+ Baøi 2: ABCD laø töù giaùc coù caùc goùc B, D vuoâng. Töø moät ñieåm P baát kì thuoäc caïnh BC keå ñöôøng thaúng song song vôùi AD caét AB vaø AC laàn löôït taïi M; N... a) Chöùng minh[r]
(1)GIỎI
Chun đề: Định lí Ta – lét
Tam giác đồng dạng ứng dụng
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN
I/ Định lí Thalès: Δ ABC coù: M AB, N AC: MN// BC ⇔AM
MB=
AN NC
Hệ quả: Δ ABC có: M đt AB, N đt AC: MN// BC ⇒AM
AB =
AN
AC=
MN BC
Mở rộng: Với d//d’ A, B, C d; A’, B’ ,C’ d’ Khi đó: AA’, BB’, CC’ đồng qui ⇔AB
A ' B '= BC
B ' C ' Löu yù:
Chú ý thứ tự A.B,C d A’, B’, C’ d’
Tính chất sử dụng để chứng minh đường thẳng đồng qui ngược lại xác định
các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chùm đường thẳng đồng qui.
II/ Tính chất đường phân giác: Δ ABC có: AD, AE phân giác đỉnh A
(D, E BC) thì:
¿
DB
DC=
AB AC EB
EC=
AB
AC(AB≠AC)
¿{
¿
Hệ quả:
* Với: DBDC=EB
EC=
n
m(m>0;n>0)
* Ta nói: D E điểm chia điểm chia đoạn thẳng BC theo tỉ số mn
+ Neáu n>m>0⇒ n
m>1⇒ D,E nằm bên phải trung điểm O BC A
C
B D
(2)GIOÛI
+ Neáu m>n>0⇒ n
m<1⇒ D,E nằm bên trái trung điểm O BC + Nếu n=m>0⇒ n
m=1⇒ D E trùng với trung điểm O BC (Tính chất sử dụng xác định điểm chia điểm tỉ lệ đoạn thẳng)
III/ Tam giác đồng dạng:
* Dấu hiệu:
* ABC A’B’C’
⇐
A=A';B=B '
¿
AB A ' B '=
AC
A ' C '; A=A '
¿
AB A ' B '=
BC B ' C '=
CA C ' A '
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* Với A=A '=1v thì:* ABC A’B’C’
⇐
B=B '
¿
AB A ' B '=
BC B ' C '
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* ABC có: M đt AB, N đt AC:MN// BC ⇒ ABC AMN
* Tính chất:
*ABC = A’B’C’ ⇒ ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng
* ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng k ⇒ A’B’C’ ABC theo tỉ số đồng dạng 1k
* ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng m A’B’C’ A’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng n ⇒
ABC A’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng m.n
+ AH, AM, AD, P, S đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích ABC A’H’, A’M’, A’D’, P’, S’ đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích ABC Khi đó:
A ABC A’B’C’theo tỉ số k
⇔
A=A';B=B';C=C '
¿
AB A ' B '=
BC B ' C '=
CA C ' A '=k
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
A’
B ’
C C
(3)GIOÛI
*ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng k
⇒
AH A ' H '=
AM A ' M '=
AD A ' D '=
P P '=k S
S '=k
2
¿{
IV/ Hệ thức lượng tam giác vuông:
c
b
a b' c'
A
B H C
* Tỉ số lượng giác góc nhọn:
+
A=1v(AH⊥BC)⇒ sinB=cosC=AC
BC ;cosB=sinC= AB BC
¿
tgB=cot gC=AC
AB;tgC=cot gC=
AB AC
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
+
00
<α<900⇒
sin2α+cos2α=1;tgα cotgα=1 1+tg2α
=
cos2α ;1+cotg
2α
=
sin2α
¿{
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
* Dạng: Chia đoạn thẳng AB tỉ lệ theo tỉ số cho trước mn
+ Phương pháp: * Sử dụng định lý Thalès
- Kẻ tia Ax dựng Ax m đoạn thẳng với độ dài đơn vị đo tuỳ ý, ta đoạn thẳng AM có độ dài m
- Kẻ đường thẳng MB, từ mút đoạn thẳng có độ dài m đoạn Ax ta kẻ đường thẳng song song với MB Khi ta có m đoạn thẳng AB
* Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác
- Dựng AB tam giác ABC có CACB= n
m (CA + CB > AB)
- Dựng phân giác ngồi góc ACB cắt AB D, E Khi D; E điểm chia
* Dạng : Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng.
+ Phương pháp:
- Từ đẳng thức sử dụng tính chất tỉ lệ thức đưa đẳng thức hai tỉ số đoạn thẳng A=1v(AH⊥BC)⇔
AB=BH BC;AC2=CH BC
¿
AH2=BH CH
¿
AB AC=AH BC
¿
BC2=AB2+AC
¿
1
AH2=
1
AB2+
1
AC2
(4)GIOÛI
- Chứng minh đẳng thức tỉ số vừa tìm bằng: định lí Thalès, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác, hệ thức lượng tam giác vng, …
* Ngồi dạng tốn bản, ta sử dụng kiến thức vào số dạng loại tập chứng minh hình học khác như: chứng minh song song, đồng qui, thẳng hàng, …
CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
+ Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M kà điểm cạnh AD cho MDMA=2
3 Qua M kẻ đường thẳng song song với đáy cắt BC N
a) Tính MN theo AB CD?
b) Khái qt hố tốn với MDMA= n
m(m>0;n>0) c) Đặc biết hoá toán M trung điểm AD
HD: - Kẻ đường chéo BD sử dụng hệ Thalès - p dụng định lí đường trung bình hình thang
+ Bài 2: ABCD tứ giác có góc B, D vng Từ M AC kẻ MN BC; MP AD (N BC; P AD)
a) Chứng minh: MNAB +MP
CD=1
b) Tương tự hoá toán với ABCD tứ giác bất kì?
