Các dạng bài tập VDC cực trị số phức - TOANMATH.com

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz... Hướng dẫn giải Chọn B[r]

BÀI CỰC TRỊ SỐ PHỨC A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Các bất đẳng thức thường dùng a.Cho số phức z z1, 2 ta có: +) z1  z2  z1z2 (1)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

+) z1z2  z1  z2 (2)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

b.Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho số thực a b x y, , , ta có: ax by  a2b2x2y2 Đẳng thức xảy ay bx

2 Một số kết biết

a.Cho hai điểm ,A B cố định Với điểm M ln có bất đẳng thức tam giác: +) MA MB AB  , dấu “=” xảy M nằm hai điểm ,A B

+) MA MB  AB, dấu “=” xảy B nằm hai điểm A M,

b.Cho hai điểm A B, nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB  AB, dấu “=” xảy  Ba điểm ,A M B, thẳng hàng

+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có

MA MB MA MB A B     , dấu “=” xảy  Ba điểm A M B, , thẳng hàng

c.Cho hai điểm A B, nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB  , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A B,

+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có

MA MB  MA MB  A B , dấu “=” xảy  Ba điểm A M B, , thẳng hàng

d.Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ, Mlà điểm di động đoạn thẳng PQ,

 

maxAM max AP AQ, Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau:

+) Nếu hình chiếu vng góc Hcủa A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ minAM AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ không nằm đoạn PQ

 

e.Cho đường thẳng và điểm A không nằm  Điểm M  có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A 

f.Cho ,x y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A A A1 2 n Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F ax by  (a b, hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a b x y, , , ta có

 2 2 ax by  a b x y Dấu “=” xảy a b

x y

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp hình học 1 Phương pháp giải

Vi dụ: Cho số phức zthỏa mãn

   2

2 z z i z z Giá trị nhỏ z3i

A.3 B.

C. D.2 Hướng dẫn giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z x yi x y   ,    z x yi Khi Bất đẳng thức tam giác

1 2

z z  z  z Dấu “=” xảy z1kz k2 0

1 2

z z  z  z Dấu “=” xảy z1kz k2 0

1 2

z z  z  z Dấu “=” xảy z1kz k2 0

1 2

z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0

sang ngơn ngữ hình học    2   2 2 z z i z z 2 2yi 4x i y x Gọi M x y A  ; ; 0; 3  điểm biểu diễn cho số phức z; 3 ithì z3i MA

Bước 2: Sử dụng số kết đã biết để giải tốn hình học

Parabol y x 2có đỉnh điểm O 0;0 , trục đối xứng đường thẳng x0 Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có:

3

MA OA  Suy ra, minMA3 M O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z3i 3, z0 Chọn A

2 Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức zthỏa mãn z 3 4i 1 Môđun lớn số phức zbằng

A.7 B.6

C.5 D.4

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M x y I   ; , 3; điểm biểu diễn cho số phức ;3

z  i Từ giả thiết z 3 4i  1 MI 1

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zthỏa mãn giả thiết đường trịn tâm I 3; , bán kính r1

Mặt khác z OM Mà OMđạt giá trị lớn OI r , Mlà giao điểm đường thẳng OMvới đường tròn tâm I 3; , bán

Nhận xét:

kính r1 Hay 18 24; 5 M 

 

Do đó, max z OI r   5 6, 18 24 5 z  i

Bài tập 2: Trong số phức zthỏa mãn z 2 4i  z 2i , số phức z có mơđun nhỏ

A. z 2 2i B. z 1 i C. z 2 2i D. z 1 i

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt z x yi x y   ,  Khi z 2 4i  z 2i    x y  d

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường thẳng d Do z OM nhỏ Mlà hình chiếu O d Suy M 2; hayz 2 2i

Nhận xét: Trong tất đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vng góc OM ngắn

Bài tập 3: Cho số phức zthỏa mãn z   3 z 10 Giá trị nhỏ z

A.3 B.4

C.5 D.6

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách 1:

Gọi F13;0 ,  F2 3;0 , có trung điểm O 0;0 Điểm M biểu diễn số phức z

Theo cơng thức trung tuyến

2 2

2 2 1 2 1 2

2

MF MF F F

z OM   

Ta có  

2

2

1

2

1 50

2

MF MF

MF MF   

Đẳng thức xảy

 

 

1

1

4;0 50 36

min

10 4;0

M

MF MF

z

MF MF M

  

     



  



  ,

Khi z4i z 4i

Với số thực ,a b ta có bất

đẳng thức:  

2 2

Cách 2:

Gọi F13;0 ,  F2 3;0 , M x y  ; ; ,x y điểm biểu diễn số phức 3;3;z

Ta có F F1 2c  6 c 3 Theo giả thiết ta có MF1MF210, tập hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a10 a ; trục bé

2

2b2 a c 2 25 8 

Mặt khác OM  z nhỏ z4i z 4i Vậy giá trị nhỏ z

Với điểm M nằm elip, đoạn OM ngắn đoạn nối

O với giao điểm trục bé với elip

Bài tập 4: Xét số phức zthỏa mãn z i 3z i 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z

