[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 20112012 Mơn: Tốn 12. Khối A.
Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y=x3-3x2 + có đồ thị là1 ( ) C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường trịn ( ) ( G : x-m) ( 2+ y-m -1) 2 = 5
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : ( 1 tan- x)( 1 sin 2+ x) = +1 tan x
2) Giải hệ phương trình:
( )
3 4
2 27 1
x y x
x y
ì - - - = -
ï í
- + =
ù ợ
( ,x yẻR ) CõuIII(1,0im)Tớnh tích phân : ( )
1
4 2
1 3
ln ln I = é x +x - x dx ù
ë û
ị
Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C. 1 1 1 có chín cạnh đều bằng 5 .Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1 và BC1
Câu V. (1,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn ab bc+ +ca= 7 abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
4 6
2 2
8a 108b 16c 1 S
a b c
+ + +
= + +
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trịn ( ) ( C : x-4) 2 +y 2 = 4 và điểm E ( ) 4;1 .Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến
,
MA MBđến đường tròn ( )C với ,A B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng ABđi qua E .
2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x-2y+2z- =1 0 và các đường thẳng
1
1 3 :
2 2
x y z
d - = - =
- và 2
5 5
:
6 5
x y z
d - = = +
- Tìm các điểm MỴd N1, Ỵ d 2 sao cho MN song song
với ( )P và cách ( )P một khoảng bằng 2.
Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) 3
3 x 12 x 2 x+
- + + =
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( )d :x-3y-4= 0 và đường trịn ( ) C :x2+y2 -4y= 0. Tìm điểm MỴ ( )d và điểm NỴ ( )C sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A ( ) 3;1 .
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 4 2
x- y z-
D = =
- và hai điểm ( 1; 2; ,)
A - B( 7; 2;3- ) .Tìm D những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất .
Câu VIIb.(1,0điểm) Giải phương trình: log( 2 1) log( 1) 2 1 log( 2 ) 2 2
x - = x+ + x-
(2)ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A ( 5 Trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2
y=x -3x + 1 1,00
· Tập xác định: Hàm số có tập xác định D=¡ .
· Sự biến thiên:
v Chiều biến thiên : 2
3 6
y' = x - x Ta có 0 2 0 x y'
x = é = Û ê
= ë v ,
y >0Ûx< Ú0 x>2Ûh/số đồng biến trên các khoảng ( -¥; & 2;) ( +¥ )
v ,
y <0Û0<x<2Û hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) v yCD = y( ) 0 =1; yCT = y( ) 2 = - 3
v Giới hạn 3 3
x x
3 1 lim y lim x
x x
đƠ đƠ
ổ
= ỗ - + ữ = Ơ
ố ø
0,25
0,25
v Bảng biến thiên:
x -¥ 0 +¥
y' + - +
y
1 +¥
-¥ 3
0,25
· Đồ thị: cắt trục Oy tại điểm (0;1)
0,25
2 Với giá trị nào của m đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 1,00 Đồ thị hàm số có điểm cực đại A ( ) 0;1 ,điểm cực tiểu B( 2; 3- ) suy ra phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B ( )d 2x+y- =1 0 0,25
đường tròn ( ) ( G : x-m) ( 2+ y-m -1) 2 = có tâm5 I m m( ; + 1) bán kính R= 5 điều 0,25 2
1
O x
3
y
3 2
(3)kiện ( )d tiếp xúc với ( ) ( ( ) )
2 2
2 1 5
, 5
3 1
m m
d I d R + + - m m
G Û = Û = Û = Û = ±
+ Đáp số : 5
3
m= ±
0,25
0,25
II 2,00
1 Giải phương trình : ( 1 tan- x)( 1 sin 2+ x) = +1 tan x (1) 1,00 Đặt tan sin 2 2 2
1 t
t x x
t
= Þ =
+ Phương trình (1) trở thành
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
2 2
1 2
1 1 1 1
1 1 1
t t
t t t t t t
t t t t
= - é
ỉ
- ỗ + ữ = + - + = + + Û ê
+ - + = +
