Một số bài toán về giải tích tổ hợp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - - Đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Chuyên ngành Lớp : ThS Tôn Thất Tú : Đỗ Lê Đơng Đức : Cử nhân Tốn - Tin : 10CTT2 Đà Nẵng, tháng 05/2014 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán-ĐHSP MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu .6 Phương pháp nghiên cứu .6 Ý nghĩa thực tiễn 6 Tóm tắt nội dung PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I Quy tắc cộng, quy tắc nhân I.1 Quy tắc cộng I.1.1 Định nghĩa .8 I.1.2 Ví dụ I.2 Quy tắc nhân I.2.1 Định nghĩa .9 I.2.2 Ví dụ II Hoán vị, hốn vị lặp, hốn vị vịng quanh 10 II.1 Hoán vị 10 II.1.1 Định nghĩa 10 II.1.2 Số hoán vị 10 II.2 Hoán vị lặp hạn chế 10 II.2.1 Định nghĩa 10 II.2.2 Ví dụ .10 II.3 Hốn vị vịng quanh 11 II.3.1 Định nghĩa 11 II.3.2 Số hốn vị vịng quanh 11 III Chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp .11 III.1 Chỉnh hợp 11 III.1.1 Định nghĩa 11 Đỗ Lê Đông Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP III.1.2 Số chỉnh hợp 11 III.2 Chỉnh hợp lặp 12 III.2.1 Định nghĩa 12 III.2.2 Số chỉnh hợp lặp 12 IV Tổ hợp, tổ hợp lặp 13 IV.1 Tổ hợp .13 IV.1.1 Định nghĩa 13 IV.1.2 Số tổ hợp (số tập k phần tử) 13 IV.1.3 Tính chất .13 IV.2 Tổ hợp lặp 15 IV.2.1 Định nghĩa 15 IV.2.2 Số tổ hợp lặp 15 V Nhị thức Newton .15 V.1 Định lí khai triển nhị thức Newton .15 V.1.1 Định lí 15 V.1.2 Ví dụ .16 V.2 Tính chất .16 V.3 Tam giác Pascal 16 V.3.1 Xây dựng tam giác Pascal 16 V.3.2 Ứng dụng tam giác Pascal .17 VI Nguyên tắc bao hàm loại trừ .17 VI.1 Định nghĩa 17 VI.2 Ví dụ 17 CHƢƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP .19 I Các tính chất đặc biệt 19 II Các phương pháp tính tổng, chứng minh hệ thức .25 II.1 Phương pháp .25 II.1.1 Sử dụng công thức 26 II.1.2 Sử dụng đạo hàm 28 II.1.3 Sử dụng tích phân 32 II.2 Chứng minh hệ thức 35 III Bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 37 Đỗ Lê Đơng Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP III.1 Bài tốn giải phương trình 37 III.2 Bài tốn giải bất phương trình 40 III.3 Bài toán giải hệ phương trình .42 IV Bài toán hệ số đa thức 45 V Một số toán ứng dụng 47 LỜI KẾT 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Đỗ Lê Đơng Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thạc sĩ Tôn Thất Tú tận tình bảo, hướng dẫn tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình thực khóa luận Tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến q thầy Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm–Đại học Đà Nẵng tận tình dạy bảo cho suốt thời gian học tập trường Nhân xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành khóa luận Trong q trình làm khóa luận, tham khảo số tài liệu liên quan đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến thầy cô bạn sinh viên lớp cử nhân Tốn-Tin Mặc dù cố gắng q trình làm khóa luận, song hạn chế thời gian, trình độ hiểu biết nên khóa luận khơng tránh thiếu sót, mong nhận đóng góp q thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Đà Nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên Đỗ Lê Đông Đức Đỗ Lê