Lv ths

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất; các vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tính nguyên và bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên nhiều [r]

(1)

Một phương pháp tiếp cận giải

bài toán quy hoạch ngẫu nhiên

nguyên nhiều giai đoạn

Học viên:

Nguyễn Anh Tuấn

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Trần Xuân Sinh

(2)

Mở đầu

Lý chọn đề tài:

Một phương pháp hiệu giải toán quy hoạch

phương pháp cắt.Trong toán quy hoạch tuyến tính ngun tất định, người có ý tưởng đề xuất lược đồ cắt, Dangtzig, Fulkerson, Johnson Nhưng Gomory người thành công việc xây dựng lát cắt để đảm bảo thuật toán hữu hạn

(3)

Các nhà khoa học tìm cách sử dụng lược đồ cắt xây dựng lát cắt có hiệu việc giải tốn quy hoạch ngẫu nhiên (chẳng hạn: Yongpei Guan, Shabbir Ahmed, Z.L Chen, F Louveaux, G Infanger, D.P Morton )

Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn có nhiều ứng dụng thực tiễn Vì vậy, việc nghiên cứu nhằm tìm thuật tốn giải tốn quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn có ý nghĩa khoa học ý nghĩa thực tiễn rộng lớn

Với lý vậy, lựa chọn đề tài:Một phương pháp

tiếp cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên nhiều giai đoạn"

(4)

Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn bao gồm hai chương:

Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất; vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tính ngun tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

(5)

Chương Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất

1.1.1 Các định nghĩa

Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm:

1.1.1.1 σ- đại số

1.1.1.2 Không gian đo độ đo xác suất

1.1.1.3 Không gian xác suất

1.1.1.4 Đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử(Ω,F,P)là không gian xác suất;G làσ- đại số củaσ

-đại sốF;Blàσ- đại số Borel trênR Khi ánh xạX : Ω−→Rđược

gọi làđại lượng ngẫu nhiênG-đo được, với mọiB ∈ B, ta có

X−1(B) :={ω:X(ω)∈B} ∈ G

(6)

1.1.1.5 Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên

Giả sửX : (Ω,F,P)→(R,B)là đại lượng ngẫu nhiên Khi tích

phân Lebesgue củaX theo độ đoP(nếu tồn tại) gọi làkỳ vọngcủa

X, ký hiệu làEX Vậy

EX =

Z

Ω XdP

1.1.1.6 Phương sai đại lượng ngẫu nhiên

Giả sửX đại lượng ngẫu nhiên Khi sốDX =E(X−EX)2

(7)

1.1.2 Các tính chất

Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất kỳ vọng phương sai thường gặp

1.1.2.1 Tính chất kỳ vọng

Giả sử X,Y, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất(Ω,F,P),a∈R, α∈E Khi tồn tạiEX,EY,Eξ

thì:

a) Tồn E(X +Y)vàE(X+Y) =EX+EY

b) Tồn tạiE(aX)vàE(aX) =aEX

c) Tồn tạiE(αξ)và E(αξ) =αEξ

d) Nếu P(X =a) =1 thìEX =a

e) Nếu ξvàX độc lập thìE(ξX) =Eξ.EX

f) Với ánh xạ tuyến tính T :E−→E0 (E0 không gian Banach

(8)

1.1.2.2 Tính chất phương sai

Giả sửX phần tử ngẫu nhiên,ξlà đại lượng ngẫu nhiên xác định khơng gian xác suất(Ω,F,P), a∈R, α∈E Khi

a)D(aX) =a2DX.

b)D(αξ) =kαk2

Dξ

(9)

1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun

1.2.1 Các khái niệm

Trong mục này, giới thiệu toán quy hoạch nguyên, số khái niệm liên quan

1.2.2 Tính chất tốn

Trong mục này, nêu số tính chất quan trọng tốn quy hoạch tuyến tính tốn quy hoạch tuyến tính ngun

1.2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên

Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun liệu phụ thuộc biến ngẫu nhiên gọi làBài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên

(10)

Cụ thể có loại chính: QHNN giai đoạn, QHNN hai giai đoạn QHNN nhiều giai đoạn

Sau trình bày tốn QHNN hai giai đoạn, chúng tơi trình bày tốn QHNN nhiều giai đoạn

Để giải toán QHNN nhiều giai đoạn, người ta quan sát giai đoạn, tương tự việc xét hai giai đoạn, giả sử giai đoạn hai ta xét toán

