Giúp học sinh học tốt một số bài toán về các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC DẠNG THIẾT DIỆN THEO CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Nguyễn Thị Den Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Hậu Lộc SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………2 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….2 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………………3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……3 2.3 Các giải pháp…………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm…………………………….20 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận………………………………………………………… 21 3.2 Kiến nghị…………………………………………………………21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tốn tìm thiết diện theo cách xác định mặt phẳng hình học khơng gian tốn khó, đặc biệt học sinh bắt đầu tiếp cận với hình học khơng gian Những tốn u cầu tư trừu tượng cao phần kiến thức quan trọng mà học sinh không học phần khó làm tập khác có liên quan đến dạng thường xuyên gặp đề thi tốt nghiệp THPT đề thi học sinh giỏi tỉnh hàng năm Tuy nhiên, tập loại thường khó, đặc biệt câu phân loại đề thi tốt nghiệp THPT đề thi học sinh giỏi tỉnh Việc tìm cách giải vận dụng cách giải để giải toán xác định thiết diện theo cách xác định mặt phẳng gặp khơng khó khăn đa số học sinh, học sinh có tư trừu tượng Vì để phân loại dạng tốn đưa phương pháp giải tương ứng với dạng tốn cụ thể chứng minh có hiệu cao việc dạy học sinh học phần hình học khơng gian Chun đề hệ thống tập có phương pháp giải cụ thể phân loại theo hệ thống Qua học sinh hiểu rõ nhận dạng toán tìm thiết diện theo cách xác định mặt phẳng hình học khơng gian, biết cách vận dụng phương pháp phù hợp cho toán cụ thể Trong chuyên đề có đề cập đến sáu dạng xác định thiết diện chủ yếu để giải tập dạng giúp học sinh học tốt phần hình học khơng gian lớp 11, em tiếp cận với hình học yêu cầu cao tư trừu tượng Với lí tơi nghiên cứu đề tài “ Giúp học sinh học tốt số toán dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng hình học khơng gian lớp 11” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh học phần tập xác định thiết diện hình học khơng gian lớp 11 Phát triển tư trừu tượng, tư logic, khả phát vấn đề, khả đánh giá phán đoán học sinh Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp giải cụ thể dạng bài xác định thiết diện theo cách xác định mặt phẳng điển hình hình học khơng gian lớp 11 Hy vọng đề tài nhỏ giúp ích cho bạn đồng nghiệp em học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối 11 THPT - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT - Về nội dung tìm hiểu cách giải số toán dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng hình học khơng gian lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lí luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên tổ môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Hình học khơng gian lớp 11 mảng kiến thức quan trọng mạch kiến thức nghiên cứu hình học Cụ thể cung cấp kiến thức để học sinh tiếp cận hình học khơng gian hình học giải tích khơng gian; toán liên quan đến xác định thiết diện hình học kiến thức tảng giúp em học sinh học tốt phần hình học Các dạng tốn quan trọng đề thi tốt nghiệp đề thi học sinh giỏi tỉnh năm 2.2.Thực trạng vấn đề Bài toán xác định thiết diện hình học khơng gian lớp 11 mảng kiến thức trừu tượng học sinh phổ thơng nên việc tiếp cận kiến thức khó đa số học sinh học sinh bắt đầu học phần hình học khơng gian Sau nhiều năm giảng dạy mơn Tốn cấp THPT tơi thấy cịn nhiều học sinh học tập mơn tốn cách thụ động, đối phó; kĩ giải tốn cịn yếu, đặc biệt kĩ nhận dạng phân loại dạng toán áp dụng phương pháp phù hợp cho dạng tốn cịn nhiều lúng túng Nguyên nhân chủ yếu học sinh kiến thức, kĩ phương pháp giải toán; lại thêm lười học, thiếu ý thức tự học Thực trạng dẫn đến: nhiều học sinh học trước quên sau nên chưa có hứng thú học tập mơn Tốn, đặc biệt phần xác định thiết diện HHKG lớp 11 Số liệu thống kê trước áp dụng SKKN vào dạy Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém 11B5 42 19 18 2.3.Giải pháp thực I Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng hình học khơng gian lớp 11: Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm không thẳng hàng Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm song song với hai đường thẳng cho trước Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng vng góc đường thẳng cho trước Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm vng góc với mặt phẳng Dạng 1: Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm không thẳng hàng Phương pháp: Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến mặt phẳng ( P ) với mặt hình chóp Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt hình chóp ta điểm chung ( P ) với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt Bước 3: Tiếp tục tới đoạn giao tuyến tạo thành đa giác phẳng khép kín ta thiết diện Bươc 4: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , M điểm nằm cạnh SC (khơng trùng với S , C ), N P lần luợt trung điểm AB, AD Tìm thiết diện hình chóp với ( MNP ) S Giải: Ta có: M ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = NP Kéo dài BC NP cắt I , ( MNP ) ∩ ( SBC ) = KM Kéo dài DC cắt NP J , ( MNP ) ∩ ( SCD ) = MQ ( MNP ) ∩ ( SAD ) = PQ Q J K A P D N I B C Vậy thiết diện ngũ giác KMQPN Dạng 2: Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) ( ( P ) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b cho trước ( a b chéo nhau)) @Phương pháp: Bước 1: Chỉ mp ( P ) (Q) chứa hai đường thẳng song song a , b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng (có thể dựng thêm đường phụ) Bước 3: Khi đó: ( P ) ∩ ( Q ) = Mt P a P b Bước 4: Sử dụng cách tìm thiết diện biết ta tìm giao tuyến mặt phẳng ( P ) với mặt cịn lại hình chóp Bước 5: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình bình hành, M trung điểm SC , ( P ) mặt phẳng qua AM song song BD Tìm thiết diện hình chóp cắt ( P ) Giải: Ta có: BD P ( P ) , BD ⊂ ( SBD ) S Gọi O tâm hình bình hành ABCD Gọi I = SO ∩ AM Khi ( P ) ∩ ( SBD ) = Ix P BD Ix cắt SB K , cắt SD N Do đó: ( P ) ∩ ( SBC ) = MK ( P ) ∩ ( SCD ) = MN ( P ) ∩ ( SAB ) = AK ( P ) ∩ ( SAD ) = AN M K N I A D O B C Vậy thiết diện tứ giác KMNA Dạng 3: Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm song song với hai đường thẳng cho trước: @Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm M ∈ (P) ∩ (Q) Bước 2: Chỉ mp ( P ) P a (hoặc b ) ⊂ (Q) Suy giao tuyến ( P ) (Q) đường thẳng qua M song song a (hoặc b ) Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến mặt khác hình chóp với ( P ) cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình thang ( AD song song BC ), M điểm thuộc AB (α ) mặt phẳng qua M song song với AD SB Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α ) Giải: S Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) (α ) song song với AD nên: K P (α ) ∩ ( ABCD ) = Mx P AD Gọi N = Mx ∩ CD (α ) song song với SB nên: (α ) ∩ ( SAB ) = MP P SB Tương tự ta có: (α ) ∩ ( SAD ) = Px P AD Gọi K = Px ∩ SD ; (α ) ∩ ( SCD ) = KN A D M N B C Vậy thiết diện hình thang MNKP Dạng 4: Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng ( P ) mặt phẳng hình chóp Bước 2: Chỉ ( P ) P ( Q ) Tìm a = ( P ) ∩ ( R ) (b = ( Q ) ∩ ( R ) ) Khi giao tuyến đường thẳng qua M song song với a ( b ) Bước 3: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD, ABCD hình thang, cạnh đáy AB , CD < AB ( α ) mặt phẳng qua M cạnh AB song song với mặt phẳng ( SAD) Tìm thiết diện hình chóp với ( α ) S Giải: Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) , P K M ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Do ( α ) song song với ( SAD) nên: ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN P AD ( α ) ∩ ( SAB ) = MK P SA ( α ) ∩ ( SCD ) = NP P SD ( α ) ∩ ( SBC ) = KP A D M N B C Vậy thiết diện hình thang KMNP Dạng 5: Thiết diện qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Giả sử cần xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P ) qua điểm M vng góc với d cho trước Phương pháp chung: Bước 1: Tìm hai đường thẳng a b cắt vng góc với d (trong đường thẳng qua điểm M ) Bước 2: Khi ( P ) P ( a ,b) Bước 3: Tìm giao tuyến ( P ) với hình chóp cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận Chú ý: Nếu có sẵn đường thẳng cắt chéo mà vng góc với d ta chọn ( P ) song song với a (hay chứa a ) b song song với ( P ) (hay chứa b ) Rồi thực bước