Một số bài tập về bất đẳng thức (Phạm Công Thành Quảng Ngãi)

Một số bài tập về bất đẳng thức (Phạm Công Thành Quảng Ngãi). Tài liệu tổng hợp 1 số bài tập về bất đẳng thức Bunhiakopxki và AmGm ( Cauchy)..............................................................................................................................

TEST 1: BUNHIAKOPXKI AND AM-GM

“In mathematics the art of proposing a question must be held of higher value than solving it.”

Georg Cantor PROBLEM 1: If a,b are positive numbers such that: 2 2

4

a b  then:

2018a2017b 16140

PROBLEM 2: If a, b, c are positive numbers then:

3

2018 2020

a

 



PROBLEM 3: If a, b, c are positive numbers then:

2

(2 )

1 ( )

 

 



(CMATH)

PROBLEM 4: Let a, b, c are positive numbers such that abc=1 Prove that:

8 2

3 2 6 2

  



PROBLEM 5: If a, b, c are positive numbers then:

PROBLEM 6: Let a, b, c > 0 such that ab bc ca    3

2018

abc

Prove that:

2018

2018a 4024ab 2015b



 



PROLEM 7: If a, b, c are positives numbers and ab+bc+ca=abc then:

2 2

2

3

ab







PROBLEM 8: Let a, b, c are positive numbers such that

2 2

2 2

2 2

1 1 1 3

   



  



  



 



Find the minimum value of the empression:

4 4

2

2 2

1

3

PROBLEM 9: If a, b, c are positive numbers then:

3

( 2018abc 1) ( a 4b 2)( 4b (1009 )c 2)( (1009 )c a 2)

PROBLEM 10: Let a a1, 2, ,a2018are real numbers satisfying: 21 22 20182

1 2 2018



Find the minimum value and maximum value of a2018

THE END

Good luck!

RESOLUTION Pham Cong Thanh

Dễ thấy a>b>0

4a b (a b a b )(  )

4 .1 4035 4035 [4035( )][1( )]

2 2   2 a b 2 a b

Áp dụng BĐT ( )2

2

suy ra:

(2018a2017 )b 16140

2018a2017b 16140 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi

4036 4035 4034 4035

a b

 





 



PROBLEM 1: If a,b are positive numbers such that: 2 2

4

a b  then:

2018a2017b 16140

Ta có: 3 2017 ( ) 1

2018 2018 2018

a b c

 

Áp dụng BĐT 1 1 1 9

  suy ra:

a

a b c



2018 2020

a

 

Dấu “=”xảy ra khi a=b=c

Ta có: ( b ac c )2 ( b b a c a c )2

a

Áp dụng BĐT Bunhiakopxki, ta có:

2 2

( b b a c a c ) (2 a b b c )( c )

a a

=>

2

2

(2 )

( )

b c

a



 

   

PROBLEM 2: If a, b, c are positive numbers then:

3

2018 2020

a

 



PROBLEM 3: If a, b, c are positive numbers then:

2

(2 )

1 ( )

 

 



Tương tự:

2 2 2

ab c

2 2 2

ac bc b

bc b

=>

2



Áp dụng BĐT Cauchy- Schward, ta có:

2

1



=>đpcm

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Ta có:

8 2

3 2 6

a  a  ab = (a8   1 1 1) 3a22ab3 AM GM 2

(a  1) 2ab 2 AM GM 2(aab1)

=> 8 21

3 2 6

a  a  ab

1



3 2 6 2 1

    

Với abc=1 dễ chứng minh 1

1

ab a 

3 2 6 2

  



PROBLEM 4: Let a, b, c are positive numbers such that abc=1 Prove that:

8 2

3 2 6 2

  



=>đpcm

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

6( x y )  2 y 3 z  z 18 x  12 x 2 y z  6 x 4 y z  6 x 2 y 2 z

Đặt a=6x; b=2y; c=z

3 2

  

