SKKN rèn tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển bài toán tính thể tích khối chóp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Người thực hiện: Trịnh Thị Hiếu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong việc rèn tư sáng tạo cho học sinh trường THPT, môn Tốn đóng vai trị quan trọng Bởi vì, Tốn học đóng vai trị to lớn phát triển ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội đại Tốn học cịn cơng cụ để học tập nghiên cứu môn học khác Trong q trình dạy học mơn Tốn trường THPT, việc rèn tư sáng tạo cho học sinh giúp cho học sinh nắm vững, mở rộng, đào sâu kiến thức, phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo học tập mơn Tốn sở để hình thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh Trong mơn Tốn, chủ đề hình học khơng gian chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc bồi dưỡng phát huy lực sáng tạo cho học sinh Bài tốn tính thể tích khối chóp đóng vai trị quan trọng chương trình hình học 12 xuất đề thi THPT Quốc gia Mặc dù phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết đấy, chưa biết vận dụng linh hoạt phương pháp học chưa có liện hệ tập, dạng toán nên thường tốn nhiều thời gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần cịn gặp nhiều khó khăn Mặc dù có số sáng kiến kinh nghiệm viết phương pháp tính thể tích ứng dụng thể tích khối chóp, nhiên vấn đề phát triển tốn tính thể tích khối chóp bản, đặc biệt áp dụng vào việc tính thể tích khối tứ diện mà việc xác định đường cao gặp khó khăn qua rèn tư sáng tạo cho học sinh chưa nhiều người quan tâm khai thác Trước lí trên, tơi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp” Nhằm cung cấp cho học sinh nhìn ứng dụng tốn tính thể tích đơn giản sách giáo khoa, từ tốn phát triển thành lớp tập từ đơn giải đến phức tạp ngược lại gặp số toán phức tạp học sinh “quy lạ quen” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong q trình dạy học mơn Tốn trường THPT, việc rèn tư sáng tạo cho học sinh vô quan trọng Trong phân mơn hình học khơng gian có nhiều thuận lợi để phát triển trí tuệ cho học sinh cho học sinh bao hàm nhiều hoạt động, việc giải tốn hình học khơng gian đặc biệt tốn tính thể tích khối chóp có nhiều hội để rèn luyện phát triển trí tuệ, tư sáng tạo cho học sinh Hơn nữa, tốn tính thể tích khối chóp ln xuất đề thi THPT Quốc gia với mức độ khác Khi học làm tập mảng kiến thức học sinh thường gặp trở ngại tốn tính thể tích khối chóp mà việc xác định đường cao diện tích đáy có nhiều khó khăn Học sinh thường áp dụng phương pháp cung cấp cách máy móc, thiếu sáng tạo học dạng biết dạng Khi giải xong tốn em thường có thói quen “xong nhiệm vụ”, sau lại giải tốn khác khó nhọc mà khơng biết tốn giải “gần” với tốn giải trước đó, khơng biết cách giải tốn làm cách giải chung cho lớp toán tương tự từ tốn giải, ta đề xuất loạt tốn có “họ hàng” với tốn ban đầu khái qt hóa chúng , từ mở rộng, đào sâu kiến thức, phát triển tư Trước thực trạng đó, tác giả nghiên cứu viết đề tài: “Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp” 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nội dung sáng kiến kinh nghiệm toán đơn giản SGK tốn tính thể tích khối tứ diện đều, phát triển lên tốn tính thể tích khối chóp đều, khối tứ diện thường biết độ dài ba cạnh số đo ba góc xuất phát từ đỉnh, từ toán kết hợp với việc sử dụng tốn tỉ số thể tích, phân chia lắp ghép khối đa diện để phát triển thành lớp tốn tính thể tích khối chóp Cái đề tài giúp học sinh biết phát triển tốn tính thể tích đơn giản thành lớp tốn tính thể tích ngược lại gặp toán phù hợp, học sinh biết “quy lạ quen” giúp toán trở nên dễ dàng Sau học chuyên đề học sinh tự tin trước toán tính thể tích khối chóp mà việc tính trực tiếp cơng thức gặp nhiều khó khăn Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh có lực học khác nhau, sử dụng q trình ơn tập phụ đạo cho học sinh có lực học trung bình với hướng phát triển đầu tiên, với học sinh ôn thi THPT Quốc gia nghiên cứu học tập theo hướng phát triển Với hướng nghiên cứu này, thầy hồn tồn khai thác từ số toán khác để phát triển thành dạng toán khác để rèn tư sáng tạo cho học sinh 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Để rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thơng qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp ta cần nắm vững nội dung sau Hình chóp đều: 2.1.1 Đinh nghia: Mơt hinh chop đươc goi la hinh chop đêu nêu co đay là môt đa giac đêu va co chân đương cao trùng với tâm của đa giac đay Nhân xet: - Hinh chop đêu co cac măt bên la tam giac cân băng Cac măt bên tao vơi đay cac goc băng - Cac canh bên cua hinh chop đêu tao vơi măt đay cac goc băng 2.1.2 Hai hinh chop đêu thương gặp a) Hinh chop tam giac đêu: Cho hinh chop tam giac đêuS.ABC Khi đo: S ĐayABC la tam giac đêu Cac măt bên la cac tam giac cân taiS Chiêu cao: SO Goc giưa canh bên va măt đay: · · · A C SAO = SBO = SCO Goc giưa măt bên va măt đay: SHO Tc: AO = O · H B AB 3AH, OH = 3AH, AH = Lưu y: Hinh chop tam giac đêu khac vơi tư diên đêu + Tư diên đêu co cac măt la cac tam giac đêu + Tư diên đêu la hinh chop tam giac đêu co canh bên băng canh đay b) Hinh chop tư giac đêu: Cho hinh chop tứ giac đêuS.ABCD ĐayABCD la hinh vuông S Cac măt bên la cac tam giac cân taiS Chiêu cao: SO Goc giưa cạnh bên SA, SB, SC, SD va măt đay (ABCD): B C · · · · SAO = SBO = SCO = SDO Goc giưa măt bên (SCD) va măt đay · (ABCD): SHO A O H D 2.1.3 Cơng thức tính thể tích khối chóp: S Thê tich khôi chop: V = B h B : Diên tich măt đay D h : Chiêu cao cua khôi chop O C A ’ B 2.1.4 Các phương phap thương dùng tinh thê tich khối chóp: Phương pháp 1: Tinh thể tich khối chóp bằng cách sử dụng trực tiếp công thưc - Xac đinh chiêu cao cua khôi đa diên cân tinh thê tich - Tim diên tich đay băng cac công thưc quen biêt Nhận xét: Nhìn chung, dang toan loai rất bản, chỉ đòi hỏi tinh toan cẩn thận va chinh xac Phương pháp 2: Tinh thê tich bằng cach phân chia hoặặ̣c lắp ghép khối chóp Sử dụng tính chất: Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) (H2): VH VH1 VH2 hay VH1 VH V H2 Phương pháp 3: Tinh thê tich bằng tỉ sô thê tich: - Trong dang nay, ta thường so sanh thê tich khôi cân tinh vơi mơt khối chóp khac đa biêt trươc hoăc dê dang tinh thê tich, thường sư dung kêt qua cua bai toan sau: Bàà̀i tốn: (Bàà̀i Trang 25(SGK hình 12 CB)) Cho hình chóp S.ABC Trên tia SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B ', C ' V khác với S Chứng minh rằng: V 'B'C' S.A SA ' SB ' SC ' SA SB SC S.ABC