Phát triển một số tư duy toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình hình học 11

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN Đứng trước phát triển, lên đất nước để thực thắng lợi Nghị 29-NQ/TW đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế, đòi hỏi Ngành Giáo dục phải đổi phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học Giáo dục phải tạo nên người động, sáng tạo có lực làm chủ vấn đề giải vấn đề Phương pháp dạy học đóng vai trị to lớn kết q trình giáo dục Mỗi phương pháp dạy học giúp nguời học phát triển trí tuệ lực theo hướng khác Trong nhà trường phổ thông, dạy Toán dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh xem giải tập Tốn hoạt động chủ yếu hoạt động Toán học Theo G Polya hoạt động giải Tốn phải thể được: “đặc trưng phương pháp khoa học dự đốn kiểm nghiệm” Cách phát biểu tốn nhiệm vụ cần thực (như chứng minh mệnh đề), đặt học sinh vào tình mị mẫm, dự đốn, thử nghiệm tìm kết tức dạng tốn mở Nhưng tập sách giáo khoa thường có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng tập mở phương tiện giáo dục Toán học cho học sinh chưa quan tâm khai thác cách hiệu quả, người giáo viên gặp khó khăn việc tạo mơi trường học tập mà học sinh thực tích cực, chủ động, sáng tạo việc tiếp nhận kiến thức Qua nghiên cứu lí luận thực tiễn nhận thấy: người giáo viên biết thiết kế cấu trúc lại tập sách giáo khoa thành dạng tập mở, phù hợp với lực học sinh xem phương tiện để tiến hành phương pháp dạy học đại, phát huy tính tích cực khơi dậy khả tiềm tàng học sinh, đồng thời qua giáo viên nhận thơng tin lực học sinh cách xác để kịp thời rèn luyện, khắc phục sửa chữa sai lầm Một số tác giả nước Moon Schulman đề cập đến vấn đề sử dụng câu hỏi, tập mở dạy học trường phổ thơng Ở Việt Nam có cơng trình nghiên cứu tốn mở tác giả Tôn Thân, Nguyễn Văn Bàng, Bùi Huy Ngọc, Phan Trọng Ngọ…Tác giả Trần Vui nghiên cứu việc “Khảo sát tốn học” thơng qua tập mở Thực trạng yêu cầu việc sử dụng câu hỏi, tập mở dạy học trường THPT Trong dạy học toán nước ta cịn trọng nhiều thuật tốn, kiến thức truyền thụ cho học sinh cịn có tính chất áp đặt, câu hỏi đặt thường riêng lẻ, mang tính gợi nhớ nhắc lại kiến thức Cách dạy khơng phát huy tính tích cực học sinh khơng đáp ứng mục đích: Việc giảng dạy toán học phải hướng tới mục đích lớn thơng qua việc học tập để phát triển trí tuệ chung, hình thành học sinh phẩm chất tư cần thiết, tảng kiến thức, kỹ chắn qua hồn thiện người động, có lực phát giải vấn đề Hiện việc xây dựng học dựa câu hỏi, tập mở trường THPT cịn có khó khăn cấu trúc chương trình, lực giáo viên trình độ học sinh cịn nhiều hạn chế khơng đồng lớp học Vì việc dạy học theo hướng sử dụng tốn mở cần có nỗ lực cố gắng đồng bộ, đặc biệt giáo viên cần nhận thức vai trị, vị trí việc dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi tập mở việc tích cực hoá nhận thức người học Khả áp dụng câu hỏi, tập mở dạy học toán trường THPT Hiện đổi phương pháp dạy học có chuyển biến tích cực chiều sâu lẫn chiều rộng Điều thể cách dạy thầy cách học trò Nhiều giáo viên áp dụng đồng thời phương pháp dạy học phương pháp “truyền thống” dạy học phát giải vấn đề, dạy học khám phá Đứng trước tình dạy học, phương pháp thực theo nhiều cách khác ta xem câu hỏi, tập mở phương tiện để thực phương pháp dạy học Tuy nhiên để câu hỏi, tập mở thực mang lại hiệu học ta cần lưu ý nguyên tắc dạy học là: phải đảm bảo tính vừa sức, dạy học phải dựa vào vùng phát triển gần Vì hệ thống câu hỏi, tập mở phải phù hợp với đối tượng học sinh Qua nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 11, tơi nhận thấy ngồi câu hỏi, tập củng cố kiến thức, cịn có tốn hay khó, đặc biệt Sách Giáo khoa 11 Nâng cao Vì với đối tượng học sinh trung bình ta sử dụng câu hỏi, tập mở để củng cố khái niệm khắc sâu định lí, cịn đối tượng học sinh trở lên ta sử dụng câu hỏi, tập mở thông qua tập bổ sung để rèn luyện lực tự phát vấn đề giải vấn đề, đồng thời phát triển lực giải tốn tính sáng tạo cho học sinh Kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa Hình học 11 vấn đề giảng dạy hình học không gian, chọn đề tài SKKN là: “Phát triển số tư Toán học cho học sinh THPT thông qua câu hỏi, tập mở chương trình Hình học 11”, với đối tượng nghiên cứu học sinh giỏi