(LP1) Q1=min

x1

{c1Tx1+Eω∈Ω[Q(x1, ω)]},

với điều kiện

(

A1x1= b1,

(11)

ở

E[Qt(xt−1)] =

qt

X

i=1

ptiEωti∈Ωt[Qt(xt−1), ωti)],

trong đópti xác suất biến cốwti∈Ωt, i =1,2, ,qt,

[Qt(xt−1), ωti)]được xác định từ toán

(LPt) [Qt(xt−1), ωt)] =min

xt {c T

t xt+Eω∈Ω[Qt+1(xt, ω)]},

(

Atxt=wt−Bt−1xt−1,

(12)

1.3 Phương pháp cắt giải toán QHTT nguyên

1.3.1 Phương pháp cắt hợp cách

Xét tốn quy hoạch ngun tồn phần (1.3) Nội dung phương pháp là:

* Bỏ qua điều kiện nguyên, giải toán quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương án tối ưux(0).

* Nếu xj0 nguyên (j=1,2, ,n) thìx

(0) là phương án tối ưu cần

tìm

* Ngược lại, ta bổ sung vào tốn quy hoạch tuyến tính điều kiện

L(x) =Pn

j=1djxj 6e, (1.4)

trong đóL(x)phải thỏa mãn hai tính chất +x(0) khơng thỏa mãn (1.4),

+ phương án nguyên thỏa mãn (1.4)

(13)

Để minh hoạ cho nhát cắt hợp cách, chúng tơi trình bày nhát cắt Gomory

1.3.2 Phương pháp cắt Gomory

Giả sửx(0)= (xo

1,x

o

2, ,x

o

m,0, ,0)là phương án tối ưu

tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng tồn tạixo

k chưa nguyên Ký hiệu

[xo k]và{x

o

k} phần nguyên phần thập phân củax o k

Khi nhát cắt sau hợp cách

{xo k} −

n

X

j=m+1

{xkj}xj60, (1.3)

trong đóxkj tọa độ thứk vectơAj sở củax(0) (các phần

tử vectơAj bảng đơn hình củax(0)).

(14)

1.4 Phương pháp nhánh cận giải toán QHTT nguyên

Giả sử

Ω ={w1,w2, ,wS}, πs :=P({ws}), ξs :=ξ(ws), s=1,2, ,S

Chúng ta biết quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn toán tối ưu hoá hữu hạn chiều

Choσ-đại sốF họ tập 2ΩcủaΩ Mỗi đại số conFt,t =1, ,T,

tồn họ hữu hạnEt ⊆2Ω là phân hoạch củaΩvà sinh raFt.

Từ Ft ⊆ Ft+1, phần tử Et hợp phần tử

Et+1 Số phần tử trongEt trùng với số phần tử khác số

(ξ1

(15)

Mối quan hệ phần tử Et vàEt+1,t =1, ,T −1,có

thể biểu diễn gọi làcây phân nhánh(scenario tree) Các đỉnh xảy lớpt=1, ,T−1, với đỉnh tương ứng với phần tử củaEt vớit ∈ {1, ,T} Cung tồn đỉnh xếp kề Mỗi đỉnh (phần tử) thuộcEt liên thông với tất đỉnh (phần tử) thuộcEt+1 mà hợp thành vớiEt Nhánh

(the scenario)ξs = (ξτs)τT=1, s=1, ,S, phù hợp với đường cực đại

cây phân nhánh

Theo quan điểm phân nhánh, khơng đốn trước địnhX = (Xs)Ss=1= (X(ws))Ss=1 nói lên thành phần củaXs

vàXs0 phải đạt tới giá trị giống miễn phù hợp với ξs và ξs0 Lúc ta có hệ phương trình tuyến tính sau, với mọi

t=1,2, ,T :

Xts =X s0 t ; ξ

s

τ =ξ

s0

τ,∀s,s

0∈ {

(16)

ý

tập phương ánM thành phần nhỏ dần Trên phần nhỏ

tậpM, xác định cận hàm mục tiêu Từ loại bỏ dần phần khơng có khả chứa nghiệm Như vậy, nhiệm vụ phương pháp nhánh cận thực "phân nhánh", "tính cận" "lựa chọn loại bỏ" cho trình hội tụ nghiệm cần tìm