lại Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi ( α ) mặt phẳng qua A vng góc với SB S Xác định thiết diện ( α ) cắt hình chóp S ABCD Giải: Ta có: AD ⊥ AB   ⇒ AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ SA  ⇒ AD ⊥ SB Từ A kẻ đường thẳng vng góc với SB H Do ( α ) ≡ ( HAD ) Khi đó: B ( α ) ∩ ( SAB ) = AH ( α ) ∩ ( SAD ) = AD ( α ) ∩ ( ABCD ) = AD I H D A C Do ( α ) ⊃ AD P BC Nên ( α ) ∩ ( SBC ) = Hx P BC Gọi I = Hx ∩ SC Khi ( α ) ∩ ( SBC ) = HI Vậy thiết diện cần tìm hình thang AHID Dạng 6: Thiết diện chứa đường thẳng a vng góc với mặt phẳng Bước 1: Chọn điểm A nằm đường thẳng a cho qua A dựng đường thẳng b vng góc với mp ( α ) cách dễ Bước 2: Khi đó, mp (a, b) mp ( α ) cần dựng Bước 3: Tìm giao tuyến ( α ) với hình chóp cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi I , J trung điểm AB , CD Gọi ( P ) mặt phẳng qua I vng góc với mặt ( SBC ) Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P ) S Giải: Ta có IJ ⊥ AB   ⇒ IJ ⊥ ( SAB ) ⇒ IJ ⊥ SB IJ ⊥ SA  Từ I kẻ đường thẳng vng góc với SB K Do ( P ) ≡ ( KIJ ) Ta có A K ( P ) ∩ ( SAB ) = KI ( P ) ∩ ( ABCD ) = IJ ( P ) ⊃ IJ P BC ⇒ ( P ) ∩ ( SBC ) = KN P BC ( P ) ∩ ( SCD ) = NI D N I J B C Vậy thiết diện hình thang KNIJ Chú ý: Việc tìm thiết diên mặt phẳng ( α ) với hình lăng trụ tiến hành tương tự hình chóp Nhưng ý hình lăng trụ có mặt đáy song song nhau, ( α ) cắt mặt đáy cng cắt mặt đáy cịn lại theo giao tuyến song song vơi giao tuyến vừa tìm Việc tìm thiết diện hình lập phương tiến hành giống đói với hình lăng trụ Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 , điểm M , N trung điểm BC CC1 Xác định thiết diện hình lăng trụ với mặt phẳng ( A1MN ) Giải: A ( A1MN ) ∩ ( BCB1C1 ) = MN C I M P Kéo dài AC A1N cắt I Khi đó: B N A1 C1 B1 ( A1MN ) ∩ ( ABC ) = MP ( A1MN ) ∩ ( ABB1 A1 ) = PA1 Vậy thiết diện tứ giác PMNA1 II Những khó khăn giải tốn thiết diện biện pháp khắc phục  Tìm thiết diện hình cắt mặt phẳng chẳng hạn tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P ) : ta tìm giao tuyến mặt phẳng ( P ) với mặt hình chóp Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo cắt mặt hình chóp mặt phẳng ( P ) hình thành đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác thiết diện tạo mặt phẳng ( P ) với hình chóp Như vậy, thực chất tốn tìm thiết diện tốn tìm giao điểm mặt phẳng ( P ) với cạnh hình chóp tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng ( P ) với mặt hình chóp Từ ta thấy khó khăn giải toán thiết diện phần lớn bắt nguồn từ khó việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng cạnh hình chóp cắt mặt phẳng) xác định “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng mặt hình cắt mặt phẳng)  Ta khó khăn đó, khó khăn mà ta bắt gặp giải toán thiết diện có hình vẽ thuận lợi cho việc giải tốn, hình học khơng gian (HHKG) địi hỏi tư trừu tượng cao mà thiết diện vấn đề tương đối phức tạp HHKG, hình vẽ thích hợp tăng khả tư Những khó khăn việc vẽ hình khơng gian việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu sở từ định lý hay hệ dẫn lời giải sai: Hình vẽ chưa thể hết giả thiết tốn, hình vẽ sai gây nên bế tắc việc tìm lời giải, hay trực giác khơng xác dẫn tới giải sai Một số học sinh chịu ảnh hưởng nặng hình học phẳng vẽ hình HHKG lại tuân thủ cách máy móc độ dài, diện tích, góc… điều làm cho em bị bế tắt giải tốn HHKG Ví dụ 1.1: vẽ hình chóp S ABCD có đáy S ABCD hình vng em vẽ hình chóp có đáy ABCD hình vng có đỉnh S Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu toán việc vẽ A B gặp nhiều khó khăn giải tốn - Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta hạn chế Điều gây nhiều khó D C khăn giải toán phức tạp - Thứ hai: cạnh AD nét khuất chưa thể hình vẽ - Thứ ba: giao diện mặt bên ( SAD ) nhỏ, điều gây nhiều khó khăn việc giải toán mà ta cần kẻ thêm đường thẳng nằm mặt phẳng - Thứ tư: đa giác đáy hình vng học sinh thể hồn hình vng bên hình học phẳng Nếu đề yêu cầu thêm mặt phẳng ( SAD ) vng góc với mặt phẳng đáy học sinh khó mà vẽ ý Ngồi ra, việc thể hình vẽ cịn làm cho học sinh nhiều thời gian cho việc vẽ hình Ví dụ 1.2: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Dựng thiết diện hình lập phương với mặt phẳng di qua trung điểm M cạnh DD ' , trung điểm N cạnh D ' C ' đỉnh A Học sinh giải toán sau: Do hai mặt bên ( BB′A′A) ( CC ′D′D ) song song với nên giao tuyến hai mặt với mặt phẳng ( AMN ) phải song song với Do ( AMN ) ∩ ( AA ' B ' B ) = AB ', AB′ P MN ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = B ' N Vậy thiết diện cần tìm hình AMNB′ Phân tích sai lầm: Học sinh biết giao tuyến mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( BB′A′A) đường thẳng qua A song song với MN Trực giác cho thấy giao tuyến đường thẳng AB′ Điều chưa chưa có sở chứng minh AB′ P MN Giải Ta có: ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM Trong mặt phẳng ( AA ' D ' D ) dựng AM cắt A ' D ' P ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = PN Trong mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ' ) ta nhận thấy C' P, M , B ' thẳng hàng thật vậy, Ta có: MD′ PD′ = ⇒ = AA PA′ D′N = Ta lại có A′B′ P NB′ = PB′ ( AMN ) ∩ ( CC ′D′D ) = MN ; ( AMN ) ∩ ( AA′B′B ) = AB′ Vậy thiết diện cần tìm hình AMNB′ từ suy PN qua B′ B' N D' A' C M B D A Đối với tốn tìm thiết diện hình vẽ quan trọng @ Ngun nhân: 10 Vẽ hình khơng thể hết giả thiết vẽ hình sai Do bước đầu tiếp xúc với hình học khơng gian địi hỏi trừu tượng tư cao, khơng thường xun luyện tập vẽ hình Khơng nắm vững khái niêm dó khơng thể hết giả thiết dẫn đến không đủ kiện để giải toán Các khái niệm HS khơng nắm vững hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng có đáy đa giác đều, mặt bên hình chữ nhật…) @ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững quy tắc vẽ hình khơng gian, rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình khơng gian như: hình chóp( hinh chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy hình vng,…), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh nắm vững khái niệm hình khơng gian để có cách vẽ hình xác… Các quy tắc vẽ hình khơng gian: - Dùng nét ( ) để biểu diễn cho đường nhìn thấy - Dùng nét ( -) để biểu diễn đường khuất - Hai đường thẳng song song (cắt nhau) biểu diễn thành hai đường thẳng song song ( cắt ) - Hình biểu diễn hình thang hình thang - Hình biểu diễn hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vng hình bình hành - Một tam giác ABC xem hình biểu diễn tam giác bất kì… Chú ý: vẽ hình khơng gian quy tắc chưa đủ mà cịn phải đảm bảo thật có lợi cho việc quan sát trực giác, điều giúp ta dễ tìm lời giải cho tốn Khả tư trừu tượng tạo khó khăn trực giác Khi giải số tập HS thường mắc phải sai lầm quan sát trực quan tạo Khó khăn việc tìm lời giải từ giả thiết Học sinh thường rơi vào bế tắc không cho tốn tìm thiết diện Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ ( ABCD ) Gọi ( α ) mặt phẳng qua A vng góc với SB S α ( ) Hãy xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng Trong tốn học sinh thường rơi vào bế tắc, bắt đầu lời giải từ đâu, A không thấy hình biểu diễn mặt phẳng ( α ) B Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm phương pháp chung để D giải dạng tập tìm thiết diện C Giải Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng AM ⊥ SB S Ta có: AD ⊥ SA AD ⊥ AB M A B N D C 11 AD ⊥ ( SAB ) suy AD ⊥ SB (1) mặt khác AM ⊥ SB (2) từ (1) (2) suy ( ADM ) ⊥ SB ( ADM ) ≡ ( α )  AD ⊂ ( α )   BC ⊂ ( SBC ) ⇒ Mt = ( α ) ∩ ( SBC ) ta có:   AD P BC  M ∈ ( α ) ∩ ( SBC )  Mt P BC , Mt P AD Mt cắt SC N ( α ) ∩ ( SAB ) = AM ( α ) ∩ ( SDC ) = DN C' B' N A' D' M D C B A Vậy thiết diện cần tìm tứ giác DAMN @ Biện pháp khắc phục: - Hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải tốn tìm thiết diện: Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt hình chóp hay hình lăng trụ… Từ suy đoạn giao tuyến Nối đoạn giao tuyến ta đa giác phẳng, thiết diện cần tìm Phân loại dạng tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết cách giải với dạng tốn đề cho (phần trình mục 1) - Như nói nguồn gốc khó khăn giải tốn thiết diện xuất phát phần lớn khó khăn tìm “giao điểm” xác định “đoạn giao tuyến” Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” ta có khơng có sẳn xác định đoạn giao tuyến cách tìm giao điểm phổ biến (tuy nhiên cịn có phương pháp khác nêu sau) - Như quy cho vấn đề tìm “giao điểm” cốt lõi tốn thiết diện Vậy để tìm “giao điểm” chẳng hạn giao điểm hình chóp cắt mặt phẳng Khó khăn mà nguyên nhân chủ yếu em học sinh không nắm vững phương pháp dẫn đến sai lầm Có thể nêu hai phương pháp tìm giao điểm đường thẳng đường thẳng: Cách 1: Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng ( P ) ta tìm giao điểm đường thẳng a đường thẳng b nằm mặt phăng ( P ) b ⊂ ( P ) ⇒ a ∩ ( P) = I   a ∩ b = I Cách 2: 12 Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng ( P ) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a , sau xác định giao tuyến b hai mặt phẳng ( P ) (Q) Khi giao điểm cần tìm giao điềm hai đường thẳng a b a ⊂ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = b ⇒ a ∩ ( P ) = I a ∩ b = I  Chú ý: cách tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) (Q) Việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng thường ta tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Nhưng đơi việc xác định lại gặp khó khăn từ dẫn đến khó khăn cho tốn tìm thiết diện Ta có cách khác tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Ta tìm điểm chung hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song với hai đường thẳng Một ví dụ minh họa: Ví dụ 2.2: Cho hình chóp S ABCD Gọi M điểm nằm tam giác SCD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( ABM ) S K M C B J I P A O D Giải: Đầu tiên ta tìm giao điểm I AM ( SBD) Gọi P = SM ∩ DC Khi mp ( ABCD ) , gọi O = AP ∩ BD Ta có SO = ( SAP ) ∩ ( SBD ) Gọi I = AM ∩ SO Mà AM ⊂ ( SAP) Vậy ta suy I = AM ∩ ( SBD ) Trên mp ( SBD) , gọi J = BI ∩ SD Khi mp ( SCD) , gọi K = JM ∩ SC Vậy tứ giác ABKJ thiết diện cần tìm Ví dụ 2.3 : Cho tứ diện ABCD Gọi M N điểm nằm cạnh BC CD cho BM = 2MC CN = ND Gọi P trung điểm AD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( MNP ) Giải: 13 A Q P D B E N M C Vì BM = 2MC CN = ND nên MN khơng song song với BD , BD MN cắt E Trên mp ( ABD) , PE cắt AB Q , đó: MN , NP, PQ, QM đoạn giao tuyến cắt mặt tứ diện mp ( MNP ) Vậy tứ giác MNPQ thiết diện cần tìm Những khó khăn khơng hiểu kỹ định lý, hệ dẫn đến kết luận sai - Sử dụng định lý, hệ cách chủ quan dựa trực giác ý nghĩ hình học phẳng, chẳng hạn HS thường cho khơng gian có định lý sau: “hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với nhau”, “ hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng song song với nhau”,… định lý, hệ mà HS thường hiểu nhầm: + Một đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng + Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến, đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng + Ln dựng mặt phẳng qua điểm phân biệt Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều, SA ⊥ ( ABC ) Lấy điểm M cạnh SC Gọi ( α ) mặt phẳng qua M vng góc với AB S Học sinh giải sau: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ; ( α ) ⊥ AB Suy ( α ) P SA M Trong mặt phẳng ( SAC ) : kẻ đường thẳng qua M N song song với SA cắt AC Q Gọi I trung điểm AB , đó: AB ⊥ CI Q A C MQ P SA MQ ⊥ ABC ⇒ MQ ⊥ AB ( ) Mặt khác , nên P I Do MQ P CI B Suy ( α ) P CI Mà CI ⊂ ( ABC ) ⇒ ( ABC ) P ( α ) Suy ( α ) P BC Do đó: ( α ) ∩ ( SBC ) = MN P BC ( α ) ∩ ( ABC ) = QP P BC 14 ( α ) ∩ ( SAB ) = NP P SA Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ Giải Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ( α ) ⊥ AB Suy SA P( α ) Ta có SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) Do đ ó ( α ) ∩ ( SAC ) = MQ , S N M A Q C P I MQ PSA cắt AC B Q Gọi I trung điểm AB ta có CI ⊥ AB Suy CI P ( α ) ; CI ⊂ ( ABC ) Do ( α ) ∩ ( ABC ) = QP , QP PCI cắt AB P Ta có SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAB ) P ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) suy PN = ( α ) ∩ ( SAB ) với PN PSA , PN cắt SB N MN = ( α ) ∩ ( SBC ) Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ @ Nguyên nhân: - Hình học không gian trừu tượng nên việc nắm kỹ định lý khó khăn, trực giác khơng mang lại kết hình học phẳng mà đơi cịn đánh lừa người giải tốn họ thể sai hình vẽ - HS cịn dựa nhiều vào kiến thưc hình học phẳng, thản nhiên áp dụng cách tùy ý cách suy diễn từ hình học phẳng sang hình học khơng gian @ Khắc phục: - Giúp HS nắm vững định lý SGK cách vận dụng vào giải tập Việc vận dụng định lý, hệ vào giải phải hiểu định lý, hệ thuộc quan hệ song song hay quan hệ vng góc, phát biểu xác hệ định lý - Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều có lợi để áp dụng định lý - Phân dạng tập thiết diện Mỗi dạng thường vận dụng định lý, hệ nào,… Khó khăn hiểu nhầm khái niệm, dẫn tới bế tắc có lời giải sai Các khái niệm mà học sinh không nắm vững dẫn tới việc thể thiếu kiện toán, đưa khái niệm sai Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD mặt bên hợp với đáy góc α Hãy xác định thiết diện tạo nên mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh BC với mặt bên hình chóp Phân tích: trực giác cho HS thấy mặt phẳng phân giác góc nhị diện ¼ SCD ¼ cạnh BC phải chứa hai đường phân giác góc SBA 15 HS tiến hành giải sau: Trong mp ( SAB ) ta dựng đường phân giác BM ¼ cắt SA M góc SBA Ta có: ( α ) ∩ ( SAB ) = BM C Trong mặt phẳng ( SAD) dựng đường ¼ phân giác góc SCD cắt SD N ( α ) ∩ ( SCD ) = CN ( α ) ∩ ( SAD ) = MN ( α ) ∩ ( ABCD ) = BC S N D M B A Vậy thiết diện cần tìm tứ giác BCNM Nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó: học sinh khơng hiểu mặt phẳng phân giác góc nhị diện gì, định nghĩa góc hai mặt phẳng Giải: Gọi ( P ) mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh BC , ( P ) qua BC ( α ) ∩ ( ABCD ) = BC Dựng trung điểm I , J cạnh BC BD S Ta có: SI ⊥ BC ( tam giác SBC cân S ) IJ ⊥ BC » góc phẳng nhị diện cạnh BC Do SIJ » cắt SJ K Dựng phân giác IK góc SIJ Vậy ( P ) ≡ ( BC , IK ) Ta có: BC P AD, BC ⊂ ( P ) , AD ⊂ ( SAD ) K ∈ ( P ) ∩ ( SAD ) Do MN = ( P ) ∩ ( SAD ) MN P AD, MN P BC với MN qua K cắt SA, SD M N MB = ( P ) ∩ ( SAB ) N K C D M I B J A NC = ( P ) ∩ ( SCD ) Vậy thiết diện cần tìm tứ giác BCNM @ Nguyên nhân: không nắm khái niệm,các định nghĩa, dựa vào quan sát trực giác để hình thành khái niệm sở hình học phẳng… @ Khắc phục: - Giúp học sinh nắm vững khái niệm, định nghĩa chẳng hạn: góc hai mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng… - Hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc hai mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, cách chứng minh hai mặt phẳng song song,… Các kỹ cần rèn luyện cho học sinh q trình giải tốn thiết diện a) Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình xác, giúp cho em cao khả tư tưởng tượng hình học khơng gian chẳng hạn ví dụ sau: 16 - Nếu đáy tứ giác lồi tùy ý, ta vẽ hình thường dùng là: S S D A B A D C B C - Nếu đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng: S A D B C S -Nếu đáy hình thang: A D B C Hãy cho em biết thiết diện tứ diện ngũ giác, tứ diện có bốn mặt, thiết diện tứ diện không thiết tứ giác … Ví dụ 4.1: Chẳng hạn ví dụ 2, mà ta xét sau b) Nâng cao kỹ giải tốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thực chất tốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng tìm hai điểm chung hai mặt phẳng, giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung Chú ý giúp học sinh hiểu định lý : “Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng đó” + Trường hợp: đề cho sẵn hai điểm chung hai mặt phẳng ta cần dựng giao tuyến đường thẳng qua hai điểm + Trường hợp đề cho điểm chung hai mặt phẳng ta có hai cách tìm giao tuyến sau: A cách 1: dựng thêm điểm chung khác cách kéo dài đường M thẳng cắt thuộc hai mặt phẳng Ví dụ 4.2: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , K điểm AB, AD BC cho MN không song song với BD N Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng ( MNK ) D B I 17 P K C Giải: Ta có: ( MNK ) ∩ ( ABC ) = MK ; ( MNK ) ∩ ( ABD ) = MN Trong mặt phẳng ( ABD ) dựng MN cắt BD I ta ( MNK ) ∩ ( ABC ) = IK , IK cắt DC P ( MNK ) ∩ ( ADC ) = NP Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPK Cách 2: từ điểm chung có ta sử dụng định lý quan hệ song song để tìm quan hệ giao tuyến với đường thẳng có mà ta dựng đường giao tuyến Chẳng hạn sử dụng hệ quả: “nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” Ví dụ 4.3: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J lầm lượt trọng tâm tam giác ∆SAB tam giác ∆SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( IJM ) Trong mặt phẳng ( SLN ) ta có IJ ⊂ ( JIM ) , NL ⊂ ( ABCD ) SJ SI = = IJ P LN JL IN S M ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) Suy Mt ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) Mt cắt AD, BC T W ta được: V T U J D I A L MW ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) TJ = ( JIM ) ∩ ( SAD ) M X N Trong mặt phẳng ( SAD ) dựng JT cắt SA, SD C W B U V UI = ( JIM ) ∩ ( SAB ) , Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng UI cắt SB X Ta có XW = ( JIM ) ∩ ( SBC ) MV = ( JIM ) ∩ ( SCD ) , thiết diện cần tìm ngũ giác UVMWX c) Rèn luyện cho học sinh kỹ có phương pháp giải dạng tốn tốn thiết diện (trình bày mục 1) d) Rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích dự đốn trường hợp xảy yêu cầu toán giải toán thiết diện A Ví dụ 4.4: Cho tứ diện ABCD Gọi H , K trung điểm cạnh AC , BC Trong tam giác BCD lấy điểm M cho hai đường thẳng KM CD cắt Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng ( HKM ) Giải H B Gọi P = KM ∩ CD Ta có hai trường hợp: D 18 P M K C Trường hợp 1: Điểm P thuộc đoạn CD Khi ta được: ( HKM ) ∩ ( BCD ) = KP ( HKM ) ∩ ( ACD ) = HP ( HKM ) ∩ ( ABC ) = KH Do đó, thiết diện cần tìm ∆HKP A N Trường hợp 2: điểm P ngồi đoạn CD Khi đó: Gọi I = KM ∩ BD ; ( HKM ) ∩ ( ABC ) = KH Trong mặt phẳng ( ACD) dựng HP cắt AD N Khi : ( HKM ) ∩ ( ACD ) = HN ; ( HKM ) ∩ ( ABD ) = NI Vậy thiết diện tứ giác KHNI B H I K D M C P Ví dụ 4.5: Cho tứ diện S ABC có ABC tam giác cạnh a SA = a vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M điểm tùy ý cạnh AC , ( α ) mặt phẳng qua M vng góc với AC Tùy theo vị trí điểm M cạnh AC , có nhận xét thiết diện tạo ( α ) với tứ diện S ABC Giải Gọi E trung điểm AC , ta có BE ⊥ AC Do đó, ta cần xét hai trường hợp khác vị rí M cạnh AC S ta giả sử dựng SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC Trường hợp 1: M thuộc CE N Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC A ( α ) ⊥ AC Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAC ) ; M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) Vậy ( α ) ∩ ( SAC ) = Mt P SA , Mt cắt SC N B Do ( α ) ∩ ( SAC ) = MN Ta có BE ⊥ AC nên tương tự ta có: ( α ) ∩ ( ABC ) = Mx P BE Mx cắt BC P Do ( α ) ∩ ( ABC ) = MP ; ( α ) ∩ ( SBC ) = NP E M C P Vậy thiết diện cần tìm tam giác vng MNP vng M Trường hợp 2: M thuộc đoạn AE ( trừ điểm E ) Gọi E trung điểm AC , ta có BE ⊥ AC S Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC P ( α ) ⊥ AC Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) Vậy ( α ) ∩ ( SAC ) = Mt P SA , Mt cắt SC P Q A E M C N B 19 Do ( α ) ∩ ( SAC ) = MP Ta có BE ⊥ AC nên tương tự ta có: ( α ) ∩ ( ABC ) = Mx P BE Mx cắt AB N Do ( α ) ∩ ( ABC ) = MN Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAB ) ; N ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Vậy ( α ) ∩ ( SAB ) = Ny P SA , My cắt SB Q Do ( α ) ∩ ( SAB ) = NQ ; ( α ) ∩ ( SBC ) = QP Như vậy, trường hợp ta thiết diện hình thang vuông MNPQ (vuông M N ) e) Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm đoạn giao tuyến thông qua việc dựng thêm chi tiết ( điểm, đoạn thẳng, mặt phẳng ) hình vẽ Ví dụ 4.6: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm SB, SD OC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( MNP ) Giải Ta tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng ( MNP ) Với mặt hình chóp Ta có MN P BD mà MN ⊂ ( MNP ) , BD ⊂ ( ABCD ) P ∈ ( MNP ) ∩ ( ABCD ) S K Nên ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = Pt với Pt P MN , Pt P BD M Trong mặt phẳng ( ABCD ) dựng A Pt P BD cắt AB, BC , CD T , L, Q Vậy ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = LQ Trong mặt phẳng ( SAB ) nối KM cắt B L T SA M ta được: ( MNP ) ∩ ( SAB ) = MK ; ( MNP ) ∩ ( SAD ) = KN ; ( MNP ) ∩ ( SCD ) = NQ ; ( MNP ) ∩ ( SBC ) = LM Vậy thiết diện cần tìm ngũ giác MKNQL N D O Q P C CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC Tìm thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( AMN ) Bài 2: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P , trung điểm SA, BC , CD Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( MNP ) 20 Bài 3: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, CD cho điểm M , N Gọi ( P ) qua MN song song với AD Xác định thiết diện ( P ) tứ diện ABCD Bài 4: Cho hinh chóp S ABCD , M , N hai điểm lấy cạnh AB CD Gọi ( P ) mặt phẳng qua MN song song với SA Tìm thiết diện ( P ) hình chóp S ABCD Bài 5: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD tứ giác lồi, O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua O , song song với AB SC Thiết diện hình gì? Bài 6: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang, AD song song với BC , AD = BC Gọi E trung điểm AD O giao điểm AC BE I điểm di động cạnh AC khác với A C Qua I , ta vẽ mặt phẳng ( P ) song song với ( SBE ) Tìm thiết diện tạo ( P ) hình chóp S ABCD Bài 7: Cho hai mặt phẳng vuông góc ( P ) (Q) có giao tuyến ∆ Lấy A, B thuộc ∆ lấy C ∈ ( P ) , D ∈ ( Q ) cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB AB = AC = BD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt bới mặt phẳng ( α ) qua điểm A vng góc với CD Tính diện tích thiết diện AC = AB = BD = a Bài 8: Cho tứ diện SABC có đáy tam giác cạnh SA vng góc với mặt phẳng ABC Gọi ( P ) mặt phẳng qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC cắt ( P ) mặt phẳng ( P ) Bai 9: Cho hình vng ABCD cạnh A Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) A lấy điểm S Gọi ( P ) mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng ( SCD) Hãy xác định mặt phẳng ( P ) Mặt phẳng cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện gì? 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Việc phân dạng cụ thể tốn tìm thiết diện hình học khơng gian lớp 11 đưa phương pháp giải tương ứng giúp tốn trở nên có hệ thống hơn, nhờ học sinh dễ tiếp cận nhớ lâu Từ học sinh thấy hứng thú học phần hình học khơng gian thấy toán trở nên đơn giản Sau thực sáng kiến kinh nghiệm học sinh tiếp cận được, đa số học sinh làm tốn tìm thiết diện cịn học sinh gặp khó khan Cụ thể: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém 11B5 42 19 18 0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên kinh nghiệm mà đúc rút nhiều năm giảng dạy trường THPT cụ thể thử nghiệm với học sinh lớp 11B5 trường THPT Hậu Lộc 21 Hình học khơng gian nói chung tốn xác định thiết diện hình học khơng gian nói riêng nội dung quan trọng chương trình mơn tốn THPT Nhưng học sinh mảng kiến thức tương đối khó Trong đề tài tơi đưa hệ thống tập theo dạng khác nhau, với phương pháp giải phù hợp giúp học sinh tiếp cận dễ dàng Từ tạo hứng thú cho học sinh học phần góp phần nâng cao chất lượng dạy học Chuyên đề ý kiến chủ quan kinh nghiệm cá nhân tơi nên khơng tránh khỏi thiếu sót định Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tổ chức buổi thảo luận trao đổi phương pháp giảng dạy Cần lưu lại thư viện nhà trường chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên năm để làm tư liệu phục vụ cho việc dạy học sau Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu tham khảo đổi phương pháp dạy học để phục vụ tốt công việc nghiên cứu học tập nâng cao chuyên môn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Den TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học nâng cao 11-NXB Giáo dục năm 2007 Sách giáo khoa hình học 11-NXB Giáo dục năm 2007 Sách tập hình học nâng cao 11-NXB Giáo dục năm 2007 Sách tập hình học 11-NXB Giáo dục năm 2007 Tài liệu mạng Internet 22 Danh mục đề tài SKKN Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt loại C trở lên Tên đề tài, Sáng kiến Năm cấp Phương pháp giải số toán phép biến hình hình học phẳng lớp 11 20082009 Vai trò GVCN lớp việc giáo dục đạo đức cho học sinh trường THPT 20112012 Dạy phụ đạo học sinh yếu giải số toán giơi hạn hàm số lớp 11 Phương pháp giải số tốn cực trị hình học khơng gian Oxyz Xếp loại Số, ngày, tháng, năm định công nhận; quan ban hành QĐ C số12/QĐ-SGD&ĐT ngày 05/01/2010 C số 871/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/12/2012 20152016 C số/QĐ972-SGD&ĐT ngày 24/11/2016 20182019 C Số 2007/QĐ-SGDĐT ngày 08/11/2019 23 ... học sinh học tốt số toán dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng hình học khơng gian lớp 11? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh học phần tập xác định thiết diện hình. .. đề thi tốt nghiệp THPT đề thi học sinh giỏi tỉnh Việc tìm cách giải vận dụng cách giải để giải toán xác định thiết diện theo cách xác định mặt phẳng gặp khơng khó khăn đa số học sinh, học sinh. .. bài xác định thiết diện theo cách xác định mặt phẳng điển hình hình học khơng gian lớp 11 Hy vọng đề tài nhỏ giúp ích cho bạn đồng nghiệp em học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối 11