A. 60

49 B.

58 49 C. 18

7 D.

16

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi A0; ,   B 0;1 , đoạn thẳng ABcó trung điểm O 0;0 Điểm Mbiểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến

2 2

2

2

MA MB AB

z OM   

Theo giả thiết 4MA3MB10 Đặt 10

a MA a MB  Khi

10 16

2 10

3 7

a

MA MB    AB     a   a

Ta có  

2

2 2 10 36

3

a a

MA MB a      

 

Do 36 24 5 82 576

7 a a 49

2

2

2

1

260 81

49 49

z

MA MB

MA MB z z

 

  

 

 

    

 

 

Đẳng thức z 1khi 24 25 25

z   i Đẳng thức

z  z i Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16

7

Bài tập 5: Cho zlà số phức thay đổi thỏa mãn z   2 z Trong mặt phẳng tọa độ gọi M N, điểm biểu diễn số phức zvà z Giá trị lớn diện tích tam giác OMNlà

A.1 B.

C. D. 2

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt z x yi x y   ,   z x yi

Gọi F12;0 ,  F2 2;0 , M x y N x y  ; , ;  điểm biểu diễn số phức 2; 2; ;z z

Do ,M Nlà điểm biểu diễn số phức zvà z nên suy M N, đối xứng qua Ox

Khi SOMN  xy

Ta có F F1 2 2c  4 c 2 Theo giả thiết ta có MF1MF2 4 2, tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn

2a4 2 a 2 ; trục bé 2b2 a2c2 2 4   b 2 Nên elip có phương trình  

2

:

8

x y

E  

Do

2 2

1 2

8 2 OMN

xy

x y x y

S xy

      

Đẳng thức xảy 2 x y

  

Bài tập 6: Cho số phức zthỏa mãn z i   z i Giá trị nhỏ P  i z 4 2i

A.1 B.

2

C.3 D.

2

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z x yi x y   , ; M x y ; điểm biểu diễn số phức z Ta có z i   z i  x y1i   x y1i

  2  2 2

2 1 2 1

x y x y

       0   x y   Ta có P i 1z 4 2i  

4 2

1

1 i

i z z i

i



     



  2 2

2 x y 2MA

     , với A 3;1

 

min 2 2

3 1

2 ,

1

P MA d A  

     



Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A đường thẳng  hay 5;

2 2

M     z i

 

Bài tập 7: Cho hai số phức z z1, 2thỏa mãn z1z2 6 z1z2 2 Gọi ,M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

P z  z Khi môđun số phức M mi

A. 76 B.76

C. 10 D. 11

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta gọi ,A B điểm biểu diễn số phức z z1, Từ giả thiết z1z2 6 OA OB   6 OI 3 với I trung điểm đoạn thẳng AB

1 2

Ta có 2 2 2 20 AB

OA OB  OI   .

1

P z  z OA OB P2 1212OA2OB240. Vậy maxP2 10M

Mặt khác, P z1  z2  OA OB  OA OB  6 Vậy minP 6 m

Suy M mi  40 36  76

Bài tập 8: Cho số phức zthỏa mãn z    2 i z 3i 5 Giá trị nhỏ biểu thức P  z 4i

A.1 B.

5 C.

5 D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z; gọi A2; ,  B 1;3 điểm biểu diễn số phức 2  i; 3i Ta có AB5

Từ giả thiết z    2 i z 3i 5

  2 2   2 2

2 1

x y x y

        

5

MA MB MA MB AB MA MB AB

        

Suy M A B, , thẳng hàng (B nằm M A) Do quỹ tích điểm M tia Bt ngược hướng với tia BA

1

P  z i   2 2

1

x y

    , với C1;4  P MC Ta có AB  3;4phương trình đường thẳng : 4AB x3y 5

 ,  1 2 3.4 52

CHd C AB     

 ,    

2

1

CB     

Do

Dạng 2: Phương pháp đại số 1 Phương pháp giải

Các bất đẳng thức thường dùng: 1 Cho số phức z z1, 2 ta có: a z1  z2  z1z2 (1)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

b z1z2  z1  z2 .(2)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho số thực , , ,a b x y ta có ax by  a2b2x2y2

Đẳng thức xảy ay bx

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho số phức z a a3 , i a Giá trị a để khoảng cách từđiểm biểu diễn số phức zđến gốc tọa độ nhỏ

A.

2

a B.

2 a C. a1 D. a2

Hướng dẫn giải Chọn A

 2

2 3 2

2 2

z  a  a  a   

 

Đẳng thức xảy

a Hay 3 2 z  i

Nhận xét: Lời giải có sử dụng đánh giá

2 0, x   x 

Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn điều kiệnz 2 4i  z 2i , số phức z có môđun nhỏ

A. z 1 2i B. z  1 i C. z 2 2i D. z  1 i

Chọn C

Gọi z a bi a b   , 

2

z  i  z i  a  2 b 4i   a b 2i     a b 4  4 2 2 22 8 2

z b bi z b b b

           

Suy z 2 2      b a z 2i Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 1

2 z

z i

   , biết

3

z  i đạt giá trị nhỏ Giá trị zbằng

A. B.

2 C.

2 D.

17 Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z a bi z   2i a b , 

1 z

z i

 

    z z 2i 2a4b  3 2a 3 4b

  2 2  2

5 5 20

2

z i b b b

         

Suy

1

3

min 5

2 1

a

z i z i

b

  

      

  

Vậy z 

Bài tập 4: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 3 4i

z z  Giá trị lớn biểu thức z1  z2

A. B.

C. 12 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có  2 2 2

1 2

2 z  z  z z  z z 5  3 50

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có  2

1 2 50

z  z  z  z  

Gọi z1 x yi z, 2  a bi a b x y; , , , 

Đẳng thức xảy

1 2 2 2 25

z z i

z z z z z z                2 x y         a b        

Hay

7 1

;

2 2

z   i z   i

Thay z z1, 2 vào giả thiết thỏa mãn

Vậy, giá trị lớn biểu thức z1  z2

Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn biểu thức P  1 z 1z

A. 10 B. C. 15 D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có P 12321z2 1 z2 20 1 2 z22 10 Đẳng thức xảy

2 2 1 5

1 1 0 3 5 5

1

2

3 5

z x y x

z i

x

z x y

z y                                 

Vậy maxP2 10

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Giá trị lớn

z i

A. B.

C. D.

Nhận xét: Lời giải sử dụng

bất đẳng thức

1 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có z 3 i  z 1 2i  4 3i   z 2i 4 3i 7 Đẳng thức xảy 4 , 13 16

5 2

z i k i k

z i

z i

    

   

   



Vậy giá trị lớn z 3 i

Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 4 Gọi M mlà giá trị lớn nhỏ môđun số phức z Giá trị

M m

A. B. 10

C.11 D. 12

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có z  z 3 4i  3 4i   z 4i 3 4i    4 M

Đẳng thức xảy    

4

3 4 , 5

27 36 4

5 k

z i k i k

z i z i

  

    

 

    

 

  



Mặt khác

 4 3  4 z  z  i   i   z i   i    m

Đẳng thức xảy    

4

3 4 , 5

3 4

5 k

z i k i k

z i z i

   

    

 

 

  

 

  



Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức

1 2

z  z  z z

1 2

z  z  z z

Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z2 4 z z 2i Giá trị nhỏ z i

A. B.

C.1 D.

2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có z2 4 z z 2i  z2i z 2i  z z 2i

Chú ý: Với số phức 1,

2

z i z i z z i

    

2 2

2 ,

2

z i z i z i

z z i z a i a

z z i

        

         



 

 

Do

 

2

min 1

z i i i

z

z i a i i a

     

   

       



Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn z1z2i số thực z đạt giá trị nhỏ

A.

5

z  i B 5 z   i

C.

5

z   i D. 5 z  i Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi ; ,z a bi a b  

Ta có z1z2ia1a b 2b  2a b 2i Do z1z2i số thực 2a b     2 b 2a

Khi  

2

2 2 2 5 4

5 5

z  a   a  a   

 

Đẳng thức xảy 5 a b       

4

2 5

min

2

5 a z

b   

  

  

Vậy 5 z  i

Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức T     z i z i

A. maxT 8 B. maxT 4 C. maxT 4 D. maxT 8

Đặt z x yi x y   , , ta có

 2 2

1 2

z    x yi   x y 

x 12 y2 2 x2 y2 2x 1         (*) Lại có

2

T     z i z i  x y1i   x y1i

2 2 1 2 4 2 5

x y y x y x y

        

Kết hợp với (*) ta

   

2 2 2 2

T  x y   x y  x y    x y Đặt T  x y, T  f t  2t 2 2 t với t  1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có '  1 ;  

2

f t f t t

t t 

    

 

Mà f  1 4, f  1 2, f 3 2 Vậy max f t  f  1 4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  

2 1

T  t   t   

Đẳng thức xảy t1

Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z 1 z2 z 1 Khi giá trị M m

A. B.

C.

4 D.

9

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt z a bi a b   ,  t z Khi

   2

2 1 1 1 2 2

   

2 1 2 2 1 1 2 1

z   z a b  abi a bi    a  b  a b a i  2 2 2 2 2 2  2 2

2a a b 2a a 2a 1 a 2a

        

2 2a t

   

2

1 1

z z z t t

        (với 0 t 2, a21) Xét hàm số f t  t t21 với t 0; 2

Trường hợp 1:  0;1   1 2 1 t  f t        t t t t f  

  có f 0  f 1 1 nên    

   

0;1

0;1

5 max

4

min

f t f t

 

 

 



Trường hợp 2:

 1; 2   1 1,   2 1 0,  1; 2 t  f t      t t t t f t     t t

Do hàm số ln đồng biến  1;   

   

     

1;2

1;2

max

min 1

f t f f t f

 

  

 



Vậy    

   

0;2

0;2

max

6

min

M f t

M m

m f t

 



   



 