng tôi [trăn trở] chất lượng và hiệu tài liệu này Hãy cho phép chúng tôi ñược chia sẻ suy nghĩ quý thầy cô và các em học sinh ñiều cần phát huy, ñiều cần khắc phục tài liệu, và cảm ơn quan tâm ñó Chúng tôi chân thành cảm ơn ñồng chí Hiệu trưởng, ñồng chí Tổ trưởng, và các ñồng nghiệp trường ñã giúp ñỡ chúng tôi hoàn thành tài liệu nhỏ này Nhóm Toán 12 Lop12.net (4) Tài liệu ôn thi TN THPT A – ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ Yêu cầu – Nắm ñược sơ ñồ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số – Biết khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số hàm ña thức bậc ba, bậc bốn trùng phương, phân thức bậc trên bậc – Biết giải số bài toán liên quan: viết phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm phương trình, tính diện tích hình phẳng, khoảng ñơn ñiệu và cực trị… – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số (ñơn giản), chủ yếu xét trên ñoạn I SỰ ðỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ – Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên khoảng K Nếu f ’(x) ≥ ∀x∈K (f ’(x) ≤ ∀x∈K), ñó dấu “=” xảy với hữu hạn giá trị x∈K, thì hàm số y = f(x) ñồng biến (tương ứng nghịch biến) trên khoảng K – Hàm số y = ax + b (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) luôn ñồng biến (nếu ad – bc > 0) luôn nghịch biến (nếu cx + d ad – bc < 0) trên khoảng xác ñịnh – Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) ñồng biến (nghịch biến) trên R y’ ≥ (tương ứng y’ ≤ 0) với x∈R – Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Ta nhớ lại: a > a>0 a < 2) f(x) ≥ ∀x∈R ⇔ 3) f(x) < ∀x∈R ⇔ ∆ < ∆ ≤ ∆ < a<0 a ≠ 5) f(x) ≠ ∀x∈R ⇔ 4) f(x) ≤ ∀x∈R ⇔ ∆ ≤ ∆ < Chú ý: Ở trên có thể thay ∆ ∆ ' , và hệ số a có chứa tham số thì phải xét thêm trường hợp a = ∆ b 6) Nếu a > thì ax2 + bx + c ≥ − ∀x∈R, dấu “=” xảy x = − 4a 2a ∆ b 7) Nếu a < thì ax2 + bx + c ≤ − ∀x∈R, dấu “=” xảy x = − 4a 2a 1) f(x) > ∀x∈R ⇔ 8) Nếu ∆ ≥ thì f(x) có hai nghiệm x = −b ± ∆ , kí hiệu hai nghiệm là x1, x2 Ta có 2a b c S = x1 + x = − , P = x1.x = Hơn ta còn có thể xét dấu ñược các nghiệm x1, x2 f(x) a a 9) Nếu ∆ > 0, ta giả sử x1 < x2, thì x –∞ x1 x2 +∞ f(x) cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a Ví dụ1 Tìm m ñể hàm số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – ñồng biến trên tập xác ñịnh Hướng dẫn Hàm số ñã cho ñồng biến trên tập xác ñịnh D = R y’ = 3x2 – 6mx + m + ≥ ∀x∈R ⇔ △’ = 3(3m2 – m – 2) ≤ ⇔ – ≤ m ≤ 3 Vậy với – ≤ m ≤ thì hàm số ñã cho ñồng biến trên tập xác ñịnh Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (5) Tài liệu ôn thi TN THPT II CỰC TRỊ – Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên khoảng K, x0 ∈K, và f(x) có ñạo hàm trên K\{x0} (tại x0 hàm f(x) không có ñạo hàm, f ’(x0) = 0) Nếu f ’(x) ñổi dấu từ dương sang âm (hoặc từ âm sang dương) x ñi qua x0 thì x0 là ñiểm cực ñại (tương ứng ñiểm cực tiểu) hàm số y = f(x) – Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm ñến cấp hai trên khoảng K, x0 ∈K, thì: f '(x ) = ⇒ x0 là ñiểm cực ñại f(x) f ''(x ) < f '(x ) = ⇒ x0 là ñiểm cực tiểu f(x) f ''(x ) > 1) – Hàm phân thức y = 2) ax + b (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) không có ñiểm cực trị, vì ñạo hàm y’ không ñổi dấu cx + d – Hàm ña thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) không có ñiểm cực trị (khi y’ có △ ≤ 0) có ñiểm cực trị, ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu (khi y’ có △ > 0) – Hàm ña thức bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có ñiểm cực trị (khi y’ có nghiệm x = 0), có ñiểm cực trị, cực ñại và cực tiểu (khi y’ có nghiệm phân biệt) Ví dụ2 Chứng minh với m hàm số y = x4 – (m2 + 12)x2 + m luôn có ñiểm cực trị Hướng dẫn Vì y’ = 4x3 –2(m2 + 12)x = 2x(2x2 – (m2 + 12)) luôn có nghiệm phân biệt và ñổi dấu x ñi qua nghiệm nên hàm số ñã cho luôn có ñiểm cực trị, với m Ví dụ Chứng minh x = là ñiểm cực tiểu hàm số y = ex – sinx Hướng dẫn Ta thấy y’= ex – cosx, y’’ = ex + sinx nên y’(0) = 0, y’’(0) = > Vậy x = là ñiểm cực tiểu hàm số ñã cho Ví dụ Cho hàm số