II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI Đưa khái niệm câu hỏi, tập mở 2 Phân tích việc sử dụng câu hỏi, tập mở dạy học tương thích với lí thuyết dạy học tích cực Nghiên cứu vai trị câu hỏi, tập mở việc phát huy tính tích cực, phát triển tư sáng tạo, lực kiến tạo khám phá kiến thức học sinh Đề xuất bước bước tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi, tập mở Đề xuất số dạng câu hỏi, tập chuyển sang dạng mở để hình thành củng cố khái niệm; khắc sâu kiến thức, định lí cho học sinh; Phát triển nâng cao khả giải toán cho học sinh Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu áp dụng Đề tài việc dạy cho học sinh khá, giỏi Đề tài nêu lên ưu điểm, hạn chế khả việc sử dụng câu hỏi, tập mở dạy học trường THPT PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận a) Câu hỏi, tập đóng Câu hỏi, tập đóng dạng câu hỏi có cấu trúc hồn chỉnh, câu trả lời xác định rõ ràng theo mục tiêu cố định từ giả thiết cần thiết cho tình tốn     Ví dụ Cho u  (1;2), v  (4;2) Chứng minh u v vuông góc Ví dụ Cho tam giác ABC vng B SA vng góc với mặt phẳng ABC A Chứng minh BC   ASB  b) Câu hỏi, tập mở Theo Tôn Thân: “Câu hỏi, tập mở dạng tốn điều phải tìm điều phải chứng minh khơng nêu lên cách rõ ràng, người giải phải tự xác định điều thơng qua mị mẫm dự đốn kiểm nghiệm” Nghiên cứu Tôn Thân câu hỏi, tập mở ý đến bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh     Ví dụ Cho u  (a; b) , tìm v cho u v vng góc Ví dụ Trong không gian cho mặt phẳng (P) mặt cầu (O; R) Hãy xét vị trí tương đối (P) mặt cầu (O; R)? Cơ sở thực tiễn a) Dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở nhìn theo quan điểm lí thuyết dạy học phát giải vấn đề Tình gợi vấn đề tình tạo cho học sinh khó khăn lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết có khả vượt qua, tức khắc nhờ quy tắc có tính chất thuật tốn, mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động điểu chỉnh kiến thức sẵn có Như vậy, tình có vấn đề cần thoả mãn điều kiện sau: - Tồn vấn đề: Tính phải bộc lộ mâu thuẫn thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức khó khăn tư hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua - Gợi nhu cầu nhận thức: Người học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải Tốt tình gây "cảm xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải - Gây niềm tin khả năng: Nếu tình có vấn đề vấn đề hấp dẫn, học sinh cảm thấy vượt xa so với khả họ không sẵn sàng giải Cần làm cho học sinh thấy rõ họ chưa có lời giải, có số kiến thức, kỹ liên quan đến vấn đề đặt họ tin tích cực suy nghĩ giải Như dạy học giải vấn đề ta thấy: + Học sinh đặt vào tình gợi vấn đề thông báo tri thức dạng có sẵn + Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, tận lực huy động tri thức khả để phát giải vấn đề + Mục tiêu dạy học làm cho học sinh lĩnh hội kết trình phát giải vấn đề mà cịn chỗ làm cho họ phát triển khả tiến hành q trình Nói cách khác học sinh học thân việc học Điều quan trọng dạy học phát giải vấn đề nêu lên câu hỏi, mà cách đặt câu hỏi để tạo tình có vấn đề Ví dụ Sau học khái niệm hai véctơ phương, giáo viên nêu câu hỏi sau: Cho hai vectơ u , v hai số thực a, b thoả mãn a.u  b.v  o Hai vectơ u , v có phương khơng? Với câu hỏi giáo viên nhận nhiều phản hồi từ phía học sinh qua câu trả lời khác Có học sinh trả lời vectơ u , v phương, cịn có học sinh cho hai vectơ u , v khơng phương, có học sinh xét trường hợp số a, b đưa kết luận trường hợp Điều quan trọng qua giáo viên đánh giá khả phân tích, suy luận học sinh khắc sâu khái niệm vectơ không hai vectơ phương Trong luyện tập quan hệ vng góc giáo viên nêu cho học sinh câu hỏi với độ mở lớn sau: Ví dụ Trong tứ diện đường cao có đồng quy khơng? Với câu hỏi học sinh liên tưởng tới tính đồng quy đường cao tam giác cho đường cao tứ diện đồng quy Tuy nhiên, có học sinh đưa ví dụ tứ diện mà đường cao không đồng quy Khi vấn đề đặt cho học sinh “tứ diện đường cao đồng quy?” Ví dụ Ta xét ví dụ dạy học giải vấn đề với câu hỏi mở Bài toán (Hình 1) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình vng, SA vng góc với (ABCD) Dựng đường vng góc chung AD SB Hình Trong tốn học sinh nhìn thấy S AD  SB Từ A dựng AK  SB suy AK đoạn vng góc chung AD SB K Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình D A bình