Chưng minh: Gọi H H’ hình chiếu A A’ S măt phẳng (SBC) H ’ A ’ B ’ C A Khi đo: A’H’ // AH va ba điểm S, H’, H thuộc hai mặt phẳẳ̉ng (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hang H ’ B C A'H ' SA' Xét tam giác SAH, ta có: AH SA S VS.A'B 'C ' =VA'SB 'C ' = VS.ABC A'H ' DSB 'C ' VA.SBC1 3SDSBC AH · = SB '.SC '.sin B 'SC '.A'H ' =SB ' SC ' A'H ' · SB SC sin BSC AH SB SC =SA ' SB ' SC ' Þ ( Ðpcm AH SA SB SC ) Lưu y: Kêt qua vân đung nêu cac điêm A’, B’, C’ co thê co điêm Aº A',Bº B',C º C' 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: - Học sinh thụ động, ngại tư giải tốn - Khi làm tập tính thể tích khối đa diện học sinh thường lúng túng việc chọn lựa cách giải phù hợp Đối với khối đa diện khó xác định chiều cao học sinh thường gặp khó khăn việc lựa chọn cách giải - Mỗi hồn thiện lời giải dạng tốn, học sinh thường lịng với kết tìm chưa quan tâm với việc đào sâu suy nghĩ khai thác phát triển toán vừa giải Do đó, gặp tốn “lạ” học sinh chưa biết đưa toán “quen” 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Một số biện pháp phát triển tư sáng tạo cho học sinh dạy học Toán: - Rèn thao tác tư - Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải - Khuyến khích học sinh tìm lời giải độc đáo ngắn - Rèn khả phát triển toán, xây dựng toán từ toán gốc - Luyện tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức hệ thống hóa phương pháp Một biện pháp phát triển tư sáng tạo cho HS GV cần luyện tập cho HS biết vận dụng thao tác tư (so sánh, phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa, ) cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo linh hoạt Biện pháp giúp học sinh tìm hướng giải , dự đốn cách giải, phát vấn đề mới, tìm thấy liên hệ vấn đề với nhau, nhờ mà HS nghiên cứu sâu mở rộng tốn Biện pháp yêu cầu HS biết vận dụng thao tác đặc biệt hóa q trình giải tập toán Tức giải toán cho số trường hợp đặc biệt, dùng phương pháp giải toán trường hợp đặc biệt để giải cho trường hợp khác cho trường hợp tổng quát Biết vận dụng thao tác khái qt hóa q trình giải tập toán, xác định chung riêng tốn Từ hình thành tốn tổng qt tìm phương pháp giải tốn tổng qt Trong khn khổ viết tơi khơng vào phân loại dạng tốn tính thể tích mà xin đề cập đến vấn đề chủ yếu phát triển tốn tính thể tích quen thuộc thành lớp tốn tính thể tích khối chóp 2.3.2 Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển bàà̀i toán tính thể tích khối chóp: Bàà̀i tốn 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằà̀ng a, (a > 0).Tính theo a thể tích củủ̉a tứ diện Hướng dẫn: - Gọi H hình chiếu vng góc A A mp(BCD): AH BCD - Do ABCD tứ diện nên H trùng với tâm tam giác BCD B D H - Vì ∆BCD cạnh a nên đường cao M a BM BH a Trong tam 3 BM C giác vng ABH ta có: AH a - Thể tích tứ diện ABCD là: V ABCD AH.SBCD AH BM.CD 3 a 12 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP ĐỀU Nhận xét: Tứ diện hìì̀nh chóp tam giác đặc biệt có độ dài cạnh bên cạnh đáy Nên từ Bài tốn 1, cách giảả̉i tương tự ta xây dựng tính thể tích khối chóp tam giác (có độ dài cạnh bên cạnh đáy khơng nhau) thơng qua tốn sau: Bàà̀i tốn 2: Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC biết: Cạnh đáy a, cạnh bên b Cạnh bên b, góc đỉnh S mặt bên (ASB BSC CSA ) Cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy cho trước Cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy cho trước Cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy cho trước Cạnh bên b, góc cạnh bên mặt đáy cho trước ( a 0, b 0, 180 ) Hướng giải: S - Sử dụng tính chấấ́t hìì̀nh chóp tam giác S.ABC để xác định hìì̀nh chiếu đỉả̉nh S mặt phẳng đáy tâm H tam giác ABC, từ xác định chiều cao SH hìì̀nh chóp A C H M B - Từ giảả̉ thiết, tính SH diện tích tam giác đáy (tam giác ABC) - Sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp để tính thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC SH SABC Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằà̀ng a , cạnh bên bằà̀ng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Hướớ́ng dẫn giải:  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hìì̀nh: Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC + O trọng tâm tam ABC + AM đường cao ABC Đường cao hình chóp SO ( SO (ABC))  Lời giảả̉i: S.ABC hình chóp tam giác Gọi M S trung điểm BC, ABC cạnh a SO (ABC); SA=SB=SC = 2a ABC cạnh a , AM = a 3 , tâm O 3a 2 A C O AO= AM 23 32a S ABC M B AB AC sin 60 a 1.a 3.a 3 2 SA2 AO SAO vng A có SO Thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC SABC SA 3a 3.a 3 3a2 a a3 4 Nhận xét: Phát triển toán cách tăng số cạnh đáy hình chóp đều, tương tự hình ta tính thể tích hình chóp đa giác bất kỳ: Bàà̀i tốn 3: Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD biết: Cạnh đáy a, cạnh bên b Cạnh bên b, góc đỉnh S mặt bên ASB BSC CSD DSA Cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy cho trước Cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy cho trước Cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy cho trước Cạnh bên b, góc cạnh bên mặt đáy cho trước a 0, b 0,180 ) Hướng giải: S - Sử dụng tính chấấ́t hìì̀nh chóp tứ giác S.ABCD để xác định hìì̀nh chiếu đỉả̉nh S mặt phẳng đáy tâm H hìì̀nh vng ABCD, từ xác định chiều A cao SH hìì̀nh chóp D H B M C - Từ giảả̉ thiết, tính SH diện tích hìì̀nh vng ABCD - Sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp để tính thể tích khối chóp S.ABCD: V S.ABCD SH.S ABCD Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: - S.ABCD hình chóp tứ giác nên S đáy ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O Suy SO (ABCD), SA=SB=SC =SD = a Diện A tích hình vng ABCD: SABCD 4a2 O B C Ta có: AC = 2a AC a AO a 2 SA AO a SAO vng O có SO .SA a a 4a3 (dvtt) * Thể tích khối chóp S.ABCD là: V S ABCD 3 S.ABCD 10 Ví dụ 3: Cho hình chóp đềuS.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chópS.ABCD Lời giai : - Gọi O tâm mặt đáy, S.ABCD hình chóp nên gọiM trung điểm đoạn CD ì ï CD ^ SM Ì ï Ta co: íCD ^ OM Ì (SCD) (ABCD) Þ SO ^ mp ( ABCD) S · SMO = 60 ù ùù ùợCD = (SCD) ầ (ABCD) (gúc gia mặt(SCD) mặt đáy) Ta co: V S ABCD = 3SABCD.SO (1) A O · SO TrongDSMO vuông taiO , ta co: tanSMO = OM Þ · ( SO = OM tan SMO = a Thê(2) ,( 3) vao - ) 00 M C = BC = 4a2 ( 3) Măt khac: SABCD Þ VABCD = () B D 4a 2.a = 4a3 3 (đvtt) Nhận xét: - Đây dạng tậậ̣p rèn tư bảả̉n, qua tậậ̣p rèn cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức hệ thống hóa phương pháp tính thể tích khối chóp - Trong toán toán cho a, b, số đo cụ thể ta loạt tốn tính thể tích bảả̉n HƯỚNG PHÁT TRIỂN 2: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC CÓ CẠNH BÊN BẰNG NHAU Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD Bàà̀i toán có ba góc tam diện ba cạnh có chung đỉnh tương ứng ln Khái qt hóa Bàà̀i toán cách thay đổi số đo đỉnh tam diện thành góc có số đo khác nhau, ta khối chóp tam giác có ba cạnh bên Khi ta tính thể 11 tích khối chóp cách nào? Có thể sử dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp? Bàà̀i tốn 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) vàà̀ ba góc: BAC ; BAD , CAD Tính thể tích tứ diện ABCD Hướng giải: Nhậậ̣n xét: Vìì̀ AB = AC = AD nên hìì̀nh chiếu vng góc A mp(BCD) trùng với tâm đường tròì̀n ngoại tiếp tam giác BCD Do ta tính thể tích tứ diện ABCD phương pháp áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối chóp A.BCD - Gọi H hình chiếu vng góc A A mp(BCD) hay AH BCD H Do AB AC AD nên ta suy HB HC HD H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD - Áp dụng định lyý́ cosin vào tam giác D B ABC, ABD, ACD tính độ dài cạnh BC, CD, BD Tính diện tích tam giác BCD H chiều cao AH C - Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối chóp để tính thể tích khối chóp A.BCD: V A BCD AH SBCD Nhậậ̣n xét: + Nên nhậậ̣n dạng tam giác BCD để dựa vào đặc điểm tam giác để tính diện tích + Tính bán kính đường tròì̀n ngoại tiếp đáy (đoạn HB chẳng hạn), từ tính đường cao AH Chú ý: - Nếu BCD tam giác thường thìì̀ tính diện tích cơng thức Hê rơng - Nếu thìì̀ tứ diện ABCD hìì̀nh chóp tam giác A.BCD, (Bài toán 2.2) 12 - Đặc biệt, 90o thìì̀ tam diện đỉả̉nh A tam diện vng, nên cách đơn giảả̉n nhấấ́t để tính thể tích tứ diện ABCD coi tứ diện hìì̀nh chóp B.ACD chẳng hạn, có cạnh bên vng góc với đáy( cạnh bên BA đường cao hìì̀nh chóp B.ACD) đáy tam giác vng ACD Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) , BAC BAD 60o , CAD 90o.Tính theo a thể tích tứ diện Lời giải: A - Gọi H hình chiếu vng góc A mp(BCD) hay AH BCD H Do AB AC AD nên ta suy HB HC HD H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD C H D - Theo giả thiết ta có ∆ABC, ∆ABD cạnh a nên BC = BD = a B - ∆ACD vuông cân A suy C D a - Trong ∆BCD thỏa mãn: C D 2a BC BD2 nên theo định lyý́ Pitago đảo suy ∆BCD vuông cân B tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD trung điểm cạnh huyền CD AH V ABCD Ví dụ 5: Cho CD a Thể tích tứ diện ABCD là: AH.SBCD AH BC.BD 3 a tứ diện ABCD có AB=AC (đvtt) 12 = AD = a (a > 0) BAC 90o , CAD 60o , BAD 120o Tính theo a thể tích tứ diện Hướng dẫn: 13 - Gọi H hình chiếu vng góc A A mp(BCD) hay AH Do AB AC HB HC AD BCD H nên ta suy H tâm đường tròn HD ngoại tiếp ∆BCD B - Theo giả thiết ta có ∆ACD cạnh D H a nên CD= a - ∆ABC vuông cân A suy BC a C - Áp dụng định lyý́ cosin ∆BAD có: BD - Trong ∆BCD thỏa mãn: BD BC CD2 nên theo định lyý́ Pitago đảo suy 2a 2 a cos120 3a ∆BCD vng C tâm H đường trịn ngoại tiếp ∆BCD trung điểm cạnh huyền BD AH AB cos BAH a.cos 60 a Thể tích tứ diện ABCD là: V ABC D AH.SBCD 1.AH 1.BC.CD 3 a đvtt 12 HƯỚNG PHÁT TRIỂN TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP TAM GIÁC CĨ CẠNH BÊN KHƠNG BẰNG NHAU Đặt vấn đề: Xét tứ diện ABCD Bài toán 4, tia AB, AC, AD lấấ́y điểm M, N, P (không trùng với A) cho AM = a, AN = b, AP = c (a, b, c số thực dương cho trước) ta tứ diện AMNP Khi thể tích tứ diện AMNP tính cách nào? Ta tìì̀m mối liên hệ thể tích khối tứ diện AMNP với thể tích khối tứ diện ABCD hay khơng? Từ ta phát triển Bài tốn thành toán sau: Bàà̀i toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB =b, AC = c, AD = a ( a , b, c dương ) vàà̀ ba góc: BAC ; BAD , CAD Tính thể tích tứ diện ABCD 14 Nhậậ̣n xét: Nếu a, b, c không nhau, , , không phảả̉i góc có số đo đặc biệt thìì̀ việc xác định chiều cao hìì̀nh chóp tam giác gặp khó khăn Mặt khác theo tốn biết tính thể tích khối chóp tam giác có cạnh bên góc đỉả̉nh cho trước Nên cách dựng thêm hìì̀nh (lấấ́y điểm tia AB, AC, AD cho điểm kết hợp với điểm A tạo thành khối chóp có cạnh bên mà tính thể tích (như tốn 4), cách sử dụng tốn tỉả̉ số thể tích nêu tính thể tích khối chóp A.BCD Bằng cách ta đưa toán phức tạp toán đơn giảả̉n Hướng giải: Giả sử cạnh AD = a có số đo bé ba A cạnh AB, AC, AD Trên đoạn AB, AC lấy điểm B’ a B' C’ cho AD = AB’ = AC’ =a Khi đó, áp dụng Bàà̀i Trang 25(SGK hình 12 V H B AC ' AB ' AD aa AC AB AD c b A.C 'B'D D CB) : V C' A.CBD V A BC D C a2 VA B ' C ' D bc Áp dụng kết Bàà̀i toán ta tính V AB'C 'D V A.BCD Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c góc BAC BAD CAD 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích: Nếu a = b = c tứ diện ABCD hình chóp đỉnh A nên ta tính thể tích Nếu a, b c không đồng thời ta lấy C’ D’ tia AC, AD cho AC’ = AD’ = a để hình chóp Tiếp theo ta dùng cơng thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD Lời giải : 15 Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ Trên tia AC, AD lấy C’ D’ cho AC’ = AD’ = a Tam giác ABC’ cân A có nên tam BAC ' 60 giác ABC’ cạnh a Tương tự tam giác ABD’ AC’D’ cạnh a nên tứ diện ABC’D’ cạnh a A Gọi H trọng tâm tam giác BC’D’ AH (BC’D’) BH D' B H C' V D C V A BCD V a a AB AC AD AB AC ' AD ' A.BC 'D ' bc a2 ABC'D ' BC'D ' S AH a AH a a3 a.a.sin 60 12 Theo tốn tỉ số thể tích ta có V bc a abc A.BCD 12 a2 12 11 Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = 2a, AD = 3a ( a > 0) BAC 90o , CAD 60o , BAD 120o Tính theo a thể tích tứ diện Lời giải: A Trên AC lấy C’ cho AC ' a ,D' AD cho AD ' a Gọi H trung điểm AD’ ta có ABD ' cân, có BAH 60 D' H B AH C' D C Vậy 3 a BD ' a Vậy BC ' D ' có C ' D ' a (vì AC ' D ' ) ABC ' vuông cân BC ' a Vậy a BH BC ' D ' vuông cân C’ Xét tam giác AHC ' có C ' H BD ' a AH C'A 2 C ' H AHC ' vuông H 16 ABC 'D' Vậy VABC'D' V ABCD AB.AC '.AD ' 1 2a3 12 AH.BC '.C ' D ' a 2.a 6 2a 6.V V 2a3 (đvtt) V 1V ABCD AB.AC.AD 23 ABCD ABC 'D' Nhậậ̣n xét: Thể tích khối chóp A.BC’D’ ví dụ thể tích khối tứ diện ABCD(Ví dụ 5) Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳẳ̉ng đáy SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề phân tích, chọn lựa cách giảả̉i hiệu quảả̉: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho - Khối chóp S.AMN trường hợp đặc biệt toán với AS = a , AM = AN = a ; SAM SAN 90o , MAN 60o Bài tốn giải theo hướng tốn 5, tức dựng khối chóp đỉnh A có cạnh nằm tia AS, AM, AN cho độ dài cạnh bên tương ứng dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.AMN theo khối chóp vừa dựng - Tuy nhiên cho khối chóp S.ABC có SA ( ABC) nên dễ dàng tính thể tích khối chóp S.AMN theo đường cao SA diện tích đáy AMN dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.AMN thơng qua việc tính thể tích khối chóp S.ABC   Hướng dẫn giải: Cách 1: (dùng công thức thể tích V B.h 3) * Khối chóp S.AMN có -Đáy tam giác AMN - Đường cao SA AMN có Â = 600, AM=AN = a S AMN AM AN sin 60 1.a.a 17 a2 SA = a SAMN SA a a Thể tích khối chóp S.ABC là: V a3 (đvtt) S.AMN 3 4 Cách : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A V A.SMN A.SB C Do áp dụng tốn tỷ số thể tích , ta có V V AS AM AN 1 1 V S.AMN AS AB AC A.SMN A.SBC V 4 V Vậy V S.AMN S.ABC S ABC SA a2 a a3 Ta có : VS ABC V S.ABC a3 4 (đvtt) Nhận xét: Cần linh hoạt phân tích lựa chọn cách giảả̉i cho toán Các toán phát triển áp dụng hiệu quảả̉ cho số khối đa diện mà việc xác định chiều cao gặp khó khăn 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho học sinh nhận thấy: - Thứ nhất, mảng kiến thức trọng tâm, áp dụng cho diện rộng loại đối tượng học sinh - Thứ hai, em học sinh hứng thú học bài, em không cịn cảm giác sợ gặp tốn tính thể tích khối đa diện, đặc biệt khối đa diện khó xác định chiều cao Nhiều em cịn sơi phát biểu, thảo luận tìm nhiều điều mẻ từ đề tài Các em có nhìn tổng quát có hệ thống nên vận dụng cách linh hoạt toán cụ thể Điều quan trọng em định hướng cách giải từ đầu phát lời giải ngắn gọn tối ưu cho toán - Thứ ba, áp dụng đề tài xong, khả vẽ hình em tốt, trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú, lối tư sâu sắc, sáng tạo từ tạo tảng chắn để em học tiếp mảng kiến thức khác Kết thu cụ thể lớp giảng dạy 12A1 sau: 18 * Trong kiểm tra lần năm 2017 (Học sinh học xong chương I hình học 12 vàà̀ chưa áp dụng đề tàà̀i nàà̀y) có câu hình: “Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a (a > 0) BAC 90 , CAD BAD 120 Tính theo a o o thể tích tứ diện đó.” Kết Lớớ́p Sĩ số Số học sinh làà̀m câu IV Số học sinh làà̀m câu IV 12A1 48 40 30 * Trong kiểm tra lần năm 2017 (Học sinh áp dụng đề tàà̀i nàà̀y ) có câu hình: “Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, AC = 3a , AD = a ( a > 0), BAC BAD 60o , CAD 90o.Tính theo a thể tích tứ diện Kết Lớớ́p Sĩ số Số học sinh làà̀m câu IV Số học sinh làà̀m câu IV 12A1 48 48 46 Như kết luận sau áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm học sinh tự tin làm tỉ lệ làm cao, hẳẳ̉n lần thi thứ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm giải vấn đề sau: Giúp học sinh củng cố phương pháp tính thể tích khối chóp rèn tư sáng tạo thông qua việc phát triển tốn tính thể tích từ đơn giản đến phức tạp Học sinh biết mối liên hệ dạng tốn tính thể tích số ứng dụng thể tích Xây dựng lớp tốn tính thể tích khối chóp từ dễ đến khó Thơng qua việc vẽ hình, tính tốn, tìm đường tối ưu để tính thể tích, tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ giáo dục đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính thể tích khối chóp mà việc sử dụng trực tiếp cơng thức gặp khó khăn 19 Qua thực tế giảng dạy chuyên đề thấy em học sinh nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào toán cụ thể mà hứng thú học tập chuyên đề Khi học lớp qua lần làm khảo sát chất lượng , số học sinh làm tính thể tích cao hẳẳ̉n năm trước em không học chuyên đề Với đóng góp nhỏ trên, hy vọng sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo cho giáo viên trẻ vào nghề học trò muốn rèn luyện phát triển lực tư sáng tạo giải tốt tập hình học khơng gian - Kiến nghị: Mỗi toán phức tạp bắt nguồn từ toán đơn giản, kỹ tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa phẩm chất quan trọng tư sáng tạo Việc giúp học sinh phát huy kỹ giải toán điều quan trọng người thầy Với tinh thần theo hướng thầy cô giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳẳ̉ng hạn, phát triển tốn từ hình học phẳẳ̉ng sang hình học khơng gian, phát triển toán bất đẳẳ̉ng thức từ số bất đẳẳ̉ng thức đơn giản, từ toán tỉ số khoảng cách phát triển thành tốn tính khoảng cách khơng gian Mặc dù vậy, điều kiện thời gian hạn chế nên việc phát triển khai thác tốn chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp yý́ kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Cuối xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám khảo đồng nghiệp giúp đỡ góp ́ cho tơi hồn thành đề tài SKKN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập hình học 12 chương trình chuẩn nâng cao Đề thi tuyển sinh vào đại học, THPT QG Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đề thi Olympic 30-04 (kể đề tham khảo) Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB ĐHSP Hà Nội 2004 Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thị Kim Thoa, Trần Văn Tính, Tâm lí học giáo dục NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2009 Một số toán từ website: laisac.page.tl, Mathlinks.ro, khoia0.com, toanmath.vn, diendantoanhoc.net, diendankienthuc.net,… 21 MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………… 1.1 Lyý́ chọn đề tài ……………………………………………….………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………….… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….……… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………… …….… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………………… ….… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……… … 2.3 Các SKKN sử dụng để giải vấn đề ……………………… … 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường ……………………………………………………………… 18 Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………… 19 Kết luận ………………………………………………………………… 19 Kiến nghị ………………………………………………………………… 20 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Trịnh Thị Hiếu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia TT Tên đề tàà̀i SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết Năm học đánh giá đánh giá xếp xếp loại Ứng dụng đạo hàm vào giải Sở GD& ĐT tốn phương trình, bất Thanh Hóa C phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa tham số lớp 12 23 loại 2013 - 2014 ... dạng tốn tính thể tích mà xin đề cập đến vấn đề chủ yếu phát triển tốn tính thể tích quen thuộc thành lớp tốn tính thể tích khối chóp 2.3.2 Rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT qua việc phát triển. .. Giúp học sinh củng cố phương pháp tính thể tích khối chóp rèn tư sáng tạo thông qua việc phát triển tốn tính thể tích từ đơn giản đến phức tạp Học sinh biết mối liên hệ dạng tốn tính thể tích. .. tư sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc phát triển tốn tính thể tích khối chóp? ?? Nhằm cung cấp cho học sinh nhìn ứng dụng tốn tính thể tích đơn giản sách giáo khoa, từ tốn phát triển thành