Phép biến đổi tích phân dạng hankel, hankel hữu hạn, mellin và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− MAI THỊ NGUYÊN PHƯỢNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL, HANKEL HỮU HẠN, MELLIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng, 5/2013 MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 1.1 1.2 1.3 Một số hàm đặc biệt tính chất 1.1.1 Hàm Gamma tính chất 1.1.2 Hàm Beta tính chất 1.1.3 Hàm Bessel tính chất Phép biến đổi tích phân dạng Hankel 11 1.2.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel ví dụ 11 1.2.2 Một số tính chất biến đổi tích phân dạng Hankel 13 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn 16 1.3.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn ví dụ 16 1.3.2 Một số tính chất biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn 18 1.4 Phép biến đổi tích phân dạng Mellin 21 1.4.1 Phép biến đổi tích phân dạng Mellin ví dụ 21 1.4.2 Một số tính chất biến đổi tích phân dạng Mellin Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 23 31 Ứng dụng phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng 31 2.2 Ứng dụng phép biến đổi Hankel hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng 33 2.3 Ứng dụng phép biến đổi Mellin cho phương trình đạo hàm riêng, tích phân tổng chuỗi 36 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 2.4 Bài tập 41 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn tận tình thầy cô dạy bảo em suốt năm học qua Đồng thời em xin gởi lời cảm ơn đến bạn bè khóa giúp đỡ em q trình thực luận văn Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng Lời nói đầu Nhiều vấn đề kỹ thuật đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân Như việc nghiên cứu đổi dạng chùm tia sáng vô hạn môi trường đàn hồi dẫn đến việc giải phương trình vi phân thường: du d4 u = W (x), EI + κ dx dx −∞ < x < ∞ Khi nghiên cứu dao động dây, màng sóng, sóng âm, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến việc giải phương trình đạo hàm riêng phương trình Eliptic: uxx + uyy = 0, −∞ < x < ∞, y ≥ 0, hay phương trình Hyperbolic: utt = c2 uxx , −∞ < x < ∞, t > 0, Trong giải phương trình tích phân Predholm với hạt nhân tích chập hình thức: ∞ f (t)g(x − t)dt + λf (x) = u(x) −∞ Một vấn đề đặt tìm lời giải cho phương trình vi phân, tích phân tốn kỹ thuật đưa đến Có nhiều hướng tiếp cận dựa nhiều lý thuyết toán học khác việc giải vấn đề như: điều kiện tồn nghiệm, ổn định nghiệm, giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng, v.v Trong số đó, việc sử dụng phép biến đổi tích phân để giải phương trình kể đời sớm liên tục phát triển tận ngày Có vai trò đặc biệt quan trọng lý thuyết phải kể đến trước hết phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Hartley, Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Tuy nhiên, trước năm 50 kỉ trước, khơng có nhiều tích chập phép biến đổi tích phân xây dựng Cho đến kết Kachivev V.A (1967) Thao N.x (1998) công bố phương pháp kiến thiết xây dựng tích chập suy rộng loạt tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác đời Nội dung luận văn, phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, gồm có chương: Chương 1: Trình bày phép biến đổi tích phân Hankel, Hankel hữu hạn, Mellin số tính chất phép biến đổi Chương 2: Đưa ứng dụng phép biến đổi việc giải phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng Đặc biệt ứng dụng biến đổi Mellin việc giải tổng chuỗi Đà Nẵng, tháng năm 2013 Sinh viên Mai Thị Nguyên Phượng Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 1.1 1.1.1 Một số hàm đặc biệt tính chất Hàm Gamma tính chất Hàm Gamma (hay gọi hàm giai thừa) định nghĩa tích phân biến đóng vai trị tham số: ∞ Γ(x) = e−t tx−1 dt, x > (1.1) Tích phân (1.1) dạng hội tụ với x đoạn [a, b] < a ≤ b < ∞, hàm Γ(x) hàm liên tục với x > Tích phân phần (1.1) cho ta tính chất hàm Gamma: Γ(x) = [−e−t tx−1 ]∞ ∞ + (x − 1) e−t tx−2 dt = (x − 1)Γ(x − 1), x − > Khi thay x x + cho ta kết quả: Γ(x + 1) = xΓ(x) (1.2) Đặc biệt, x = n số thực dương, đưa (1.2) dạng: Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = = n(n − 1)(n − 2) 3.2.Γ(1) = n!, (1.3) Γ(1) = Chúng ta đặt t = u2 (1.1) trở thành: ∞ exp(−u2 )u2x−1 du, Γ(x) = x > (1.4) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng Ví dụ 1.1.1 Với x = 21 , ta tìm được: √ ∞ π √ = π 2 Γ(x) = exp(−u )du = (1.5) Sử dụng (1.2), ta được: √ 1 = Γ 2 Γ π = Tương tự, tính giá trị Γ (1.6) ,Γ .Γ 2n+1 Hàm Gamma định nghĩa giá trị âm x có dạng (1.2): Γ(x) = Γ(x + 1) , x x = 0, −1, −2, (1.7) Ví dụ 1.1.2 −1 Γ 1.1.2 = Γ −1 −3 = 4√ π Hàm Beta tính chất Hàm Beta biểu thị B(x, y) định nghĩa tích phân sau: tx−1 (1 − t)y−1 dt, x > 0, y > B(x, y) = (1.8) Hàm Beta hàm đối xứng: B(x, y) = B(y, x) (1.9) Theo (1.8) thay đổi biến − t = u ta nhận được: uy−1 (1 − u)x−1 du = B(y, x) B(x, y) = Nếu thay đổi biến t = u 1+u (1.8) chúng thu biểu diễn khác hàm Beta là: ∞ x−1 B(x, y) = u Khóa Luận Tốt Nghiệp −(x+y) (1 + u) ∞ du = uy−1 (1 + u)−(x+y) du SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng Vài kết quan trọng ghi nhận khơng cần chứng minh: B(1, 1) = 1, B = π, x−1 B(x − 1, y), x+y−1 B(x, y) = B(x, y) = 1.1.3 1 , 2 Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) Hàm Bessel tính chất Hàm Bessel với bậc v (trong v số thực không âm) định nghĩa Jv (x) có dạng: ∞ v Jv (x) = x r=0 (−1)r x2r 22r+v r!Γ(r + v + 1) (1.10) Chuỗi hội tụ với x Hàm Bessel y = Jv (x) thỏa mãn phương trình Bessel sau: x2 y + xy + (x2 − v )y = (1.11) Khi v số thực dương khác không, Jv (x) J−v (x) hệ độc lập nghiệm chung chung phương trình Bessel là: y = AJv (x) + BJ−v (x), (1.12) A B số tùy ý Tuy nhiên v = n (với n số thực dương khác không), Jn (x) J−n (x) có mối quan hệ sau: J−n (x) = (−1)n Jn (x) (1.13) Do đó, n số thực dương khác khơng (1.11) có nghiệm là: ∞ Jn (x) = r=0 Khóa Luận Tốt Nghiệp (−1)r x r!(n + r)! n+2r (1.14) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 10 Từ suy ra: ∞ J0 (x) = r=0 ∞ J1 (x) = r=0 (−1)r x r!2 2r (−1)r x r!(r + 1)! (1.15) 2r+1 (1.16) Từ kết vừa rút ta rút được: J0 (x) = −J1 (x) (1.17) Và mối quan hệ hàm Bessel: v Jv (x) − Jv (x), x v Jv−1 (x) = Jv (x) + Jv (x), x 2v Jv−1 (x) + Jv+1 (x) = Jv (x), x Jv−1 (x) − Jv+1 (x) = 2Jv (x) Jv+1 (x) = (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) Tích phân hàm Bessel Jv (x) có dạng: Jn (x) = π π cos(nθ − x sin θ)dθ (1.22) Tích phân Lommel có dạng: a xJn (px)Jn (qx)dx = a [pJn (qa)Jn (pa) − qJn (pa)Jn (qa)], (q − p2 ) (1.23) với q ≤ p, (1.23) tương đương với: a xJn2 (px)dx = a [pJn (qa)Jn (pa) − qJn (pa)Jn (qa)] (q − p2 ) (1.24) Và tích phân liên quan đến hàm Bessel áp dụng cho biến đổi Hankel ∞ (2b)v Γ v + 21 exp(−at)Jv (bt)t dt = √ , π (a2 + b2 )v+ v ∞ exp(−at)Jv (bt)t Khóa Luận Tốt Nghiệp v+1 2a(2b)v Γ v + 32 dt = √ , π (a2 + b2 )v+ v>− , v > −1 (1.25) (1.26) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 30 ξ(p, a) hàm Hurwitz zeta định nghĩa bởi: ∞ ξ(p, a) = n=0 , (n + a)p ≤ a ≤ 1, Re(p) > (1.120) Chứng minh Theo biến đổi Mellin ngược ta có: f (n + a) = 2πi c+i∞ f˜(p)(n + a)−p dp (1.121) c−i∞ Lấy tổng vế theo n ta được: ∞ f (n + a) = 2πi n=0 c+i∞ f˜(p)ξ(p, a)dp c−i∞ Đây điều cần chứng minh Tương tự, theo tính chất (1.88) biến đổi Mellin ta được: f (nx) = M {n f˜(p)} = 2πi −1 −p c+i∞ x−p n−p f˜(p)dp c−i∞ Do ∞ f (nx) = 2πi n=1 ς(p) = c+i∞ x−p f˜(p)ς(p)dp = M−1 {f˜(p)ς(p)}, (1.122) c−i∞ ∞ −p n=1 n hàm Riemann zeta Khi x = kết (1.122) là: ∞ f (n) = 2πi n=1 Khóa Luận Tốt Nghiệp c+i∞ f˜(p)ς(p)dp (1.123) c−i∞ SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 31 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Ứng dụng phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng Phép biến đổi Hankel vơ hữu ích việc giải toán đạo hàm riêng Dưới ví dụ: Ví dụ 2.1.1 (Dao động tự màng trịn lớn) Xét phương trình dao động: c ∂ u ∂u + ∂r2 r ∂r ∂ 2u = , < r < ∞, t > 0, ∂t (2.1) với điều kiện ban đầu: u(r, 0) = f (r), (2.2) ut (r, 0) = g(r), ≤ r < ∞ (2.3) Ở đây, c2 = (T /ρ) = const, T sức căng màng, ρ mật độ bề mặt màng Áp dụng biến đổi Hankel bậc cho r tương ứng, ta có: ∞ u˜(κ, t) = rJ0 (κr)u(r, t)dr, (2.4) lấy (2.1)-(2.2) & (2.1) - (2.3) (1.47) được: d2 u˜ + c2 κ2 u˜ = 0, dt u˜(κ, 0) = f˜(κ), u˜t (κ, 0) = g˜(κ) (2.5) (2.6) Phương trình (2.5) thuộc dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số giải cụ thể sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Ngun Phượng 32 Ta có phương trình đặc trưng phương trình (2.5) có dạng: l2 + c2 k = 0, với ∆ < nên nghiệm tổng quát (2.5) là: u˜(κ, t) = c1 cos(cκt) + c2 sin(cκt), (2.7) từ (2.6) (2.7) suy c1 = f˜(κ), c2 = (cκ)−1 g˜(κ) Do đó, nghiệm tổng quát hệ biến đổi là: u˜(κ, t) = f˜(κ) cos(cκt) + (cκ)−1 g˜(κ) sin(cκt) (2.8) Nghịch đảo biến đổi Hankel thu nghiệm là: ∞ u(r, t) = κf˜(κ) cos(cκt)J0 (κr)dκ + c ∞ g˜(κ) sin(cκt)J0 (κr)dκ (2.9) Đặc biệt, ta xét: u(r, 0) = f (r) = Aa(r2 + a2 )−1/2 , (2.10) ut (r, 0) = g(r) = 0, (2.11) để g˜(κ) ≡ ∞ f˜(κ) = Aa r(r2 + a2 )−1/2 J0 (κr)dr = Aa −aκ e , κ cơng thức (2.9) trở thành: ∞ u(r, t) = Aa e−aκ J0 (κr) cos(cκt)dκ ∞ = AaRe exp[−κ(a + ict)]J0 (κr)dκ = AaRe{r + (a + ict)2 }−1/2 (2.12) Ví dụ 2.1.2 (Sự phân phối nhiệt cố thể nửa vô hạn với nguồn nhiệt ổn định.) Ta tìm nghiệm phương trình Laplace cho phân phối nhiệt độ u(r, z) với nguồn nhiệt ổn định đối xứng Q0 q(r) sau: urr + ur + uzz = −Q0 q(r), < r < ∞, < z < ∞, r Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.13) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 33 u(r, 0) = 0, < r < ∞, (2.14) Q0 số Với điều kiện biên tương ứng với nhiệt độ biên z = Áp dụng biến đổi Hankel bậc cho (2.12) (2.13) ta được: d2 u˜ − κ2 u˜ = −Q0 q˜(κ) dz Nghiệm tổng quát hệ biến đổi là: Q0 q˜(κ), κ2 với A số với điều kiện biên z = nên trường hợp thì: u˜(κ, z) = A exp(−κz) + A=− Q0 q˜(κ) κ2 Như vậy, nghiệm hình thức là: Q0 q˜(κ) (1 − e−κz ) κ Nghịch đảo biến đổi Hankel ta tích phân xác là: u˜(κ, z) = ∞ u(r, z) = Q0 2.2 q˜(κ) (1 − e−κz )J0 (κr)dκ κ (2.15) (2.16) Ứng dụng phép biến đổi Hankel hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 2.2.1 (Nhiệt độ phân bố xi lanh trụ trịn dài) Tìm nghiệm phương trình dẫn nhiệt đối xứng theo trục ∂u ∂ u ∂u =κ + , ≤ r ≤ a, t > 0, ∂t ∂r2 r ∂r (2.17) với điều kiện ban đầu: u(r, t) = f (t), r = a, t > 0, (2.18) u(r, 0) = 0, ≤ r ≤ a (2.19) Ứng dụng biến đổi Hankel hữu hạn xác định bởi: a u˜(ki , t) = H0 {u(r, t)} = rJ0 (rki )u(r, t)dr, (2.20) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 34 hệ biến đổi với điều kiện biên trở thành: u˜t + κki2 u˜ = κaki J1 (aki )f (t), u˜(ki , 0) = (2.21) (2.22) Kết hệ biến đổi là: t f (t) exp{−κki2 (t − τ )}dτ u˜(ki , t) = κaki J1 (aki ) (2.23) Biến đổi nghịch đảo cho ta kết dạng: u(r, t) = 2κ a ∞ i=1 ki J0 (rki ) J1 (aki ) t f (τ ) exp{−κki2 (t − τ )}dτ (2.24) Đặc biệt, f (t) = T0 = const, u(r, t) = 2T0 a ∞ i=1 J0 (rki ) [1 − exp(−κki2 t)] ki J1 (aki ) (2.25) Sử dụng phiên nghịch đảo (2.20) cho kết cuối u(r, t) = T0 − 2T0 a ∞ i=1 J0 (rki ) exp(−κki2 t) ki J1 (aki ) (2.26) Nghiệm tượng trưng cho phân bố nhiệt độ bao gồm thời hạn trạng thái ổn định, tạm thời mà phân hủy khơng t → ∞ Do nhiệt độ ổn định đạt giới hạn t → ∞ Ví dụ 2.2.2 (Lưu lượng chất lỏng khơng ổn định xi lanh tròn dài quay) Chuyển động đối xứng theo trục không ổn định chất lỏng sền sệt xi lanh tròn dài vơ hạn có bán kính chi phối u (2.27) ut = ν urr + ur − , ≤ r ≤ a, t > 0, r r u = u(r, t) vận tốc chất lỏng tiếp xúc ν số độ nhớt động học chất lỏng Xi lanh ban đầu phần lại thời điểm t = 0, sau phép để xoay với vận tốc góc liên tục Ω Do đó, điều kiện ban đầu u(r, t) = aΩ, u(r, t) = 0, Khóa Luận Tốt Nghiệp r = a, t > 0, (2.28) t = 0, < r < a (2.29) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 35 Chúng ta giải vấn đề cách sử dụng kết nối Laplace biến đổi hữu hạn Hankel bậc xác định ∞ u˜¯(ki , s) = e −st a dt rJ1 (ki r)u(r, t)dr, (2.30) (biến đổi Laplace hàm f(t) với số thực t > 0, số phức có Res > có ∞ dạng: L{f¯(s)} = e−st f (t)dt,) ki nghiệm dương phương trình J1 (aki ) = Ứng dụng biến đổi kết nối cho ta: su˜¯(ki , s) = −νi2 u˜¯(ki , s) − νa2 Ωki J1 (aki ) s hay u˜¯(ki , s) = − νa2 Ωki J1 (aki ) s(s + νki2 ) (2.31) Biến đổi Laplace ngược cho thấy: a2 Ω u˜(ki , t) = − J1 (aki )[1 − exp(−νtki2 )] ki (2.32) Do đó, nghiệm cuối tìm thấy từ (2.32) cách sử dụng biến đổi Hankel ngược đạo hàm với J1 (aki ) = −J2 (aki ) dạng sau: ∞ u(r, t) = 2Ω i=1 J1 (rki ) [1 − exp(−νtki2 )] ki J2 (aki ) (2.33) Nghiệm tổng vận tốc chất lỏng trạng thái ổn định thời Xét thấy (1.60) cho n = 1, viết: r= H1−1 a2 J2 (aki ) ki ∞ =2 i=1 J1 (rki ) ki J2 (aki ) (2.34) Kết sử dụng để đơn giản hóa (2.33) để nghiệm cuối cho u(r, t) có dạng: ∞ u(r, t) = rΩ − 2Ω i=1 J1 (rki ) exp(−νtki2 ).ν ki J2 (aki ) (2.35) Trong giới hạn t → ∞, phân rã thành phần vận tốc thời không cuối trạng thái lưu lượng ổn định đạt dạng sau: u(r, t) = rΩ Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.36) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 36 Theo quy luật tự nhiên, điều thể xoay vịng khơng thân chất lỏng bên xi lanh 2.3 Ứng dụng phép biến đổi Mellin cho phương trình đạo hàm riêng, tích phân tổng chuỗi Ví dụ 2.3.1 Chứa đựng cách giải tốn có giá trị biên x2 uxx + xux + uyy = 0, ≤ x < ∞, u(x, 0) = 0, u(x, 1) = < y < 1, A, 0≤x≤1 0, x>1 (2.37) , (2.38) A số Chúng ta áp dụng biến đổi Mellin cho u(x, y) lấy vi phân theo x xác định bởi: ∞ xp−1 u(x, y)dx, u˜(p, y) = làm cho hệ biến đổi ban đầu dạng u˜yy + p2 u˜ = 0, < y < 1, u˜(p, 0) = 0, xp−1 dx = u˜(p, 1) = A A p Kết hệ biến đổi u˜(p, y) = A sin py , < Re(p) < p sin p Biến đổi Mellin ngược A u(x, y) = 2πi c+i∞ c−i∞ x−p sin py dp, p sin p (2.39) u ˜(p, y) tích phân nằm miền thẳng < Re(p) = c < π Tích phân (2.39) có cực điểm đơn p = nπ, n = 1, 2, 3, nằm bên đường viền bán nguyệt mặt phẳng bên phải Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 37 Ví dụ 2.3.2 Thế vị Wedge vơ hạn Tìm vị φ(r, θ) thỏa mãn phương trình Laplace r2 φrr + rφr + φθθ = 0, (2.40) Wedge vô hạn < r < ∞, −α < θ < α hình (2.1) Hình 2.1: Một wedge vô hạn với điều kiện biên φ(r, α) = f (r), (2.41) φ(r, −α) = g(r) ≤ r < ∞, φ(r, θ) → r → ∞ với θ nằm (2.42) − α < θ < α (2.43) Chúng ta áp dụng biến đổi Mellin cho vị φ(r, θ) xác định ∞ ˜ θ) = M [φ(p, θ)] = φ(p, rp−1 φ(r, θ)dr, từ hệ biến đổi (2.40) (2.43) ta có d2 φ˜ + p2 φ˜ = 0, dθ (2.44) ˜ α) = f˜(p), φ(p, ˜ −α) = g˜(p) φ(p, Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.45) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 38 Kết chung phương trình ˜ θ) = A cos pθ + B sin pθ, φ(p, (2.46) A B hàm p α Các điều kiện biên (2.45) xác định A B thỏa A cos pα + B sin pα = f˜(p), A cos pα − B sin pα = g˜(p) Với A = f˜(p)+˜ g (p) cos pα , B= f˜(p)−˜ g (p) sin pα Vì vậy, kết (2.46) trở thành ˜ θ) = f˜(p) sin p(α + θ) + g˜(p) sin p(α − θ) φ(p, sin 2pα sin 2pα ˜ α + θ) + g˜(p)h(p, ˜ α − θ), = f˜(p)h(p, ˜ θ) = h(p, (2.47) sin pθ sin 2pα Hoặc tương đương với h(r, θ) = M n = π 2α sin pθ sin 2pα −1 = 2α rn sin nθ , (1 + 2rn cos nθ + r2n ) (2.48) hay 2α = πn Ứng dụng biến đổi Mellin ngược (2.47) ˜ α + θ) + M−1 g˜(p)h(p, ˜ α − θ) , φ(r, θ) = M−1 f˜(p)h(p, theo tính chất tích chập (1.114): rn cos nθ φ(r, θ) = 2α rn cos nθ + 2α ∞ ξ n−1 f (ξ)dξ ξ 2n − 2(rξ)n sin nθ + r2n ∞ ξ n−1 g(ξ)dξ π , |α| < (2.49) 2n + 2(rξ)n sin nθ + r 2n ξ 2n Đó kết thức vấn đề Đặc biệt, f (r) = g(r), kết (2.47) trở thành ˜ θ) = f˜(p) cos pθ = f˜(p)h(p, ˜ θ), φ(p, cos pα Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.50) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 39 ˜ θ) = h(p, cos pθ cos pα = M{h(r, θ)} Ứng dụng biến đổi Mellin ngược (2.50) kết hợp với tính chất tích chập (1.114) mang lại kết sau ∞ φ(r, θ) = f (ξ)h dξ r ,θ , ξ ξ (2.51) h(r, θ) = M−1 n = cos pθ cos pα rn α = (1 + r2n ) cos nθ , + 2r2n cos 2nθ + r2n (2.52) π 2α Ví dụ 2.3.3 Tìm nghiệm phương trình tích phân sau: ∞ f (ξ)k(xξ)dξ = g(x), x > (2.53) Áp dụng biến đổi Mellin lấy vi phân theo x phương trình (2.53) kết hợp với (1.115) ta có: ˜ f˜(1 − p)k(p) = g˜(p), thay p − p ˜ f˜(p) = g˜(1 − p)h(p), ˜ h(p) = ˜ − p) k(1 (2.54) Biến đổi Mellin ngược kết hợp với (1.115) dẫn đến kết là: f (x) = M −1 ∞ ˜ g˜(1 − p)h(p) = g(ξ)k(xξ)dξ, (2.55) ˜ với h(x) = M−1 h(p) tồn Như vậy, vấn đề thức giải ˜ ˜ Đặc biệt, h(p) = k(p) (2.55) trở thành ∞ f (x) = g(ξ)k(xξ)dξ, (2.56) ˜ k(1 ˜ − p) = 1, (theo 2.54) với k(p) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 40 Ví dụ 2.3.4 Chỉ rằng: ∞ (−1)n−1 n−p = (1 − 21−p )ς(p) (2.57) n=1 Sử dụng ví dụ (1.4.1), viết lại vế trái (2.57) nhân với tn sau: ∞ ∞ n−1 −p n (−1) n t ∞ t Γ(p) n−1 n = (−1) n=1 n=1 (−1)n−1 tnx e−nx xp−1 dx n=1 −x ∞ Γ(p) = Γ(p) ∞ ∞ = Γ(p) xp−1 e−nx dx te dx + te−x ∞ t xp−1 x dx e +t xp−1 = Khi t → kết là: ∞ (−1) n−1 −p n n=1 ∞ = Γ(p) = xp−1 t dx ex + t 1 M x Γ(p) e +1 = (1 − 21−p )ς(p) Ví dụ 2.3.5 Chỉ rằng: ∞ sin an n n=1 = (π − a), Biến đổi Mellin hàm f (x) = M sin ax x sin ax x < a < 2π (2.58) là: ∞ p−2 sin axdx x = = Ts { = π p−2 } 2x πp − Γ(p−1) ap−1 cos Thay kết vào (1.123) ta ∞ n=1 sin an n =− Khóa Luận Tốt Nghiệp 2πi c+i∞ c−i∞ Γ(p − 1) πp ς(p) cos dp ap−1 (2.59) SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 41 Tiếp theo sử dụng phương trình tiếng hàm zeta: πp (2π)p ς(1 − p) = 2Γ(p)ς(p) cos (2.60) Khi (2.59) trở thành: ∞ n=1 sin an n a =− 2πi c+i∞ c−i∞ 2π a p ς(1 − p) dp p−1 Tích phân có cực đơn p = p = với phần dư − πa Theo thứ tự, tích phân phức đánh giá cách tính tốn phần dư cực Do đó, tổng chuổi là: ∞ n=1 2.4 sin an n = (π − a) Bài tập Bài 1: a) Tìm