Đang tải... (xem toàn văn)
Tuy nhiªn vÏ thªm yÕu tè phô nh thÕ nµo ®Ó cho bµi to¸n cã lêi gi¶i ng¾n gän vµ hay lµ vÊn ®Ò mµ chóng tan cÇn ph¶i ®Çu t suy nghÜ.. TÝnh ®é dµi AB.[r]
(1)I đặt vấn đề 1 Lý chọn đề tài
Cùng với phát triển đất nớc, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trờng trọng đến chất lợng tồn diện bên cạnh đầu t thích đáng cho giáo dục Với vai trị mơn học cơng cụ, mơn Tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn học khác
Việc giảng dạy mơn Tốn nhà trờng khơng nhằm truyền thụ cho học sinh kiến thức Tốn học mà cịn vũ trang cho em công cụ sắc bén để nghiên cứu giới tự nhiên
Dạy học nh để học sinh khơng nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập Đó câu hỏi mà thầy, cô giáo đặt cho
Trong học Tốn, đa số em học sinh ngại học Hình học, để học tốt Hình học địi hỏi em học sinh phải có khả t tốt, tính sáng tạo cao, trí tởng tợng phong phú, đặc biệt thực say mê nghiên cứu, tìm tịi học hỏi
Đối với giáo viên để truyền đạt đợc cho em học sinh hiểu đợc cách chặt chẽ hình học khơng đơn giản chút Trong khơng có phơng pháp chung để giải toán hình học cụ thể
Có thể nói, có số phơng pháp để giải tốn Hình học nh sau: V thờm yu t ph
2 Đặc biệt hoá Tổng quát hoá Phản chứng T¬ng tù
6 Bốn loại mệnh đề: Thuận - Đảo - Phản - Phản đảo mối quan hệ chúng
Trong năm học 2009 – 2010, thân đợc phân công giảng dạy lớp 9, đặc biệt dạy đội tuyển HSG nhận thấy “ Vẽ thêm yếu tố phụ ” tơng đối hữu hiệu để giải tốn Hình học
2 Mục đích đề tài
Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả t duy, lực tự học học sinh, tạo điều kiện cho em hứng thú , say mê học tập môn
Nêu lên đợc số kinh nghiệm thân về: “ Giải tốn Hình học cách vẽ thêm yếu tố phụ ”
(2)a) Thuận lợi:
Học sinh đa số em dân tộc nên có tính cần cù, chịu khó Mặt khác lứa tuổi em thích nghiên cứu, tìm tòi, tìm hiểu phơng pháp giải tập
c s quan tõm giỳp tạo điều kiện Ban giám hiệu tổ chuyên mơn b) Khó khăn:
Nhà trờng thuộc xã miền núi, đặc biệt khó khăn, đờng xá lại khó khăn học sinh học khơng đều, mạch kiến thức tiếp thu khơng liên tục
Trình độ học sinh không đồng đều, chất lợng đại trà cịn thấp Tính tự giác, khả t duy, sáng tạo hạn chế, nhiều học sinh cha chăm học
II giải vấn đề 1 Nội dung
Trong tìm phơng pháp giải tốn hình học, có lúc việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh tốn có lời giải ngắn gọn vấn đề mà chúng tan cần phải đầu t suy nghĩ Vẽ thêm yếu tố phụ cách hợp lý phơng pháp tốt để giải tốn hình học
Thực tế cho thấy khơng có phơng pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học Tuỳ tốn cụ thể mà có cách vẽ thêm đờng phụ hợp lí, song việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tn theo tốn dựng hình mà biết
Tríc hÕt chóng ta cÇn nhớ rằng: Vẽ thêm yếu tố phụ thờng là:
Vẽ thêm điểm (trung điểm đoạn thẳng …); nối hai điểm cho đoạn thẳng; dựng thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc; vẽ thêm đờng thẳng song song hay vng góc với đờng thẳng cho; vẽ tia phân giác góc; tạo góc góc cho trớc
Tạo đoạn thẳng, góc trung gian vị trí thuận lợi hơn, làm xuất thêm quan hệ có liên quan đến yếu tố cho toán
Tạo tam giác nhau, tam giác đều, tam giác cân, tam giác vng, nhờ chứng minh đợc đoạn thẳng bẳng nhau, góc …
Trớc dạy "Giải tốn hình học phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ", giáo viên cần củng cố lại cho học sinh nắm vững toán dựng hình Các tốn vẽ thêm đờng phụ phải dựa vào phép dựng hình
(3)Trong giải pháp vẽ thêm yếu tố phụ, sau suy luận mẫu giáo viên để đa cách vẽ yếu tố phụ hợp lý đơn giản cần chọn lọc tập t ơng tự cho học sinh tập suy luận độc lập t duy, tìm tịi sáng tạo để tìm lời giải hay
2 Một số giải pháp thờng dùng để "giải toán cách vẽ thêm yếu tố phụ" 2.1 Vẽ thêm trung điểm, đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc
Bµi 1: Tam giác ABC có BC = 2AB, M trung ®iĨm cđa BC, D lµ trung ®iĨm cđa
BM Chøng minh r»ng AD =
2 AC
Hớng dẫn giải:
Cách 1:
+ Gọi F trung điểm AC Nối FM FC =
2 AC (1)
+ C/m Δ ADB = Δ CFM ( c.g.c ) (2) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD = FC =
2 AC (®pcm) * NhËn xÐt:
Nhờ vẽ thêm trung điểm F AC mà ta tạo nên tam giác dựa vào tính chất đờng trung bình tam giác để chứng minh Δ ADB = Δ CFM, từ dẫn n AD =
2 AC thông qua đoạn thẳng trung gian FC
Gi ta t đề, không vẽ thêm trung điểm AC mà vẽ thêm trung điểm AB sao?
C¸ch 2:
Hớng dẫn giải:
+ Lấy F trung ®iĨm cđa AB Nèi FM ⇒ FM =
2 AC (1)
+ C/m Δ ADB = Δ MFB ( c.g.c ) ⇒ AD = FM
+ Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD =
2 AC (®pcm)
* Ta cịng cã thĨ vÏ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc
B D M C F
A
F
B D M C A
K
(4)C¸ch 3:
+ Vẽ DK cho D trung điểm AK Nối KB, AM; đó:
AK = 2AD (1) ABKM hình bình hành + C/m ABK = Δ CMA ( c.g.c )
⇒ AK = AC (2)
+ Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC ⇒ AD =
2 AC (đpcm) Cách 4:
+ V AK cho A trung điểm BK Nối KM, AM; đó: MK = 2AD (1) + C/m Δ AMK = Δ MAC ( c.g.c )
⇒ MK = AC (2)
+ Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC
⇒ AD =
2 AC (®pcm) C¸ch 5:
+ Vẽ AK cho A trung điểm MK Nối KB,
BK = 2AD (1)
+ C/m đợc Δ KAB = Δ AMC ( c.g.c ) ⇒ BK = AC (2)
+ Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC
⇒ AD =
2 AC (®pcm)
2.2 Vẽ thêm đờng vng góc với đờng cho trớc
Bµi 2: Cho M lµ mét điểm thuộc miền hình chữ nhật ABCD Chøng minh r»ng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2
* NhËn xÐt:
Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Pi-ta-go Vì vẽ đờng phụ qua M vng góc với AB E cắt DC F Ta có MF DC
Từ tạo vuông EAM, FMC, EBM, FMD hai hình chữ nhật AEFD, EBCF
K
B D M C A
K
A
(5)Dựa vào định lí Pi-ta-go thành lập hệ thức giúp ta tìm lời giải toán Lời giải:
+ VÏ ME AB, E AB, EM cắt DC F + Tứ giác AEFD hình chữ nhật nên EA = FD + Tứ giác EBCF hình chữ nhật nên EB = FC
+ áp dụng định lí Pi-ta-go vào vng EAM, FMC, EBM, FMD ta có:
MA2 = EM2 + EA2; MC2 = FM2 + FC2 MB2 = EM2 + EB2; MD2 = FM2 + FD2 Do đó: MA2 + MC2 = EM2 + EA2 + FM2 + FC2 Và: MB2 + MD2= EM2 + EB2 + FM2 + FD2 Mà: EA = FD; FC = EB
Suy ra: MA2 + MC2 = MB2 + MD2
* Chúng ta nghĩ xem trờng hợp M nằm ngồi hình chữ nhật hệ thức có cịn không?
