Hướng dẫn học sinh chuyển đổi các giả thiết thường gặp sang quan hệ véctơ để giải toán tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHUYỂN ĐỔI CÁC GIẢ THIẾT THƯỜNG GẶP SANG QUAN HỆ VÉC TƠ ĐỂ GIẢI TỐN TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 12 Người thực hiện: Lê Văn Phú Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC I Mở đầu .1 1.1 Lý chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng trước áp dụng đề tài ……… ………………………… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải vấn đề ………… 2.3.1 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng………………………… …… 2.3.2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng …………………………… .6 2.3.3 Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến khoẳng cách góc …………………………… ……………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………………………… …………… 13 III Kết luận, kiến nghị .13 Kết luận 13 2.Kiến nghị………………………………………… …………………… …13 - I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian, chương cuối Hình học 12 ln có mặt đề thi THPT Quốc gia, chiếm 14% số điểm thi Nó rải mức độ đề thi Tọa độ khơng gian chương có nhiều cơng thức, dạng tập phong phú tập phần thường hỏi trọng tâm “khơng mang tính đánh đố học sinh”, học sinh cần nắm vững kiến thức bản, vận dụng số yếu tố then chốt, có kết khả quan tiếp cận loại tập chương Hiện nay, nhiều giáo viên học sinh phân dạng, phân loại, tạo nên nhiều tập chương học này, dẫn tới, nhiều thời gian để giảng dạy, học sinh không tránh khỏi lúng túng, không làm chủ nội dung kiến thức Hơn thế, tiếp cận đề bài, giả thiết thường cho dạng lời văn, như; Đi qua, chứa, vng góc, song song,…Để giải yêu cầu này; em thường phải trừu tượng hóa, mơ hình hóa đề bài, sử dụng kiến thức, tư hình học Tuy nhiên, khéo léo chuyển sang véc tơ, đơn giản r u Chẳng hạn; yêu cầu mặt phẳng chứa đường thẳng, em cần dùng r r VTCP r a b = n vng góc với VTPT , tiếp tục dùng hai véc tơ vng góc r r r r n ⊥ a r   r r ⇒ n = a   ; b n ⊥ b  đặc biệt hơn, Lúc vấn đề bớt hình học Với lý trên, chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh chuyển đổi giả thiết thường gặp sang quan hệ véctơ để giải tốn tọa độ khơng gian’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Cần giup học sinh lớp 12, - Rút ngắn thời gian, tự tin học ôn tập chương tọa độ không gian - Biết xử lý tốn có nhiều giả thiết, nhiều mối liên hệ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng SKKN tìm giả thiết thường gặp học tọa độ không gian Đứng trước toán cần làm được: - Xác định giả thiết thường gặp - Biết chuyển đổi giả thiết sang quan hệ véctơ, dùng quan hệ véctơ để giải vấn đề 1.4 Phương pháp nghiên cứu Thực sáng kiến kinh nghiệm này, sử dụng phương pháp sau đây: Phương pháp khảo sát thực tiễn Phương pháp phân tích, Phương pháp tổng hợp Phương pháp khái quát hóa Phương pháp tổng kết kinh nghiệm II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Đối tượng hình tọa độ không gian điểm, đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Các tốn định tính thường tìm tọa độ điểm, viết phương trình đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng, viết phương trình mặt cầu,… Các tốn định lượng thường tính khoảng cách, tính góc, độ dài,… Đường thẳng có sở véc tơ phương, mặt phẳng có sở véc tơ pháp tuyến Các tốn định tính thường dẫn tới tìm hai véc tơ sở Trong nhiều tốn viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng thường gặp mối quan hệ biện chứng quan hệ song song, quan hệ vng góc, quan hệ liên thuộc đường thẳng mặt phẳng, mối quan hệ chuyển đổi sang véc tơ sau: r r +) Đường thẳng a song song với đường thẳng cho ta ua , ub +) Mặt phẳng song song chứa đường r r thẳng cho ta +) Hai mặt phẳng song song cho ta r r phương ua ⊥ nP n P , nQ +) Hai đường thẳng vng góc cho ta phương r r u a ⊥ ub +) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng r rcho ta r r ua , nP phương n P ⊥ nQ +) Hai mặt phẳng vng góc r r cho ta r r a, b a = kb +) Hai véc tơ phương Hai véc tơ vng góc r r r r r n ⊥ a r r  r r ⇒ n =  a; b  a b = n ⊥ b đặc biệt Đây yếu tố quan trọng mà học sinh nhận áp dụng vào việc giải tốn tọa độ khơng gian 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi - Học sinh trang bị đầy đủ kiến thức tập liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng 2.2.2 Khó khăn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng thỏa mãn số điều kiện học sinh thường gặp khơng khó khăn khơng tạo mối quan hệ biện chứng đối tượng cho hướng giải đề cập; học sinh khơng thể trừu trượng hóa, mơ hình hóa giả thiết, dùng hình học túy để giải vấn đề, nên em thường bỏ qua loại tập Bên cạnh thời điểm học chương vào cuối năm 12, học sinh thường bị chi phối nhiều yếu tố, dẫn tới, thiếu tập trung, có thời gian ơn tập Trước thực SKKN, khảo sát, cho học sinh làm tập 45 phút liên quan đến mặt phẳng, đường thẳng, kết sau Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12C7 40 0 12,5 13 32,5 12 30,0 10 25 12C8 39 0 10,3 13 33,3 13 33,3 23,1 12C1 40 0 10 37,5 13 32,5 20,0 13 Trong thực tiễn giảng dạy yêu cầu học sinh nêu giả thiết có đề bài, tìm mối quan hệ biện chứng đối tượng không gian chuyển đổi chúng sang quan hệ véctơ để giải vấn đề hiệu suất làm tập chắn tự tin 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp: - Tổ chức số buổi dạy phụ đạo đại trà cho tất em, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi Đại học, ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia - Giới thiệu giải thiết thường gặp cách chuyển đổi sang quan hệ véctơ Xin giới thiệu số ví dụ mức độ vận dụng: 2.3.1 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Giả thiết thường gặp: r r u⊥n + Đường thẳng song song thuộc mặt phẳngr r u ⊥u + Đường thẳng vng góc với đường thẳng + Dường thẳng cắt đường thẳng đường thẳng cắt mặt phẳng gọi điểm cắt theo ẩn t đường thẳng r uuu r u = AB + Đường thẳng qua hai điểm A, B r u = (a, b ,c) + Có thể gọi VTCP đường thẳng r rr r r r r u =  a; b  u⊥a u ⊥b + Sử dụng kĩ r r u = ka , r r u⊥a rr u.a = hai véc tơ phương Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm ∆2 : A ( −2;1;3) cắt x + y − z +1 = = −1 hai đường thẳng ∆1 : x −1 y − z + = = −1 Hướng dẫn: Xác định hai điểm cắt +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P suy tọa độ điểm P +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ Q suy tọa độ điểm Q Vậy đường thẳng ∆ đường thẳng PQ Lời giải: P ∈ ∆1 ⇒ P ( + t ; − t ; −1 + t ) Gọi P giao điểm ∆ ∆1 , ta có Q ∈ ∆ ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' ) Gọi Q giao điểm ∆ ∆ , ta có uuu r QA ( t '; −2 − 2t '; − t ' ) uuu r PA ( −3 − t ; −1 + t; − t ) Ta có: , Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng  t ' = 15 t ' = −3k − tk t '+ 3k + tk =  uuu r uuu r    QA = k PA ⇔ −2 − 2t ' = − k + tk ⇔ 2t '− k + tk = −2 ⇔ k = 15 4 − t ' = 4k − tk t '+ 4k − tk =    26  tk = − 15  u u u r  34 58  QA  ; − ; ÷ t'=  15 15 15  15 ta có: Với r ⇒ u ( 1; −17; 29 ) A Đường thẳng ∆ có véc tơ phương: ⇒ ∆2 Q x + y −1 z − = = −17 29 ∆: ∆1 P phương trình Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 1; 2;3) đồng thời vng góc với d1 cắt d2 x −1 y + z − d2 : = = −1 biết  x = − 2t  d1 :  y = + 4t z = − t  , Hướng dẫn: Xác định VTCP đường thẳng P +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d suy tọa độ điểm P uuur ur uuur ur AP ⊥ u ⇔ AP.u1 = d 1 +) Đường thẳng ∆ vuông góc với nên PA Suy đường thẳng ∆ đường thẳng Lời giải: ⇒ P ( + 2t ; −2 + t ;3 − t ) P Gọi giao đường thẳng ∆ với d ta có P ∈ d uuu r ⇒ AP ( 2t; t − 4; −t ) Mặt khác Ta có: ∆ ⊥ d1 ⇒ uuur ur uuur ur AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = ⇔ −4t + 4t − 16 + t = ⇔ t = 16 uuu r AP ( 32;12; −16 ) VTCP ∆ ⇒ phương trình ∆: x −1 y − z − = = −4 Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ x = 3+ t  d :  y = − 5t  z = −1 + 2t  ) vuông góc cắt đường thẳng qua ( Hướng dẫn: Xác định VTCP đường thẳng cần tìm A 3; −2; −1 +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng +) Đường thẳng ∆ vng góc với d d P suy tọa độ điểm P uuur ur uuur ur AP ⊥ u ⇔ AP.u1 = nên PA Suy đường thẳng ∆ đường thẳng Lời giải: d P ⇒ P ∈ d ⇒ P (3 + t ;4 − 5t ; −1 + 2t ) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng Ta có: uuur AP (t ; − 5t ; 2t ) N VTYCP đường thẳng ∆ Đường thẳng ∆ vng góc với d uuur ur uuur ur AP ⊥ u ⇔ AP.u1 = hay nên t =1 uuur AP (1; 1; 2) Vậy đường thẳng cần tìm có phương: ∆: x − y + z +1 = = 1 Phương trình đường thẳng Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ biết vng góc với mặt phẳng (P) : x + y − z − = cắt hai đường x = − t  ∆1 :  y = + t  z = − 2t   x = + 3t '  ∆2 :  y = − t ' z = t '  thẳng chéo M Hướng dẫn: Xác định VTCP đường thẳng cần tìm Lời giải: Gọi M, N giao điểm đường thẳng ∆2 Ta có: ∆ với hai đường thẳng ∆1 +) M ∈ ∆1 ⇒ M ( − t ;3 + t ;1 − 2t ) N ∈ ∆ ⇒ N ( + 3t ';1 − t '; t ') +) u uuu r MN ( 3t '+ t ; −2 − t '− t ; −1 + t '+ 2t ) +) Theo giả thiết ∆ ⊥ ( P) VTCP ∆ nên: 3t '+ t = k 3t '+ t − k = t ' = −2 uuuu r uur    MN = knP ⇔ −2 − t '− t = k ⇔ t '+ t + k = −2 ⇔ t = P  −1 + t '+ 2t = − k t '+ 2t + k =  k = −3    Do đó: ⇒ M ( −1;6; −5 ) uuu r N (−4;3; −2 ⇒ u MN ( −3; −3;3) x +1 y − z + = = 1 −1 Đường thẳng ∆ có phương trình : Ví dụ 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y − z + = d: x − y −1 z − = = Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ đường thẳng nằm (P), cắt vng góc với d Hướng dẫn: Xác định VTCP mộtuđiểm qua đường thẳng cần tìm ur +) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến nP ( 1;3; −5 ) +) Đường thẳng d qua M ( 2;1;7 ) có phương uu r ud ( 1; 2;1) ( ) Đường thẳng ∆ cắt d d ⊥ ∆ +) Quan hệ: Đường thẳng Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Lời giải: ∆⊂ P Gọi điểm thuộc đường thẳng ∆ Vì đường thẳng ∆ cắt d nằm mặt phẳng (P) nên qua giao điểm d (P) Tọa độ giao điểm nghiệm hệ:  x + y − 5z + =  x = 14  x + y − 5z + =    ⇔  y = 25  x − y −1 z − ⇔  y = 2x −  = = z = x +  z = 19 ⇒ M 14; 25;19 )   ∆ qua điểm ( uur uur u ∆ ⊥ nP ∆ ⊂ ( P) Đường thẳng suy uu r uu r u∆ ⊥ ud Đường thẳng ∆ vng góc d suy Tù suy ⇒ uur uur uur u∆ =  nP ; ud  = ( −13;6;1)  x = 181 − 13t  ⇔  y = −89 + 6t z = t  phương trình tham số đường thẳng: 2.3.2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng Các giả thiết thường gặp + Mặt phẳng chứa song song với đường r thẳng r + Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( t ∈ R) r r ua ⊥ nP nQ ⊥ n P Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng A(2; −1;3), B (4;0;1), C ( −10;5;3) qua điểm Hướng dẫn: Xác định VTPT mặt phẳng cần tìm r uuur nα ⊥ AB (α ) (α ) Vì qua A, B nghĩa chứa AB suy r uuur nα ⊥ AC (α ) (α ) Vì qua A, C nghĩa chứa AC suy Từ suy Lời giải: uuur Ta có: (α ) r uuur uuur nα =  AB; AC  uuur AB = (2;1; −2) ; AC = (−12;6;0) r uuur uuur nα =  AB; AC  = (12;24;24) (α ) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng : (α ) A(2; −1;3) Mặt phẳng qua điểm (α ) 12( x − 2) + 24( y + 1) + 24( z − 3) = ⇔ x + y + z − = ⇒ ptmp là: (α ) : x + y − z − = Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng A(0;2;0) (β ) điểm Viết phương trình mặt phẳng qua OA vng góc với (α ) Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng r uuu r n β ⊥ OA (β ) Vì mặt phẳng qua OA suy r r nα ⊥ n β (β ) (α ) Vì mặt phẳng vng góc với suy r uur uuur r r  n β =  nα ; OA nQ ⊥ n P Từ suy Lời giải: Hai véc tơ uuu rkhơng cùngrphương có giá song song chứa mặt ( β ) OA = (0;2;0), nα = (2;3; −4) phẳng là: ⇒ (β ) r uuur r  n β = OA; nα  = (−8;0; −4) vtpt mặt phẳng : (β ) O(0;0;0) Mặt phẳng qua điểm (β ) −8 x − z = ⇔ x + z = ⇒ ptmp là: Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm không đồng phẳng A(4;1;4), B (3;3;1), C (1;5;5), D(1;1;1) (α ) Viết phương trình mặt phẳng qua AB CD song song với Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng r uuur nα ⊥ AB (α ) (α ) Vì qua A, B nghĩa chứa AB suy r uuur nα ⊥ CD (α ) (α ) Vì song song với C, D nghĩa chứa CD suy r uuur uuur nα =  AB; CD  Từ suy Lời giải: Hai véc u tơ có giá song song chứa mặt uurkhơng phương uuur AB = (−1;2; −3), CD = (0; −4; −4) (α ) phẳng là: r uuur uuur  nα =  AB; CD  = (−20; −4;4) (α ) vtpt mặt phẳng : (α ) A(4;1;4) Mặt phẳng qua điểm ( α ) − 20( x − 4) − 4( y − 1) + 4( z − 4) = ⇔ −5 x − y + z + 17 = ⇒ ptmp là: x = t  d : y = t  Oxyz  z = 2t Ví dụ 9: Trong không gian , cho đường thẳng  x = −1 − 2t '  d ': y = t '  (α ) d z = + t ' Viết phương trình mặt phẳng chứa song song với ⇒ d' Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng r uu r nα ⊥ ud (α ) Vì chứa đường thẳng d nghĩarlà uur nα ⊥ ud ' (α ) Vì song song với d’ nghĩa r uur uur  nα = ud ; ud '  Từ suy Lời giải: Hai véc tơrkhơng cùngr phương có giá song song chứa u d = (1;1;2), u d ' = (−2;1;1) (α ) mặt phẳng là: 10 ⇒ vtpt mặt phẳng (α ) r r r nα = u d ; u d '  = (−1; −5;3) là: 0(0;0;0) (α ) O(0;0;0) d Mặt khác qua điểm nên mặt phẳng qua điểm (α ) − x − y + 3z = ⇒ ptmp là: Oxyz (α ) : x − y + z − = Ví dụ 10: Trong khơng gian , cho mặt phẳng , x −1 y − z = = ( P) d −3 đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa (α ) vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng r uu r n P ⊥ ud (P) Vì chứa đường thẳng d nghĩa r uur nα ⊥ nP (P) (α ) Vì vng góc với nghĩa r uu r uur  n P = ud ; nα  Từ suy Lời giải: Hai véc tơr khơng phương có giá song song chứa r u d = (2; −3;2), nα = (1; −2;2) ( P) mặt phẳng là: ⇒ vtpt mặt phẳng ( P) r r r n P = u d ; nα  = ( −2; −2; −1) là: M (1;3;0) ( P) M (1;3;0) d Mặt khác qua điểm nên mặt phẳng qua điểm ( P) −2( x − 1) − 2( y − 3) − 1( z − 0) = ⇔ x + y + z − = ⇒ ptmp là: Oxyz (α ) : x + y − z + = Ví dụ 11: Trong khơng gian , cho mặt phẳng , (β ) : x + y − z − = A(7;4; −1) ( P) điểm Viết phương trình mặt phẳng (α ), ( β ) qua A vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng r uu r n P ⊥ nβ (P) (β ) Vì vng góc với nghĩa r uur nα ⊥ nP (P) (α ) Vì vng góc với nghĩa Từ suy r uur uur n P =  nβ ; nα  11 Lời giải: Hai véc tơ r khơng cùngrphương có giá song song chứa nα = (1;2; −1), n β = (2;3; −7) ( P) mặt phẳng là: ⇒ ( P) r r r n P =  nα ; n β  = (−11;5; −1) vtpt mặt phẳng là: ( P) A(7;4; −1) Mặt khác mặt phẳng qua điểm ( P) −11( x − 7) + 5( y − 4) − 1( z + 1) = ⇔ −11x + y − z + 56 = ⇒ ptmp là: 2.3.3 Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến khoẳng cách góc Định hướng: Ngồi cơng thức khoảng cách góc, loại thường khơng tìm VTCP, VTPT Cần phải gọi tọa độ hai véc tơ  x = −7 + 3t  d :  y = −1 − 2t  z = Oxyz Ví dụ 12: Trong khơng gian , cho hai đường thẳng , x + y − z + 13 d ': = = −3 mặt cầu 2 ( S ) : x + y + z − 10 x + y + 26 z − 113 = ( P) Viết phương trình mặt phẳng d, d ' (S ) song song với tiếp xúc với mặt cầu Hướng dẫn: Tìm VTPT cuả mặt phẳng r uu r n P ⊥ ud (P) Vì song song đường thẳng d nghĩa r uur n ⊥ u (P) α d' Vì song song đường thẳng d’ nghĩa r uur uur  n P = ud ; ud '  Từ suy (P) (S ) d ( I ;( P )) = R Vì tiếp xúc với mặt cầu nghĩa Lời giải: Hai véc tơr khơng phương có giá song song chứa r u d = (3; −2;0), u d ' = (2; −3;2) ( P) mặt phẳng là: ⇒ ( P) r r r  n P = u d ; u d '  = (−4; −6; −5) vtpt mặt phẳng là: ( P ) x + y + 5z + D = ⇒ ptmp có dạng là: 12 I (5; −1; −13) R = 308 có tâm bán kính ( P) ( S ) ⇔ d ( I ;( P)) = R Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 20 − − 65 + D  D = −103 ⇔ = 308 ⇔ D − 51 = 154 ⇔  16 + 36 + 25  D = 205 Mặt cầu (S ) Vậy có hai mặt phẳng ( P) là: x + y + z − 103 = x + y + z + 205 = M (1;1;1), N (2;1;0), P(2;0;2) Oxyz Ví dụ 13: Trong khơng gian , cho điểm (α ) Viết phương trình mặt phẳng qua N, P cách M khoảng Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng (α ) Vì có giả thiết mặt phẳng qua N, P Nên khơng thể tìm trực r n = ( A; B; C ), A2 + B + C > (α ) tiếp VTPT Gọi VTPT Tiếp tục dùng đk khoảng cách Lời giải: Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r n = ( A; B; C ), A2 + B + C > (α ) (α ) Do mặt phẳng qua N nên phương trình mặt phẳng có A( x − 2) + B ( y − 1) + Cz = Do mặt phẳng d ( M ;(α )) = Thay (α ) ⇔ ⇒ − B + 2C = qua P −A + C A2 + B + C (1) dạng (1) =1 vào (2) (2) C = − A + C = A2 + 5C ⇔ −2 AC − 4C = ⇔   A = −2C ta được: A = ⇒ ptmp (α ) : x − = , chọn C = ⇒ A = −2, B = ⇒ ptmp (α ) : − x + y + z + = A = −2C Với , chọn Với C =0⇒ B =0 13 ∆: Oxyz x−2 y −3 z +5 = = −1 Ví dụ 14: Trong khơng gian , cho đường thẳng x y−2 z d: = = ( P) d −1 ∆ Viết phương trình mặt phẳng chứa tạo với 300 góc Hướng dẫn: Tìm VTPT mặt phẳng ( P) d Vì có đk mặt phẳng chứa , nên khơng thể tìm trực tiếp VTPT r n = ( A; B; C ), A2 + B + C > (P) mặt phẳng Gọi VTPT ulàur uur r r ( P) d nP ⊥ ud ⇒ n P u d = Do mặt phẳng chứa Sử dung đk góc đường thẳng mặt phẳng Lời giải: Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r n = ( A; B; C ), A2 + B + C > r u d = (1; −1;1) d M (0;2;0) qua điểm có vtcp (P) M (0;2;0) (α ) Do mặt phẳng qua nên phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + B( y − 2) + Cz = r r ( P) d ⇒ n P u d = ⇔ A − B + C = ⇔ B = A + C Do mặt phẳng chứa r (1) Đường thẳng u ∆ = (2;1; −1) ∆ Đường thẳng có vtcp ( P) 300 ∆ Mặt phẳng tạo với góc 2A + B − C r r ⇔ = ⇒ cos(n P ; u ∆ ) = sin30 A2 + B + C 2 Thay (1) vào (2) (2) ta A = C 2 2 2 A = A + ( A + C ) + C ⇔ A − AC − C = ⇔  A = − C  được: A=C C = ⇒ A = 1, B = ⇒ ptmp( P) : x + y + z − = , chọn A=− C C = −2 ⇒ A = 1, B = −1 ⇒ ptmp ( P ) : x − y − z + = Với , chọn Với 14 d: Oxyz x +1 y − z + = = −1 −1 Ví dụ 15: Trong khơng gian , cho đường thẳng (α ) : x − y + z + = ( P) mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cos φ = (α ) φ hợp với góc thỏa mãn Hướng dẫn: Như chũng ta khơng r thể tìm VTPT Gọi véc tơ pháp n = ( A; B; C ), A2 + B + C > tuyến mặt phẳng uur uur r r n ( P) d P ⊥ ud ⇒ n P u d = Do mặt phẳng chứa Sử dụng công thức góc hai mặt phẳng Lời giải: Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r n = ( A; B; C ), A2 + B + C > Đường thẳng r u d = (1; −1; −1) M ( −1;2; −3) d qua điểm có vtcp ( P) M ( −1;2; −3) ( P) Do mặt phẳng qua nên phương trình mặt phẳng có dạng: A( x + 1) + B ( y − 2) + C ( z − 3) = ( P) d r r ⇒ n P u d = ⇔ A − B − C = ⇔ A = B + C Do mặt phẳng chứa r nα = (1;2;1) (α ) Mặt phẳng có vtpt ( P) (α ) φ Mặt phẳng hợp với góc A + 2B + C r r ⇔ = ⇒ cos(n P ; nα ) = cos φ 6 A2 + B + C Thay (1) vào (1) (2) (2) ta được:  B = −C 3B + 2C = ( B + C ) + B + C ⇔ 8B + 11BC + 3C = ⇔  B = − C  Với B = −C , chọn 2 2 C = ⇒ B = −1, A = ⇒ ptmp ( P ) : − y + z + = B=− C C = −8 ⇒ B = 3, A = −5 ⇒ ptmp ( P ) : − x + y − z − 35 = Với , chọn BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 15 M (3; −1; −5) Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm x =  d :  y = −2 + 4t   z = − 3t (α ) : x − y + z + = 0, ( β ) : x − y + z + = , đường thẳng mặt phẳng: (α ) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với (Q ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d M (α ') c) Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với d ( β ') d) Viết phương trình mặt phẳng qua M, đồng thời vng góc với (α ), (α ') Bài 2: Trong không gian A(5;1;3), B (1;6;2), C (5;0;4), D (4;0;6) a) Viết phương trình mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) (α ) Oxyz, cho điểm chứa AB song song với CD (S ) : x + y + z − x − y − z − = Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (α ) : x + y + z − = 0, ( β ) : x + y + z + = mặt phẳng: , (γ ) : x + y − z − = (α ) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với cách gốc tọa độ khoảng (Q) (α ) b) Viết phương trình mặt phẳng song song với , đồng thời khoảng cách (α ) (β ) mặt phẳng (P) lần khoảng cách mặt phẳng (P) (α ') c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời vng (α ) (β ) góc với A(1;1; −1), B(1;1;2), C ( −1;2; −2) Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − y + z + = (α ) Viết phương trình mặt phẳng qua A, vng góc với (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = IC 16 A ( 1;2;3) Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm x−2 y+2 z −3 x −1 y −1 z + = = = = −1 −1 thẳng d1: , d2: đường thẳng d qua A vuông góc với d1 cắt d2 hai đường Viết phương trình 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong trình giảng dạy triển khai đề tài, tơi thấy đề tài phần giúp học sinh định hình cách giải, giải tốt số dạng tốn phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng không gian tọa độ, đặc biệt khơng tìm trực tiếp véc tơ pháp tuyến mặt phẳng Việc chuyển đổi ngôn ngữ thường gặp sang véc tơ vào giảng cho học sinh thành cơng Các em biết bóc tách giả thiết, nêu phương pháp giải ứng dụng tốt vào làm Sau áp dụng sáng kiến đề tài, cho làm kiểm tra 45 phút viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng mức độ vạn dụng Kết nâng lên rõ rệt, cụ thể: Lớp Sĩ số Giỏi SL % Khá SL % Trung Bình SL % Yếu SL % Kém SL % 12C7 40 7,5 19 47,5 15 37,5 7,5 0 12C8 39 10,3 16 41,0 15 38,4 10,3 0 12C10 40 10 16 40 17 42,5 7,5 0 Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tơi thấy kết thu ngồi dự kiến tơi Khi chưa có phương pháp có lmột số em làm theo cách lúng túng khơng tự tin Sau áp dụng hầu hết bắt tay vào làm Các em làm xong nhanh có nhiều học sinh làm tự tin với kết làm Đề tài cung cấp khơng nhỏ kĩ bóc tách giả thiết liên kết mối liên hệ véc tơ Không với mà nhận thấy áp dụng đề tài giúp cho em có tự tin việc tiếp cận với toán khó từ rèn luyện thêm cho em tư mơn tốn Tuy nhiên với việc áp dụng còn ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận nhiều góp ý Hội đồng khoa học nhà trường THPT Quảng Xương Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa 3.2 Kiến nghị: Với đề tài triển khai trình dạy học sinh lớp 12 ban KHXH với lớp ban Cơ học theo khối mang lại hiệu tốt Vì tơi hy vọng đề tài đóng góp vào việc giải tốn nêu trên, đồng nghiệp khai thác mở rộng nữa, tài liệu tham khảo cho em học 18 sinh lớp 12 trình học tập ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia THPT hàng năm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 19 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN thân viết, khơng chép nội dung người khác Người thực hiện: Nguyễn Văn Ngọc Lê Văn Phú 19 Danh mục sáng kiến kinh nghiệm bổ sung Họ tên: Lê Văn Phú Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT quảng Xương 2, Thanh Hóa Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh ) C) Thiết kế tình dạy học Ngành giáo dục hợp tác giúp học sinh tiếp cận cấp tỉnh C khái niệm hình học lớp 10 THPT Năm học đánh giá xếp loại 2019-2020 ... đề bớt hình học Với lý trên, chọn đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh chuyển đổi giả thiết thường gặp sang quan hệ véctơ để giải tốn tọa độ khơng gian? ??’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Cần giup học sinh lớp 12,... gặp học tọa độ không gian Đứng trước toán cần làm được: - Xác định giả thiết thường gặp - Biết chuyển đổi giả thiết sang quan hệ véctơ, dùng quan hệ véctơ để giải vấn đề 1.4 Phương pháp nghiên... 37,5 13 32,5 20,0 13 Trong thực tiễn giảng dạy yêu cầu học sinh nêu giả thiết có đề bài, tìm mối quan hệ biện chứng đối tượng không gian chuyển đổi chúng sang quan hệ véctơ để giải vấn đề hiệu suất