è ø ê ë
( ) tan tan 0
4
t = - Ú =t Û x= - Ú x= Û x= -p + p k x= pk kẻÂ
0,25 0,25
0,25 0,25
2 Giải hệ phương trình: 1,00
ĐK 2 1 x y
³ ì í
³ ỵ
từ phương trình (2) ta có ( x-2) 4 = y- Þ1 y- =1 ( x - 2 ) 2 thay vào phương trình
( ) 1 ta được x-2 =27-x3+x2 -4x + Û4 x-2+x3-x2 +4x -31 0= ( ) *
Xét hàm số f x( ) = x-2+x3-x2 +4x - 31, với mọi x³ 2
( )
' 1 2
3 2
2 2
f x x x x
x
Þ = + - + > " > -
hmsngbintrờnkhong ( 2+Ơ)mtkhỏc f ( )3 =0ị x=3lnghimduynht ca(*)thayvophngtrỡnh(2)ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là
3; 2 x= y =
0,25
0,25
0,25
0,25
III Tính tích phân … 1,00
Ta có ( )
1
4 2
1 3
ln ln I = é x +x - x dx ù
ë û
ò ( )
1 1
2 2 2
1 1
3 3
ln(3x 1) lnx lnx ln 3x 1 dx
é ù
=òë + + - û =ò +
Đặt ( )
2
2
6 ln 1
3 1 xdx
u x du
x
dv dx v x
ì
ì = + =
ï ï
Þ +
í í
=
ï ï
ỵ ỵ =
( )
1 2
2 1
1 2
1 3
3
6 ln ln 3 ln |
3 3
x dx
I x x J
x
+
= + - = -
+
ò
Với
1 1
2 2
1 1
3 3
2 4
2 2
3 3 3 3
dx
J dx
x x
p
ổ
= ỗ - ÷ = - = -
+ +
è ø
ò ò ( đặt 3x= tan t với ;
2 2 t ẻ - ổỗ p p ữ
è ø
( 2 )
1
1 tan 3
dx= + t dt đổi cận 1 ; 1
3 3
x= Þ =t p x= Þ =t p từ đó tính được
0,25
0,25
0,25
(4)4 ln ln 3
3 3 9
J p I + p
Þ = - Þ = - +
IV Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1 và BC1 1,00 Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vng cạnh bằng 5
1 1 2
AB BC
Þ = = Dựng hình bình hành
1 1 , 1 5
BDB C Þ DB =BC = BD=C B = , AD=CD .sin 600 = 5 3
(do DACD vng tại A vì BA=BC= BD ) Þ a =( AB BC1; 1) ( = AB DB1; 1 )
· ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1
1
1 2
5 5 3 1 cos
2 2.5 2.5 2 4
AB DB AD
AB D
AB DB
+ -
+ -
= = = Þ ·AB D 1 nhọn từ đó
·
1
1 cos
4 AB D
a = Û a = Ta thấy BC1/ /mp AB D( 1 ) , AB1Ì mp AB D( 1 ) từ đó
( 1, 1) ( 1, ( ) ) ( , ( 1 ) )
d BC AB =d BC mp AB D =d B mp AB D = 1
.
3 B AB D
AB D
V dtD
1 .
1 1
3 1
.sin 2
B ABC
V AB DB =
a
1
1 1
25 3 5.
4 5
1 1 15
sin .5 2.5 2.
2 2 4
ABC
BB dt AB AD
D
= = =
a
.Đáp số ( ( ) )
( )
1 1
1 1
1
cos ;
4
, 5 AB BC
d AB BC
ì
a = a =
ï í
ï =
ỵ
0,25
0,25
0,25
0,25
V Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn ab bc+ +ca= 7abc Tìm giá trị nhỏ nhất… 1,00 giả thiết tương đương với 1 1 7
a+b+c = áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta
có: 12 54 54 3 22 22 2 2
2 9 9
S a b b
a b b b
ỉ ỉ
=ỗ + ữ ỗ+ + + + + ÷ +
è ø è ø
4
2 2
1 1 16
4 4 c
c c
ỉ
+ +
ỗ ữ
ố ứ
2
2
2 2
1 1 1 1 1
4 10 17 24
2a 3b 2c a b c 7
ổ ổ
+ỗ + + ữ + + + ỗ + + ữ = + =
+ +
è ø è ø
dấu bằng xẩy
ra khi 1, 1 3
a=c= b= Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi 1, 1 3
a=c= b=
0,25 0,25
0,25 0,25
VIa 2,00
1 …Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến… 1,00 Đường trịn ( ) ( C : x-4) 2 +y 2 = 4 có tâm I ( 4;0 ) bán kính R = 2 .Gọi toạ độ điểm
( 0; )
M a Tiếp điểm A x y( 1; 1) ( ;B x y2; 2 ) .Do MA là tiếp tuyến của ( )C và AỴ ( )C
( ) (*) MA I A A C ì ^ ï
ẻ ù ợ
uuur ur
mà ( )
( )
1 1
1 1
; 4;
MA x y a
IA x y
ì = -
ï í
= -
ï ỵ
uuur
uur từ đó ( )
( ) 0 * MA IA
A C
ì =
ï Û í
Ỵ ï î
uuur uur
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2
1 1
4 1
4 2
x x y a y
x y
ì - + - =
ï Û í
- + =
ï ỵ
,lấy (1) trừ (2) theo vế ta được
1 1
4x -ay -12= 0 tương tự cho điểm B x y( 2; 2 ) ta được 4x2 -ay 2 -12= 0 từ đó ta có phương trình đường thẳng chứa dây AB ( )d ; 4x-ay-12= 0 mà điểm
0,25
0,25
(5)( ) ( ) 4;1
E Ỵ d Û4.4-a.1 12- =0Û a=4Û M( 0; 4 ) .Đáp số M ( 0; 4 ) 0,25
2 …
1, 2