y = x − mx − (2m + 3)x + a) Chứng minh hàm số luôn có ñiểm cực trị với m b) Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại tai x = –2 Hướng dẫn a) y’ = x2 – 2mx – 2m –3 là tam thức bậc hai có △’ = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > với m∈R, nên y’ có hai nghiệm phân biệt và ñổi dấu x ñi qua nghiệm Vậy hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị với giá trị tham số m y '( −2) = b) C1 y’’ = 2x – 2m Hàm số ñã cho nhận x = – làm ñiểm cực ñại ⇔ y ''( − 2) < m = – Vậy với m = – + 2m = ⇔ − − 2m < thì hàm số ñã cho ñạt cực ñại x = – 2 C2 Ta lập ñược bảng biến thiên hàm số ñã cho x –∞ m – m2 + 2m + y’ + yCð m + m2 + 2m + – +∞ + +∞ y –∞ yCT Hàm số ñã cho có ñiểm cực ñại x = – m – m + 2m + = – ⇔ m + 2m + = m + ⇔ 1 m + 2m + = (m + 2) ⇔ m = – Vậy với m = – thì hàm số ñã cho ñạt cực ñại x = – 2 m+2≥0 Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (6) Tài liệu ôn thi TN THPT III ðƯỜNG TIỆM CẬN – Nếu xảy ít hai ñiều kiện lim f (x) = y0 lim f (x) = y0 thì y = y0 là ñường x →+∞ x →−∞ tiệm cận ngang ñồ thị hàm số y = f(x) Như ñồ thị hàm số có tối ña hai tiệm cận ngang – Nếu xảy ít ñiều kiện lim+ f (x) = +∞ , lim+ f (x) = −∞ , lim− f (x) = +∞ , x →x0 x →x0 x →x0 lim f (x) = −∞ thì ñường thẳng x = x0 là ñường tiệm cận ñứng ñồ thị hàm số y = f(x) x → x 0− – ðồ thị hàm số ña thức bậc ba và bậc bốn trùng phương không có tiệm cận – ðồ thị hàm số y = ax + b a d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có tiệm cận ngang y = , tiệm cận ñứng x = – cx + d c c IV KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh 2) Xét biến thiên – Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’ – Kết luận biến thiên và cực trị – Tìm giới hạn vô cực và giới hạn vô cực Tìm tiệm cận (nếu có) – Lập bảng biến thiên 3) Vẽ ñồ thị Một số lưu ý – Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R, ñồ thị cắt Oy A(0; d), nhận ñiểm I( − b b ; f( − )) làm tâm ñối xứng 3a 3a – Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R, ñồ thị cắt Oy B(0; c), nhận Oy làm trục ñối xứng ax + b d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R\{– }, không có cực trị, ñồ thị có cx + d c a d d a tiệm cận ngang y = , tiệm cận ñứng x = – , và giao ñiểm I(– ; ) hai ñường tiệm cận chính là c c c c – Hàm số y = tâm ñối xứng ñồ thị – Giả sử y = f(x) (C) xác ñịnh và có ñạo hàm trên khoảng K, x0 ∈K + Tiếp tuyến (C) ñiểm M0(x0; f(x0))∈(C) có phương trình y = f ’(x0).(x – x0) + f(x0) (M0(x0; f(x0)) là tiếp ñiểm, k = f’(x0) là hệ số góc) + Nếu (d) là tiếp tuyến ñồ thị (C) và (d) có hệ số góc k (k có thể cho trực tiếp, có thể cho gián tiếp thông qua (d) vuông góc song song với ñường thẳng cho trước), ta giải phương trình k = f '(x) ñể tìm hoành ñộ tiếp ñiểm x0, và phương trình (d) là y = k.(x – x0) + f(x0) + Cho (d) là ñường thẳng ñi qua A(xA; yA) và tiếp xúc với (C) Giả sử M0(x0; f(x0) là tiếp ñiểm (C) và (d) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y = f ’(x0).(x – x0) + f(x0) Do A∈(d) nên y A = f '(x ).(x A − x ) + f(x ) , từ ñây tìm x0 và suy phương trình (d) Ví dụ5 Cho hàm số y = x3 + (m + 2)x + m + 1) Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực tiểu x = 2) Vói m vừa tìm ñược, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3) Biện luận theo k số nghiệm phương trình x3 – 3x = 2k Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (7) Tài liệu ôn thi TN THPT y '(1) = m+5=0 Hướng dẫn 1) y’ = 3x2 + m + 2; y’’ = 6x Hàm số ñạt cực tiểu x = ⇔ ⇔ y ''(1) > 6>0 m = – Vậy với m = – thì hàm số ñã cho có ñiểm cực tiểu x = 2) Khi m = – thì hàm số trở thành y = x3 – 3x +2 * TXð D = R * Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = ⇔ x = ± y’ > ⇔ x∈(– ∞ ; – 1) ∪ (1; + ∞ ) nên hàm số ñồng biến trên các khoảng (– ∞ ; – 1), (1; + ∞ ) y’ < ⇔ x∈(– 1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– 1; 1) Hàm số ñạt cực ñại x = –1, yCð = y( – 1) = Hàm số ñạt cực tiểu x = 1, yCT = y(1) = Giới hạn lim y = lim x (1 − x →+∞ Bảng biến thiên x –∞ y’ + x →+∞ –1 3 + ) = +∞ , lim y = lim x (1 − + ) = −∞ x →−∞ x →−∞ x x x x – +∞ + +∞ y –∞ * ðồ thị – ðồ thị hàm số có ñiểm cực ñại (– 1; 4), ñiểm cực tiểu (1; 0), tâm ñối xứng (0; 2) – ðồ thị giao với Ox (1; 0), (– 2; 0), giao với Oy (0; 2), ñi qua ñiểm (2; 4) 3) x3 – 3x = 2k ⇔ x3 – 3x +2 = 2k +2 Số nghiệm phương trình ñã cho số ñiểm chung ñồ thị (C) y = x3 – 3x +2 và ñường thẳng (d) y = 2k + (nằm ngang) Từ ñồ thị ta thấy 2k + > k >1 thì (C) và (d) có ñiểm chung nên phương trình ñã cho có nghiệm – Với ⇔ 2k + < k < −1 2k + = – Với ⇔ k = ±1 thì (C) và (d) có ñiểm chung 2k + = nên phương trình ñã cho có nghiệm – Với < 2k + < ⇔ −1 < k < thì (C) và (d) có ñiểm chung nên phương trình ñã cho có nghiệm Ví dụ 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − x − 2 2) Từ ñồ thị, giải bất phương trình x − x − ≤ 2 Hướng dẫn 1) Học sinh tự làm 2) Nghiệm BPT − ≤ x ≤ 4x + Ví dụ 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số y = 2x − Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (8) Tài liệu ôn thi TN THPT 2) Viết PT tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – = Hướng dẫn 1)* TXð: D = R\{ } *Sự biến thiên: y’= −14 ∀x∈D (2x − 3) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh (– ∞ ; ), ( ; + ∞ ) Hàm số không có cực trị 4+ x = , lim 4x + = +∞ , Giới hạn: lim y = lim x →±∞ x →±∞ 2− x→( )+ 2x − x lim x→( )− 4x + = −∞ , ñồ thị có tiệm cận ngang y = và tiệm 2x − cận ñứng x = Bảng biến thiên x *ðồ thị: –∞ y’ – +∞ +∞ – ðồ thị cắt Ox ñiểm (– ; 0), cắt Oy ñiểm (0; – ) ðồ thị ñi qua các ñiểm – (–1; y ), (–2; 1), (1; 5), (2; 9) – ðồ thị có tâm ñối xứng là giao ñiểm –∞ I( ; 2) hai ñường tiệm cận 2) Vì tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – = nên tiếp tuyến có hệ số góc k = – 14 Vậy tiếp ñiểm có tọa ñộ là nghiệm hệ phương trình 4x + (2x − 3)2 = y = 2x − x = x = ⇔ ⇔ ∨ + 4x − 14 y = y = − y = −14 = 2x − (2x − 3) Tiếp tuyến (C) ñiểm (2; 9) có phương trình y = –14(x – 2) + ⇔ y = – 14x + 37 Tiếp tuyến (C) ñiểm (1; –5) có phương trình y = –14(x – 1) – ⇔ y = – 14x + Nhưng ñường thẳng này lại trùng với ñường thẳng ñã cho 14x + y – = nên bị loại Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y = – 14x + 37 V BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ – Nếu ta lập ñược bảng biến thiên hàm số y = f(x) trên tập D thì có thể kết luận ñược GTLN, NN f(x) trên D – ðể tìm GTLN, NN f(x) trên ñoạn [a; b], ta có thể làm sau: Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (9) Tài liệu ôn thi TN THPT + Tính f ’(x), tìm x∈[a; b] cho f ’(x) = không xác ñịnh Giả sử ñược các giá trị x1, x2, … + Tính f(x1), f (x2), …, f (a), f (b) + Kết luận: max f (x) = max {f(x1 ),f(x ), ,f(a), f(b)} , f (x) = {f(x1 ),f(x ), ,f(a), f(b)} x∈a; b x∈a; b – Có trường hợp chúng ta kết hợp phương pháp ñổi biến Ví dụ Tìm GTLN, NN hàm số trên TXð chúng 1) y = 1+ x – 2−x 2) y = sin2x + cosx 1 + > ∀x∈(–1; 2) Và có y(–1) = – x +1 2 − x , ñạt ñược x = 2; y = – , ñạt ñược x = – 3, Hướng dẫn 1) TXð D = [–1; 2] Ta thấy y’ = y(2) = Vậy max y = x∈D x∈D 2) TXð D = R Ta biến ñổi y = – cos x + cosx ðặt t = cosx, thì – ≤ t ≤ t, và hàm số ñã cho trở thành ∈[–1; 1], và f(–1) = –1, 5 π f( ) = , f(1) = Như max y = max f(t) = , ñạt ñược t = ⇔ x = ± + k2π , k ∈ ℤ; x∈ℝ t∈[-1; 1] 4 y = f(t) = –1, ñạt ñược t = –1 ⇔ x = (k2 + 1)π , k ∈ ℤ y = f(t) = –t2 + t + 1, với t∈[–1; 1] Dễ thấy f ’(t) = – 2t + 1, f ’(t) = ⇔ t = x∈ℝ t∈[-1; 1] VI BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Cho hàm số y = x4 + 2x2 – (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 + 2x2 = 2m 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao ñiểm (C) với trục Oy 4) Tìm GTLN, NN hàm số trên [–2; 3] 5) Vẽ ñồ thị hàm số y = – x3 – x2 + 2x (C’) trên cùng hệ trục tọa ñộ với (C) Từ ñó suy số nghiệm phương trình x4 + x3 + 3x2 – 2x – = 6) Giải bất phương trình x4 + 2x2 – > Bài Cho hàm số y = x3 – 3x + (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao ñiểm (C) với trục Ox 3) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x + 2m = 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục hoành 