1.4.1 Phân nhánh

Việc phân nhánh thực cách chia tập phương ánM

thành tập conM1,M2, ,Mk cho

M=

k

[

i=1

(17)

1.4.2 Tính cận

Cho tậpM ⊂Rn và 2M\ ∅là họ tập khác rỗng củaM Với

mỗiA⊂M, hàm sốγ(A) :2M\ ∅ →

Rgọi làcận dướicủa hàmf(x)

trênAnếuγ(A)thoả mãn hai điều kiện: +γ(A)≤minf(x),∀x ∈A,

+γ(A1)≥γ(A2)nếuA1⊂A2⊂M

Từ ta có γ(Mi)≥γ(M),∀i=1,2, ,k.Đồng thời

f(x?) =min{f(x) :x∈M} ≥minγ(Mi) =γ(Ms).

Do nếuf(x?) =γ(Ms)thìx? là phương án tối ưu cần tìm.

1.4.3 Lựa chon loại bỏ + Lựa chọn: Giả sử

M =

k

[

i=1

(18)

Khi đóγ(Ms) =minγ(Mi),i=1,k,nên

γ(Ms)6min{f(x) :∀x∈M}.Ta hy vọngMs chứa phương án tối ưu Vì chọnMs để phân nhánh

+ Loại bỏ:Việc loại bỏ nhằm thu gọn toán, giảm bớt nhớ Tiêu chuẩn để loại bỏ là:

Giả sử bước k, biết phương ánx màf(x)6f(x),với phương ánx biết, lúc ta nóix phương án kỷ lục,f(x)là giá trị kỷ lục

Nếu cóMj màγ(Mj)≥f(x)thìMj bị loại bỏ (nếuMj =∅ thìMj

(19)

Chương Tiếp cận phương pháp nhánh cắt giải

bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Trong chương này, tham khảo kết tác giả Yongpei Guan, Shabbir Ahmed George L Nemhauser công trình [5]

2.1 Bài tốn quy hoạch ngun ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

(20)

2.1.1 Bài toán

Xét toán quy hoạch nguyên hỗn hợp chu kỳT tất định

min

T

X

t=1

(αtxt+βtyt) (2.1)

  

t

P

τ=1

(Gtτxτ+Atτyτ)≥bt, t=1,2, ,T

xt∈Rp+, yt ∈Z+n, t=1,2, ,T

trong (2.1) thìGtτ vàAtτ ma trận,αt, βt,bt vectơ

(21)

Xét mở rộng (2.1) thay đổi ngẫu nhiên Giả sử toán tham số(α, β,G,A,b)thay đổi ngẫu nhiên không phụ thuộc với không gian xác suất hữu hạn Cấu trúc thấy rõ phân nhánhT = (V,E)với chu kỳT mà đỉnhi∈ V thời điểmt khác với kết giai đoạnt Xác suất tương ứng với đỉnhi làpi

Tập điểm đường dẫn từ điểm nghiệm (biểu thị

i=0) tới đỉnh i biểu thị bởiP(i) Việc chọn(xi,yi)ứng với đỉnhi

(22)

Mục đích nhằm giảm đến mức thấp chi phí Từ (2.1) có tốn quy hoạch ngun ngẫu nhiên nhiều giai đoạn sau:

min X

i∈ν

pi(αixi+βiyi) (2.2)

  

P

j∈P(i)

(Gijxj+Aijyj)≥bi i∈ V xi ∈Rp+, yi∈Zn+ i∈ V

(23)

2.1.2 Các khái niệm 2.1.2.1 Tập dẫn tập

Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (2.2) thể tậpXT xem tập làtập cây.Mỗi bất đẳng thức điều kiện để tạo nên tập hợpX ta nóibất đẳng thức có nghĩađối với

(24)

Việc phát triển bất đẳng thức có nghĩa tập câyXT tổ hợp bất đẳng thức có nghĩa nhữngtập dẫnđược biểu diễn

Xi =(xj,yj)j∈P(i):

X

k∈P(j)

(Gjkxk+Ajkyk)≥bj,xj ∈Rp+,yj∈Z n

+,j ∈ P(i)

với đỉnhi∈ V Tập dẫnXi gồm ràng buộc củaXT ứng với đỉnh từ đếni đường dẫnP(i), lũy biến

của tập câyXT Hơn nữa, tập dẫnXi điều kiện cần để giải toán nhiều giai đoạn tất định (2.1) với giai đoạnt(i), đót(i)là số giai đoạn đỉnhi phân nhánhT Như vậy, biết bất đẳng thức có nghĩa mơ hình tất định (2.1) có ý nghĩa tập dẫnXi với tập câyXT Những bất đẳng thức có nghĩa

tương ứng với tập dẫn khác gọi nhữngbất đẳng thức dẫn

(25)

