1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

một số bài toán về bất đẳng thức

21 526 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 21
Dung lượng 374 KB

Nội dung

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1: ( ) ( ) ( ) cbaabc4cbba b) cabcabcba a) :có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng 22 222 ++++ ++++ Bài 2: ( )( )( ) abc8accbba :có luônta c b, a, dong số mọi vớirằng minh Chứng +++ Bài 3: ( )( )( ) 24 S 1 18 :rằng minh Chứng .u uu uS ặt Đ k 3; 2; 1; n với 3n2n1nn 1 u :sau nhdịnh xác ợcĐ u , ,u,u số Dãy k321 n n21 <++++= = +++ = Giải: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) .18 S 1 18 1 S 6 1 3k2k1k 1 6 1 3k2k1k 1 2k1kk 1 5.4.3 1 4.3.2 1 4.3.2 1 3.2.1 1 S3 :Vậy 3n2n1n 1 2n1nn 1 3 1 3n2n1nn 3 . 3 1 3n2n1nn 1 u :có .24 S 1 24 1 uS cóta 1 kVới n k ><< +++ = +++ ++ + + + = +++ ++ = +++ = +++ = = Bài 4: ( ) cba cba3 ac ac cb cb ba ba :có luônta c b, a, dong số mọi vớiminh Chứng 222222222 ++ ++ + + + + + + + + Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 1 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) úngĐ0 cbac abab caba bcbc cbba acac cba ac acb cb cba ba bac cba3 ac ac cb cb ba ba cbaTBĐ 222 222 222222 222 222222 ++ + ++ + ++ ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ Bài 5: 2ba c) 2ba b) 2ba a) :rằng minh Chứng .2ba Cho 884422 +++ =+ Bài 6: 1 :rằng minh Chứng .2 Cho 2222 +++ =+++ dcba dcba Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8dcba dcba1111dcba4 :2C 1dcba4dcbadcba4 cdbdbcadacab2dcbadcba4 cdbdbcadacab2dcba3 :cóta vế với vếCộng ; ad2ad;cd2dc;bc2cb :có:C1 2 222222222222 2222 2 2222 22222222 2222 222222 =+++ ++++++=+++ +++=++++++ ++++++++++++ ++++++++ +++ Bài 7: 2 25 b 1 b a 1 a :rằng minh Chứng .1ba mãnthoả b a, dong số haiCho 22 ++ + =+ Giải: 2 25 2 ba 4 2 2 b 1 a 1 2 2 b 1 b a 1 a b 1 b 222 22 = + + ++ = +++ ++ + a 1 a Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 2 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 8: .abc16ba :rằng minh Chứng .1cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) abc16baab4ba :có lại cba4bacba4cba1 Có 2 22 ++ +++++= Bài 9: abcba :rằng minh Chứng .4cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Bài 10: c 1 b 1 a 1 bca ac abc cb cab ba :thức dẳngbất minh Chứng 222 ++ + + + + + + + + Bài 11: 3 4 c,b,a0 :rằng minh Chứng 2cba 2cba :mãnthoả c b, a, sốba Cho 222 =++ =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 c0 ; 3 4 b0 :tự ngoT 3 4 a00a4a3a2a22cbcb2 2 2 2 2 22 ++ Bài 12: [ ] ( ) ( ) 222 2 cba4cba1 :có luônta 0;1c b, a, mọi vớirằng minh Chứng +++++ Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 3 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 222 2 cba4cba1 :Vậy cc;bb;aa :có lại cba4cba1 +++++ +++++ Bài 13: + + + + + + + + + + > ca b cb a ba c 2 b ac a cb c ba 0cb,a, mọi vớirằng minh Chứng Giải: ( ) ++ ++ += ++ ++ + + + + + + ++ b 1 a 1 2 c c 1 a 1 2 b b 1 c 1 2 a a b a c 2 1 a c a b 2 1 c b c a 2 1 b ac a cb c ba :cóta yx2yx :thức dẳngbất dụng áp ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + = + + + + + + + + + + ++ + + + + + ++ ++ + + + cb a ca b ba c 2 ba2 c22 ca2 b22 cb2 a22 ba c22 ca b22 cb a22 :cóta yx2yx:thức ẳngdbất dụng áp lại ba c22 ca b22 cb a22 