Ta dễ dàng chứng minh BĐT trên

Thật vậy: Áp dụng BĐT 1 1 4

a b a b

 ta có:

Cộng vế tương ứng => đpcm

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay 6x=2y=z

PROBLEM 5: If a, b, c are positive numbers then:

Ta có:

2

2018a 4024ab 2015b (2a b) 2014(a b) a b



Áp dụng BĐT 1 1 1 9

 

=> 1 1 9 1 3( 3 3) 1 1( 1 1)

2a b 9 a a b 9 a b c 3 a b c

  

Lại có ab bc ca    3

2018

abc



1 1 1 3

2018

a  b c

2018

2018a 4024ab 2015b



 



 Đpcm

Dấu “=” xảy ra khi a    b c 2018

PROBLEM 6: Let a, b, c > 0 such that ab bc ca    3

2018

abc

Prove that:

2018

2018a 4024ab 2015b



 



PROLEM 7: If a, b, c are positives numbers and ab+bc+ca=abc then:

2 2

2

3

ab



Áp dụng BĐT Bunhiakopxki cho bộ số (1; 2)và ( ; 2.a)b , ta có:

(1 2)( b 2a )Bunhiakopxki (b2 )a

2

3



2 2

2 2

3

 



Tương tự:

2 2

2 2

3

 

 ;

2 2

2 2

3

 





2 2

2

ab



3

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=3

Ta có: 2 2 2

(a b )(a b ) 0 4 4 3 3 2 2

2 2 2 0

2 ( )

a b  ab a b ab



4 4

2a 2b 2 ab

Tương tự:

4 4

2b 2c 2 bc

4 4

2c 2a 2 ca

PROBLEM 8: Let a, b, c are positive numbers such that

2 2

2 2

2 2

1 1 1 3

   



  



  



 



Find the minimum value of the empression:

4 4

2

2 2

1

3



4 4

2 2



   2ab(1)

Lại có:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

( ab) a b b c c a 2(a b c ) AM GM 3 a



      



2

2

1

( )

3

ab

a

Mặt khác: 1 1 1 3

abbcca abc => a b c    3

Từ (1) và (2) suy ra:

4 4

2 2



2

1 ( ) 3

ab c

Vậy GTNN của

4 4

2

2 2

1

3

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Đặt x=a; y=2b; z=1009c

2 2 2 2 2 2 3

( xyz 1) ( x y 2)( y z 2)( z x 2)

      

Thật vậy, ta có:

(1x)(1y)(1z)xyz(xyyzxz) (    x y z) 1 AM GM xyz3 x y z 3 xyz 1 ( xyz1)

3

Lại có

( 2)( 2)( 2) (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

8

          

PROBLEM 9: If a, b, c are positive numbers then:

3

( 2018abc 1) ( a 4b 2)( 4b (1009 )c 2)( (1009 )c a 2)

Mà

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( 2( ) 2)( 2(y ) 2)( 2(z ) 2) ( 2)( y 2)( z 2) ( 2)( 2)( 2)

 (1x)(1y)(1z)

2 2 2 2 2 2

8



8 ( x y 2)( y z 2)( z x 2)



      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: đpcm

Ta có: 21 22 20182 21 22 20172 2018 2

1 2 2018 1 2 2017 2018



Áp dụng BĐT Bunhiakopxki, ta có:

1 2 2017 1 2 2017

(1 1 1)(   a a   a )(a a   a )

1 2 2017 1 2 2017

2017(a a   a )(a a   a )

2018 2018

2017(1a ) (1 a )

2018 2018

2018a 2a 2016 0

   

1 2018 1008

1009

a

  

Vậy GTNN của a2018 1008

1009

 và GTLN của a2018 là 1

THANKS FOR READING

PROBLEM 10: Let a a1, 2, ,a2018are real numbers satisfying: 21 22 20182

1 2 2018



Find the minimum value and maximum value of a2018