Trong cơng trình Sequential pairing of mixed integer inequalities, công bố năm 2006, tác giả Y Guan, S Ahmed G L Nemhauser chứng minh định lý sau

2.1.2.2 Định lý.Giả sử bất đẳng thức g1x+a1y ≥b1

g2x+a2y ≥b2 với b16b2 có nghĩa với tập X ⊂Rp+×Z n +,thì bất đẳng thức đơi

ϕx+φy ≥b2,

trong đóϕ=max{g1,g2} vàφ=mina1+ (b2−b1), max{a1,a2} ,

có nghĩa X

(26)

2.2 Cây phân nhánh

Xét tập bất đẳng thức có nghĩa, ghép đơi thực nhiều lần để có bất đẳng thức có nghĩa Một xếp tự nhiên ghép đôi theo dãy

Chẳng hạn cho bất đẳng thức có nghĩa K

gix+aiy ≥ bi, i =1,2, ,K

với tậpX =Rp+×Zn+ chob16b26 .bK thìbất đẳng thức đơi

theo dãythu ghép đôi bất đẳng thức vớii=1, i=2 .và có kết bất đẳng thức đơi vớii =1,2, ,K Khi nhận họ bất đẳng thức có nghĩa tập

(27)

Giả sử hệ số bất đẳng thức dẫn không âm, hệ sốaj

có thể giảm max{0,aj}.Do vậy, ta cần bổ sung ký hiệu liên quan với phân nhánh

Mỗi đỉnhi phân nhánhT trừ nghiệm tạii=0 có

gốc nhấta(i)và đỉnhi nghiệm nhỏ

T(i) = V(i),E(i)

chứa nghiệm đỉnhi phân nhánh T vậyT =T(0)vàV =V(0)

Mỗi giai đoạn ứng với đỉnhi biểu thị t(i),trong tập điểm

(28)

2.2.1 Bất đẳng thức phân

2.2.1.1 Định lý.Cho tập điểm R ={i1, ,iK} ⊆ V Giả sử bất

đẳng thức

X

j∈P(i)

(gijxj+aijyj)≥bi (2.3)

là có nghĩa với tập dẫn Xi với i ∈R gij∈Rp+, aij∈Rn

+, bi1 6bi26 .6biK bất đẳng thức phân

X

j∈VR

ϕj(R)xj+φj(R)yj ≥biK (2.4)

là có nghĩa với tập XT, đóϕj(R) =maxi∈R{gij}và

φj(R) =minnmax

i∈R{aij},

P

ik∈R(j)(bik−bik−1)

o

(29)

2.2.2 Những bất đẳng thức mạnh

Nếu với giá trị j làm cho hệ số bất đẳng thức dẫn thỏa mãngij =gj vàaij=aj,với mọii bất đẳng thức phân mạnh

2.2.2.1 Định lý.Giả sử bất đẳng thức

X

j∈P(i)

(gjxj+ajyj)≥ bi (2.10)

với gj ∈Rp+, aj ∈Rn+có nghĩa với tập dẫn Xi với i ∈ V

(khơng tính tổng qt chọn bj 6bi, ∀j ∈ P(i)).Gọi R={i1, ,iK} ⊆ V cho bi1 6bi2 .6biK.Đặt i0

k =argmin{t(j) :j∈ P(ik), bj >bik−1} với ik ∈R, đặt

ΩR =∪ik∈RP(i

0

(30)

2.3 Bài toán" túi" ngẫu nhiên

2.3.1 Bài toán

Xét tập phương án "chiếc túi" tất định

XDK =n(x,y)∈R+× {0,1}T : x+ t

X

T=1

aTyT ≥bt, t=1, ,T

o

,

trong đóat,bt ∈R+

Giả sử tham sốat vàbt chọn ngẫu nhiên từ phân

(31)

Khi đótập phương án"chiếc túi"ngẫu nhiênlà

XSDK ={(x,y)∈R+× {0,1}|V| : x+

X

j∈P(i)

ajyj ≥bi, i∈ V} (2.13)

trong đóai, bi ∈R+với mọii∈ V Khơng tính tổng qt, giả sử bj 6bi nếuj ∈ P(i)