b 1 a 1 2 c c 1 a 1 2 b b 1 c 1 2 a :cóta yx 4 y 1 x 1 :thức dẳngbất dụng áp Bài 14: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 3 b1a1 c c1a1 b c1b1 a :rằng minh Chứng .1abc :mãnthoả a, b, c ngod số các Cho 333 ++ + ++ + ++ = Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 4 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 b3 8 c1 8 a1 c1a1 b o 4 a3 c1b164 c1b1a .3 8 c1 8 b1 c1b1 a d 3 3 33 + + + + ++ = ++ ++ + + + + ++ :tự ngT :ợcta Cosi thức dẳngbất dụng áp ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 abc.3 2 cba 4 3 b1a1 c c1a1 b c1b1 a 4 c3 8 b1 8 a1 b1a1 c 3 333 3 = ++ + ++ + ++ + ++ + + + + ++ :cóta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng Bài 15: . 512 729 c 1 1 b 1 1 a 1 1 :rằng minh Chứng 6.cba :mãnthoả c b, a, dong thực sốba Cho 333 + + + =++ Bài 16: . 2 cba ba c ca b cb a :thức dẳngbất minh Chứng dong. số cáclà cb, a, Cho 222 ++ + + + + + Giải: thức dẳngbất ba của vế với vếCộng c 4 ba ba c ;b 4 ca ca b :cóta tự ngT Cosi). T(BĐ a 4 cb cb a :có 2 2 2 + + + + + + ơ + + + Bài 17: 6accbba b) 5,31c1b1a a) :rằng minh Chứng 1.cba :mãnthoả 0 c b, a, Cho <+++++ <+++++ =++> Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 5 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 18: 22 yx yx :rằng minh CHứng 1.y.x y,x Cho 22 + => Giải: ( ) ( ) ( ) 22 yx 2 yx yx xy2yx yx yx 2 22 += + = + Bài 19: 3 4 c, b, a :rằng minh Chứng .1cabcab 2cba :mãnthoả c b, a, số các Cho 222 =++ =++ Bài 20: ( ) .abba 4 ba 2 ba 2 + + + + :rằng minh Chứng 0b a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) .abba 4 ba 2 ba :Vậy 0 2 1 b 2 1 aab ba 2 1 baabbaab 2 1 baab :Xét hiệu 2 1 baab 2 1 ba 2 ba 4 ba 2 ba :Có 2 22 2 + + + + + = ++=+ ++ ++ ++ + = + + + Bài 21: .2 ba c ac b cb a :rằng minh Chứng 0. c b, a, Cho > + + + + + > Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 6 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị .2 ba c ac b cb a :dợcta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng cba c2 ba c ; cba b2 ca b :tự Tong . cba a2 cb a :Vậy a2 cba 1 a cb 2 1 1. a cb :Cosi dụng áp + + + + + ++ +++ + ++ + ++ = + + + Bài 22: 8 11 a :rằng minh Chứng 1.b 1;a Cho b) .2 1-x x :rằng minh Chứng 1.x Cho a) 22 + >> > a b b Giải: ( ) 2 1x 1 1x 1x 11x 1-x x a) += + = ( ) ( ) 8 1b b . 1a a .2 1a b . 1b a 2 1a b 1b a b) 2222 = + B i 22: 4 3 z2yx 1 zy2x 1 zy2x 1 thi 4 z 1 y 1 x 1 mãnthoả 0 z y, x, Nếu:rằng minh Chứng ++ + ++ + ++ =++> Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 7 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( ) ( ) 4 3 z 3 y 3 x 3 16 1 z2yx 1 zy2x 1 zy2x 1 :dợcta vế với vếCộng z 2 y 1 x 1 16 1 2zyx 1 z 1 y 2 x 1 16 1 z2yx 1 :tự Tong z 1 y 1 x 2 16 1 z 1 x 1 y 1 x 1 16 1 zx 1 yx 1 4 1 zxyx 1 zy2x 1 :Có = ++ ++ + ++ + ++ ++ ++ ++ ++ ++= +++ + + + +++ = ++ Bài 23: 14 zyx 2 zxyzxy 3 :rằng minh Chứng 1.zyx mãnthoả z y, x, ngod sốba Cho 222 > ++ + ++ =++ Giải: zxyzxy 2 zyx 1 zx2yz2xy2 1 2 zxyzxy 2 zyx 2 zx2yz2xy2 2 zyx 2 222 222222 ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ . zxyzxy 3 ( ) ( ) 1 8 zyx 1 2zx2yz2xy 1 .2 4 zyx 4 zyxzx2yz2xy2 4 zyx 1 2zx2yz2xy 1 :Có 222 222222 ++ + ++ = ++ = +++++ ++ + ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 zxyzxy :hay y-x :Từ 6 zxyzxy 2 zxyzxy3zyx0zyyzxyzyx 0zx2yz2xy2z2y2x20xzzy 2 222 222 222 ++ ++ ++++++ ++++ Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 8 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 24: 2 5 1y4 2 +=+ yx :rằng minh Chứng .x mãnthoả y x, thực số haiCho 2 Giải: ( ) ( ) 2 5 4 5 4 1 1y4x 2 1 y21x 22 2 2 + = ++ +=+ yx :Vậy yx :copxki -Bunhia thức dẳngbất dụng áp Bài 25: +++ x y y x 34 x y y 2 2 2 2 x :rằng minh Chứng không. khácthực số là hai y x, Cho Giải: 2aa x y y x =+ặt Đ ( )( ) ( ) dúng :thành trỏ thức dẳngBát 01a2a02a3a 2 + Bài 26: [ ] 6cba 0c bad 222 ++ =++ :rằng minh Chứng :mãnthoả 2 1;- oạn thuộc thực số cáclà c b, a, Cho Giải: ( )( ) 66cbacb 2c 2bbo 2aa02aa02a1a2a1 22 2 22 =+++++ + + ++ 2 2 a :dợcta vế với vếCộng c tự ngT Bài 27: 2 3 ba c ac b o + + + + + cb a :rằng minh Chứng ng.d sốba là c b, a, Cho Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 9 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 2 3 ba c ac b 9 ba 1 ac 1 cb 1 baaccb 3 ba 1 ac 1 cb 1 baaccb 2 1 3 ba 1 ac 1 cb 1 cba ba c ac b + + + + + + + + + + +++++ + + + + + +++++= + + + + + ++= + + + + + cb a :Có cb a Bài 28: ( )( )( ) z1y1 ++ =++> x-14z2yx :rằng minh Chứng 1.zyx và 0z y, x, số các Cho Giải: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) (dúng) y-1y1 :minh chứng Cần 2 + =+ += 2 2 y1y1y1z1y1x14 y1zx2z1x14 Bài 29: 9 ab2c 1 ca2b 1 bc2 22 + + + + + ++> 2 a 1 :rằng minh Chứng 1. cba và 0 c b, a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 9 ab2c 1 ca2b 1 bc2 ab2cca2bbc2a ab2c 1 ca2b 1 bc2 cba ab2c 1 ca2b 1 bc2 22 222 22 2 22 + + + + + +++++= + + + + + ++ + + + + + 2 22 a 1 . a 1 a 1 Bài 30: 6 ba 1 22 + + =+> ab 1 :cóta 1 ba mãnthoả 0b a, mọi vớirằng minh Chứng Bài 31: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 10 [...]... liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 1: Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P ( x ) = Giải: P( x ) = x2 + x + 2 x ( x + 1) + 1 ( = ) x( x + 1) + 1 + 1 2 x ( x + 1) + 1 x2 + x + 2 với x R x ( x + 1) + 1 = x ( x + 1) + 1 + 1 x ( x + 1) + 1 2 x = 0 dấu dẳng thức khi x ( x + 1) + 1 = 1 x = 1 Bài 2: Giả sử x, y, z là các số dư ong thay dổi và thoả... của 3 bất dẳng thức trê n ta được : x2 y 1 1 4 4 3 + 3 4 + 3.x + 3.y 4. + 2 + xy 2 = 12 3 dấu bằng khi x = y = z = 1 z z z P 1 Vậy Pmax = khi x = y = z = 1 3 Bài 3: 1 Với nhưng giá trị của x thoả mãn : x , hãy tim giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 f ( x ) = 2 x 2 + 5 x + 2 + 2 x + 3 2 x Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 17 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức. .. 3 3 2 2 3 3 2 2 Bài 41: Cho a, b, c là ba số dưong Chứng minh rằng : a b c a+b+c + + 3 b c a abc Giải: áp dụng Cosi : a a b a 2b 3a + + 33 2 = 3 tư ơng tự dược : b b c b c abc b b c 3b + + 3 c c a abc c c a 3c + + 3 a a b abc Cộng vế với vế ta dược diều phả i chứng minh 14 Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 42: Chứng minh... ) ) 2 1 + 12 ( a + b ) 2 +b 2 2 Bài 33: Cho a, b > 0 thoả mãn : a + b = 1 Chứng minh rằng : 1 1 3 + 1+ a 1+ b 4 Giải: 1 1 1 1 1 4 + = + [ (1 + a ) + (1 + b ) ] 1 + a 1 + b 3 1 + a 1 + b 3 Bài 34: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 11 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Cho a, b, c là các số thực thoả mãn : ab + bc + ca = 4 Chứng minh rằng... Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 37: Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1 x 5, ta có : 5 - x + x 1 2 Giải: 5- x + x 1 2 ( ) 5 - x + x 1 2 4 4 + 2 ( 5 x )( x 1) 4 2 x = 5 2 ( 5 x )( x 1) 0 Đ úng dấu bằng khi x = 1 Bài 38: Với các số a, b, c > 0 thoả mãn diều kiện abc = 1 Chứng minh rằng : a b c 1 + + 2... dụng Cosi cho 2 số không am : ( x + 2 ) và ( 2x + 1) có : 4( x + 3) 2 x ( x + 2)( 2x + 1) x + 2 + 2x + 1 = 3x + 3 dấu dẳng thức khi : x + 2 = 2x + 1 x = 1 2 2 áp dụng Cosi cho 2 số không am : 4 và ( x + 3) có : 4+x +3 x +7 = Dấu dẳng thức khi : 4 = x + 3 x = 1 2 2 3x + 3 x + 7 ( x + 2 )( 2x + 1) + 4( x + 3) 2 x + 2 x = 5 dấu dẳng thức khi x = 1 2 2 Vậy : f ( x ) min = 5 khi x = 1 Bài 4: Tim giá... 2 2 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi ( ) ( Bất đẳng thức - Cực trị ) 2 4 1 4 4 1 x y +1 x 2 y2 +1 2 8 2 4 2 2 1 1 1 5 5 Q x 2 y2 +1 x 2 y2 +1 = x 2 y2 +1 4 8 2 8 2 2 2 2 dấu bằng khi x y = 1 ( Vậy Q min = ) ( [( ) ] ) 5 khi x 2 = y 2 = 1 2 Bài 6: Giả sử a, b, c là các số thực dưong thoả mãn diều kiện b 2 + c 2 a 2 t ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 ( b + c 2 ) + a 2 b12 + c12 ... sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 8: Tim các cặp số dưong ( x; y ) thoả mãn : 2x 2 + 2 y 2 x 2 y 2 6 xy 4 x + 4 y + 10 = 0 sao cho tích xy dạt giá trị nhỏ nhất Giải: 2x 2 + 2 y 2 x 2 y 2 6 xy 4 x + 4 y + 10 = 0 2( x 2 + y 2 + 1 2 x + 2 y 2 xy ) ( x 2 y 2 + 2 xy + 1) + 9 = 0 ( xy + 1) = 2( y + 1 x ) + 9 9 dấu bằng khi x - y = 1 2 2 xy + 1 3 xy 2 dấu bằng khi x = 2; y = 1 Bài 9: tim... x = y = 2 x y 2 2 Vậy Pmin = 8 khi x = y = 2 20 Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 11: a6 b6 c6 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 3 + + b + c3 c3 + a 3 a 3 + b3 trong dó a, b, c là các số thực dưong thoả mãn diều kiện : a + b + c = 1 Giải: áp dụng Bunhia - copxki ( b3 + c3 ) +( 2 ( a 3 + b3 + c3 ) c +a 3 2 3 ) +(... giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = ( x + y )( x + z ) 4( x + 3) trong dó x, y, z là ba số dưong thay dổi luôn thoả mãn diều kiện ( x + y + z ) xyz = 1 Giải: T = ( x + y )( x + z ) = x 2 + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz 1 Từ : ( x + y + z ) xyz = 1 x ( x + y + z ) = thay vào T ta có : yz 1 T= + yz 2 dấu dẳng thức khi yz = 1 yz Bài 5: T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 1 x 10 y10 1 16 . học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1: ( ) ( ) ( ) cbaabc4cbba b) cabcabcba a) :có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng 22 222 ++++ ++++ Bài 2: ( )( )(. sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 8: .abc16ba :rằng minh Chứng .1cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) abc16baab4ba :có lại cba4bacba4cba1 Có 2 22 ++ +++++= Bài 9: abcba :rằng. a, b, c ngod sốba Cho + =++ Bài 10: c 1 b 1 a 1 bca ac abc cb cab ba :thức dẳngbất minh Chứng 222 ++ + + + + + + + + Bài 11: 3 4 c,b,a0 :rằng minh Chứng 2cba 2cba :mãnthoả c b, a, sốba Cho 222 =++ =++ Giải: (

Ngày đăng: 15/01/2015, 10:11

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w