5) Tìm GTLN, NN hàm số trên [–1; 1] x − (C) Bài Cho hàm số y = x+2 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Tìm m ñể (d) y = x + m cắt (C) ñiểm phân biệt 3) Tìm GTLN, NN hàm số trên [0; 1] Bài Tìm GTLN, NN hàm số 1) y = sinx + cos2x trên R 3) y = 1− x – 3x trên ñoạn [0; 1] 5)y = cos x + cos 2x trên R 2) y = 2x.ex trên ñoạn [–2; 0] 4) y = x2 – 4ln(x + 1) trên ñoạn [0; 4] 6)y = −2x + 3x − trên TXð Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (10) Tài liệu ôn thi TN THPT B – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Yêu cầu – Học sinh nắm ñược các tính chất lũy thừa, căn, logarit, các tính chất hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit – Biết giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit ñơn giản Nội dung này là trọng tâm chương I LÍ THUYẾT – Các tính chất lũy thừa (với giả thiết các biểu thức có nghĩa): m ax a ax a x a y = a x + y ; (a.b) x = a x b x ; y = a x − y ; ( ) x = x ; (a x ) y = a xy ; k a m = a k a b b α – Hàm số y = u ( α là số): + Nếu α ∈ ℕ * thì uα có nghĩa u có nghĩa + Nếu α ∈ ℕ , α ≤ 0, thì uα có nghĩa u ≠ + Nếu α ∉ ℤ thì uα có nghĩa u > + ðạo hàm ( uα )’ = α uα −1 u’ du uα +1 + Nguyên hàm ∫ uα du = = ln | u | + C + C, α ≠ −1 ; ∫ u −1du = ∫ u α +1 – Hàm số số mũ y = ax (hằng số a > 0, a ≠ 1): + ðạo hàm (ax)’ = ax.lna; (ex)’ = ex; (au)’ = u’ au.lna; (eu)’ = eu.u’ + Nếu a > thì hàm số y = ax ñồng biến trên R Nếu < a < thì hàm số y = ax nghịch biến trên R + Nguyên hàm ∫ a x dx = ax au + C; ∫ e x dx = e x + C; ∫ a u du = + C; ∫ e u du = e u + C lna lna – Hàm số logarit y = logax (hằng số a > 0, a ≠ 1): 1 u' u' + ðạo hàm (log a x) ' = ; (lnx)' = ; (log a u) ' = ; (lnu)' = xlna x ulna u + Nếu a > thì hàm số y = logax ñồng biến trên khoảng (0; + ∞ ) Nếu < a < thì hàm số y = logax nghịch biến trên (0; + ∞ ) f(x) > + Lưu ý: log f(x) g(x) có nghĩa f(x) ≠ g(x) > – Nếu a > 0, a ≠ thì: + af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x) + logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > + logaf(x) = g(x) ⇔ f(x) = ag(x) – Nếu a > thì: + af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) + logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x) > – Nếu < a < thì: + af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) + logaf(x) > logag(x) ⇔ < f(x) < g(x) Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net (11) – Tài liệu ôn thi TN THPT Khi áp dụng các công thức biến ñổi logarit ta cần quan tâm tới ñiều kiện chúng, và nhớ rằng: b ) = logab – logac c b + Với a > 0, a ≠ 1, b < 0, c < thì loga(bc) = loga(–b) + loga(–c), loga( ) = loga(–b) – loga(–c) c 2n + Với a > 0, a ≠ 1, x ≠ 0, n ∈ ℤ , thì logax = 2n.loga|x| + Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > thì loga(bc) = logab + logac, loga( II VÍ DỤ Ví dụ Tìm tập xác ñịnh và tính ñạo hàm hàm số 1) y = (2x + 1) 2) y = e x −x 3) y = log2(x – x2) Hướng dẫn 1)Hàm số có nghĩa 2x + > ⇔ x > – ðạo hàm y’= 2(2x + 1) −1 1 , nên nó có tập xác ñịnh là D = (– ; + ∞ ) 2 2) TXð D = R ðạo hàm y’= (2x − 1)e x −x 3) Hàm số có nghĩa x –x2 > ⇔ < x < 1, nên nó có tập xác ñịnh là D = (0; 1) ðạo hàm y’= (x − 2x ) ' = − 22x (x − x ) ln (x − x ) ln Ví dụ Giải phương trình 1) ( ) x −1 = ( ) x +1 4) x+1 x – = 18.9x 2) 5x + + 5x + + 5x + = 2x + + 2x + + 2x + 3) 4x – 4.2x + = 5) ( + 1)x + ( – 1)x = 2 6) 2x = x +1 8) ( – 1) +( – 1) = 9) 5x − x.3x = x=0 5 Hướng dẫn 1) PT ⇔ ( )1− x = ( ) x +1 ⇔ x + = − x ⇔ Vậy phương trình ñã cho có 2 x = −1 nghiệm x = 0, x = – 14 14 2) PT ⇔ 5x (5 + 25 + 125) = 2x (2 + + 8) ⇔ ( ) x = ⇔ x = log ( ) Vậy phương trình ñã cho 155 155 x 7) 4x + 5x = 3.3x x x+1 14 có nghiệm x = log ( ) 155 t =1 3) Ta ñặt t = x , t > 0, phương trình trở thành t − 4t + = ⇔ (thỏa mãn ñiều kiện t > 0) t = – Với t = thì x = ⇔ x = – Với t = thì x = ⇔ x = log23 Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x = 0, x = log23 2 4) PT ⇔ 4 x – x = 18 x ⇔ 4.