Pháp triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua bài tập tính khoảng cách (hình học lớp 11)

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Mục tiêu giáo dục đào tạo người phát triển toàn diện mặt, khơng có kiến thức tốt mà cịn vận dụng kiến thức tình thực tiễn Tốn học ngày có nhiều ứng dụng sống, kiến thức kĩ toán học giúp người giải vấn đề thực tế sống cách có hệ thống xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Mơn Tốn trường phổ thơng góp phần hình thành phát triển phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để học sinh trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện phát triển toán học cho học sinh trường phổ thông người làm công tác giáo dục quan trọng Muốn có điều này, từ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức bản, đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam phát triển cho học sinh lực, kỹ Từ thực tế đó, nhiệm vụ cấp thiết đặt phải đổi phương pháp dạy học, sử dụng phương pháp dạy học tích cực để bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng, lực giải vấn đề Trong toán học, hình học vốn hấp dẫn học sinh tính trực quan Chúng ta khơng thể phủ nhận ý nghĩa tác dụng to lớn hình học việc rèn luyện tư toán học, phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo người Tuy nhiên học toán mà đặc biệt mơn hình học khơng gian, học sinh cảm thấy có khó khăn riêng mình, lúng túng nên đâu giải nào, dẫn đến nảy sinh tâm lý ngại học mơn hình học khơng gian Ngun nhân khó khăn là: - Học sinh chưa nắm vững khái niệm bản, định lý, tính chất hình học Một số học sinh khơng biết cách vận dụng kiến thức vào việc giải tập.- Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh hệ thống đầy đủ kiến thức chưa thể truyền tải kiến thức đến em cách sâu sắc khơng có bàn tay chế biến người giáo viên Hơn nữa, học sinh phải tiếp cận với toán, chuyên đề toán nâng cao, mà người giáo viên chưa kịp trang bị đủ kỹ cần thiết để giải tốn dễ dẫn đến tâm lý chán nản, buông xuôi nhiều học sinh Đối với mơn hình học, ngồi tốn hình học phẳng, cịn có tốn hình học khơng gian, đặc biệt với tốn khoảng cách (hình học 11) có nhiều đường dẫn đến đích, có cách giải ngắn gọn, hợp lý, độc đáo sáng tạo Các tốn cịn gắn tốn học với thực tiễn đời sống lao động sản xuất, hình khối vật thể xung quanh Qua việc giải tập khoảng cách phát triển đầy đủ lực toán học Xuất phát từ vấn đề nêu giúp học sinh có định hướng chung gặp tốn hình học khơng gian, tơi chọn nghiên cứu đề tài “Phát triển lực toán học cho học sinh THPT thơng qua dạy tập tính khoảng cách (Hình học - Lớp 11) ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hệ thống tập tính khoảng cách khơng gian theo dạng tốn - Phát triển lực toán học cho học sinh trung học phổ thông 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận lực toán học, trình rèn luyện phát triển lực bậc trung học phổ thông - Hệ thống tập ứng dụng hướng dẫn để học sinh có hội phát triển lực tốn học - Thực hành giảng dạy lớp chọn làm mẫu khảo sát Tôi chọn lớp 11A2 11A5 Trường THPT Lê Lợi năm học 20202021, lớp thực nghiệm 11A5, lớp đối chứng 11A2 - Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút học thực tế, tính khả thi để áp dụng vào giảng dạy bậc trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Dựa vào tài liệu có sẵn, văn kiện Đảng Nhà nước vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trình đổi sách giáo khoa, cách thức vận dụng đổi phương pháp dạy học nay… + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp trường đồng nghiệp trường khác Tham khảo ý kiến giáo viên có nhiều kinh nghiệm giảng dạy toán bậc trung học phổ thông Tiếp thu nghiên cứu ý kiến giảng viên hướng dẫn, chuyên gia môn Điều tra thực trạng khả suy nghĩ độc lập sáng tạo học sinh trước sau giảng thực nghiệm + PP thống kê, xử lý số liệu: Xử lý số liệu thu sau điều tra NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.1 Năng lực - Năng lực (Competence) nói lên người làm gì, làm đến mức nào, làm với chất lượng Thơng thường người ta cịn gọi khả hay “tài” Năng lực thành tố tạo lên cấu trúc nhân cách (cùng với xu hướng, tính cách khí chất) Do thành tố nhân cách nên lực chịu chi phối yếu tố: bẩm sinh di truyền, hoàn cảnh sống, giáo dục hoạt động cá nhân Như vậy, hiểu lực tổ hợp thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu hoạt động định đảm bảo cho hoạt động có kết Năng lực số cụ thể để so sánh nhân cách với nhân cách khác Năng lực cá nhân tảng cho cá nhân xã hội Mỗi cá nhân ngành nghề hay lĩnh vực cần có kiến thức, thái độ kỹ Mỗi cá nhân có yếu tố mức độ khác tùy vào trình độ học vấn, nguồn lực cá nhân, hồn cảnh mơi trường yếu tố quan trọng lực cá nhân Như lực tổ hợp kỹ cá nhân đảm bảo thực dạng hoạt động - Nhóm lực chung bao gồm: + Khả hành động độc lập + Khả sử dụng công cụ giao tiếp công cụ tri thức cách tự chủ + Khả hành động thành công nhóm xã hội khơng đồng - Năng lực chuyên môn: Liên quan đến môn học riêng biệt 2.1.2 Năng lực tốn học Mơn Tốn góp phần hình thành phát triển cho học sinh lực toán học (biểu tập trung lực toán học) bao gồm thành phần cốt lõi sau: +) Năng lực tư lập luận toán học: Thực thao tác tư như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch, chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lí trước kết luận, giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học +) Năng lực mơ hình hố tốn học: Xác định mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình xuất toán thực tiễn, giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải không phù hợp +) Năng lực giải vấn đề toán học: Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học, lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải vấn đề, sử dụng kiến thức, kĩ toán học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật toán) để giải vấn đề đặt ra, đánh giá giải pháp đề khái quát hoá cho vấn đề tương tự +) Năng lực giao tiếp toán học: Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thơng tin tốn học cần thiết trình bày dạng văn toán học hay người khác nói viết ra, trình bày, diễn đạt (nói viết) nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp đầy đủ, xác), sử dụng hiệu ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, liên kết logic, ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường động tác hình thể trình bày, giải thích đánh giá ý tưởng tốn học tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác +) Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Nhận biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt phương tiện sử dụng công nghệ thơng tin), phục vụ cho việc học Tốn 2.2 THỰC TRẠNG Qua khảo sát chất lượng đầu năm, lớp 11A5 11A6 có lực ngang (60% từ trở lên), chất lượng môn đạt 50% từ trung bình trở lên có 15% học sinh có điểm giỏi mơn tốn Trong chương trình tốn học lớp 11, tốn khoảng cách khơng gian giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi Đây phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian, chưa phân tích để học sinh định hướng cách giải tối ưu Đặc điểm hình học khơng gian môn học trừu tượng, môn nghiên cứu tính chất hình khơng gian Chủ đề đề cập cách chi tiết khoảng cách Cụ thể khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo Vì tập khoảng cách khơng gian đa dạng phong phú Thực tế đứng trước khoảng cách học sinh thường lúng túng, bế tắc đặt câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải tốn từ đâu ?” Vì vậy, muốn giải tập khoảng cách địi hỏi học sinh phải có khả tưởng tượng khơng gian, khả vẽ hình biểu diễn biết xâu chuỗi kiến thức lại với Một điểm không phần quan trọng khả biết vẽ thêm đường, chọn điểm cho phù hợp, thuận lợi tập Trước thực trạng học sinh, tơi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen phân tích đề để tìm điểm mấu chốt cho tốn, thơng qua phát triển lực tốn học cho học sinh 2.3 CÁC GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ Nội dung triển khai thông qua buổi học (mỗi buổi học tiết): - Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực ôn tập kiến thức hình thành kỹ giải tốn thơng qua số ví dụ có hướng dẫn giáo viên - Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh thực hành giải toán tương tự thơng qua phát triển lực tốn học cho học sinh - Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết nội dung triển khai kỹ mà học sinh đạt 2.3.1 Kiến thức bản Tổ chức cho học sinh ôn tập củng cố lại số kiến thức bản, phân dạng tập hướng dẫn cách làm Các định nghĩa + Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm O O đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) O khoảng cách hai điểm O H, H H hình chiếu P điểm O đường H a thẳng a ( mp(P)) Kí hiệu: d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH +) Định nghĩa 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường a O thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm O thuộc a đến mp(P) hay d(a;(P)) = OH H P +) Định nghĩa 3: Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH O P H Q +) Định nghĩa 4: Đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a) Đường thẳng  cắt hai M đường thẳng chéo a, b a vng góc với đường thẳng gọi b đường vng góc chung a N  b b) Nếu đường vng góc chung  cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a, b Nhận xét + Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Qua định nghĩa nhận xét vừa nêu, rút kết luận: Bài tốn tìm khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo đưa tốn tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hay khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nếu muốn làm tốt tập khoảng cách khác trước tiên trọng điểm giúp học sinh giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Các định lý, tính chất thường sử dụng a �b  I � � a, b �( P) � d  ( P) � � d  a, d  b �Định lý 1: � �Định lý 2: �d  ( P) � d �(Q ) � � ( P)  (Q) ( P ) �(Q )   � � �   ( R) � ( P)  (R) � �Định lý 3: � (Q)  ( R ) ( P )  (Q ) � � ( P ) �(Q )   � � d  (Q) � d � ( P ) � � d  �Hệ quả : � d  (P) � �d a � a � ( P ) �Tính chất 1: � d  ( P) � � d '  ( P) � d '/ / d �Tính chất 2: � Các dạng tập Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  Kí hiệu d (O, ) * Nhận xét - M �, OM �d (O, ) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta + Xác định hình chiếu H O  tính OH + Áp dụng cơng thức tam giác vng để tính đoạn OH Dạng 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu O () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () Kí hiệu d (O,( )) * Nhận xét - M  ( ), OM d (O,( )) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta sử dụng cách sau: Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O () tính OH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với () - Tìm giao tuyến  (P) () - Kẻ OH   ( H � ) Khi d (O,( ))  OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Cách Tính gián tiếp Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh O đường thẳng đến vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,( )) việc tính d (O ',( )) Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () M, N   d ( M ;( ))  d ( N ;( )) Kết Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I M, N   (M, N khơng trùng với I) d ( M ;( )) MI  d ( N ;( )) NI d ( M ;( ))  d ( N ;( )) Đặc biệt, M trung điểm NI I trung điểm MN d ( M ;( ))  d ( N ;( )) Người