Bài 3: Cho ABC cân A, gọi I giao điểm đờng phân giác Biết IA =
2√5 cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Hớng dẫn giải:
+ Kẻ đờng vng góc với AB A cắt BI K + Kẻ AH BK (H BK)
+ Chứng minh AIK cân A (AKI = AIK ) Nên AK = 25
+ Đặt HK = x ⇒ HI = x vµ BK = 2x + ABK vuông A nên:
AK2 = HK.BK
⇔ ( 2√5 )2 = x(2x + 3)
⇔ 2x2 + 3x – 20 = ⇔ x
1 = 2,5; x2 = - ABK vuông A nên:
AB2 = BH.BK = 5,5(5 + 3) = 44
⇒ AB = 2√11 (cm)
* NhËn xÐt: Nhê t¹o tam giác vuông đa đoạn thẳng cần tính (AB) trở thµnh mét
cạnh tam giác vng để tính độ dài cạnh Từ tính đợc độ dài AB Thông qua hệ thức lợng tam giác, lập đợc mối liên hệ độ dài biết với độ dài cần tính giúp ta giải đợc toán
M
D F C A E B
3
I
B C x H
(6)Chú ý: Cần biết kết hợp sử dụng kiến thức đại số vào giải toán hình học.
Bài 4: Cho đờng trịn (O;R), hai dây cung AB CD (AB > CD) Hai đờng thẳng AB CD cắt M
Chøng minh r»ng: MA + MB > MC + MD (1)
* Nhận xét: Vì AB > CD nên để chứng minh (1)
Ta nghĩ đến đờng phụ OH AB Và OK CD (H AB, K CD ) Lời giải:
+ KỴ OH AB, OK CD (H AB, K CD )
+ Vì AB > CD nên OH < OK BH > DK
áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác vuông MHO MKO ta đợc MH > MK + Lại có: MA + MB = MH + HA + MB = 2MH
+ T¬ng tù: MC + MD = 2MK Suy ra: MA + MB > MC + MD
* Từ toán trên, ta cho C D M ta đợc tốn sau:
Bài 5: Cho điểm A ngồi đờng trịn (O;R) Vẽ cát tuyến ABC tiếp tuyến AM với đờng tròn (O), M tiếp điểm Chứng minh AB + AC 2AM
Gỵi ý:
Vẽ OH BC (H BC) để có đợc AB + AC = 2AH Bài toán đa việc chứng minh
AH AM
Điều có đợc từ hai tam giác vng MAO HAO 2.3 Kẻ đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc.
Bµi 6: Gäi M, N lần lợt trung điểm hai đoạn thẳng cắt AC BD Đờng
thẳng MN cắt BC AD lần lợt P Q Chứng minh r»ng: PB
PC= QD QA
Híng dÉn gi¶i:
M
K
D
C O
A H B
M
A
O
(7)C¸ch 1:
+ Từ B D kẻ đờng thẳng Song song với AC cắt MN lần lợt Tại E F
PBE PCM ⇒ PBPC=BE
CM (1)
QDF QAM ⇒ QDQA=DF
AM (2)
NBE = NDF (g.c.g) BE = DF (3) + Mặt khác: CM = AM (4)
+ Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ PB PC=
QD
QA (®pcm) * NhËn xÐt:
Nhờ vẽ đờng thẳng song song mà hình vẽ xuất cặp đoạn thẳng tỉ lệ với cặp đoạn thẳng đợc nêu đề
Phơng pháp vẽ đờng thẳng song song phơng pháp thờng dùng để vận dụng định lí Talét; tam giác đồng dạng chứng minh hệ thức đoạn thẳng
Vì AC BD có vai trị nh nên ta vẽ đờng thẳng song song với BD từ A C (hình vẽ) chứng minh tơng tự nh cách
C¸ch 2:
Từ A C kẻ đờng thẳng Song song với BD, cắt MN lần Lợt E F
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // DC) có đờng cao 4cm, đờng chéo BD = 5cm, hai đờng chéo AC BD vng góc với Tính diện tích hình thang ABCD
* NhËn xÐt:
Vì hình thang ABCD có hai đờng chéo vng Góc nên để tính diện tích hình thang ta cần tính độ dài AC
Nhận thấy đờng phụ BE // AC, E DC giúp ta tính đợc AC
Hớng dẫn giải:
+ Từ B kẻ BE song song víi AC (E DC)
D
C
E P M N Q F
B A
F E
D C
P M N Q B A
D H C E
(8)⇒ ABEC hình bình hành
AC = BE tam giác BDE vuông B
BH2=
1 BD2+
1
BE2 ⇔ BE=√BD
BH2 BD2−BH2 =
20
3 (cm) ⇒ AC = BE = 20
3 (cm)
VËy SABCD=
1
2AC BD= 50
3 (cm
2
)
Bài 8: Cho đờng tròn (O;R) nội tiếp tam giác ABC, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lợt D, E Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE I
Chøng minh r»ng IM
IC = DM CE
Gỵi ý:
Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lí Ta lét cần làm xuất "hai đ-ờng thẳng song song"
C¸ch 1:
VÏ CK // AB, K DE Ta cã: IM
IC = DM CK
Từ chứng minh đợc CE = CK
C¸ch 2:
VÏ MH // DE, H AC Ta cã: DM
AD = HE
AE ; AD = AE IM
IC = HE
CE ; DM = HE
Từ suy điều phải chứng minh
C¸ch 3:
VÏ ML // AC, L DE
(9)Ta cã: IM
IC = ML
CE , DM = ML
Từ suy điều phải chứng minh
2.4 Vẽ thêm đờng phân giác.
Bµi 9: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh tgABC =
AC AB+BC
Lêi gi¶i:
+ Vẽ đờng phân giác BD tam giác ABC, theo tính chất đờng phân giác tam giác, ta có:
AD AB=
DC BC⇒
AD AB=
AD+DC AB+BC =
AC AB+BC
ABD cã A = 900 nªn tgABD=AD
AB
Do đó: tgABC =
AC AB+BC
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đờng tròn (O;R), AH đờng cao. Chứng minh BAC HAO có tia phân giác
Lêi gi¶i:
Vẽ tia phân giác Ax HAO, vẽ đờng kính AD Ta chứng minh: BAH = DAC
Có: ACD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
⇒ DAC + ADC = 900 (1)
Trong tam giác vuông AHB: BAH + ABH = 900 (2) L¹i cã: ABC = ADC (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AC) Hay ABH = ADC (3)
Tõ (1), (2), (3) ⇒ BAH = DAC
Vậy BAC HAO có tia phân giác Ax 2.5 Vẽ thêm tiếp tuyến chung hai đờng tròn.
Đối với tốn hình học có hai đờng tròn tiếp xúc nhiều ta nên vẽ thêm tiếp tuyến chung hai đờng tròn làm xuất yếu tố liên quan đến hai đờng trịn, từ tìm đến lời giải tốn dễ dàng
D
B C A
O
x D
(10)Bài 11: Cho đờng tròn (O/; R/) tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A Vẽ dây cung AB, AC (O), AB AC cắt (O/) lần lợt D E (D A, E A) Chứng minh rằng: BC // DE
Híng dÉn gi¶i:
+ VÏ tiÕp tuyÕn chung xAy
+ XÐt (O/) cã yAE = ADE (cïng ch¾n cung AE) + XÐt (O) cã yAC = ABC (cïng ch¾n cung AC) Suy ADE = ABC ⇒ BC // DE
Bài 12: Cho hai đờng tròn (O; R) (O/; R/) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn (B (O); C (O/) ) Chứng minh BAC = 900.
Híng dÉn gi¶i:
+ Kẻ tiếp tuyến chung A hai đờng tròn (O) (O/) cắt BC D
+ Ta cã DB = DA DC = DA
+ ABC có AD đờng trung tuyến AD =
2 BC nên ABC vuông A
Suy ra: BAC = 900.