( ) x − ( ) x − 18 = ðặt t = ( ) x , t > 0, phương trình trở thành 3 t = (tm t > 0) 9 2 Với t = thì ( ) x = ⇔ ( ) x = ( )−2 ⇔ x = –2 Vậy phương 4t − t − 18 = ⇔ 4 3 t = − (ktm t > 0) trình ñã cho có nghiệm x = – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 10 (12) Tài liệu ôn thi TN THPT 5) Ta thấy ( + 1).( t+ – 1) = ðặt t = ( + 1)x , t > 0, ( – 1)x = , phương trình trở thành t t = −1 = 2 ⇔ t − 2t + = ⇔ (tm ñk) t t = + – Với t = x − thì ( + 1) = − ⇔ x = – x – Với t = + thì ( + 1) = + ⇔ x = Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x = ± 3 6) PT ⇔ ( ) x + ( ) x = Kiểm tra thấy x = là nghiệm phương trình Nếu x > thì ( ) x < , 2 1 ( ) x < , nên ( ) x + ( ) x < , suy x > không là nghiệm phương trình ñã cho Tương tự 2 x < thì ( ) x + ( ) x > nên x < không là nghiệm phương trình ñã cho Vậy phương trình 2 ñã cho có nghiệm x = 7) 4x + 5x = 3.3x ⇔ ( ) x + ( ) x = Lập luận tương tự trên ta ñược x = là nghiệm 3 phương trình ñã cho −1 x +1 x +1 x 8) PT ⇔ ( ) +( ) = ðặt t = ( ) > 0, phương trình trở thành t + = ⇔ t = Từ 2 t ñó tìm ñược x = Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x = 9) 5x −x .3x = ⇔ log5( 5x −x .3x ) = log51 ⇔ log5( 5x −x ) + log5( 3x ) = ⇔ x2 – x + x.log53 = ⇔ x + (log5 − 1)x = ⇔ x = x = – log5 Vậy PT ñã cho có nghiệm x = 0, x = – log5 Ví dụ Giải phương trình 3) ln(x2 – 3x – 7) = ln(1 – x) 1) log2[x(x – 2)] = 2) log2x + log2(x – 2) = 4) 3log 24 x − log x + = 5) log 22 (x + 1) − log (x + 1)3 + log (x + 1) + = 6) logx2 + log2x = –2 7) log4(3.2 + 4) = x x 8) log2(x – 1) = log3x Hướng dẫn 1) log2[x(x – 2)] = ⇔ x(x – 2) = ⇔ x2 – 2x – = ⇔ x = x = – Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x = 4, x = –2 x>0 x = 4(tm) ⇔ x > PT ⇔ log2[x(x – 2)] = ⇔ x2 – 2x – = ⇔ 2) ðiều kiện Vậ y x − > x = −2(ktm) phương trình ñã cho có nghiệm x = 1− x > 3) PT ⇔ ⇔ x − 3x − = − x x <1 x <1 ⇔ x = ⇔ x = −2 Vậy phương trình ñã cho có x − 2x − = x = −2 nghiệm x = –2 Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 11 (13) Tài liệu ôn thi TN THPT 4) Với x > ta ñặt t = log4x, phương trình trở thành 3t2 – 7t + = ⇔ t = t = Với t = thì log4x = ⇔ x = 16 Với t = 1 thì log4x = ⇔ x = Vậy PT ñã cho có nghiệm x = 16, x = 3 5) ðK x + > ⇔ x > –1 Với ñiều kiện này, phương trình ñã cho tương ñương với phương trình log 22 (x + 1) − 3log (x + 1) + log − (x + 1) + = ⇔ log 22 (x + 1) − log (x + 1) + = Bây ñặt ẩn phụ t = log (x + 1) ta ñược phương trình 2t2 – 7t + = ⇔ t = t = – Với t = thì log (x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = – Với t = 1 thì log (x + 1) = ⇔x+1= 2 ⇔x= Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là x = 7, x = 2 −1 −1 x > 1 ðặt t = log2x thì logx2 = , và phương trình ban ñầu trở thành t + = – 6) ðiều kiện t t x ≠1 t≠0 1 ⇔ t = −1 Dẫn tới log2x = – ⇔ x = Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x = ⇔ 2 t + 2t + = x x x x x 7) log4(3.2 + 4) = x ⇔ 3.2 + = ⇔ – 3.2 – = ðến ñây HS làm tiếp ý ví dụ t t t t t 8) ðK x > ðặt t = log3x thì x = Phương trình trở thành log2(3 – 1) = t ⇔ – = ⇔ = + t ⇔ ( ) t + ( ) t = Lập luận ý ví dụ ñể ñược t = Từ ñó tìm x = 3 Nhận xét x 2x 1) Khi ñặt t = a (a > 0, a ≠ 1) thì t > 0, a 3x –x = t2, a = t3, , a = 1 x 1 x , ( ) = , …, ab = thì b = t a t t 2) Với phương trình A1.a2x + A2.axbx + A3.b2x = (a, b > 0, khác 1) ta có thể chia vế cho b2x ñặt a t =( ) x ñể ñưa phương trình bậc hai ẩn t b 3) Với phương trình ax + bx = cx (a, b, c > 0), nhẩm ñược nghiệm, và a > c, b > c, a < c, b < c, thì ta có thể chia vế cho cx, dùng tính ñơn ñiệu hàm số mũ ñể biện luận tính nghiệm phương trình 4) Với phương trình dạng af(x).bg(x)…ch(x) = d (a, b, c, d > 0) f(x) là biểu thức phức tạp thì ta có thể lấy logarit hai vế phương trình theo số a (a ≠ 1) Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 12 (14) Tài liệu ôn thi TN THPT t 5) Với a > 0, a ≠ 1, ta ñặt t = logax thì logxa = (x ≠ 1), logaxn = nt, log a n (x) = , log an x = tn, t n log x = − t , loga = – t, … x a BÀI TẬP THAM KHẢO III Bài Tìm tập xác ñịnh và tính ñạo hàm hàm số 1) y = (2x − 1)−2 2) y = e x 3) y = log (x − x ) 4) y = ln x +1 2−x Bài Tìm tập xác ñịnh hàm số 1) y = log x (1 − x) 2) y = log(x + 1) 3) y = ln log(x + 1) + log(x − 1) 5) y = 3x + x −1 4) y = log x + log(x + 1) 7) y = log (x − 5x + 6) 6) y = ln(e x − 1) Bài Giải phương trình 1) 2x − 17.4 x + 16 = 2) 9x − 3x − = 3) x + x = 4) 2x + 2x +1 = 3x + 3x −1 5) 9x + 12x = 2.16 x 6) (2 − 3)2x = + 7) 27 x + 12 x = 2.8x 8) 2x 10) 2x +1.5x = 200 11)4x + 4− x = 12) 9x + 16x = 25x 13) 81x + = 10.9 x 14) 42x − 17.4 x + 16 = 15) 22x +1 − 5.6 x + 32x +1 = −3x + =4 16) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27 x = 17) 9x + 6x = 22x +1 9) x + 8x = 3.5x 18) ( − 1) x+( + 1) x − 2 = Bài Giải phương trình 1) log [x.(x − 1)]=1 2) log x + log (x − 1) = 3) ln(x − x ) = ln(3x + 1) 4) log 22 x − 3.log8 x3 = 5) log3 (3x + 8) = + x 6) ln(4x + 2) − ln(x − 1) = ln x 7) log 0.2 x − log 0.2 x = 2x −1 − 1) = x − 8) log (3x + 1).log3 x = 2.log (3x + 1) 9) log x (2 10) log3 (4x − 3) + log (2x + 3) = 3 11) log x − 3log 27 x = log3 x 12) log x (125x).log 25 x = Bài Giải bất phương trình 1) x −x ≤1 4) log (5x − 1) > 2) 9x < 2.3x + − 2x 5) log3 ≤0 x Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 3) 2x +1 < 32x 6) log(4x + 11) > log(x + 6x + 8) 13 (15) Tài liệu ôn thi TN THPT C – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Yêu cầu – Hs nắm ñược ñịnh nghĩa nguyên hàm và tích phân, bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp, tính chất nguyên hàm và tích phân, biết vận dụng các phương pháp ñã học ñể tìm nguyên hàm, tính tích phân dạng ñơn giản, biết vận dụng tích phân ñể tính diện tích và thể tích I KIẾN THỨC CẦN NHỚ – Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm hàm f(x) trên khoảng (hoặc nửa khoảng, ñoạn)K F’(x) = f(x) ∀x∈ K Nếu f(x) có nguyên hàm là F(x) trên K thì f(x) có vô số nguyên hàm trên K và nguyên hàm nó ñều có dạng F(x) + C (C là số tùy ý) Ta gọi tất các nguyên hàm f(x) trên K là họ nguyên hàm f(x) trên K, và kí hiệu là ∫ f(x)dx , ta có ∫ f(x)dx = F(x) + C (f(x)dx gọi là biểu thức dấu ∫ , f(x) ñược gọi là hàm số dấu ∫ ) – Tính chất nguyên hàm + ∫ f '(x)dx = f(x) + C; ∫ df(x) = f(x) + C; ( ∫ f(x)dx) ' = f(x); d( ∫ f(x)dx) = f(x)dx + ∫ (a.f(x) + b.g(x))dx = a.∫ f(x)dx + b.∫ g(x)dx + ∫ udv = uv − ∫ vdu – Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C α ∫ x dx = x α +1 + C , α ≠ −1 α +1 dx ∫ x = ln x + C; ∫ x ∫ e dx = e + C x ∫ 0du = C ∫ du = u + C α ∫ u du = u α +1 + C , α ≠ −1 α +1 du −1 ∫ u = ln u + C; ∫ u ∫ e du = e + C dx = ln x + C x u ax + C; a > 0, a ≠ lna ∫ sinxdx = −cosx + C au + C; a > 0, a ≠ lna ∫ sinudu = −cosu + C u ∫ a du = ∫ cosxdx = sinx + C ∫ cosudu = sinu + C ∫ cos x = t anx + C; ∫ (1 + tan x)dx = t anx + C 2 dx du = ln u + C u x ∫ a dx = dx −1 du ∫ cos u = t anu + C; ∫ (1 + tan u)du = t anu + C 2 du ∫ sin x = −co t x + C; ∫ (1 + cot x)dx = −co t x + C ∫ sin u = −co t u + C; ∫ (1 + cot u)du = −co t u + C 2 b – Tích phân: 2 b b ∫ f(x)dx =( ∫ f(x)dx) a = F(x) a = F(b) − F(a) a – Một số tính chất tích phân: a b a b b b + ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx ; ∫ f(x)dx = ; ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = b a a a a Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net a 14 (16) Tài liệu ôn thi TN THPT b + c b ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx a a c b b b + ∫ (α.f(x) + β.g(x))dx = α.∫ f(x)dx + β.∫ g(x)dx a a a b b b + ∫ udv = (uv) − ∫ vdu a a a – Chúng ta lưu ý ñổi biến số: + Nếu hàm số dấu tích phân có dạng sinnx.cosmx, với n, m là các số nguyên, m lẻ thì ñặt t = sinx, còn n lẻ thì ñặt t = cosx π π + Nếu gặp biểu thức ta có thể ñặt x = tant, t ∈ (− ; ) 2 2 a +x π π ; ] ) x = cost (t ∈ [0; π ] ) 2 + Nếu ñặt t = ϕ (x) thì dt = ϕ '(x)dx ðặt x = g(t) thì dx = g’(t)dt ðặt ϕ (x) = g(t) thì ϕ '(x)dx = g’(t)dt – Khi áp dụng phương pháp nguyên hàm phần tích phân phần, cần lưu ý: Nếu biểu thức dấu tích phân có ña thức nhân với sin, cosin, ex, thì ta có thể chọn u là ña thức, còn dv là ọ u là logarit, còn phần còn lại; biểu thức dấu tích phân có ña thức nhân với logarit ta có thể chon dv là phần còn lại – Nếu a, b là số và a ≠ thì dx = d(ax + b) a – Nếu hàm ϕ (x) xác ñịnh và