HD: - Sử dụng hệ Thalès
+ Bài 3: Cho tam giác ABC với trung tuyến AD Từ điểm P thuộc cạnh BC kể đường thẳng song song với AD cắt AB AC M; N
a) Chứng minh rằng: Tổng PM + PN không đổi P di chuyển cạnh BC
b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh rằng: ADPI hình bình hành, từ suy quỹ tích điểm I
HD: - Sử dụng hệ Thalès chứng minh: PM + PN = 2AD - Chứng minh: PI//=AD
+ Bài 4: Cho tam giác ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC D; phân giác góc ADB cắt cạnh AB F; phân giác góc ADC cắt cạnh AC E Chứng minh: AF.BD.CE = BF.CD.AE
HD: - Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác chứng minh: AF BD CEBF CD AE=1
+ Bài 5: Cho tứ giác ABCD Kẻ hai đường thẳng song song với hai đường chéo AC cắt cạnh BA, BC, DA, DC G, H, E, F Chứng minh rằng: GE, HF, BD song song, đồng qui
HD: - Nếu G, H, E, F trung điểm cạnh áp dụng tính chất đường trung bình syu GE, HF, BD song song
- Nếu G, H, E, F trung điểm cạnh áp dụng định lí Thalès mở rộng suy GE, HF, BD song song
+ Bài 5: Cho tam giác ABC (Không tam giác đều) Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng:
(5)GIOÛI
c) H, G, O thẳng hàng GOGH=1
2
HD: - Câu a sử dụng tính chất : Hai góc có cạnh tương ứng song bù nhau.
- Câu b sử dụng tính chất trọng tâm kết câu a chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp c g c
+ Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD; CD>AB) Kẻ MN//AB (M AD, N BC) MN chia hình thang thành hai phần có diện tích Chứng minh hệ thức: AB2+CD2=2 MN2
HD: - Aùp dụng tỉ số diện tích tam giác đồng dạng
+ Bài 7: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) M trung điểm cạnh BC Một điểm D thay đổi cạnh AB Lấy điểm E cạnh AC cho: CE=MB
2
BD Chứng minh rằng: a) DBM MCE DME
b) DM phân giác góc BDE; EM phân giác góc CED c) Khoảng cách từ M đến ED không đổi D thay đổi AB
HD: - Từ CE=MB
2
BD ⇒
CE
MB=
MB
BD ⇒ DBM MCE; DBM DME (c.g.c) - Aùp dụng tính chất: Mọi điểm thuộc tia phân giác cách hai cạnh góc.
+ Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy, cắt BC I, cắt AD J Chứng minh rằng:
a) OI1 =
AB+
1 CD b) IJ2=
AB+
1
CD (IJ gọi đoạn thẳng trung bình điều hoà AB CD)
+ Bài 9: Cho tam giác ABC Vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB D AC E Qua C kẻ Cx//AB cắt DE G Gọi H giao điểm AC BG Kẻ HI//AB (I BC) Chứng minh rằng:
a) DA.EG = DB DE b) HC2 = HE.HA
c) IH1 =
AB +
1 CG
+ Bài 10: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm cạnh AB Tia DI tia CB cắt K Tia Dx DK cắt đường thẳng BC L
a) Chứng minh rằng: DIL cân b) Chứng minh:
DI2+
1
DK2 không đổi I di động đoạn thẳng AB
c) Gọi J điểm cạnh BC Chứng minh rằng: DI=AJ⇔DI⊥AJ
HD: - Câu b sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông
+ Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A Một đường thẳng cắt hai cạnh AB AC theo thứ tự D E
a) Chứng minh: CD2−CB2=ED2−EB2
b) Tìm tập hợp điểm M cho SΔABC=SΔBMC .
HD: - Sử dụng định lí Pi – ta – go
(6)GIOÛI
a) Chứng minh: CEBF=AC
2
AB2
b) Gọi D điểm cạnh huyền BC, M; N hình chiếu D lên canh AB, AC Chứng minh: DB.DC = MA.MB +NA.NC
HD: - Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông tam giác đồng dạng
+ Bài 13: M điểm nằm tam giác ABC Các tia AM; BM; CM cắt cạnh BC; CA; AB A1; B1; C1 Chứng minh rằng:
a) AMA
1M
+BM B1M+
CM C1M≥6 b) AMA
1M
.BM
B1M CM
C1M≥8
Tìm điều kiện M để dấu “=” xảy ra?
HD: - Sử dụng tính chất diện tích tam giác tam giác đồng dạng chứng minh được:
AM
A1M
=SΔMCA
SΔMBC
+SΔMAb
SΔMBC
+ Bài 14: Trên cạnh AB; BC, CA tam giác ABC, lấy điểm M; N; P cho: MA
MB =
NB
NC=
PC
PA=k a) Chứng minh: SSΔAMP
ΔABA
= k (k+1)2 b) Tính SΔMNP theo k SΔABC
c) Tìm k để SΔMNP
SΔABA
=
16
HD: - Keû BB1⊥AC,MM1⊥AC ⇒ SΔAMP
SΔABA
=AP
AC
AM
AB ; tương tự chứng minh được:
SΔAMP=SΔBMN=SΔCNP