Tập phương án túi ngẫu nhiên XSDK trường hợp đặc biệt đơn giản tập câyXT, gồm biến nhị phân không phụ thuộc ứng với đỉnh phân nhánh liên thông với biếnx

(32)

Xét ràng buộc điểm ban đầu bất đẳng thức dẫn sở, áp dụng Định lý (2.2.1.1.) ta thu bất đẳng thức phân có nghĩa

x+X

j∈VR

φj(R)yj ≥ bik (2.14)

trong đóR={i1 ,ik} ⊆ V vàφj(R) =min{aj,Pik∈R(j)(bik−bik−1}

vớibi0=0

Hơn nữa, tập XSDK thỏa mãn điều kiện Định lý (2.2.2.1.)

nên bất đẳng thức phân (2.14) mạnh cách thayR

(33)

Bây ta điều kiện đủ để bất đẳng thức phân (2.14) xác định Xét bất đẳng thức ứng với tậpR⊆ V choΩR =R Khi

đó tập conΩ ={bi1, ,biK}, bất đẳng thức phân tương ứng

x+X

j∈VΩ

φj(Ω)yj ≥ biK (2.15)

vớiφj(Ω) =min{aj,P

(34)

2.3.2 Tính chất

2.3.2.1 Định lý.Bất đẳng thức phân (2.15) xác định tập XSDK nếu:

(1) aj≥max{bi, i∈Ω(j)},với j ∈ VΩ (2) bj+P

k∈P(r)\P(j)ak ≥br,với đôi j∈Ωvà r ∈ V(j) (3) Với j∈ V\VΩ,tồn đỉnh s(j)∈ P(j)∩ VΩ cho as(j)+P

k∈P(r)\VΩak ≥ br, với r∈ P(j)\{VΩ∪j}và

as(j)+P

k∈P(r)\{VΩ∪j}ak ≥ br,với r∈ V(j)

2.3.2.2 Định lý.Nếu aj≥max{bk, k ∈ V(j)} với j∈ V họ bất đẳng thức (2.15) ứng với mọiΩ⊆ V mà06x6bV 06yj 61 với j∈ V mô tả bao lồi tập XSDK

Định lý (2.3.2.2.) tổng quát hóa kết bao lồi trường hợp tất định nghĩa là|Ω|=1 trường hợp có hai giai đoạn tức

(35)

2.3.2.3 Định lý Nếu aj ≥max{bk, k ∈ V(j)}với j∈ V tồn thuật toán phân chia đa thức bất đẳng thức phân cây(2.15)

Khi điều kiệnaj ≥max{bk, k ∈ V(j)}không thỏa, ta sử dụng thuật tốn tìm phép phân chia bất đẳng thức phân giả sửaj ≥max{bk, k ∈ V(j)}với mọij từ cố định hệ số biếnyj để có min{aj, φj(R)}

2.3.2.4 Định lý Một bất đẳng thức có nghĩa sinh dãy tùy ý ghép đôi bất đẳng thức gốc tập tập XSDK mạnh tổ hợp lồi bất đẳng thức phân cây(2.15)với

(36)

2.4 Về việc phân nhánh cắt

2.4.1 Một mơ hình tốn học tốn quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

2.4.1.1 Bài toán

Bài tốn ước lượng ngẫu nhiên đơn hình mơ hình tốn học tốn quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn định nghĩa phân nhánhT = (V,E)là

min X

i∈V

(37)

    

sa(i)+xi =di+si, i∈ V

06xi6aiyi, i∈ V

sa(0)≥0; si ≥0; yi∈ {0,1}, i∈ V,

(38)

Loại bỏ dần biếnsi vớii∈ V dùngsđể kiểm chứng lại biến ban đầusa(0), mảnh cắt tốn ước lượng ngẫu nhiên XSLP =n(s,x,y)∈R+|V|+1×{0,1}|V|:s+

X

j∈P(i)

xj ≥d0i,xi6aiyi,i ∈ V

o

(2.26) đód0i =Pj∈P(i)dj

Thayxi bởiaiyi ta có mở rộng củaXSLP

XRSLP =n(s,y)∈R+× {0,1}|V|: s+

X

j∈P(i)

ajyj ≥bi, i∈ Vo, (2.27)