hành, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Hãy xác C B Hình định đường vng góc chung AD SB (Hình S 2) Trong Bài tốn 2, AD khơng vng góc với SB Vì vậy, khơng dựng trực tiếp đoạn AK Bài tốn 1, nên tình gợi thực M K tình có vấn đề A Trong Bài tốn ta thấy AK   SBD  , suy AK vng góc với đường nằm mặt phẳng D N B C B' Hình (SBD) Từ nhận xét ta xác định phương đường vng góc chung AD SB Bài tốn khơng? Với câu hỏi học sinh nghĩ đến dựng B’ BC cho ' AB'  BC Gọi AK đoạn vng góc chung SB AD Khi đường vng góc chung AD SB song song với AK Ta dựng đoạn vng góc chung AD BS nào? Từ K dựng đường thẳng song song với AD cắt BS M Từ M kẻ đường thẳng song song AK cắt đường thẳng AD N Khi MN đoạn vng góc chung AD SB Trong bước vận dụng tốn, ta nêu câu hỏi sau: d2 N Xét vị trí tương đối mặt phẳng (SAB ) AD? ’ Đường SB SB có mối quan hệ ? Từ nêu quy trình dựng đoạn vng góc d1 M  Hình chung hai đường thẳng d1 , d2 chéo khơng ? Ta đến quy trình sau: Trường hợp 1: Nếu d1  d2 (Hình 3) Gọi   mặt phẳng qua d1 vng góc với d2 M Dựng MN vng góc với d1 ta suy MN đoạn vng góc chung d1 d1 d2 M Trường hợp 2: d1 , d2 khơng vng góc (Hình 4) A Từ Bài tốn 2, học sinh nêu cách dựng đoạn vng góc chung d1 , d2 sau + Bước Xác định   vng góc với d1 d2 N d3 K  Hình cắt d1 điểm A Gọi d3 hình chiếu d2 lên   + Bước Dựng đoạn vuông góc chung AK d1 d3 Trường hợp + Bước Dựng đường thẳng qua K song song với d1 cắt d2 N Từ N kẻ đường thẳng song song với AK cắt d1 M Chứng minh MN đoạn vng góc chung d1 d2 Khi giáo viên yêu cầu học sinh nhìn lại Bài tốn theo cách dựng vừa nêu Như dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi, tập mở tương thích với dạy học giải vấn đề Các câu hỏi, tập mở thông thường chứa đựng tình có vấn đề Tốn học b) Dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở nhìn theo quan điểm lí thuyết dạy học kiến tạo Theo lí thuyết kiến tạo nhận thức Jean Piaget: Học tập trình cá nhân hình thành tri thức Tri thức học sinh tiếp thu cách chủ động, sáng tạo phát triển tiếp nhận cách thụ động từ bên ngồi Nhận thức q trình thích nghi tổ chức lại giới quan người khám phá độc lập tồn bên ý thức người - Jean Piaget cho rằng: “cấu trúc nhận thức có chức tạo thích ứng cá thể với kích thích mơi trường Các cấu trúc nhận thức có hình thành theo chế đồng hoá điều ứng” + Đồng hố q trình chủ thể tái lập lại số đặc điểm khách thể nhận thức vào cấu trúc có trước + Điều ứng q trình thích nghi biến đổi đặc điểm khách thể vào có tạo cấu trúc Đồng hoá dẫn đến tăng trưởng cấu trúc có trước cịn điều ứng tạo cấu trúc kiến thức Quá trình thu nhận tri thức học sinh có theo sơ đồ sau: Tri thức có  Dự đốn  Kiểm nghiệm  Thích nghi (nếu thành cơng)  Kiến thức Thất bại  Dự đốn khác Ta thấy câu hỏi, tập mở có “độ mở ít” tạo điều kiện củng cố khái niệm khắc sâu kiến thức cho học sinh Ví dụ Xác định góc hai vectơ u , v biết u.v  Với câu hỏi giáo viên cố cho học sinh khái niệm hai vectơ vng góc vectơ khơng Cịn câu hỏi, tập mở với “độ mở nhiều” tạo điều kiện để học sinh thực trình điều ứng kiến thức thu nhận kiến thức Ví dụ Cho ABCD tứ diện gần AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c Tìm thể tích tứ diện ABCD theo a, b, c (Hình 5) Rõ ràng có nhiều định hướng tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên ta giả sử toán nêu lên sau học sinh biết cách tính thể tích tứ diện DMNP có góc phẳng đỉnh D vng Ban đầu học sinh nghĩ tới tính thể tích ABCD theo cơng thức V  S h D gặp khó khăn với việc tính đường cao buộc học sinh phải cấu trúc lại kiến thức để tìm cách tính M C P Khi giáo viên nêu câu hỏi mở để học sinh thực trình điều ứng kiến thức B A Hình N Có thể tìm liên hệ tứ diện ABCD với hình tính thể tích hay khơng? Nếu DMNP tứ diện vuông đỉnh D ta dựng tứ diện gần có quan hệ đặc biệt với tứ diện cho không? Từ học sinh tìm nhận xét Gọi A, B, C trung điểm MN, NP, MP Khi ta có ABCD tứ diện gần V ABCD  VDMNP Mặt khác AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c Sử dụng hệ thức Pitago ta tính DM  2(a  b  c ) , Suy V ABCD  DN  2(c  b  a ) , DP  2(c  a  b ) 2(a  b  c )(b  c  a )(a  c  b ) 12 Ta thấy câu hỏi, tập mở tình mang tính kiến tạo, đặt hội kiến tạo kiến thức cho học sinh Có thể nói dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở tương thích với dạy học kiến tạo c) Dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở nhìn theo quan điểm lí thuyết dạy học khám phá Jerome Bruner đễ xuất mơ hình dạy học khám phá đặc trưng yếu tố sau đây: a Hành động tìm tịi khám phá học sinh b Cấu trúc vấn đề c Đánh giá trình khám phá học sinh Khác với khám phá nghiên cứu khoa học, khám phá học tập khơng phải q trình tự phát mà q trình có hướng dẫn giáo viên, giáo viên khéo léo đặt học sinh địa vị người phát hiện, người khám phá lại tri thức Giáo viên không cung cấp kiến thức phương pháp thuyết trình, giảng giải mà phương pháp tổ chức hoạt động khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức Hoạt động khám phá học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ thấp lên trình độ cao tùy theo lực tư người học tổ chức thực theo cá nhân, nhóm nhỏ nhóm lớn, tùy theo mức độ phức tạp vấn đề cần khám phá Các dạng hoạt động khám phá học tập là: - Trả lời câu hỏi - Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích ngun nhân, thơng báo kết - Thảo luận, tranh luận vấn đề nêu giải toán Mỗi câu hỏi, tập mở tình tốn học kích thích hoạt động khám phá học sinh mở nhiều hướng chủ đề có ý nghĩa Giáo viên sử dụng câu hỏi, tập mở giúp học sinh phát huy hết khả toán học cho phép học sinh tiếp cận khám phá vấn đề theo cách mà em chọn Ví dụ 10 Ta xét ví dụ sau dạy học khám phá nhờ câu hỏi mở Bài tập 72 trang 64 sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao (Hình 6) Cho hình chóp S ABC điểm M nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với đường thẳng SA, SB, SC, cắt mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) A1 , B1 , C1 a Gọi N giao điểm SA1 BC , chứng minh điểm A, M, N thẳng hàng, từ suy cách dựng điểm A1 b Chứng minh MA1 NM  SA NA c Chứng minh MA1 MB1 MC1 + + =1 SB SC SA S Ta phát biểu toán thành toán mở sau: C1 A1 K C N Cho hình chóp S ABC điểm M nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M Hình song song với đường thẳng SA, SB, SC, cắt A E M B mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) A1 , B1 , C1 a Hãy nêu cách dựng điểm A1 , B1 , C1 , giải thích cách dựng b Tìm mối liên hệ hệ thức MA1 MB1 MC1 , , với S MAB , S MAC , SB SC SA S MCB , S ABC ? Có nhận xét tổng MA1 + MB1 + MC1 ? SA c Tồn hay không điểm M tích SB SC MA1 MB1 MC1 đạt giá trị SB SC SA lớn nhất? Để giải tốn giáo viên kết hợp nhiều câu hỏi hình thức kiến tạo, giải vấn đề khám phá 10 Ý kiến 1: Độ dài đoạn thẳng nối điểm với điểm đường thẳng Ý kiến 2: Độ dài đoạn thẳng từ điểm chiếu vng góc lên đường thẳng Ý kiến 3: Khoảng cách đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho Ý kiến 4: Khoảng cách đường thẳng qua điểm với đường thẳng cho 3) Nêu cách xác định tính khoảng cách từ điểm đến đường phẳng? b) Tiêu chuẩn thi đua: Giáo viên phát phiếu học tập cho học sinh, nhóm làm việc trả lời vào phiếu chung nhóm để nộp cho giáo viên chấm c) Thảo luận nhóm: Dự kiến tình thảo luận nhóm + Sẽ có nhiều ý kiến tranh luận khác (một số dựa vào định nghĩa SGK nên sẵn sàng bỏ qua ý kiến khác) + Dự kiến câu hỏi gợi ý cần thiết: xét mối quan hệ ý kiến đề nhận xét giống khác ý kiến Kết luận vấn đề: Cả lớp giáo viên kết luận khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Quan niệm khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là: độ dài ngắn nối điểm với đường thẳng cho Số đo phải nhất, đặc trưng cho vị trí cụ thể điểm đường thẳng cho Nhận định ý kiến đưa định nghĩa khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ý kiến 1: Không đúng, có nhiều số đo khác từ điểm đến đường thẳng cho Ý kiến 2: Đúng, số đo đoạn vng góc chung số đo nhỏ so với độ dài đoạn thẳng nối điểm với điểm đường thẳng cho Ý kiến 3: Đúng, khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến đường thẳng Ý kiến 4: Khơng đúng, có nhiều đường thẳng qua điểm khoảng cách đường thẳng với đường thẳng cho khác Kết luận: có hai cách xác định tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cách 1: Tìm đoạn ngắn nối điểm với đường thẳng cho, tính độ dài đoạn ngắn 54 Cách 2: Lấy đường thẳng qua điểm cho, cho đường thẳng song song với đường thẳng cho Tiếp theo, ta xác định khoảng cách hai đường thẳng song song tính độ dài khoảng cách Hoạt động 2: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Quy trình thảo luận tương tự Hoạt động Tình 1) * Tình 2: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Họat động 1: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song a) Các câu hỏi mở cần nêu: 1) Em quan niệm khái niệm khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song? 2) Các ý kiến sau hay sai? Vì sao? Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song là: Ý kiến 1: Độ dài đoạn thẳng nối điểm tương ứng đường thẳng mặt phẳng Ý kiến 2: Độ dài đoạn vng góc chung đường thẳng mặt phẳng song song Ý kiến 3: Khoảng cách mặt phẳng qua đường thẳng song song với mặt phẳng cho Ý kiến 4: Khoảng cách mặt phẳng chứa đường thẳng với mặt phẳng cho Ý kiến 5: Khoảng cách đường thẳng cho với đường thẳng nằm mặt phẳng Ý kiến 6: Khoảng cách đường thẳng cho với đường thẳng song song nằm mặt phẳng 3) Nêu cách xác định tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song? b) Tiêu chuẩn thi đua: Giáo viên phát phiếu học tập cho học sinh, nhóm làm việc trả lời vào phiếu chung nhóm để nộp cho giáo viên chấm c) Thảo luận nhóm: Dự kiến tình thảo luận nhóm + Trong trình học sinh trao đổi kiến thức, có nhiều ý kiến tranh luận khác có số học sinh dựa vào khái niệm SGK nên bỏ qua ý kiến khác + Khi cần thiết giáo viên phải có câu hỏi gợi ý như: em xét mối quan hệ ý kiến nhận xét ý kiến đó? 55 d) Kết luận vấn đề: Giáo viên tất nhóm lớp kết luận khái niệm khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Quan niệm khái niệm khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song là: khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng lưu ý khoảng cách độ dài ngắn từ đường thẳng đến mặt phẳng, số đo phải nhất, đặc trưng cho vị trí cụ thể đường thẳng mặt phẳng song song Nhận định ý kiến đưa định nghĩa khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Ý kiến 1: Khơng đúng, có nhiều số đo khác đoạn thẳng Ý kiến 2: Đúng, số đo đoạn vng góc chung số đo nhỏ so với độ dài đoạn thẳng nối điểm đường thẳng mặt phẳng song song Ý kiến 3: Đúng, số đo khoảng cách hai mặt phẳng song song số đo đường thẳng mặt phẳng song song Ý kiến 4: Khơng đúng, hai mặt phẳng khơng song song với nhau, chúng có nhiều số đo khoảng cách Ý kiến 5: Không đúng, khoảng cách đường thẳng cho với đường thẳng mặt phẳng song song có vơ số số đo khoảng cách Ý kiến 6: Đúng, hai đường thẳng song song với khoảng cách đường thẳng song song khoảng cách đường thẳng mặt phẳng chứa đường thẳng song song Kết luận: Có cách xác định tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cách 1: Tìm đường vng góc chung, tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: Tìm khoảng cách mặt phẳng qua đường thẳng với mặt phẳng song song Cách 3: Tìm khoảng cách đường thẳng nằm mặt phẳng đường thẳng song song với đường thẳng cho Hoạt động 2: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách hai mặt phẳng song song (Quy trình thảo luận tương tự Hoạt động Tình 2) * Tình 3: Tiếp cận khái niệm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo (Học hợp tác nhóm nhỏ đường kiến thiết) a) Nhiệm vụ học tập: Phiếu học tập 1: Cho đường thẳng a, b chéo nằm mặt phẳng song song với (P) (Q) Hỏi: 56 1) Có đường thẳng vng góc với hai đường thẳng a b ? 2) Có đường thẳng cắt đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng a, b 3) Có đường thẳng cắt vng góc hai đường thẳng a, b Nêu cách vẽ đường thẳng 4) Nêu cách dựng đường thẳng cắt vng góc hai đường thẳng chéo a b Hình 45 b) Hoạt động tư thảo luận nhóm: GV phát phiếu học tập cho cá nhân nhóm Cá nhân tìm hiểu nhiệm vụ trả lời phần biết (thời gian phút) Sau thảo luận nhóm Dự kiến tình thảo luận nhóm + HS cho rằng: khơng có, có một, có nhiều có vơ số đường thẳng có tính chất + Dự kiến câu hỏi gợi ý cần thiết: em nhận xét vị trí đường thẳng a, b? Một đường thẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng có khả năng, có mối quan hệ với mặt phẳng đó? c) Hợp thức hóa khái niệm, khắc sâu khái niệm (dùng máy chiếu để minh họa cho kết luận) GV đề nghị đại diện nhóm phát biểu kết luận nhóm mình, tồn lớp GV rút kết luận Kết luận vấn đề: 1) Có vơ số đường thẳng vng góc với đường thẳng a, b Đó tất đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) (Q) d d d a Hình 46 b 57 2) Có vơ số đường thẳng vng góc với hai đường thẳng a, b cắt đường thẳng a Đó tất đường thẳng vẽ từ điểm đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (Q) d d d a P b Q Hình 47 3) Có đường thẳng d cắt vng góc hai đường thẳng Cách vẽ đường thẳng d: - Dựng a’ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (Q) - Tìm B giao điểm a’ b - Từ B, dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q) Khi đó, d đường thẳng thỏa mãn tính chất Qua phép dựng d đường thẳng d A N M a b a’ Q B N’ M’ Hình 48 4) Cách dựng đường thẳng cắt vng góc hai đường thẳng chéo a, b - Dựng mặt phẳng (Q) qua đường thẳng b (Q) // a - Dựng a’ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (Q) 58 - Tìm B giao điểm a’ b - Từ B, dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (Q) Qua phép dựng đường thẳng d dA M a N B M’ N’ Q a’ b Hình 49 Khắc sâu khái niệm đường vng góc chung đường thẳng chéo 1) Định nghĩa đường vng góc chung đường thẳng chéo 2) Tồn tại: có đường vng góc chung đường thẳng chéo * Tình 4: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách hai đường thẳng chéo (bằng đường kiến thiết) a) Nhiệm vụ thảo luận hợp tác 1) Em quan niệm khái niệm khoảng cách đường thẳng chéo nhau? 2) Các ý kiến sau hay sai? Giải thích? Khoảng cách đường thẳng chéo là: Ý kiến 1: Độ dài đoạn thẳng nối điểm tương ứng đường thẳng Ý kiến 2: Độ dài đường vuông góc chung đường thẳng chéo Ý kiến 3: Khoảng cách mặt phẳng song song tương ứng chứa đường thẳng chéo Ý kiến 4: Khoảng cách hai mặt phẳng chứa đường thẳng chéo Ý kiến 5: Khoảng cách đường thẳng a với mặt phẳng song song với chứa đường thẳng b Ý kiến 6: Khoảng cách đường thẳng b với mặt phẳng song song với chứa đường thẳng a Ý kiến 7: Khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng 59 3) Nêu cách xác định tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau? b) Tiêu chuẩn thi đua: GV phát phiếu học tập cho HS, nhóm làm việc trả lời vào phiếu chung nhóm để nộp cho GV chấm c) Thảo luận nhóm: Dự kiến tình thảo luận nhóm + Sẽ có nhiều ý kiến tranh luận khác (một số dựa vào quan điểm riêng nên sẵn sàng bỏ qua ý kiến khác) + Dự kiến câu hỏi gợi ý cần thiết: xét mối quan hệ ý kiến đề nhận xét giống, khác ý kiến d) Kết luận vấn đề: Cả lớp GV kết luận khái niệm khoảng cách đường thẳng chéo Quan niệm khái niệm khoảng cách hai đường thẳng chéo là: độ dài ngắn nối hai điểm tương ứng hai đường thẳng Số đo phải nhất, đặc trưng cho vị trí cụ thể hai đường thẳng cho Nhận định ý kiến đưa định nghĩa khoảng cách hai đường thẳng chéo Ý kiến 1: Khơng đúng, có nhiều số đo khác đoạn thẳng Ý kiến 2: Đúng, số đo đoạn vng góc chung số đo nhỏ so với độ dài đoạn thẳng nối điểm đường thẳng Ý kiến 3: Đúng, số đo khoảng cách mặt phẳng song song số đo đoạn vng góc chung Ý kiến 4: Khơng đúng, có nhiều cặp mặt phẳng qua đường thẳng chéo khoảng cách chúng khác Ý kiến 5: Đúng, khoảng cách độ dài đoạn vng góc chung Ý kiến 6: Đúng, giống ý kiến (do vai trò đường thẳng chéo mặt phẳng nhau) Ý kiến 7: Đúng, khoảng cách khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng song song với chứa đường thẳng Kết luận: Có cách xác định tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Cách 1: Tìm đường vng góc chung, tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: Tìm khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng song song với chứa đường thẳng Cách 3: Tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song tương ứng chứa hai đường thẳng chéo 60 Cách 4: Tìm khoảng cách từ điểm đường thẳng tới mặt phẳng song song với chứa đường thẳng * Tình 5: Củng cố khái niệm cách nhận dạng thể cách xác định khoảng cách giữa: điểm đường thẳng; điểm mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng song song; hai mặt phẳng song song; hai đường thẳng chéo nhau, toán cụ thể (bằng hợp tác cách suy luận khác thành viên nhóm) Hoạt động 1: Củng cố khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng GV thiết kế thành dạng toán để HS thực hoạt động nhận dạng thể hiện, khắc sâu khái niệm học Nhu cầu hợp tác nảy sinh HS phải thực giải nhiều toán thời gian ngắn Trong trường hợp này, GV đưa mức độ khó dễ khác với dụng ý để HS đóng góp cơng sức cho nhóm Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ Tính khoảng cách đó? Lời giải: Cách 1: Xét  ABC’, nhận thấy tam giác vng B có AB = a; BC’= a Độ dài đường cao BI khoảng cách từ B tới đường thẳng AC’ Do đó: a 1 1      Ta tính BI  2 BI AB BC ' a 2a 2a Khoảng cách từ điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ chúng độ dài đường cao tam giác vuông D B C A Hình 50 D’ B’ A’ Cách 2:  BD  AC  BD  ( ACC ' A' )  BD  AC '   BD  AA'  A' B  AB '  A' B  ( AB ' C ' D)  A' B  AC '  A' B  AD Tương tự, ta có  (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: AC '  ( A' BD) 61 Gọi I giao điểm đường thẳng AC’ với mặt phẳng (A’BD) Ta có A’BD tam giác Các tam giác vuông AIA’, AIB, AID có cạnh góc vng cạnh huyền đơi Do ta có A’I = BI = DI nghĩa khoảng cách từ điểm A’, B, D đến đường chéo AC’ Vậy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, I trọng tâm trực tâm tam giác A’BD có cạnh a Ta suy BI  BD a   A' I  DI Tương tự, ta chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng chứa tam giác CB’D’ trọng tâm H tam giác Ta có CH, B’H, D’H vng góc với AC’ CH = B’H = D’H = a D C A B I D’ A’ C’ B’ Hình 51 Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) Lời giải: Cách 1: Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH  AC H BH  (ACC’A’) Khi BH khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACC’A’) Xét tam giác vuông ABC ta có: 1 1 a2  b2      2 BH AB BC a b a b 62 Do BH  ab a  b2 Cách 2: Lấy mặt phẳng (P) qua BB’, cho mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ACC’A’) Khi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (ACC’A’) Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH  AC H BH  (ACC’A’) BH  (P) Do BH khoảng cách ngắn hai mặt phẳng song song (ACC’A’) (P) Đến tính BH tương tự Cách suy BH  D H A a2  b2 C B a c D’ A’ ab C' Hình 52 B’ Hoạt động 2: Củng cố khái niệm khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song Ở phần củng cố này, chúng tơi thiết kế tốn mức độ khác để HS tư suy nghĩ trao đổi thảo luận thời gian ngắn Sau xin giới thiệu đề xuất hai toán liên quan đến hai khái niệm sau: Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J trung điểm cạnh AB, C’D’ Hãy xác định tính khoảng cách IJ mặt phẳng (BCC’B’) Ví dụ 9: Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’, có cạnh bên AA’, BB’, CC’ AA’=BB’=CC’= a, ABC đáy lớn,  ABC có cạnh độ dài b,  A’B’C’ có cạnh độ dài c Hãy xác định tính khoảng cách mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (A’B’C’) Hoạt động 3: Củng cố khái niệm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng chéo Ở phần củng cố chúng tơi thiết kế thành dạng tốn để HS thực hoạt động nhận dạng thể hiện, khắc sâu hai khái niệm vừa học Yêu cầu học sinh giải tốn sau: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tính khoảng cách đường thẳng sau: 63 1) AD’ CB’; 2) D’B’ AM (M trung điểm DC); 3) A’B’ AD Lời giải: Câu 1) Xác định tính khoảng cách AD’ CB’? Cách 1: Nhận xét: AD’  mp(ADD’A’), CB’  mp(BCC’B’), Mà (ADD’A’) // (BCC’B’), nên d(AD’;CB’) = d(ADD’A’); (BCC’B’) = AB = a Cách 2: Dựng đường vng góc chung II’ Khi d(AD’;CB’) = I I’ = AB = a D M C A B I I’ D’ A’ C’ B’ Hình 53 Câu 2) Xác định tính khoảng cách D’B’ AM? D M A C B D’ A’ D I M A C’ B’ C B D’ A’ M’ I’ C’ B’ Hình 54 Cách 1: Nhận xét D’B’  (A’B’C’D’), AM  (ABCD) Mà (A’B’C’D’) // (ABCD) Nên d(D’B’; AM) = d((A’B’C’D’); (ABCD)) = AA’ = a Cách 2: Dựng đường vng góc chung II’ (theo bước dựng) Khi d(D’B’; AM) = II’ =AA’ = a Cách 3: Nhận xét D’B’//(ABCD) (do D’B’  (A’B’C’D’)//(ABCD) ) Nên d(D’B’; AM) =d (D’;(ABCD)) = D’D = a 64 Câu 3) Xác định tính khoảng cách A’B’ AD? Cách 1: Nhận thấy A’A độ dài đoạn vng góc chung A’B’ AD Nên d(A’B’; AD) = A’A = a Cách 2: Nhận xét: A’B’  (A’B’C’D’), AD  (ABCD) Mà (A’B’C’D’) //(ABCD) Nên d(A’B’; AD)=d((A’B’C’D’);(ABCD))=A’A=B’B=C’C=D’D=a Cách 3: Nhận xét: A’B’ //(ABCD) d(A’B’;AD)=d(A’B’;(ABCD)) = A’A = D’D = a mà AD  (ABCD) Nên * Tình 6: Củng cố giao tập nhà (HS GV để kết luận, khắc sâu nội dung học) Kết luận: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (đến mặt phẳng) khoảng cách ngắn từ điểm đến đường thẳng (đến mặt phẳng) - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng - Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài ngắn nối hai điểm nằm đường thẳng chéo - Đường vng góc chung đường thẳng chéo đường thẳng vng góc cắt đường thẳng chéo (đường thẳng nhất) - Cách tìm khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Cách 1: Tìm độ dài đường vng góc chung Cách 2: Tìm khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng Cách 3: Tìm khoảng cách từ điểm mặt phẳng chứa đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng Cách 4: Khoảng cách mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài tập Hình học 11 (nâng cao), Nxb Giáo dục [2] G.Polya (1997), Giải toán nào? Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Thái Hoè (2003), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, Nxb Giáo dục [4] Jean Piaget (2001), Tâm lí học Giáo dục học, Nxb Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học sư phạm [6] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều (1997), Phát triển lí luận dạy học mơn tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội [7] Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học phương pháp dạy học nhà trường, Nxb Đại học sư phạm [8] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học 11 (nâng cao), Nxb Giáo dục [9] Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học trường phổ thông, Nxb Đại học sư phạm [10] Tôn Thân, (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng cho học sinh giỏi Toán trường THCS Việt Nam, Luận án tiến sĩ Giáo dục học 66 MỤC LỤC Trang PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………… I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN…………………………………………… II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI…………………… PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU…………………………………… I CƠ SỞ KHOA HỌC…………………………………………………… Cơ sở lý luận…………………………………………………………… a) Câu hỏi, tập đóng…………………………………………………… b) Câu hỏi, tập mở…………………………………………………… Cơ sở thực tiễn………………………………………………………… a) Dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở nhìn theo quan điểm lí thuyết dạy học phát giải vấn đề…………………………………… b) Dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở nhìn theo quan điểm lí thuyết dạy học kiến tạo…………………………………………………………… c) Dạy học sử dụng câu hỏi, tập mở nhìn theo quan điểm lí thuyết dạy học khám phá………………………………………………………… II MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ TƯ DUY TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 BẰNG CÂU HỎI, BÀI TẬP MỞ ……………………………………………………… 12 Sử dụng câu hỏi, tập mở việc phát huy tính tích cực, phát triển lực kiến tạo khám phá kiến thức cho học sinh…………………… 12 a) Sử dụng câu hỏi, tập mở việc phát huy tính tích cực học tập học sinh………………………………………………………………… b) Sử dụng câu hỏi, tập mở để phát triển lực dự đoán phát 12 vấn đề; khả liên tưởng chuyển di liên tưởng…………… 15 c) Sử dụng câu hỏi, tập mở để phát triển lực định hướng tìm tịi cách thức giải vấn đề, tìm lời giải toán……………………… 17 d) Sử dụng câu hỏi, tập mở để phát triển lực huy động kiến thức giải vấn đề…………………………………………………………… 18 67 Xây dựng câu hỏi, tập mở vận dụng vào giảng dạy số nội dung chương trình Hình học 11 hành…………………………… 20 a) Đặc điểm sách giáo khoa chương trình Hình học 11 hành…… 20 b) Các biện pháp xây dựng câu hỏi, tập mở dạy học Hình học 11… c) Tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi, tập mở…………… 21 III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM………………………………………… 46 Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………… 46 Kết luận chung thực nghiệm………………………………………… 48 Đánh giá ưu điểm hạn chế sử dụng câu hỏi, tập mở thông qua thực nghiệm sư phạm……………………………………………………… 49 PHẦN III KẾT LUẬN…………………………………………………… 51 I Ý nghĩa Đề tài……………………………………………………… 51 II Các kiến nghị, đề xuất…………………………………………………… 51 PHỤ LỤC………………………………………………………………… 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 66 37 68 ... ? ?Phát triển số tư Toán học cho học sinh THPT thông qua câu hỏi, tập mở chương trình Hình học 11? ??, với đối tư? ??ng nghiên cứu học sinh giỏi II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI Đưa khái niệm câu. .. DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 BẰNG CÂU HỎI, BÀI TẬP MỞ Sử dụng câu hỏi, tập mở việc phát huy tính tích cực, phát triển lực kiến tạo khám phá kiến thức cho học sinh a) Sử dụng câu hỏi, tập mở việc phát. .. thấy câu hỏi mở phù hợp giúp học sinh nắm vững định lí, tính chất quan hệ hình hình thành phương pháp chứng minh toán * Câu hỏi, tập mở nhằm phát triển khả giải toán cho học sinh Câu hỏi, tập mở