liên tục trên [a; b], phương trình ϕ (x) = vô nghiệm trên khoảng (a; b) thì + Nếu gặp biểu thức dạng a − x ta có thể ñặt x = sint (t ∈ [ − b b a a ta có thể ñưa ñược dấu giá trị tuyệt ñối ngoài dấu tích phân sau ∫ | ϕ (x) | dx =| ∫ ϕ (x)dx | – Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [a; b], diện tích hình phẳng giới hạn b các ñường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b ñược tính theo công thức S = ∫ | f (x) − g (x) | dx a – Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh và liên tục trên [a; b], thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục b Ox hình phẳng giới hạn ñường y = f(x), y = 0, x = a, x = b ñược tính theo công thức V= π ∫f (x)dx a II VÍ DỤ Ví dụ Tìm nguyên hàm 1)I = ∫ (x + − 1)dx x Hướng dẫn 1)I = ∫ (x + 2)J = ∫ (co s(2x − 1) − 2x )dx − 1)dx = x 2)J = ∫ (co s(2x − 1) − x )dx = ∫ 3)K = ∫ (t anx + cotx)2dx 1 x x2 (x + 2.x − 1)dx = + − x + C = x + x − x + C 3 2x x − co s(2x − 1)d(2x − 1) − ∫ dx = sin(2x − 1) − + C 2∫ ln Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 15 (17) Tài liệu ôn thi TN THPT 3)K = ∫ (t anx + cotx)2dx = ∫ ((1 + tan x) + (1 + cot x))dx = t anx − cotx+C Ví dụ Tính 1)I = ∫ t anxdx dx 2)J = ∫ sin 6x.cosx.dx 3)K= ∫ xdx 4)M = ∫ sin xdx 5)N = ∫ x − 5x+6 (1 − 2x) sinx d(cosx) Hướng dẫn 1)I = ∫ t anxdx = ∫ dx = − ∫ = − ln cosx + C cosx cosx 1 1 2)J = ∫ sin 6x.cosx.dx = ∫ (sin 5x + sin 7x)dx = ∫ sin 5xdx+ ∫ sin 7xdx = − cos5x − cos7x + C 10 14 10 14 dx dx 1 d(x − 3) d(x − 2) x −3 3)K= ∫ =∫ = ( − )dx = ∫ −∫ = ln | | +C (x − 2)(x − 3) ∫ x − x − x −3 x−2 x−2 x − 5x+6 − cos2x 1 x 4)M = ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos2x.d(2x) = − sin 2x + C 2 4 − u −1 du 1− u xdx 5) ðặt u = 1–2x ⇒ x = ⇒ dx = – du, Vậy N = ∫ =∫ 2 = ∫ (u −3 − u −4 )du = 4 2 (1 − 2x) u −1 1 −1 )+C = = ( − − + C 3 2u 3u 12(1 − 2x) 8(1 − 2x)2 Ví dụ Tính π 1)I = ∫ sin x cos x 4)N = 1 2)J = ∫ x − x dx dx 3)K = ∫ x (1 − x)2010 dx 0 π e dx ∫ + x2 −1 Hướng dẫn 1)I = 5)M = ∫ π sin x ln xdx x π − cos x ∫ cos4x dx = ∫ cos x 6)P = ∫ − s inxcosxdx π sin xdx ðặt t = cosx ⇒ dt = – sinxdx ⇒ sinxdx = – dt ðổi π cận: x = thì t = 1, x = thì t = Vậy I = 2 ∫ 1− t2 t4 (−dt) = ∫ 2 1 2− (t − t )dt = ( − ) 2= t 3t 3 -4 -2 1 1 1 (1 − x )3 = 2) Cách J = ∫ x − x dx = ∫ − x ( − d(1 − x )) = − 3 0 Cách ðặt t = – x2 ⇒ dt = –2xdx ⇒ xdx = – dt ðổi cận: x = thì t = 1, x = thì t = Ta có 1 1 t t 1 = J = ∫ x − x dx = ∫ t ( − dt) = ∫ tdt = 2 3 Cách ðặt u = 1 − x ⇒ u2 = – x2 ⇒ 2udu = –2xdx ⇒ xdx = – udu ðổi cận: x = thì u = 1, x = Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 16 (18) Tài liệu ôn thi TN THPT 1 thì u = Vậy J = ∫ x − x dx = ∫ u( − udu) = ∫ u 2du = Cách ðặt x = sint, t ∈[– π π ; ], dx = costdt, x = thì t = 0, x = thì t = = − sin t = cos t = cost = cost (do t ∈ [ − π = − ∫ cos td(cost) = − u3 1 = 3 π π π cos t 2= 3 π π , x = thì t =0 Ta có = − co s t = sin t = sint = sint (do t ∈ [0;π ]) Như J = ∫ x − x dx = 2 π sin t = ∫ sin td(sint) = 2= 3 0 0 ∫ cost sin t.( − sin tdt) = π 3) ðặt t = – x, dx = – dt, x = thì t = 1, x = thì t = Do ñó K = ∫ (1− t) t 2010 ( − dt) = ∫ (1 − t)2 t 2010dt = ∫ (t 2010 − 2t 2011 +t 2012 )dt = ( 4) ðặt x = tant, t∈(– = ∫ − π dt = t π = −π 4 π π ; 2 1− x2 = 2 1− x2 = ; ]) Như J = ∫ x − x dx = ∫ sin tcost.costdt = 2 π 2 Ta có 2 Cách ðặt x = cost, t ∈[0; π ], dx = –sintdt, x = thì t = π 2011 2012 t 2013 t t 1 1 − + − + = ) = 2011 1006 2013 2011 1006 2013 4072431858 ), dx = (1 + tan2t)dt, x = –1 thì t = – π , x = thì t = Vậy N = ∫ − π (1+tan t)dt 1+tan t e e e ln xdx = ∫ ln xd(lnx) = ln x = 5) Cách M = ∫ x 1 e ln xdx t5 1 dx = ∫ t dt = = Cách ðặt t = lnx, dt = , x = thì t = 0, x = e thì t = Vậy M = ∫ x x 5 π π ∫ 6) Cách P = − π π s inxd(sinx) = sin x π ∫ s inxcosxdx = − π π 2 π − π 1 1 = (1 − ) = 2 4 π 1 1 Cách P = ∫ s inxcosxdx = s in2xdx = s in2xd(2x) =( − cos2x) = ∫ ∫ π π π 4 π − − − − 4 (Cũng có thể ñổi biến t = sinx t = cosx) Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 17 (19) Tài liệu ôn thi TN THPT π Ví dụ Tính 1)I = ∫(2x−1)exdx x 2) J = ∫ xsin( +1)dx 3)K = ∫ x(1− x)5dx 4)M = ∫ e x sinxdx 5)N = ∫ (2x + 5)cos3xdx Hướng dẫn Chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, tích phân phần ñể làm BT này 1) ðặt u = 2x – 1, dv = exdx, thì du = 2dx, v = ex Ta có I = ∫ (2x − 1)e x dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = = (2x − 1)e x − ∫ e x 2dx = (2x − 1)e x − ∫ e x dx =(2x − 1)e x − 2e x + C = (2x − 3)e x + C x x +1) Vậy J = ∫ x sin( + 1)dx = 3 x x x x x x x = −3xcos( + 1) + 3∫ cos( + 1)dx = −3xcos( + 1) + 9∫ cos( + 1)d( + 1) = − 3xcos( + 1) + 9sin( + 1) + C 3 3 3 2) ðặt u = x, dv = x ∫ x sin( + 1)dx ⇒ du = dx, v = –3cos( (1 − x)6 (1 − x)6 (1 − x)6 Vậy K = ∫ x(1 − x)5dx = − x dx = +∫ 6 (1 − x)6 (1 − x)6 (1 − x)7 −6x − = −x − ∫ (1 − x)6 d(1 − x) = − x − +C = (1 − x)6 + C 6 6 42 (Bài này ta có thể dùng khai triển Niu–tơn ñổi biến t = 1– x) 3) ðặt u = x, dv = (1 − x)5 dx ⇒ du = dx, v = − 4) ðặt u = ex, dv = sinxdx ⇒ du = exdx, v = – cosx Khi ñó M = ∫ e x sinxdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = = −e x cosx + ∫ e x cosxdx Lại ñặt u1 = ex, dv1 = cosxdx ⇒ du1 = exdx, v1 = sinx, và cosxdx = ∫ u1dv1 = = u1v1 − ∫ v1du1 = e x sinx − ∫ e x sinxdx Dẫn tới M = −excosx + ex sinx − ∫ ex sinxdx Mà M = ∫ e x sinxdx Nên M = ex(sinx – cosx) +C π π π π2 2 5) ðặt u = 2x + 5, dv = cos3xdx ⇒ du = 2dx, v = sin 3x , ta có N = ∫ (2x + 5)cos3xdx=∫ udv = (uv) − ∫ vdu = π ∫e x = ((2x + 5) sin 3x) π π +5 22 + cos3x − ∫ sin 3xdx = − π 0 π +5 −3π − 17 =− + (−1) = 9 Ví dụ a) Tính I1 = ∫ lnxdx b) Tính I2 = ∫ log a xdx (a > 0, a ≠ 1) −2 c) Tính I3 = ∫ ln(x − x)dx −3 dx , v = x, áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có x dx x I1 = ∫ lnxdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = xlnx − ∫ x = xlnx − ∫ dx = xlnx − x + C = (ln x − 1)x + C = xln + C x e lnx 1 x x b) I2 = ∫ log a xdx = ∫ dx = ln xdx = (xlnx − x) + C = xlog a x − + C = xlog a + C lna ln a ∫ ln a lna e Hướng dẫn a) ðặt u = lnx, dv = dx thì du = −2 −2 −3 −3 c) I3 = ∫ ln(x − x)dx = = [(ln(− x) − 1)(− x)] −2 −3 ∫ −2 −2 −2 −2 −3 −3 −3 −3 (ln(− x) + ln(1 − x))dx = ∫ ln(−x)dx + ∫ ln(1− x)dx = − ∫ ln(−x)d( − x) − ∫ ln(1− x)d(1− x) + [(ln(1 − x) − 1)(1 − x)] −2 −3 = + 2ln2 – 3ln3 + + 3ln3 – 4ln4 = – 6ln2 Ví dụ 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường cong y = x3 – x và trục Ox 2) Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng trên quanh trục Ox Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 18 (20) Tài liệu ôn thi TN THPT Hướng dẫn 1) Phương trình x3 – x = có ba nghiệm x = 0, x = ±1 Diện tích hình phẳng cần tính là 1 S = ∫ | x − x | dx = ∫ | x − x | dx + ∫ | x − x | dx =| ∫ (x − x)dx | + | ∫ (x3 − x)dx |= 3 −1 −1 −1 0 1 −1 −1 (ñvdt) 2) Thể tích khối tròn xoay cần tính là V = π ∫ (x − x) dx = π ∫ (x − 2x +x )dx = 16π (ñvtt) 105 III BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Tìm họ nguyên hàm x + 3x + 3x − 1 ∫ x + 2x + Bài Tính tích phân π π ∫ cos 4xdx sin2x ∫ − cos x π ln dx x (e + 1)e ∫ 17.∫ 4xlnxdx 18 ∫ 23.∫ (e ∫ (x + sin x)cosxdx ∫ sin xdx π e 0 2 ln x x 2dx 2xdx dx 13.∫ x 2ln(x − 1)dx 14.∫ 15.∫ 16.∫ 2xlnxdx x x +2 x +1 1 π π cosx 3x 2dx x −1 x +2.x dx 19 ∫ dx 20 ∫ sin xtanxdx 21.∫ 22 ∫ ( ) dx 1+sinx x+2 x +1 0 −1 +x)sinxdx π dx 8.∫ (2x + 1)e x dx ∫ (2sinx +3)cosxdx 10.∫ (1 − x )lnxdx π cosx xdx 5.∫ x(1+cosx)dx 2x +1 ∫ 12.∫ e π x ex − ln 11 ∫ cos x sin xdx dx x − 5x + π ∫ (sin6xsin2x − 6)dx 3.∫ π ∫ (2x − 1)12 dx ∫ (s in x − cos x)dx dx 24.∫ cosxsinxdx 25.∫ x(1+ex )dx 2 π 1 26 ∫ x (1 − x )4 dx 27.∫ 3x + 1dx -1 1 0 28.∫ (3x − 2x + 1)dx 29 ∫ (2x − 1)cosxdx 30.∫ (6x − 4x + 1)dx 31.∫ (4x + 1)e x dx 32.∫ (2x + xex )dx Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các ñường y = x + x , y = −2x , x = −2, x = −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) y = − x + 2x + và trục hoành 4 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) y = x − 3x với tiếp tuyến (C) M có x M = 4 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn y = x − x , y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop12.net 19 (21)