ta thường dịch chuyển điểm O đến chân đường vng góc hình chóp Cách xác định vị trí chân đường cao loại hình chóp - Loại 1: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy - Loại 2: Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy hay có hai mặt bên kề vng góc với đáy đường cao hình chóp cạnh bên vng góc với đáy -Loại 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao hình chóp đường kẻ vng góc từ đỉnh mặt bên đến giao tuyến - Loại 4: Hình chóp có hai mặt bên kề vng góc với đáy đường cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên kề - Loại 5: Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao hình chóp tâm đường tròn ngoại tiếp đáy - Loại 6:Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao hình chóp tâm đường trịn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) đáy - Đối với số loại hình chóp khác như: Hình chóp có hai mặt bên kề tạo với đáy góc  chân đường cao hình chóp kẻ từ đỉnh rơi vào đường phân giác góc tạo hai cạnh nằm đáy hai mặt bên Hoặc hình chóp có hai cạnh bên hai cạnh bên tạo với đáy góc  chân đường cao kẻ từ đỉnh rơi vào đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm lại cạnh bên thuộc mặt đáy Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA  OB, OB  OC , OC  OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính công thức 1 1    2 OH OA OB OC Ngoài lên lớp 12 học sinh tính cách: Sử dụng cơng thức thể tích Sử dụng phương pháp tọa độ Dạng 3: Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng () khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng () Kí hiệu d (,( )) * Nhận xét � γ , N - M ( ), MN d ( ,( )) - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng 4: Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d (( );(  )) * Nhận xét M ( ), N (  ), MN d (( );( )) - �γ - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng 5: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng  cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung  cắt a H cắt b K độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d (a, b) * Nhận xét M a, N - �γ b, MN d ( a, b ) - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: Cách 1: Tìm đoạn vng góc chung Tìm H K từ suy d (a, b)  HK Cách 2: Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d (a, b)  d (b,( P )) Thông thường ta chọn mặt phẳng chứa cạnh bên song song với cạnh nằm mặt phẳng đáy Cách 3: Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d (a, b)  d (( P),(Q)) Ngoài lớp 12 ta sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu a  b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH  a Khi d (a, b)  IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD 2.3.2 Xây dựng ví dụ minh họa Qua định nghĩa nhận xét vừa nêu, rút kết luận: Bài tốn tìm khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo đưa tốn tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hay khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nếu muốn làm tốt tập khoảng cách khác trước tiên trọng điểm giúp học sinh giải toán tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Sau ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vng cân đỉnh B, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b Gọi I trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC) c Gọi J trung điểm AC Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC) d G trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) 10 d (G2 , ( SBC ))  a e trọng tâm ∆SDC nên Khi Vậy Vẫn hệ thống câu hỏi nhỏ vừa thu hút, lôi tập trung hoạt động học sinh, vừa bước giải toán phức tạp Cũng tập ta sửa lại yêu cầu tốn: Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) Hoặc yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) (với G trọng tâm ∆SDC) làm