2.6 Vẽ thêm đờng kính đờng trịn
Trong số tốn hình học đờng trịn, nhiều vẽ đờng phụ đờng kính đờng trịn làm xuất yếu tố mới, từ tìm đợc lời giải dễ dàng Bài 13: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c nội tiếp đờng tròn (O; R), AH đờng cao tam giác ABC, AH = Chứng minh bc = 2Rha
Hớng dẫn giải: + Vẽ đờng kính AD
+ Ta cã ACD = 900, ABH = ADC + XÐt HBA vµ CDA cã: AHB = ACD = 900
ABH = ADC
Do đó: HBA ~ CDA
x
y
O O/
E
C D
B
A
O
B D
C
A
O/
O
D
(11)⇒AH AC=
AB
AD⇒AB AC=AD AH
VËy bc = 2Rha (®pcm)
3 Một số tập tham khảo (Tài liệu: Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số bài tốn hình học – Nguyễn Đức Tấn)
Bài 1: Cho tam giác ABC có AC > AB Các điểm D E theo thứ tự nằm các cạnh AB AC cho BD = CE Chứng minh điểm D, E thay đổi vị trí (vẫn thoả mãn điều kiện trên) đờng trung trực DE luôn qua điểm cố định
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, M điểm thuộc cạnh BC Chứng minh 2MA2 = MB2 + MC2.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A, AH đờng cao tam giác ABC D là điểm đoạn thẳng HC Vẽ hình chữ nhật AHDO, vẽ đờng trịn tâm O bán kính OD cắt tia đối tia AB E, cắt cạnh AC F Chứng minh AE = AF
Bài 4: Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB dây CD (C, D không trùng với A, B). Gọi M giao điểm tiếp tuyến C, D đờng tròn (O), AC cắt BD N Chứng minh MN AB
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A có AB cố định C chuyển động nửa mặt phẳng bờ AB Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC CB M N Chứng minh MN qua điểm cố định
iii Kết luận 1 Kết đạt đợc
Giải toán hình học cơng việc khơng đơn giản, nhng tốn học hấp dẫn ta khó khăn ý tởng dẫn đến kết tốn Tìm đợc đ-ờng nối từ giả thiết đến kết luận việc khó nhng điều lý thú, q trình rèn luyện cho ta t duy, kỹ thói quen phân tích, suy luận cách đắn, phẩm chất đển học tập, nghiên cứu sáng tạo
(12)học sinh thấy đợc hình học thật phong phú, đa dạng lý thú không đơn điệu, giúp học sinh say mê, hứng thú học hình học
Với hình học cho kiểm tra thử nghiệm hai lớp 9A 9C, lớp 9C đợc học phơng pháp kết c th nh sau:
Bảng 1: Chất lợng kiĨm tra cđa líp 9A
SÜ sè SLLo¹i giái% SLLoại khá% SLLoại TB% SLLoại yếu% SLLoại kém%
35 2,90 14,30 20 57,10 25,7 0
Bảng2 : Chất lợng kiểm tra lớp 9C
Sĩ số Loại giỏi Loại khá Loại TB Lo¹i yÕu Lo¹i kÐm
SL % SL % SL % SL % SL %
34 11,75 11 32,4 15 44,1 11,75 0
2 Bµi học kinh nghiệm.
Hình học phân môn khó, dạy "Giải toán hình học phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ" cần cho học sinh nắm toán dựng hình vẽ thêm yếu tố phụ phải dựa sở toán dựng hình b¶n
Để học sinh nắm chăc kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, giúp họ sinh phát huy khả suy luận tính độc lập sáng tạo
Với tốn cụ thể khơng có quy tắc tổng quát, nhiên dạy học sinh giáo viên cần đặc điểm tốn để có cách vẽ đờng phụ cách hợp lý học sinh liên hệ đợc gặp có đặc điểm tơng tự
Trên vài kinh nghiệm đợc rút dạy hình học cho đội tuyển học sinh giỏi học sinh lớp Chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tính khách quan Rất mong đợc lĩnh hội thông tin đánh giá để thân tiếp tục nghiên cứu bổ sung, đồng nghiệp đạt đợc mục đích nâng cao chất lợng, hiệu công tác giảng dạy đáp ứng đợc yêu cầu đổi giai đoạn nay./
(13)Ngêi viÕt