CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI. PHẦN CHUYÊN ĐỀ GỒM NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ, TỪ QUEN ĐẾN LẠ. TẤT CẢ ĐỀU ĐƯỢC GIẢI CHI TIẾT VÀ BIÊN SOẠN BẰNG LATEX ĐẸP MẮT. LÀ MỘT TÀI LIỆU BỔ ÍCH CHO CÁC EM ÔN TẬP TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI, THI CHUYÊN. MỘT TÀI LIỆU ĐÁNG THAM KHẢO CHO CÁC THẦY CÔ GIÁO BỘ MÔN MUỐN NÂNG CAO CHUYÊN MÔN

vd CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ví dụ Cho CH CK = · CB CE c (1) BH BK = · Hướng BC BD dẫn Từ H kẻ HK ⊥ BC CH CK CH.CE = CK.BC +CEB BK.BC(g.g) ⇒ = · Khi +đóBH.BD CKH CB CE = BC(BK + KC) = BC Suy ra, CH.CE = CK.CB (1) BH BK Tương tự, ta có BKH BDC (g.g) ⇒ = · BC BD Do đó, BH.BD = BK.BC (2) Cộng (1) (2) theo vế ta CH.CE + BH.BD = CK.BC + BK.BC A D E H B = BC(BK + KC) = BC K C Ví dụ Cho BHC có BHC góc tù Vẽ BE vng góc với CH E CD vng góc với BH D Chứng minh BH.BD + CH.CE = BC CEB (g.g) = BC.CG (1) BH BG DC (g.g) ⇒ = · BC BD Hướng dẫn (2) S Kẻ HG ⊥ BC ⇒ CGH CEB (g.g) BH.BD + CH.CE CH = BC.CG CG + BC.BG Suy = ⇒ CH.CE2 = BC.CG (1) CB = BC(CG CE + GB) = BC BH BG Tương tự, ta có BGH BDC (g.g) ⇒ = · BC BD Suy BH.BD = BC.BG (2) Cộng (1) (2) theo vế ta BH.BD + CH.CE = BC.CG + BC.BG B G S c (2) S BDC (g.g) ⇒ ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Chứng minh BH.BD + CH.CE = BC S )⇒ 1/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS E C H = BC(CG + GB) = BC D Ví dụ DE tam giác Cho ABC có A = 120◦ , AD đường phân giác Chứng minh DE CE = AB CA AD AC − AE AE AD Hướng ⇒ = dẫn =1− =1− AB AC AC AC AD AD ⇒ + =1 AB AC 1 ⇒ + = · AB AC AD ⇒ 1 + = · AB AC AD 2/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS C D A E C Ví dụ Cho A , B , C nằm cạnh BC, AC, AB AM AB AC M Chứng minh = + · AM CB BC ABC, biết AA , BB , CC đồng quy Hướng dẫn E D A C B M B C A Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB D cắt CC E AE AM = · Xét AM E, có AE //A C ⇒ AM AC AM AD Xét AM D, có AD//A B ⇒ = · AM AB AM AE AD AD + AE DE Từ (1) (2) ⇒ = = = = · AM AC AB AC +AB BC AB AD Xét AB D, có AD//BC ⇒ = · BC BC AC AE Xét AC E, có AE //BC ⇒ = · CB BC AB AC AD AE DE Từ (3) (4) ⇒ + = + = · B C BC BC BC BC AM DE AB AC Từ (∗) (∗∗) ⇒ = = + · AM BC B C BC (1) (2) (∗) (3) (4) (∗∗) Ví dụ Cho ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác Các đường thẳng AM , BM , CM lần AM BM CM BC, AC, AB A , B , C Chứng minh(1)rằng + + = AA BB CC H //M K S M BC M MK M K.BC = = lượt cắt = cạnh · A AH AH.BC S ABC AM · AA C B Kẻ DE //AB (E ∈ AC) ⇒ ADE tam giác Xét ABC, có DE //AB DE CE ⇒ = AB CA AC − AE AE AD AD = =1− =1− ⇒ AB AC AC AC AD AD ⇒ + =1 AB AC 1 ⇒ + = · AB AC AD · S M AC S CM =1− S ABC CC S CM + = CC =1− (2) Hướng dẫn M AB ABC · 3/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS Từ A, M vẽ AH, M K ⊥ BC ⇒ AH //M K AM MK Xét A AH, có AH // M K ⇒ = = AA AH M K.BC S M BC = · (1) AH.BC S ABC AM AA − AM AM Ta có = · (2) =1− AA AA AA SM BC AM =1− · Từ (1) (2) ