Ứng dụng hình học giải tích để tính góc trong các bài toán hình học không gian vận dụng, vận dụng cao

` SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỂ TÍNH GĨC TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương II SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng ngiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 1 1 2 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Các SKKN Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 16 17 17 17 18 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11, 12 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Đứng trước tốn, đặc biệt tốn khó người làm tốn đặt phương hướng giải Tuy nhiên người ham mê tốn cịn tìm cách giải khác nhau, tìm cách giải hay ngắn gọn lạ lại kích thích tính tị mị khám phá lịng say mê học toán Hiện đề thi tốt nhiệp THPT, đề thi chọn học sinh giỏi thường xuất tốn hình học khơng gian tổng hợp (cổ điển) mà lời giải địi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học khơng gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, dựng hình để tính góc khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận lời giải thực tế cho thấy thật khó khăn cho học sinh, học sinh có lực học trung bình học lực Trong đó, bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà dừng mức độ tính tốn rõ ràng phương pháp tọa độ (hình học giải tích) tỏ hiệu tất tính tốn cơng thức hóa Với lí trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến cho năm 2021 với nội dung: “Ứng dụng hình học giải tích để tính góc tốn hình học khơng gian vận dụng, vận dụng cao” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Với việc nghiên cứu đề tài giúp học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học mức độ khá, giỏi kể trung bình tính tốn góc cách dễ dàng thơng qua cơng thức có sẵn - Thơng qua SKKN bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm toán tạo toán - Nâng cao khả tự học khả giải tốn vận dụng, vận dụng cao q trình ôn luyện kỳ thi học sinh giỏi - Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp ứng dụng hình học giải tích HHKG 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tốn tính góc vận dụng, vận dụng cao đề thi - Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương IIThanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS) - Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức số tiết dạy) - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra học sinh đối chứng) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Các kiến thức sử dụng sáng kiến thuộc phạm vi kiến thức trình bày Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn nâng cao (chương III), ví dụ tổng hợp từ tập Sách giáo khoa Sách tập, toán lấy từ đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp Các kiến thức cần nhớ a Góc hai đường thẳng     A a' a  = O Chọn điểm O tuỳ ý Dựng qua O : a’ // a; b’ // b Góc (a,b) = góc (a’,b’) Thường chọn điểm O �a O �b b' B b b Góc hai mặt phẳng  O  B A    Chọn điểm O thuộc giao tuyến   OA �( ) OB �(  ) � �  Dựng qua O : � � OA   OB   � �  Góc ( ,  ) = Góc (OA, OB ) Chú ý: * Nếu � �90o ( ,  )   * Nếu   90o chọn góc ( ;  )  180o   c Góc đường thẳng mặt phẳng >Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng A a  B  O  Chọn điểm A thuộc đường thẳng a  Dựng qua AB  ( ) B  Dựng giao điểm O a  chưa có ( OB hình chiếu a mặt phẳng (  ))  Khi đó: Góc (a;( )) = Góc (OA, OB)   sin(d ,  )  d ( A,  ) OA Để ứng dụng hình học giải tích tính góc tốn hình học khơng gian tổng hợp ta có “Ba bước bản” sau đây: + Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp + Xác định tọa độ điểm liên quan + Chuyển tốn hình khơng gian tổng hợp tốn tương ứng khơng gian tọa độ vận dụng cơng thức thích hợp (chứng minh vng góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…) Khi dạy học vấn đề cho học sinh, giáo viên cần lưu ý học sinh số kinh nghiệm chọn hệ trục tọa độ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Về phía học sinh Trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 12, tơi nhận thấy dạy tính góc toán HHKG, câu mức độ nhận biết, thông hiểu đơn giản học sinh nắm cách giải Tuy nhiên, gặp câu vận dụng, vận dụng cao học sinh bị bế tắc, khơng định hướng cách giải Các câu dạng này, phần lớn phức tạp không giải theo cách thơng thường, địi hỏi học sinh phải có tư tốt phát vấn đề để giải Về sách giáo khoa Sách giáo khoa đơn đưa ví dụ câu tính góc đơn giản, khơng đề cập đến câu vận dụng, vận dụng cao, học sinh gặp nhiều khó khăn đối mặt với câu đề thi thử thi học sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chuyên sâu dạng toán ít, khơng rõ dạng tốn thường gặp, hướng đề thi Về phía giáo viên Với sức ép chương trình, qui chế chun mơn, thời lượng thực chương trình sát sao, làm cho giáo viên đủ thời gian truyền tải nội dung sách giáo khoa, có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần mở rộng chủ yếu tiết phụ đạo, bồi dưỡng Trước tơi thực đề tài kết kiểm tra chuyên đề “Góc” hình học khơng gian học sinh lớp 12 hai năm học liên tiếp trường THPT Quảng Xương II thể qua bảng sau: Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Năm học Lớp Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 12C1 44 18 % 18 41 % 18 41 % 2019-2020 12C2 45 18 % 15 33 % 22 49 % 12A1 44 10 23 % 18 41 % 16 36 % 2020-2021 12A2 44 10 23 % 15 34 % 19 43 % 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy thực sau: - Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tịi lời giải phương pháp tổng qt hóa tốn - Khai thác, phát triển tính chất tốn tương tự - Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát sáng tạo, học sinh sở tốn tổng qt tự tốn khác 2.3.2 Nội dung: Tơi xin trình bày số ví dụ tập tự luyện Dạng Góc đường thẳng ur uu rvà đường thẳng Tìm hai véc tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d Khi góc ur uu r u1.u2 r hai đường thẳng d1 , d xác định cos  d1 , d   ur uu u1 u2 Tổng số Ví dụ (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc uuu r OAuuuu rOB  OC  a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc tạo hai vectơ BC OM A 135� B 150� C 120� D 60� Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ �a a � Ta có: O  0;0;0  , A  0; a ;0  , B  a ;0;0  , C  0;0; a  , M � ; ;0 � �2 � uuuu r �a a � uuur Khi ta có: BC    a ;0; a  , OM  � ; ;0 � �2 � a2 u u u r u u u u r  uuur uuuu r uuur uuuu r BC OM  � cos BC ; OM    � BC ; OM  120� BC.OM a a 2 Nhận xét: Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải toán ta có cách làm đơn giản dễ hiểu dùng cho đối tượng học sinh Qua ví dụ trình bày, ta nhận thấy yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa điều kiện đơi vng góc ba cạnh xuất phát từ đỉnh đa diện, thông thường điều kiện ẩn chứa giả thiết cho trước Tuy vậy, lúc điều kiện thỏa mãn nên số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ cách khéo léo Ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng Cho tam giác SAB vng S góc SBA 300 Mặt phẳng  SAB  vng góc mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm AB, BC Tìm cosin góc tạo hai đường thẳng  SM , DN  1 A B C D 5 3 Lời giải Chọn B Trong  SAB  , kẻ SH  AB H �  SAB    ABCD  �  SAB  � ABCD   AB � SH   ABCD  Ta có: � � �SH � SAB  , SH  AB Kẻ tia Az // SH chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ sau     a 3a Trong tam giác SBH vng H , ta có BH  SB.cos(�SBH )  a 3a a �a � SH  BH sin(�SBA)  , AH  AB  BH  a   �H� 0; ;0 � 4 � � Trong tam giác SAB vuông S , SB  AB.cos(�SBA)  a.cos300  � a a 3� � a � �a �uuur � a a � , , �S� 0; ; , M 0; ;0 D a ;0;0 N ; a ;0 0; ;   � � � �, �  �, SM  � 4 2 4 � � � � � � � � uuur uuur a2 SM DN uuur � a �   DN  �  ; a;0 �� cos  SM , DN   SN DN a a 5 �2 � 2 Ví dụ (THPT Nam Trực Nam Định 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB  a , SA  a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: 5 15 A arccos B arccos C arccos D arccos 5 Lời giải Chọn B a Gọi O  AC �BD Tam giác SAO vuông : SO  SA2  AO  Gắn tọa độ hình vẽ �a a � �a a a � A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , O � ; ;0 � , S� ; ; � �2 � �2 2 � �a 5a a � Vì G trọng tâm tam giác SCD nên G � ; ; � 6 � � uuu r �a a a � a uuur �a 5a a � a BG  � ; ;  1;1; Ta có : AS  � ; ; , � � 3;5; 2 2 6 � � � � Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: uuur uuu r 3   BG AS 5   �  BG; SA   arccos cos  BG; SA   5 40 BG AS Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng     r r Tìm véc tơ phương u đường thẳng d tìm véc tơ pháp tuyến n mặt phẳng ( P ) Khi góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) xác định rr u.n sin  d ;( P)   r r u n Ví dụ (Chun Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm a hai cạnh SA BC , biết MN  Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  A B C D Lời giải Chọn B Gọi I hình chiếu M lên  ABCD  , suy I trung điểm AO 3a Khi CI  AC  Xét CNI có: 4 a CN  , �NCI  45o Áp dụng định lý cosin ta có: a 9a a 3a 2 a 10 Xét NI  CN  CI  2CN CI cos 45     4 2 o MIN vuông I nên MI  MN  NI  3a 5a a 14   a 14 Mà MI / / SO, MI  SO � SO  2 � � 0; ;0 �, Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có: O  0;0;0  , B � � � � � �2 � � � � � �2 D� 0;  ;0 �, C � ;0;0 � ;0 �  ;0;0 � 0;0; , N� ; , A� , S� 2 4 � � � � � � � � � uuuu r �2 � 14 � uur � 14 � M�  ;0; MN  ; ;  0; ; � Khi đó: � �, SB  � 4 4 � � � � � uuu r � uur uuu r 14 � r SD  � 0;  ; �� n( SBD )  SB �SD   ;0;0 2 � �  14 � �, � 14 � , � �  uuuu rr  MN n Suy sin  MN ,  SBD    uuuu  r r  MN n Ví dụ Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a Biết SA  ( ABCD ), SA  a Gọi M N trung điểm SB CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) 5 55 A B C D 10 5 10 Lời giải Chọn A Đặt không gian Oxyz với A �O(0;0;0), AB �Ox, AD �Oy, AS �Oz a a a 3a Ta có: S (0;0; a ), B( a;0;0), D(0;2a;0), C ( a; a;0) , M ( ;0; ), N ( ; ;0) 2 2 uuu r uuur uuuu r r uuuu r 3a a uuu AS , AC �  (a ; a ;0) vtpt MN  (0; ; ) , AS  (0;0; a), AC  (a; a;0) � � � � 2 mặt phẳng ( SAC ) uuuu rr 3a MN n ( SAC ) � sin( MN ;( SAC ))  uuuu   r r 10 MN n ( SAC ) 9a a 4  a a 4 Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp việc tính góc đường thẳng mặt phẳng lời giải rõ ràng trực tiếp hơn, dễ hiểu kể với học sinh học mức độ trung bình Dạng Góc mặt phẳng ur uu r mặt phẳng Tìm hai véc tơ pháp tuyến n1 , n2 hai mặt phẳng ( P ),(Q) Khi góc ur uu r n1.n2 r hai mặt phẳng xác định cos  ( P ),(Q)   ur uu n1 n2 Nhận xét: Theo phương pháp tổng hợp việc tính góc hai mặt phẳng hồn tồn khơng dễ, địi hỏi học sinh phải có kiến thức HHKG tốt thường học sinh giỏi làm Tuy nhiên lời giải tọa độ ngắn gọn, trực tiếp, kể học sinh làm câu Ví dụ (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ACC ' A ' A 60� B 30� C 45� D 75� Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O �A ', Ox �A ' D ', Oy �A ' B ', Oz �A ' A Khi đó: A '(0;0;0) , D '( a;0;0) , B '(0; a;0) , C '(a; a;0) , A(0;0; a) , D(a;0; a) , B (0; a; a ) , C ( a; a; a ) uuuur uuuur uuuu r uuuur � A ' B '  (0; a;0), A ' D  (a;0; a ), A ' A  (0;0; a), A ' C '  ( a; a;0) uuuur uuuur ur � � (a ;0; a ) , chọn n  (1;0; 1) VTPT mp  A ' B ' CD  A ' B ', A ' D � � uuuu r uuuur u u r � � ( a ; a ;0) Chọn n  (1;1;0) VTPT mp  ACC ' A ' A ' A , A ' C � � Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ACC ' A ' là: ur uu r 1 cos = cos n1 , n2   �   60� 2 Ví dụ (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  Tính cos  với  góc tạp  SAC   SCD  A B C D 7 7 Lời giải   Chú ý: Ta giải tốn với cạnh hình vng a  Gọi O, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  nên SO   ABCD  3� �1 � � 0; ;0 � ,S � 0;0; Xét hệ trục Oxyz có O  0;0;0  , M  1;0;0  , A � Khi � � �2 � � � 1 � � � C� 1; ;0 � , D� 1; ;0 � � � �2 � uur �  �uuur uuu r � 1  �uuur SA  0; ; , AC 1;  1;0 , SC � 1; ; , CD   0;1;0   Suy � �  � 2 2 � � � � ur uur uuur �  1 � SA, AC � Mặt phẳng  SAC  có véc tơ pháp tuyến n1  � � � � ; ; � � � ur uuu r uuur � � � � ;0;1� SC , CD Mặt phẳng  SAD  có véc tơ pháp tuyến n1  � � � � � ur uu r n1.n2 cos   u r uu r  Vậy n1 n2 Ví dụ (Kinh Mơn Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tan góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A B C D Lời giải 10 Chọn A Chọn hệ trục tọa độ cho A �O , hình vẽ Khi ta có: � a� A  0;0;0  , B  2a ;0;0  , D  0;2a ;0  , C  2a ;2a ;0  , S  0;0; a  , M � 0; a ; � � 2� uuur � uur uuu r a �uuur � a� 0;  a ;  � 2a ; a ;  � SB   2a ;0;  a  , SC   2a ;2a ;  a  , MA  � , MC  � 2� 2� � � ur uur uuu r u u r u u u r u u u r 2 2 n2  � n1  � SB , SC � MA , MC � � �  2a ;0;4a  � �  a ;  a ;2a  Gọi  ( 0�� �90�) góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  Ta có ur uu r 2a a  4a 2a n1 n2 cos   ur uu r  2 2 n1 n2  2a    4a   a     a    2a   10a 20.6. a   30 � 30 � 5   Mà tan   � �  Suy tan   cos  25 5 � � Ví dụ (Chuyên Hà Tĩnh 2018) Cho hình lăng trụ ABC A��� B C có A� ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA�và BB� Tính tan góc hai mặt phẳng  ABC   CMN  A B C 2 D 13 Lời giải 11 Chọn C Gọi O trung điểm AB Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho �1 � �1 � � � � � O  0;0;0  , A � ;0;0 �, B �  ;0;0 � 0; ;0 � 0; ;0 � ,C � ,H � �2 � �2 � � � � � � 6� � uuu r uuuur 6� a � A� Ta có AB  A�� � 0; ; � B  1; ; � � � � B 6 3 � � � � ur �1 � �M�; ; Dễ thấy  ABC  có vtpt n1   0;0;1 M trung điểm AA� �, 12 � � r �3 �uuuu � N� ; ; N MN trung điểm BB� �   1;0;0  , 12 � � A� H uuuu r �1 5 � CM  � ; ; � 12 � � uu r � 3� 0; ; �  CMN  có vtpt n2  � � 0;2 2;5 12 � 12 � 2 � tan   1  Vậy cos   cos  33 Ví dụ 10 (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD A���� B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A���� B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho D ) ( MAB) MO  MI Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC �� 13 85 85 17 13 A B C D 65 85 85 65 Lời giải   Chọn D 12 Khơng tính tổng qt ta đặt cạnh khối lập phương (0;0;0), B� (1;0;0), D� (0;1;0) A(0;0;1) (như Chọn hệ trục tọa độ cho A� hình vẽ) uuu r uuur �1 � �1 1 � Suy ra: AB  (1;0;0), MA  � ; ;  �� Khi ta có: M � ; ; � �2 � �2 � uuu r uuur � � r � � 0;  ; �� n1  (0; 4;3) VTPT mặt phẳng ( MAB ) AB � , MA � � � 2� uuuur uuuur �1 1 � uuuur uuuur � 1 � r � � D�� C  (1;0;0), MD�  � ;  ; �� � D�� C , MD� 0; ;  �� n2  (0;2; 3) �� 2� �2 � � D ) VTPT mặt phẳng ( MC �� D ): Cosin góc hai mặt phẳng ( MAB ) ( MC �� r r n n 0.0  4.2  3.( 3) r r 17 13 cos(n1 , n2 )  r r2   n1 n2 65 02  (4)2  32 02  22  (3) Ví dụ 11 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� B C D , có AB  a, AD  a 2, góc A� C mặt phẳng  ABCD  30� Gọi H hình chiếu vng góc A A� B K hình chiếu A�  vng góc A A� D Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABB� A 60� B 45� C 90� D 30� Lời giải Chọn B 13 Do ABCD A���� B C D hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C ( ABCD) � ( A ' C ,( ABCD))  ( A ' C , A ' C ')  �CA ' C '  300 CC ' 2 � CC '  a Ta có AC  AB  AD  a 3; tan  �CA ' C '   A 'C ' Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E , F hình chiếu vng góc K A ' D ', A ' A 1 a A ' K  A ' A2  AK  a ; Ta có   � AK  ; AK A ' A2 AD 1 a a   � KF  ; KE  A ' K  KF � KE  2 KF KA A' K 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O �A ' D� , B� , A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a ), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3 r ( yOz ) ABB ' A '   Mặt phẳng mặt phẳng nên có VTPT n1  (1;0;0) uuur uuur r r � a n Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n  (2; 2; 2); Ta có � AK , AH � � A�  Gọi  góc hai mặt phẳng  AHK   ABB� r r cos   cos ( n �   450 1, n2 )  Ta có Ví dụ 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� B C D , đáy hình vng cạnh 1, cạnh bên AA� tạo với mặt = Gọi ( P ) mặt phẳng chứa CD� B ) góc  nhỏ Giá trị cos phẳng ( BDD�� A 10 B 10 10 C D Lời giải 14 Chọn B (1;0;2) Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ) hình vẽ: A(0;0;0), C (1;1;0); D� B )( AC ^ DB; AC ^ DD � B ) có vectơ pháp ) � ( BDD�� Vì AC ^ ( BDD�� r uuur uu r tuyến n1 = AC = ( 1;1;0) Gọi n2 = ( a; b; c) , a + b + c �0 vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) r uu r uuuu uu r = � 0.a - 1.b + 2.c = � b = 2c � n2 = ( a;2c; c ) Vì ( P ) chứa CD�� n2 CD� ur uu r n1.n2 a + 2c a + 4ac + 4c co s  = = = u r u u r Ta có 2 a + 4c 2 a + 4c n1 n2 2 a t + 4t + Nếu c �0 � cos = với t = �R c t +5 Nếu c = � cos = � t =- � t + 4t + - 4t + 2t + 20 � f� ,f� ( t) = ( t) = � � Xét hàm số: f ( t ) = 2 � t2 +5 t= ( t + 5) � � Bảng biến thiên: 10 10 Các tập tự luyện: Cho hình chóp S ABC có SA ^ ( ABC ) tam giác ABC vuông B SA  a , AB = a, BC = a Gọi I trung điểm BC Cosin góc đường thẳng AI SC là? Vậy Min ( co s  ) = 15 2 2 B C D 3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 60� B 90� C 45� D 75� Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a �ABC = 60� Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác ABC , gọi  góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) , tính sin  biết SB = a 1 A sin  = B sin  = C sin  = D sin  = 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, AB = , �BAD = 600 , M trung điểm cạnh BC ; điểm S thay đổi cho tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc lớn tạo đường SM mặt phẳng ( SAD) 2 A B C D 3 3 Cho hình lăng trụ ABC A��� B C có tất cạnh a Điểm M N tương ứng trung điểm đoạn AC , BB � Tính Cơsin góc đường thẳng C ) MN ( BA�� A - 21 105 21 B C D 14 21 14 21 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� B C D có cạnh AB = , AD = , AA� = Góc hai mặt phẳng ( AB ' D ') ( A ' C ' D)  Tính giá trị gần góc  A 45,2� B 38,1� C 53,4� D 61,6� Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác ( SAB ) vng góc với ( ABCD ) Tính cos  với  góc tạo ( SAC ) ( SCD) A B C D 7 7 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho đồng nghiệp thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn tính góc HHKG khó kỳ thi - Học sinh thấu hiểu phương pháp để tự xây dựng lớp tốn tìm góc có hướng giải A 16 - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh giỏi lớp 11, 12 THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy mơn Tốn - Trong đề tài tơi đưa giải số toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Đề tài kiểm nghiệm năm học 2019-2020, 2020-2021 giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải tốn tìm góc HHKG tổng hợp Các em hứng thú đam mê học tập phần kiến thức hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập loại Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra lại chuyên đề góc sau: Năm học Lớp 12C1 12C2 12A1 2020-2021 12A2 2019-2020 Tổng số 44 45 44 44 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 15 34% 12 27 % 15 34% 12 27% Điểm từ đến Điểm Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng 25 57 % 9% 20 44% 13 29 % 23 52 % 14 % 19 43 % 13 30 % KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: - Sau nhiều năm giảng dạy thực tế kiểm nghiệm nhận thấy nâng cao hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều đường) việc làm cần thiết từ góp phần phát triển lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho học sinh xu dạy học đại Các toán chuyên đề thể rõ mục đích đạt kết (phù hợp với đổi dạy học) - Đề tài khai thác dạng tốn tìm góc HHKG ứng dụng hình học giải tích (phương pháp tọa độ) để thấy tính chất, cách chứng minh,… mở rộng, liên hệ với cách lôgic giúp cho việc dạy học tốn có hiệu hơn, kiểu tư áp dụng thực tế giảng dạy học tập tùy theo yêu cầu chương trình, người học, người dạy mà ta lựa chọn tập phù hợp Trong việc dạy toán Trường THPT Quảng Xương 2, vận dụng kiểu tư để dạy cho nhiều đối tượng, việc ơn tập cho học sinh khá, giỏi Hình thành cho học sinh thói quen nhận dạng, tìm tịi hướng giải, tổng quát hóa thành dạng, sáng tạo học tập - Để hiểu sâu vấn đề này, việc ứng dụng việc giảng dạy học tập mong nhận ý kiến đóng góp rút kinh nghiệm đồng nghiệp để viết thêm đầy đủ, chất lượng 3.2 Kiến nghị: 17 - Qua kết điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy học sinh ngại giải tốn tìm góc vận dụng, vận dụng cao phức tạp Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học phần thấy tầm quan trọng nó, giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập phù hợp, đề giải pháp giải tốn tương tự hướng dẫn học sinh khái quát hóa thành dạng Đưa toán phức tạp toán đơn giản đề học sinh thấy quen thuộc giải chúng dễ dàng Giáo viên cần tách lọc đối tượng học sinh để từ có phương pháp dạy học phù hợp - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc Phương pháp giải tốn hình học NXB Đại học sư phạm, 2004 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên Hình học 12 NXB Giáo dục, 2008 Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Bài tập hình học 11 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2007 Bộ GD&ĐT Tài liệu tập huấn Dạy học kiểm tra đánh giá kết học tập theo định hướng phát triển lực học sinh môn Toán Hà Nội, 2014 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện Sách giáo viên hình học 11 NXB Giáo dục, 2007 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Lê Huy Hùng Sách giáo viên hình học 12 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2008 Các đề thi thử trường nước (nguồn internet) 18 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: giáo viên Đơn vị công tác: THPT Quảng Xương II TT Tên đề tài SKKN “Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua việc giải tập VÉC TƠ hình học 10” “Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thơng thơng qua số kỹ thuật giải tốn hình học khơng gian lớp 11” Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Ngành GD cấp tỉnh C 2013-2014 Ngành GD cấp tỉnh C 2015-2016 Năm học đánh giá xếp loại 19 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Đỗ Thị Thủy 20 ... dung: ? ?Ứng dụng hình học giải tích để tính góc tốn hình học khơng gian vận dụng, vận dụng cao? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu - Với việc nghiên cứu đề tài giúp học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học. .. hiểu đơn giản học sinh nắm cách giải Tuy nhiên, gặp câu vận dụng, vận dụng cao học sinh bị bế tắc, không định hướng cách giải Các câu dạng này, phần lớn phức tạp không giải theo cách thơng thường,... Nâng cao khả tự học khả giải toán vận dụng, vận dụng cao trình ơn luyện kỳ thi học sinh giỏi - Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp ứng dụng hình học