Đơng Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán tổ hợp lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm ngày quan tâm nhờ vai trị quan trọng nội toán học ngành khoa học khác Kết quan trọng đánh dấu toán đếm số phân hoạch Leonhard Euler Trong tốn học kết đóng vai trị kiến thức tảng cho giải tích, xác suất, thống kê, hình học,… Trong thực tiễn giáo dục việc dạy học toán tổ hợp quan trọng học tốt toán tổ hợp người học có lực sáng tạo tư nhạy bén để học tốt môn học khác lĩnh vực khác sống Các tốn giải tích tổ hợp nội dung quan trọng đề thi đại học cao đẳng nước ta, mức độ khơng khó thí sinh thường gặp khó việc giải tốn Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên trường đại học cao đẳng, thi Olympic toán khu vực quốc tế toán tổ hợp xuất thử thách lớn cho thí sinh Rất nhiều tốn hay khó giải cách gọn đẹp cách sử dụng kiến thức tổ hợp Với phân tích tơi lựa chọn đề tài: “MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận Mục đích nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu lý thuyết tổ hợp từ xây dựng cách có hệ thống, có sáng tạo tốn giải tích tổ hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận vấn đề hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, tốn liên quan Với khóa luận này, tơi dừng lại mức độ nghiên cứu giải tốn phục vụ chủ yếu chương trình trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải tốn, tổng hợp kết Ý nghĩa thực tiễn Trong khóa luận tơi tổng kết phân dạng tập giải tích tổ hợp Tuy dạng tập không khóa luận hệ thống mở rộng số tập hay, khó đóng góp nhỏ khóa luận Đỗ Lê Đơng Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP Tóm tắt nội dung Khóa luận chia làm hai chương: + Chương (Các kiến thức bản): Chương tập trung trình bày lý thuyết tổ hợp số lý thuyết tập hợp làm sở để phân dạng giải tốn giải tích tổ hợp + Chương (Các toán tổ hợp): Đây chương chứa nội dung khóa luận Chương tơi phân dạng hệ thống tốn giải tích tổ hợp Đỗ Lê Đơng Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán-ĐHSP PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I Quy tắc cộng, quy tắc nhân I.1 Quy tắc cộng I.1.1 Định nghĩa Giả sử cơng việc tiến hành theo hai phương án A B: Phương án A thực n cách Phương án B thực m cách (đối tượng phương án khơng trùng với đối tượng phương án kia) Khi cơng việc thực theo m  n cách * Hệ quả: Giả sử cơng việc tiến hành theo k phương án A1, A2, , Ak: Phương án A1 thực n1 cách Phương án A2 thực n2 cách … Phương án Ak thực nk cách (đối tượng phương án không trùng với đối tượng phương án kia) Khi cơng việc thực theo n1  n2    nk cách I.1.2 Ví dụ Khi từ tỉnh A đến tỉnh B phương tiện ô tô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay Hỏi ta có cách từ A đến B? Giải: Để từ A đến B, ta có: - 10 cách tơ - cách tàu hỏa - cách tàu thủy - cách máy bay Vậy, có: 10     18 cách từ A đến B Đỗ Lê Đơng Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP I.2 Quy tắc nhân I.2.1 Định nghĩa Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B: Cơng đoạn A thực n cách Cơng đoạn B thực m cách Khi có n.m cách thực công việc * Hệ quả: Giả sử công việc bao gồm k cơng đoạn A1, A2, , Ak: Cơng đoạn A1 thực n1 cách Cơng đoạn A2 thực n2 cách …… Cơng đoạn Ak thực nk cách Khi có n1.n2 nk cách thực cơng việc I.2.2 Ví dụ Một biển số xe máy (nếu khơng kể mã vùng) có kí tự Kí tự vị trí chữ 24 chữ bảng chữ tiếng Anh (chữ O I không dùng), vị trí thứ hai chữ số thuộc tập hợp {1, 2, , 9}, bốn vị trí bốn chữ số thuộc tập hợp {0, 1, , 9} (chẳng hạn M9 4410 biển số xe máy) Hỏi tạo biển số xe máy? Giải: Số cách chọn cho vị trí biển số: - Vị trí thứ có 24 cách chọn - Vị trí thứ hai có cách chọn - Vị trí thứ i có 10 cách chọn  i  3, 4, 5,  Vậy, có: 24.9.10.10.10.10  2160000 biển số xe máy * Nhận xét: Từ đinh ̣ nghiã của quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân , ta thấ y rằ ng: i, Nếu bỏ qua giai đoạn mà ta khơng thể hồn thành cơng việc (khơng có kế t quả) lúc ta cần phải sử dụng quy tắc nhân ii, Nế u bỏ qua giai đoa ̣n nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành đươ ̣c công viê ̣c (có kế t quả) lúc ta sử dụng quy tắc cộng Như vâ ̣y với nhâ ̣n xét , ta thấ y rõ đươ ̣c sự khác biê ̣t c quy tắ c cộng quy tắc nhân Đỗ Lê Đông Đức Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP II Hốn vị, hốn vị lặp, hốn vị vịng quanh II.1 Hốn vị II.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử  n   Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A) II.1.2 Số hoán vị a, Định lí: Số hốn vị tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn là: Pn  n!  n  n  1 n  1 * Quy ƣớc: 0!  b, Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định tham quan bảy địa điểm A, B, C, D, E, G H thành phố Đà Nẵng Họ thăm quan theo thứ tự đó, hỏi đồn khách có cách chọn thứ tự tham quan? Giải: Giả sử, đoàn khách chọn thứ tự tham quan sau: B→C→A→E→D→G→H Như vậy, cách chọn thứ tự địa điểm tham quan hoán vị tập {A, B, C, D, E, G, H} Vậy nên, đồn khách có tất 7!  5040 cách chọn thứ tự tham quan II.2 Hoán vị lặp hạn chế II.2.1 Định nghĩa Giả sử có n  n   vật hay đối tượng có n1 đối tượng thuộc loại (giống nhau), n2 đối tượng thuộc loại 2, …, nk đối tượng thuộc loại thứ k, với n  n1  n2    nk Khi số cách xếp n đối tượng thành dãy có thứ tự, hay số hoán vị lặp n đối tượng, là: Pn (n1 , n2 , , nk )  n! n1 !n2 ! nk ! II.2.2 Ví dụ Giả sử n k số nguyên dương cho n  2k Chứng minh rằng: n! số 2k nguyên Giải: Xét tập A gồm 2k phần tử {x1, x1, x2, x2, …, xk, xk} Khi đó, số hốn vị lặp tập A là: Đỗ Lê Đông Đức Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP x   x   Điều kiện:  x     x  N x  N  Ta có: (2.12)  Cx2Cxx2  2Cx2Cx3  Cx3Cxx3  16    Cx2    2C x2C x3  C x3   16  C x2  C x3   16  C x2  C x3   C x31   ( x  1)!   x3  x  24  3!( x  2)! x    x3  x  3x   Vậy phương trình (2.12) có nghiệm là: x  Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết 2C22n1  3.2.2C23n1    (1)k k (k  1)2k 2 C2kn1    2n(2n  1)22n1C22nn11  40200 Giải: Xét: f ( x)  (1  x)2 n1  n 1  (1)k C2kn1xk k 0 Lấy đạo hàm cấp hai vế đẳng thức trên, ta được: f ''( x)  2n(2n  1)(1  x) n 1  n 1  k (k  1)(1)k C2kn1xk 2 k 2 Ta có: f ''(2)  n 1  k (k  1)(1)k C2kn1 2k 2 k 2 Mà: n 1  k (k  1)(1)k C2kn1 2k 2  2C22n1  3.2.2C23n1    2n(2n  1)22n1C22nn11 k 2  f ''(2)  40200  2n(2n  1)  40200  2n  n  20100   n  100   n  201  Đỗ Lê Đơng Đức Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp Theo giả thiết n  Khoa Toán-ĐHSP 201  (loại) Vậy số nguyên dương cần tìm: n  100   Bài 3: Tìm cặp (k ; x) biết Cx25 C1x  2Cx2  2Cx3  5 Px5 Pxk Axk33 (2.13) Giải: Điều kiện x, k  N ; x  3; x  k  (2.13)    ( x  5)! C1x  Cx2  Cx3 2!( x  3)!    25 ( x  5)! ( x  3)! ( x  k )! ( x  k )! ( x  5)! 5 ( x  5)! Cx  2Cx31  ( x  3)! ( x  3)!   (2.14) Suy ra, phương trình (2.13) với k  N , k  x (2.14)  C1x  2C x31    x ( x  1).x.( x  1) 5  x3  x  15   x3 Vậy nghiệm (k ; x) cần tìm: (0;3), (1;3), (2;3), (3;3) Bài 4: Tìm số nguyên dương x, thỏa C1x  6Cx2  6Cx3  x2  14 x (2.15) Giải: Điều kiện:  x  N Ta có: (2.15)  x  x( x  1) x( x  1)( x  2) 6  x  14 x 2! 3!  x  x( x  1)  x( x  1)( x  2)  x  14 x  x3  x  14 x  x    x    x  Vậy với điều kiện  x  N , số nguyên dương cần tìm x  Đỗ Lê Đơng Đức Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán-ĐHSP III.2 Bài toán giải bất phƣơng trình Bài 1: Giải bất phương trình A2 x  Ax2  Cx3  10 x (2.16) Giải: Điều kiện:  x  N Ta có: (2.16)  (2 x)! x! x!    10 (2 x  2)! ( x  2)! x 3!( x  3)!  x(2 x  1)  x( x  1)  ( x  1)( x  2)  10  3x  12  x4 x  Vậy nghiệm bất phương trình (2.16) là:   x  Bài 2: Giải bất phương trình Pn5  60 Ank32 (n  k )! (2.17) Giải: Điều kiện: n, k  N ;0  k  n Ta có: (2.17)   (n  5)! (n  3)!  60 (n  k )! (n  k  1)! (n  5)! (n  k  1)!  60 (n  3)! (n  k )!  (n  5)(n  4)(n  k  1)  60 (2.18) Ta thấy, với n  bất phương trình (2.18) vơ nghiệm + Với n  thì: (2.18)  8.7.(4  k )  60  k  k 3 41 14 (do k  n  3) + Với n  , ta có: (2.18)  7.6.(3  k )  60  k  k 2 Đỗ Lê Đông Đức 11 (do k  n  2) Trang 40 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán-ĐHSP + Với n  , lại có: (2.18)  6.5.(2  k )  60  k  k    k  (do k  n  1) + Với n  , thì: (2.18)  5.4.(1  k )  60  k  2 k 0 (do  k  n  0) Vậy nghiệm (k ; n) bất phương trình (1) là: (0;0), (0;1), (1;1), (2;2), (3;3) Bài 3: Tìm số hạng dương dãy xn  An2  Cn41  Cn31 (n  4) Giải: Theo giả thiết, ta có: xn   An2  Cn4   (n  2)! n!  0 (n  4)! 4!( n  4)!  n(n  1)(n  2)(n  3) (n  2)(n  3)  0 24  (n  2)(n  3) 30  n(n  1)    30  n(n  1)  (do n  4)  n  n  30   5  n  Vậy số hạng dương dãy cần tìm: x5 Bài 4: Cho tâp hợp A có n phần tử n  Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k  {1, 2,…, n}, cho số tập gồm k phần tử tập A lớn Giải: Số tập gồm k phần tử A là: Cnk Theo ta có: Cn4  20Cn2  + Xét: n! n!  20  n  18 4!(n  4)! 2!(n  2)! C18k  C18k 1   k  17  Đỗ Lê Đông Đức Trang 41 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP  18! 18!  k !(18  k )! (k  1)!(17  k )!  1  18  k k   k   18  k k 17 Do k  N nên k  0, 1, 2,, + Xét: C18k  C18k 1   k  17   18! 18!  k !(18  k )! (k  1)!(17  k )!  1  18  k k   k   18  k k 17 Cũng k  N nên k  9, 10, 11,, 17 Vậy C  C1  C    C  C10  C11    C18 18 18 18 18 18 18 18 Tóm lại: số tập có phần tử tập A lớn III.3 Bài tốn giải hệ phƣơng trình   Bài 1: Định x, y cho Axy 1 : Axy : Cxy2  Cxy21  28 : 81: 21 Giải: x   Điều kiện:  y    x  y  2; x, y  N Ta có:   Axy 1 : Axy : Cxy2  Cxy21  28 : 84 : 21  Axy 1 : Axy : Cxy1  :12 : Đỗ Lê Đơng Đức Trang 42 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán-ĐHSP  Axy 1  y  12  Ax   Axy 12 C y   x 1 x! ( x  y )!   ( x  y  1)! x !    y !( x  y  1)!  x!  ( x  y )! ( x  1)!      x  y 1    x y ! x y    x  y   ( y  2) y !   x  y   ( y  2) y !  4.2!  y    x  Vậy nghiệm hệ: ( y; x)  (2;4) Bài 2: Giải hệ 1  x 1 y 1 Cx  C y  C x 1  C y 1 x y    2 C  30 C  9Cxx 1   x y  ( x  2)( x  1)  (2.19)   Giải: Điều kiện: x, y  3; x, y  N 1  1 C  C   x y 1  C C x y  (2.19)    2 4 Cx  30C y ( x  2)( x  1)  9Cx      Đỗ Lê Đơng Đức (2.20) (2.21) Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP Giải (2.20), ta có: (2.20)  C1x  C1y  C1x  C1y  C C  x 1  C1x C1y y C1xC1y 0   C1x  C1y 1  1  CxC y            1   CxC y    C1x  C1y x y Thế y  x vào (2.21), ta được:   C x2  30C x3  9C1x   ( x  2)( x  1)   x! x!  4  9x     30 3!( x  3)! ( x  2)( x  1)  2!( x  2)!  x ( x  1) x( x  1)( x  2) 4  30  9x   ( x  2)( x  1)  x ( x  1)  x    ( x  1)( x  2)( x  x  2)  x    x  (do x  x   0) Kết hợp với điều kiện x  , nên hệ phương trình (2.19) vơ nghiệm Cxy1 Cxy 1 Cxy 1   Bài 3: Tìm x, y  Z cho  (2.22) Giải: Điều kiện: x  y  1; y  1; x, y  Z  Từ (2.22) ta có hệ sau: Đỗ Lê Đơng Đức Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP ( x  1)! x!   C xy1 C xy 1   y !( x  y  1)!  5.( y  1)!( x  y  1)!      x! x!  C xy 1 C xy 1     5.( y  1)!( x  y  1)!  2.( y  1)!( x  y  1)!   5( x  1)( y  1)  6( x  y )( x  y  1)  2( x  y )( x  y  1)  y ( y  1) 2( x  y )( x  y  1)  y ( y  1)  5( x  1)( y  1)  3.5 y ( y  1)  x  y   2(2 y  1).2 y  y ( y  1)  x  y   3 y  y y    x  (do y  1) Vậy cặp ( x; y ) cần tìm (8;3) IV Bài tốn hệ số đa thức Để giải toán hệ số đa thức, ta thường dùng công thức tổ hợp số hạng tổng quát Tk 1  Cnk a nk bk ( k  0, 1, 2, , n ) n 1  Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức   x5  , biết x  Cnn41  Cnn3  7(n  3) ( x, n  0, n  N ) Giải: Ta có: Cnn41  Cnn3  7(n  3)  Cnn31  Cnn3  Cnn3  7(n  3)  n  12 n 12 12 12 (12 k ) 1  1    Cnk x Nên:   x5     x5    Cnk x 3k x x  x  k 0 k 0  Số hạng tổng quát: Tk 1  C x k n Theo giả thiết: x8  x Đỗ Lê Đông Đức 6011k  6011k 6011k 60  11k 8 k  Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP Do hệ số số hạng chứa x8 là: C124   Bài 2: Đặt  x  x  x3  12!  495 4!(12  8)!  a0  a1x  a2 x    a12 x12 Tính hệ số a7 Giải: Ta thấy: 1  x  x  x3   (1  x)4 (1  x )4 4 4 k 0 i 0 k 0 i 0   (1)k C4k x k  C4i x 2i   (1)k C4k  C4i x k 2i Theo giả thiết, ta có: k  2i  Suy ra: (k ; i) {(1;3), (3;2)} Vậy a7  C41.C43  C43 C42  40 Bài 3: Tìm n cho khai triển f ( x)  ( x  2)n hạng tử thứ 10 có hệ số lớn Giải: n Ta có: f ( x)  ( x  2)n   Cnk 2nk x k (n  N ) k 0 Suy hệ số hạng tử thứ 9, 10, 11 là: Cn8 2n8 , Cn9 2n9 , Cn10 2n10 Để hạng tử thứ 10 có hệ số lớn thì: C  C   10 n 10   Cn9 2n9 Cn n n 8 n n 9 n! n!  n8 n 9   8!(n  8)! 9!(n  9)!   n! n!  n10 n 9   10!(n  10)! 9!( n  9)!  n   18  n   20  10  n  11 Vậy n  N nên khơng có giá trị n thỏa mãn yêu cầu toán Bài 4: Tìm hệ số lớn đa thức P( x)   x  1  a0 x13  a1x12    a13 13 Giải: 13 Ta có: P( x)   x  1   C13k  x  13 13 k k 0  ak  C13k 213k Đỗ Lê Đông Đức Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP + Xét: ak 1  ak  C13k 1 214k  C13k 213k 13! 13!  213k (k  1)!(14  k )! (k )!(13  k )!  214k  14  k 14  k k Suy ra: a0  a1  a2  a3  a4 (do k  N ) + Xét: ak 1  ak  C13k 1 214k  C13k 213k  214k  13! 13!  213k (k  1)!(14  k )! (k )!(13  k )! 14  k 14  k k Suy ra: a4  a5  a6    a13 (do k  N ) Vậy max(an )  a4  29.C134  366080 V Một số toán ứng dụng Bài 1: Tìm số nghiệm ngun, khơng âm phương trình x1  x2  x3  x4  20 (2.23) thỏa điều kiện x1  3; x2  2; x3  Giải: Từ điều kiện giả thiết, ta viết lại thành: x1  3; x2  2; x3  (*) Xét điều kiện sau: x2  2; x3  (**) x1  4; x2  2; x3  (***) Gọi: p số nghiệm nguyên không âm (2.23) thỏa điều kiện (*) q số nghiệm nguyên không âm (2.23) thỏa điều kiện (**) r số nghiệm nguyên không âm (2.23) thỏa điều kiện (***) Suy ra: p  q  r + Đặt: x1'  x1; x2'  x2  2; x3'  x3  5; x4'  x4 , kết hợp với điều kiện (**) Suy phương trình (2.23) trở thành: x1'  x2'  x3'  x4'  13 Đỗ Lê Đơng Đức (2.24) Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP Số nghiệm ngun khơng âm phương trình (2.23) thỏa điều kiện (**) số 13 nghiệm nguyên khơng âm phương trình (2.24)  q  C413  C413131  C16 + Tương tự, đặt: x1''  x1  4; x2''  x2  2; x3''  x3  5; x4''  x4 , kết hợp điều kiện (***) Suy phương trình (2.23) trở thành: x1''  x2''  x3''  x4''  (2.25) Số nghiệm ngun khơng âm phương trình (2.23) thỏa điều kiện (**) số nghiệm nguyên không âm phương trình (2.25)  r  C49  C4991  C129 13  C129  340 Ta được: p  q  r  C16 Vậy số nghiệm nguyên không âm phương trình (2.23) thỏa (*) 340 Bài 2: Chứng tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n ! Giải: Giả sử, n số tự nhiên liên tiếp là: ( p  1),( p  2),,( p  n) Đặt: P  ( p  1).( p  2)( p  n) Ta xét, p số n số 2, hốn vị lặp p  n số là: ( p  n)! 1.2.3 p.( p  1)( p  n) ( p  1).( p  2)( p  n) P     N* p !n ! 1.2 p.1.2 n 1.2 n n! Suy ra: P chia hết cho n ! Vậy, tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n ! Bài 3: Một thầy giáo có 20 sách khác Trong có thuộc thể loại toán học, thuộc thể loại văn học thuộc thể loại âm nhạc Thầy muốn lấy từ thể loại để tặng cho học sinh, loại cho sau tặng xong thể loại toán học, văn học, âm nhạc cịn Hỏi có cách tặng? Giải: Số cách chọn sách 12 là: C126 Số cách chọn có toán học là: C55C71 Số cách chọn có văn học là: C44C82 Số cách chọn có âm nhạc là: C33C93   Suy số cách chọn thỏa mãn điều kiện là: C126  C55C71  C44C82  C33C93  805 cách Mà thầy giáo tặng cho học sinh nên cách chọn có 6! cách tặng Đỗ Lê Đơng Đức Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP Vậy số cách tặng thỏa mãn là: 805.6! = 579600 cách Bài 4: Tìm số nghiệm ngun, khơng âm phương trình   x1  x2    xk  n   0  xi  q, q  N ; i  1, 2, , k ; kq  n  (2.26) Giải: Gọi: B tập nghiệm phương trình cho A tập nghiệm ngun khơng âm phương trình x1  x2    xk  n Gọi Ai tập nghiệm phương trình (2.26) thỏa xi  q   p  A1  A2   Ak tập nghiệm (2.26) có nghiệm xi  q   p Khi đó: n( B)  n( A)  n  A1  A2    Ak  với n( A)  Cknn1 Mà: k k i 1 i 1 n( Ai )   n( Ai )   1i  j  k n( Ai  Aj )   1i  j t  k n( Ai  Aj  At )   (1) k 1 n( A1   Ak ) + Tính n( Ai ), i  1, 2, , k k  n( Ai )  Cknnp p 1   n( Ai )  Ck1Cknnp p 1 i 1 + Tính n( Ai  Aj ),  i  j  k Đặt: xi'  xi  p, x'j  x j  p, xt'  xt , t  i, j  x1'  x2'    xk'  n  p  n( Ai  Aj )  Cknn2p2 p 1   1i  j  k + Tương tự: n( Ai  Aj )  Ck2Cknn2p2 p 1  1i  j t k n( Ai  Aj  At )  Ck3Cknn3p3 p1  n( A1   Ak )  Ckk Cknnkpkp 1 Ta được: Đỗ Lê Đông Đức Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp k k i 1 i 1 n( Ai )   n( Ai )   1i  j  k n( Ai  A j )  Khoa Toán-ĐHSP  1i  j t  k n( Ai  A j  At )   (1) k 1 n( A1   Ak )  Ck1Cknnp p 1  Ck2Cknn2p2 p 1  Ck3Cknn3p3 p 1    (1)k 1 Ckk Cknnkpkp 1 k   (1)i 1 Cki Cknnipip 1 i 1 Suy ra: n( B)  n( A)  n  A1  A2    Ak  k k i 1 i 1  Ckn n1   (1)i 1 Cki Cknnipip 1  Ckn n1   (1)i Cki Ckkn1ip 1 k   (1)i Cki Ckkn1ip 1 i 0 Đỗ Lê Đông Đức Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP LỜI KẾT Trong q trình làm khóa luận tơi nhận thấy tốn tổ hợp đẹp riêng, tơi hiểu sâu hệ thống xây dựng số tốn hay khó Các kết khóa luận là: * Hệ thống sở lý thuyết để giải tốn giải tích tổ hợp bao gồm lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp * Phân dạng đưa vào số tốn hay khó giải tích tổ hợp * Khóa luận tổng quát số toán để thu toán phức tạp Khóa luận nghiên cứu tốn tổ hợp Tơi mong muốn kết khóa luận góp phần nhỏ vào kho tàng kiến thức tốn tổ hợp Khóa luận tài liệu bổ ích cho cơng tác giảng dạy học tập, ngồi khóa luận khơng dừng lại việc cung cấp tốn hay mà cịn mang đến cho người học cách tư để xây dựng tốn cịn tài liệu tham khảo tốt cho yêu thích tổ hợp có lịng say mê tìm tịi, sáng tạo Trong q trình nghiên cứu khóa luận thời gian hạn chế nên thời gian tiếp theo, sau hồn thành khóa luận, tơi tiếp tục nghiên cứu sâu tổ hợp để tổng hợp phương pháp, kỹ giải có hệ thống hay, đa dạng Tôi mong giúp đỡ nhiều từ quý thầy cô bạn Đỗ Lê Đơng Đức Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn-ĐHSP TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Kim Dĩnh, Giải tích tổ hợp, Trường trung học phổ thơng U Minh-Cà Mau [2] Nguyễn Thị Thùy Dương, Một vấn đề tốn tổ hợp, Trường trung học phổ thơng Nguyễn Thái Học-Vĩnh Phúc [3] Trần Thị Thanh Hường-Trần Đức Duy-Mai Hữu Nhân, Chỉnh hợp lặp-Tổ hợp lặp, Trường trung học phổ thông chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm-Vĩnh Long [4] Đinh Thị Ngát, Phân dạng toán đại số tổ hợp chương trình tốn trung học phổ thơng, Trường Đại học Hoa Lư [5] Vũ Trung Thành, Ứng dụng đạo hàm tích phân vào khai triển nhị thức Newton, Trường trung học phổ thơng Bình Giang-Hải Dương Đỗ Lê Đông Đức Trang 52 ... thuyết tổ hợp số lý thuyết tập hợp làm sở để phân dạng giải tốn giải tích tổ hợp + Chương (Các toán tổ hợp) : Đây chương chứa nội dung khóa luận Chương tơi phân dạng hệ thống tốn giải tích tổ hợp. .. chữ số đầu chữ số cuối lập thành hai số giống nhau: 900.104  9000000 số IV Tổ hợp, tổ hợp lặp IV.1 Tổ hợp IV.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử  n   , số nguyên k:  k  n Một tập hợp. .. III.1 Bài toán giải phương trình 37 III.2 Bài tốn giải bất phương trình 40 III.3 Bài toán giải hệ phương trình .42 IV Bài toán hệ số đa thức 45 V Một số toán ứng