nào? Điều khơng phải đơn giản mà địi hỏi phải có hoạt động tối đa trí óc Nếu ta đưa toán dạng gây khó khăn, vướng mắc việc giải học sinh làm ảnh hưởng đến tư tích cực dễ chán nản Vì hệ thống câu hỏi nhỏ giúp em lấy hứng thú bắt tay vào bài, tích cực suy nghĩ sở để phát huy tư sáng tạo cho học sinh Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD O a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BDD’B’) b Gọi M trung điểm AA’ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(BDD’B’) c G trọng tâm ∆ABA’ Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(BDD’B’) d I trung điểm GB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(BDD’B’) e K trọng tâm ∆BMD Tính khoảng cách từ K đến mp(BDD’B’) Suy khoảng cách từ điểm J đến mp(BDD’B’) với J trung điểm KO Lời giải C D O J A B K I G M C' D' A' B' a Ta có AO  BD( giả thiết) Mặt khác AO  DD’(vì DD’  (ABCD)) suy AO  (BDD’B’) ; a d ( A, ( BDD'B'))= Khi Hay 13 b Do AM // (BDD’B’) nên d(M,(BDD’B’))= d(A, (BDD’B’)) d(M, (BDD’B’)) = c Ta có (do G trọng tâm ∆ABA’) a d (G, ( BDD'B'))= Khi Hay d (do I trung điểm GB) nên a d ( I , ( BDD'B'))= d ( I ,( BDD ' B '))  d (G , BDD ' B ')) hay e K trọng tâm ∆BMD nên Khi Do J trung điểm KO nên d ( J , ( BDD ' B '))  d ( K , ( BDD ' B ')) Lúc Vậy Hệ thống tập nêu bản, tảng để kích thích tính tích cực hoạt động học sinh Điều quan trọng từ học sinh có khả đề tốn mới, khái qt hóa, tương tự hố …hay nói cách khác biết đề câu hỏi, thắc mắc xung quanh tốn đó, tự giải rút kết luận cần thiết Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng Ax vng góc với mp(ABC) A, lấy điểm S cho Gọi K trung điểm BC a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Gọi M điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC) c Gọi G trọng tâm ∆SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC); d I trung điểm GK Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC) Lời giải a.Xét ∆ vuông SAB SAC : suy SB = SC hay ∆SBC cân S Trong ∆SBC có SK đường trung tuyến đồng thời đường cao BC  SK mà BC  SA ( SA  (ABC)) nên BC (SAK), suy SAK)  (SBC) Ta có (SAK)  (SBC) ≡ SK Từ A kẻ AH  SK H Khi d(A,(SBC)) = AH Xét ∆SAK vng taị A, theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: (*) 14 S H G I A C M K B Trong (đường cao tam giác cạnh a), SA = a (giả thiết) Thay (1) vào (*) ta có b M điểm đối xứng với A qua C nên d ( M , ( SBC ))  d ( A, ( SBC )) d ( M , ( SBC ))  a 15 d (G, ( SBC ))  d ( M ,( SBC )) c G trọng tâm SCM nên ta có: d (G , ( SBC ))  d 15 a 15 I trung điểm KG, d ( I , ( SBC ))  hay d ( I , ( SBC ))  d (G, ( SBC )) suy 15 a 30 Ví dụ cụ thể hóa khẳng định nêu, quan trọng khả biết vận dụng linh hoạt kết từ tập khẳng định có trước để áp dụng giải tốn cụ thể, trường hợp định.Ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BC O tâm hình vng ABCD a Tính khoảng cách từ điểm M đến mp (ACC’A’); b N trung điểm DC Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’); c Từ N kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt D’C’ N’ Tính khoảng cách từ điểm N’ đến mp(ACC’A’); d trọng tâm AC’D’ Tính khoảng cách từ điểm đến mp(ACC’A’); e trọng tâm AC Tính khoảng cách từ điểm đến mp(ACC’A’) 15 Lời giải B C M O H N D A G2 G1 B' C' N' A' D' a Ta có BD  (ACC’A’) Kẻ Mx // BD cắt AC H a MH  MH  BO Khi đó: mà nên a d ( M , ( ACC ' A '))  Vậy b Ta có MN đường trung bình BDC nên MN // BD Suy H, M, N thẳng hàng HM = HN Khi d(M, (ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) hay d(M, (ACC’A’)) = c Vì NN’ // CC’nên NN’ //(ACC’A’) � d(N’,(ACC’A’)) = d(N,(ACC’A’)) = d trọng tâm AC’D’nên: d (G1 , ( ACC ' A '))  a Lúc Hay e BD cắt AC O nên O trung điểm AC Do trọng tâm tam giác AC nên Suy Vậy d (G2 , ( ACC ' A '))  a 18 Qua hệ thống tập, học sinh rèn luyện kỹ xác định tính tốn khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhưng để có sáng tạo người giáo viên phải tạo thói quen cho học sinh, khơng nên học định lí, cách chứng minh hay tính tốn đơn mà thơng qua phải ln biết phát vấn đề, biết đặt câu hỏi tốt, biết hồi nghi…Từ đó, sử dụng suy luận có lí để giải vấn đề Qua phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh Ví dụ 16 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc �  600 BAD , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Lời giải S a) Hạ OK  BC � BC   SOK  Trong (SOK) kẻ OH  SK � OH   SBC  � d  O,  SBC    OH a � BD  a � BO  ; AC  a Ta có ABD Trong tam giác vng OBC có: E 1 13 a 39    � OK  2 B D OK OB OC 3a 13 Trong tam giác vng SOK có: 1 16 a    � OH  2 OH OS OK 3a a d  O,  SBC    OH  Vậy b) Ta có AD / / BC � AD / /  SBC  F H A B D K O C � d  AD,  SBC    d  E ,  SBC   Kẻ EF / / OH  F �SK  Do OH   SBC  � EF   SBC  a � d  AD,  SBC    d  E ,  SBC    EF  2OH  ���� ABCD A B C D Ví dụ 7: Cho hình lập phương cạnh a Tính khoảng cách AB� C   A� DC �   Hướng dẫn giải: C Ta có d   AB� C  ,  A� DC � ,  A� DC � ,  A� DC �    d  B�    d  D�  B A D B� B C D Gọi I Gọi O�là tâm hình vng A���� hình D , suy I hình Chiếu D� O� chiếu D� C� A� DC �   I O� A� D� 17 d� C  ,  A� DC � D� ,  A� DC �  AB� � � � � d � � � D� I D�� O D� D D�� O  D� D 2  a a 2 �a � � � a �2 �  a Nhận xét: Ở học sinh biết nhận dạng khoảng cách hai mp song song khoảng cách từ điểm B’ đến mp  A� DC �  dịch A� DC �  A’C’ (O’D’D), suy chuyển đến khoảng cách từ điểm D’đến  DC �  A�   (O’D’D) Qua phát triển lực tư duy, lực mơ hình hóa, lực giải vấn đề,… Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC; AD SB Lời giải S H C D I O A a B Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) Ta có AO  (SBC)  C d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ; SO  (ABCD) nên SO  BC Kẻ SJ  BC J trung điểm BC Suy BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ) (SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH  SJ (H  SJ) Khi d(O, (SBC)) = OH Xét tam giác SOJ vuông O, theo hệ thức lượng tam giác vng ta có mà , Suy Vậy 18 Sau đưa tập học sinh nhớ lại nhận xét phần định nghĩa khoảng cách để phát d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) Rõ ràng ta đưa tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Như biết xếp tốn có tính hệ thống việc giải tốn học sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy tư tích cực từ kế thừa kết có, kỹ biết phục vụ vào giải toán Với giả thiết tốn ta u cầu học sinh tính tiếp: b Khoảng cách đường thẳng AD SB c Từ B kẻ đường thẳng song song với SC cắt CH K, tính khoảng cách đường thẳng AD SK Theo cách tư học sinh nhận ra: d(AD, SB) = d(A, (SBC)) = d(AD, SK) = d(AD, (SBC)) = Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , ta dùng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách tứ diện vuông A' C' B' M D C N A Lời giải O Gọi O, D trung điểm BC CN B OACD tứ diện vng O AMB ' N hình bình hành � NA / / B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa CN song song với B ' M nên d ( B ' M , CN )  d ( B ' M ,( ACN ))  d ( B ',( ACN ))  d ( B,( ACN ))  2d (O,( ACD))  2h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta 1 1 64 a a     �h d ( B ' M , CN )  2 2 Vậy h OA OC OD 3a Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng MN AC Lời giải 19 S E M P D A O N B a C Gọi P trung điểm AS, MP // NC MP = NC (đều nửa a) Do MPCN hình bình hành, suy MN // PC (1) Mặt khác BD  (SAC) nên BD  PC (2) Từ (1) (2) ta suy MN  BD Khi d(MN,AC) = d(MN, (SAC)) d(MN,(SAC)) = d(N, (SAC)), , suy Vậy Đây tập khó khoảng cách hai đường chéo Học sinh phải chọn thêm điểm phụ P trung điểm SA, để đưa khoảng cách cần tính khoảng cách đường MN đến mặt phẳng (SAC) song song theo cách dạng Sau phải chọn điểm N đường thẳng, dịch chuyển điểm B thuận lợi Giải toán học sinh phát triển lực cốt lõi lực toán học 2.3.3 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO SA   ABCD  Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có , đáy ABCD hình thang vng cạnh a Gọi I J trung điểm AB CD Tính SAD  khoảng cách đường thẳng IJ  A B C D Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông A D , AD  2a Trên ABCD  đường thẳng vng góc D với  lấy điểm S với SD  a Tính SAB  khỏang cách đường thẳng DC  A B C a D Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh bên a Các o cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60 Hình chiếu vng góc A BC 1 Khoảng cách A lên mặt phẳng  1  trung điểm BC hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu? 20 a a B a a D A C ��� ABC A B C Câu 4: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30� Hình chiếu H A mặt phẳng  mặt phẳng đáy là: A��� BC  a A C Khoảng cách hai thuộc đường thẳng B�� a a C D Câu 5: Cho hai tam giác ABC ABD cạnh x nằm hai mặt a B phẳng vng góc với Khi khoảng cách hai đường thẳng AB CD x A x x x B C D Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy ( ABCD) SA  a Tính theo a khoảng cách SB CD a a A a B a C D Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính khoảng cách SA BD theo a 2a C 2a B a D Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, AB  BC  a, AD  2a, SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính khoảng cách AD SB a A a A a a a B C D Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách AD SB a a a A a B C D Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Biết hai mặt bên ( SAB ) ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách SO AB A a a B a C a D 21 ĐÁP ÁN C A A C A B D D C 10 B 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4 Tổ chức thực nghiệm Tổ chức thực nghiệm trường THPT Lê Lợi, huyện Thọ Xuân gồm: - Lớp thực nghiệm 11A5 - Lớp đối chứng 11A2 Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 11A2 có 42 học sinh, lớp 11A5 có 43 học sinh Qua thời gian thực tế dạy học, nhận thấy chưa đưa đề tài vào trình giảng dạy, học sinh giải tập đơn giản Khơng biết phân tích tốn, lúng túng khơng biết đâu, xử lí giả thiết cho nào, học sinh không làm Sau áp dụng đề tài học sinh làm tốt tập khó, em hứng thú say mê học tập, có cách nhìn nhận vấn đề tốt hơn, tư duy, tiếp cận tìm lời giải nhanh, số em có hướng tư độc đáo 2.4.2 Kết thực nghiệm Hoạt động học tập học sinh nhìn chung diễn sơi khơng gây cảm giác áp đặt Việc sử dụng biện pháp nhận hứng thú học sinh giải toán học toán Kết quả kiểm tra Điể Số 10 m bà Lớp i TN(11A5) 43 0 10 ĐC(11A2) 42 10 7 2 2.4.3 Kết quả: Kết lớp thực nghiệm có 41/43 (chiếm 95,35%) đạt trung bình trở lên, có 29/43 (chiếm 67,44%) đạt giỏi Lớp đối chứng có 28/42 (chiếm 60%) đạt trung bình trở lên, có 11/42 (chiếm 26,19%) đạt giỏi 22 - Học sinh có hứng thú học tập, nắm phương pháp giải tốn tính khoảng cách - Xây dựng hệ thống tập tính khoảng cách chương trình hình học 11 - Rèn luyện phát triển lực toán học cho học sinh như: lực tư lập luận tốn học, lực mơ hình hóa tốn học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học, lực sử dụng phương tiện cơng cụ tốn học KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Trong đề tài SKKN đề cập vấn đề sau: Khái niệm lực, lực toán học, kiến thức quan hệ vng góc, khoảng cách Đặc điểm tốn tính khoảng cách số khó khăn mà học sinh thường gặp giải toán chúng Xây dựng tập tính khoảng cách để phát triển lực toán học cho học sinh Qua đề tài thấy học sinh nhận dạng tập, biết cách phân tích để tìm lời giải cho tốn tính khoảng cách tạo hứng thú cho học sinh trình học tập 3.2 KIẾN NGHỊ Đề tài tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy lớp trường THPT Lê Lợi, ví dụ chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu có đề thi THPT Quốc gia Bộ giáo dục, đề thi thử số trường THPT, tạp chí Tốn học tuổi trẻ Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong đóng góp quý báu Ban giám hiệu, đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN Thanh Hóa, ngày 14 tháng VỊ năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN 23 viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Mạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 11 ban bản, NXBGD, 2010 Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy(chủ biên)- Khu Quốc Anh -Nguyễn Hà Thanh - Phan Văn Viện Phân loại tốn hình học 11 theo chủ đề, NXBGD Việt Nam, Nguyễn Đức Nghị Bài tập hình học 11 ban bản, NXBGD, Nguyễn Mộng Hy ( chủ biên) -Khu Quốc Anh - Nguyễn Hà Thanh Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng môn tốn, NXB Hà Nội, Ngơ Long Hậu - Trần Thanh Phong - Nguyễn Đình Thọ Tạp chí “ Tốn học tuổi trẻ” Phương pháp giải tốn hình học 11 theo chủ đề, NXB Việt Nam, Phạm Thanh Sơn Tài liệu tổng ơn tập hình học khơng gian, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, Nguyễn Anh Trường Phân loại phương giải tốn hình học không gian, Nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, Trần Văn Thương, Phạm Đình, lê Văn Đức, Cao Văn Đỗ Các đề thi thử TN THPT Quốc gia Internet 10 Tư liệu ghi chép cá nhân, đồng nghiệp 24 MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu…………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… 2.1.1 Năng lực .2 2.1.2 Năng lực toán học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề…………………… 2.3.1 Kiến thức bản……………………………………………… 2.3.2 Các ví dụ minh họa…………………………………………… 2.3.3 Một số tập tham khảo…………………………………… 18 25 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục,với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………… .20 Kết luận, kiến nghị ………………………………………………… 21 3.1 Kết luận………………………………………………………….21 3.2 Kiến nghị……………………………………………………… 21 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Mạnh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh Kết giá xếp loại đánh (Phòng, giá Sở, Tỉnh ) xếp loại (A, B, Lê Lợi Năm học đánh giá xếp loại 26 C) Tên sáng kiến Sở GD-ĐT C xếp loại: Hướng Thanh Hóa dẫn học sinh giải phương trình mũ Tên sáng kiến Sở GD-ĐT C xếp loại: Hướng Thanh Hóa dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện Tên sáng kiến Sở GD-ĐT C xếp loại: Phát triển Thanh Hóa tư phân tích tư sáng tạo cho học sinh lớp 10 – THPT thơng qua việc giải số tốn xác định tọa độ điểm phương pháp khai thác tính chất hình học Tên sáng kiến Sở GD-ĐT C xếp loại: Thanh Hóa Hướng dẫn học sinh giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức phương pháp hình học (Giải tích 12) nhằm phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh THPT Quyết định số: 59/QĐ – SGDĐT ngày 24/02/2006 Quyết định số: 743/QĐ – SGD ĐT ngày 04/11/2013 Quyết định số: 1455/QĐ – SGD ĐT ngày 26/11/2018 Quyết định số: 2088/QĐ – SGD ĐT ngày 17/12/2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ LỢI 27 ... tập tính khoảng cách chương trình hình học 11 - Rèn luyện phát triển lực toán học cho học sinh như: lực tư lập luận tốn học, lực mơ hình hóa toán học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán. .. tốn tính khoảng cách số khó khăn mà học sinh thường gặp giải tốn chúng Xây dựng tập tính khoảng cách để phát triển lực toán học cho học sinh Qua đề tài thấy học sinh nhận dạng tập, biết cách. .. tập tính khoảng cách (Hình học - Lớp 11) ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hệ thống tập tính khoảng cách khơng gian theo dạng tốn - Phát triển lực toán học cho học sinh trung học phổ thông 1.3