(39)

Ta nhận thấy rằngXRSLP tập túi ngẫu nhiênXSDK, bất đẳng thức có nghĩa mở rộng mục (2.3.) có nghĩa với tậpXSLP Bổ đề sau cho ta kết kể biếnxj bất đẳng thức có nghĩa với tậpXRSLP

2.4.1.2 Bổ đề Nếu bất đẳng thức s+P

j∈VRπjyj≥π0có nghĩa với tập XSLP với R⊆ V SR ⊆ VR bất đẳng thức

s+X

j∈SR

xj+X

j∈SR

πjyj ≥π0, (2.28)

(40)

2.4.1.3 Định lý.Cho tập R={i1, ,iK} ⊆ V thỏa mãn

bi1 .6biK b1=maxj∈P(j){d0i}và tập SR ⊆ VR Khi đó, bất đẳng thức

s+X

j∈SR

xj+X

j∈SR

φj(R)yj ≥biK (2.29)

có nghĩa với tập XSLP SR =VR φj(R) =min{aj,

X

ik∈R(j)

(bik−bik−1)}

(41)

2.4.2 Một trường hợp đặc biệt

2.4.2.1 Đặt vấn đề Giả sửaj ≥max{bk, k ∈ V(j)} với mọij∈ V

Xét tập đỉnhQ={i1,i2, ,iK}, đặtQ(j) =Q ∩ V(j)với

mọij ∈ Vs,thỏa mãn (i)d0i1 6d0i2 .6d0ik,

(ii)Nếuj,im,in∈ Q(j)thì{im+1, im+2, in−1} ∈ Q(j)

Với i∈ VQ, ta định nghĩa

e

DQ(i)=

(

0, nếu{j : j ∈ Q\Q(i)sao chod0j 6DeQ(i)}=∅

max{d0j : j ∈ Q\Q(i)sao chod0j 6DeQ(i)}

DQ(i)=max{d0j : j ∈ Q(i)} MQ(i)=max{dij: j∈ Q(i)};

(42)

Thế choSQ⊆ VQvàSQ=VQ\SQ, bất đẳng thức

s+ X

j∈SQ

xj+ X

j∈SQ

δQ(j)yj ≥MQ(0) (2.30)

có nghĩa với tậpXSLP

(43)

2.4.3 Phép chia cắt

Nhiệm vụ quan trọng khác phương pháp kỹ thuật chia cắt Mục trình bày kỹ thuật Trước tiên, xét trường hợp đặc biệtaj≥max{bk, k ∈ V(j)}

Phép chia cắt bất đẳng thức phân (2.29) tương đương với việc tìm tập đỉnhR chia tập VR thành hai tậpSR vàSR Điều khó

thực nên chúng tơi tìm kết gần

Nếu đặt SR =∅thì bất đẳng thức phân ước lượng (2.29)

là bất đẳng thức túi (2.15), theo định lý (2.3.3.3) có lược đồ ngắn để phân chia đa thức

Trong trường hợp tổng qt, chúng tơi sử dụng lược đồ để tìm bất đẳng thức phân với giả thiết

aj ≥max{bk, k ∈ V(j)}

(44)

Mở đầu Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị

Chương Tiếp cận phương pháp nhánh cắt giải toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Kết luận

Kết luận

I Luận văn giải số vấn đề sau:

1 Trình bày đầy đủ, khái niệm kiến thức sở tốn

quy hoạch tuyến tính ngun, tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên, số khái niệm sở xác suất số phương pháp cắt giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun tất định

2 Trình bày khái niệm việc nghiên cứu toán quy

hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

3 Phát biểu chứng minh tính chất tốn. Trình bày tốn quy hoạch ngun điển hình tốn "chiếc

túi" ngẫu nhiên Phát biểu chứng minh số định lý quan trọng tốn xét

5 Phân tích kỹ thuật nhánh cắt nhằm giải lớp tốn quy

hoạch tuyến tính ngun nhiều giai đoạn, dựa phân nhánh cắt phân nhánh

vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm:

Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh lập trình giải cho hai tốn đề cập luận văn

(45)

Kết luận

II Hướng mở luận văn:

Do thời gian trình độ có hạn nên chúng tơi nhận thấy cịn số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm:

Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh lập trình giải cho hai tốn đề cập luận văn

(46)

Tác giả xin chân thành cảm ơn

các nhà khoa học,