Sau những lần suy nghĩ ta đã mở rộng “táo bạo” là thay 2 đường phân giác bằng 2 đường thẳng khác cùng với 2 đường thẳng chứa 2 cạnh của tam giác kèm theo một điều kiện về 2 tỷ số bằn[r]
(1)A
B D C
A
M B D
C M
K I
J
M
A
B D
C B
CÂU CHUYỆN TỪ MỘT BÀI TOÁN.
Bạn tốn hình học lớp đơn giản thú vị sau đây:
Bài toán1 Cho tam giác ABC với phân giác AD phân giác ngồi AM góc A Chứng minh:
1
DCMC BC (*)
lời giải
Đẳng thức (1) tương đương với: BC BC
DCMC Theo tính chất đường phân giác ta có: DB MB BC DC MC BC
DC MC DC MC
BC 1 BC
DC MC
BC 1 BC
DC MC
BC BC
DC MC Bài toán chứng minh
2.Khai thác tổng quát toán
( Hình
2) ( Hình
3 )
Lời phân
tích:
(2)A B C M Q D P M M N DB MB
DC MC.Ta Thấy từ B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AC cắt tia đối tia AC I cho BI chắn dường thẳng CA, AM AB thành đoạn ( Hình 2) Hoặc từ B vẽ đường thẳng song song với AM cắt AD AC chắn tia AB AC đạn ( Hình 3).( Điều toán Các bạn dễ dàng suy điều đó)
Như điều kiện AD AM đường phân giác góc A tổng quát thay : // IJ=JB BI AD // IJ=JB BI AD
( hình 2) // IJ BI AM IB
(hình 3.) nêú với giả thiết ta chứng minh được:
DB MB
DC MC Thì lúc tốn trở thành toán tổng quát
Thật hình 2.Vẽ BK // AC cắt AM K Theo Ta lét ta có:
MB BK IA DB MC AC AC DC MB BK IA DB
MC AC AC DC ( Do AI = BK )
DB MB
DC MC Tức ta có đẳng thức (*) Các bạn chứng minh tương tự hình 3.Từ ta đến :
Bài toán Cho tia Ax, Ay, At Az Một đường thẳng d cắt tia M,B,D,C Một đường thẳng qua B song song với AD (hoặc AM) chắn đường thẳng chứa tia lại đoạn thẳng
nhau Chứng minh :
1
DCMC BC
Lời giải tốn trình bày bước phân tích toán trường hợp đặc biệt
Bài tốn Cho hình bình hành ABCD có tâm O.Một đường thẳng qua A cắt BD,CD tia đối tia CB M, N Q Chứng minh :
1 1
AM AN AQ . Hướng dẫn: Từ C vẽ CM //BD suy :4 điểm A , P, N, Q
Thoã mãn điều kiện toán nên:
1
AN AQ AP
1
AN AQAP Do AP = AM
( MO đường trung bình tam giác APC) Từ suy đ.p.c.m
Lời kết: Từ toán với lời giải đơn giản nhờ dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Nếu dừng lại tập cơng việc học dạy tốn chẳng có niềm vui Sau lần suy nghĩ ta mở rộng “táo bạo” thay đường phân giác đường thẳng khác với đường thẳng chứa cạnh tam giác kèm theo điều kiện tỷ số nhau toán ta thu bài toán tổng quát Cơng dụng b tốn cịn nhiều mà ta gặp ứng dụng để giải toán Niềm vui nhân lên gấp bội bạn giải tốn sau Đó dụng ý người viết câu chuyện ngắn này.
Bài tập tự giải:
Bài toán 4 Cho tam giác ABC với G trọng tâm Một đường thẳng qua G cắt AB, AC tia đối tia BC
lần lượt C B A1, ,1 1C B A1, ,1 1 Chứng minh rằng: 1
1 1
GC GB GA 1 1 1
1 1
(3)Bài toán 5 Cho đường trịn đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm T tuỳ ý vẽ cát tuyến TCD TO cắt BC, BD M N Chứng minh OM =ON
Chúc bạn thành công!
(N.T M )
Bài toán 3 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Một đường thẳng qua G cắt AB, AC tia đối tia CB
lần lượt C1C1, B1 A1 Chứng minh rằng: 1
1 1
GA GB GC
Hướng dẫn: AG cắt BC M Qua G , B1 kẻ đường thẳng m , n song song với AB cắt đường thẳng BC lần
lượt Pvà Q.m cắt AC I sau chứng minh GI= GP.4 đường thẳng GP,GM,GQ GA1
thoă điều kiện tốn Sau chứng minh :
1
1 1