MỴd NỴ d sao cho MN song song với ( )P và cách ( )P một khoảng bằng 2. 1,00 PT tham số của 1 2
1 6 : 3 & : 4
2 5
x t x s
d y t d y s
z t z s
= + = +
ì ì
ï ï
= - =
í í
ï = ï = - -
ỵ ỵ
Vậy ( )
( )
1 2
1 ;3 ; 2 ; ; 5
M t t t d
N s s s d
ì + - Ỵ
ï í
+ - - ẻ
ù ợ ( 6 4 3; 5 )
MN s t s t s t
Þuuuur = - + + - - - -
mặt phẳng ( )P có 1 vtpt nr=( 1; 2; ,- ) MN/ /( ) P ÞMNuuuur^nrÛuuuur MN n .r= 0
( ) ( ) ( )
1 6s 2t 4s 3t 5s 2t 0 t s
Û - + - + - + - - - = Û = - Vì MN/ / ( ) P
( )
( , ) ( ,( ) ) 2 3( ) 2( ) 1 2 4
t t t
d MN P =d M P = + - - + - =
+ +
1 12 6
0 t t
t = é - + = Û ê
= ë · t= Þ1 s= - Þ1 M1( 3;0; ,) N1 ( - - 1; 4; 0 )
· t=0Þs=0ÞM2( 1;3; ,) N2 ( 5;0; 5- )
0,25
0,25
0,25
0,25 7a
Giải phương trình: ( 3- 5) x+12 3( + 5) x = 2 x+ 3 1,00 Chia hai vế của phương trình cho 2x > ta được : 0 12 5 8
2 2
x x
æ - ỉ +
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø
(1) do
3 5
1
2 2
x x
ỉ - ỉ + =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø
đặt & 1
2 2
x x
t t
t
ỉ - ổ +
=ỗỗ ữữ ị > ỗỗ ÷ ÷ =
è ø è ø
khi đó pt (1) trở
thành 12 2 2
8 12 0
6 t
t t t
t t
= é
+ = Û - + = Û ê
= ë
( thoả mãn)
· 3 5
2
3 5
2 log 2
2
x
t = ịổỗỗ - ữ ữ = x = -
è ø
· 3 5
2
3 5
6 log 6
2
x
t = ịổỗỗ - ÷ ÷ = Ûx = -
è ø
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb 2,00
1 Tìm điểm MỴ ( )d và điểm NỴ ( )C sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A ( ) 3;1 . 1,00 Gọi M( 3a+4; a) ( ) Ỵ d mà N đối xứng với M qua A( ) 3;1 Þ N( 2 ; 2- a - a) theo gt
( ) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( )
: 4 0
NỴ C x +y - y= Û - a + -a - -a =
( ) 6
2 0
5
a a a a
Û - = Û = Ú =
· a=0Þ M1( 4;0 ,) N1 ( 2; 2 )
· 2 38 6; , 2 4 ;
5 5 5
a= ịM ổỗ ửữ N ổỗ- ữ
ố ứ ố ø
0,25
0,25
(6)hình chiếu của A D.Gọi ( )P là mặt phẳng qua A( 1; 2; 1- )
và( )P ^ D Þ( )P : 3x-2y+2z+ =3 0 .{ } H = D Ç ( )P nên toạ độ điểm H là nghiệm
của hệ pt : ( )
1 2 0
2 1; 2; 2
2 4
2 2
x
x y z
y H
x y z
z
= - ì
- + + =
ì
ï ï
Û = Û -
- -
í í
= =
ï - ï =
ỵ ợ
.GiA'i xng viA qua
D ị A'( -3; 2;5 ) ( do H là trung điểm của AA' ) Ta có A A B D, ' , , cùng nằm trong một mặt phẳng ( )P .Pt đường thẳng A B' là 5
7 2 5 1
x+ y- z- x+ y- z-
= = Û = =
+ - - - - -
Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa A B' D Þ toạ độ M là nghiệm hpt ( )
3 5 2
5 1
0 2; 0; 4
2 4
4
3 2
x y z x
y M
x y z
z
+ - -
ì ì =
= =
ï
ï - - ï
Û = Û
í í
- -
ï = = ï =
ỵ
ï -
ỵ
. Đáp số M ( 2; 0; 4 )
0,25
0,25
0,25
7b
Giải phương trình: log( 2 1) log( 1) 2 1 log( 2 ) 2 2
x - = x+ + x- 1,00
Đ/k:
2
2 1 0
1 0; 0
x x
x
x x
¹ >
ì - > ì
Û
í
< -
+ - ợ
ỵ
.
Khi đó phương trình Ûlog( x2 -1) =log( x+1) 2 +log x - 2
( ) ( ) 2 2 ( ) 2
log x logé x x 2ù x x x 2
Û - = + - Û - = + -
ë û
( ) ( )( )
( )( )
2
2
2 2
1 2 0 2
1 2
1 1 1 3
1 2 3
x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x
é ì ï > é ì >
êí êí
- = + - - - = é = +
ï
êỵ ê î
Û - = + - Ûê Ûê Û ê
< < Ú < - < < Ú < -
ì ì ê = ±
ï ë
ê ê
í í
ê ï ỵ - = + - + ê ë ỵ = ë
Phương trình có 3 nghiệm .: x= +1 ,x= ± 3
0,25
0,25
0,25 0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì khơng cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó khơng được điểm.
Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
Trong lời giải câu IV, nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai hình khơng cho điểm. Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.