biến đổi Hankel bậc của: δ(r) r Đáp số:1 b) Tìm biến đổi Hankel bậc f (r) = 12 e−ar Đáp số: κ1 [1 − a(κ2 + a2 )−1/2 ] Bài 2: Sử dụng phép biến đổi Hankel giải phương trình đạo hàm riêng hàm tán xạ đối xứng với điều kiện biên ban đầu sau: ut = κ(urr + ur ), < r < ∞, t > 0, r với κ số tán xạ u(r, 0) = f (r), để < r < ∞ Đáp số: 2κt 2 +l ) rl exp[− (r 4κt ]I0 ( 2κt )dl (Chú ý: có sử dụng cơng thức tích phân Bessel) Bài 3: Tìm biến đổi Hankel hữu hạn bậc a) f (r) = c với c số Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 42 Đáp số: ac ki J1 (aki ) b) f (r) = (a2 − r2 )− ki Đáp số: sin(aki ) Bài 4: Tìm biến đổi Hankel hữu hạn bậc a) f (r) = 1r Đáp số: ki {1 − J0 (aki )} b) f (r) = 1r (a2 − r2 )− Đáp số: (1−cos(aki )) aki Bài 5: Tìm phép biến đổi Mellin hàm số sau: a) f (x) = 1+x Đáp số: B(p, − p) = Γ(p)Γ(1 − p) (Với B(p, − p) hàm Beta.) b) f (x) = ex +1 Đáp số: (1 − 21−p )Γ(p)ς(p) Bài 6: Làm sáng tỏ tích phân sau: ∞ f (ξ)g x ξ dξ = h(x), ξ f (x) hàm chưa biết cần tìm g(x) h(x) hàm cho ˜ k(p) ˜ Đáp số: f (x) = M−1 h(p) = Khóa Luận Tốt Nghiệp ∞ x dξ h(ξ)k( ξ ) ξ SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 43 Kết luận Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu thầy Phan Đức Tuấn cung cấp, em hồn thành đề tài Đề tài đề cập đến phép biến đổi tích phân sau: - Phép biến đổi Hankel - Phép biến đổi Hankel hữu hạn - Phép biến đổi Mellin Và áp dụng phép biến đổi để tìm nghiệm phương trình: vi phân, tích phân, đạo hàm riêng Trong phép biến đổi mở rộng phép biến đổi Fourier Đối với phép biến đổi Hankel Hankel hữu hạn áp dụng để tìm nghiệm phương trình đạp hàm riêng Cịn phép biến đổi Mellin tìm nghiệm phương trình: vi phân, tích phân, đạo hàm riêng có tổng chuỗi Các phép biến đổi giúp giải tốn vi phân, tích phân, đạo hàm riêng cách thuận lợi ứng dụng rộng rãi toán học, vật lý kỹ thuật điện Trong thời gian qua, có cố gắng nhiều hạn chế kiến thức, kinh nghiệm thời gian nên đề tài mang tính chất giới thiệu, chưa thể sau vào phép biến đổi chưa cung cấp phong phú ứng dụng cho nhiều loại phương trình cụ thể Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lokenath Debnath & Dambaru Bhatta, (2007)Integral transforms and Their Applications,Second Edition, Taylor & Francis group, LLC [2] Andrei D.Polyanin & Alexander V.Manzhirov, (1998) Handbook of integral equations, CRC press LLC Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng ... Phép biến đổi tích phân dạng Hankel 11 1.2.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel ví dụ 11 1.2.2 Một số tính chất biến đổi tích phân dạng Hankel 13 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel. .. đề cập đến phép biến đổi tích phân sau: - Phép biến đổi Hankel - Phép biến đổi Hankel hữu hạn - Phép biến đổi Mellin Và áp dụng phép biến đổi để tìm nghiệm phương trình: vi phân, tích phân, đạo... Phượng phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân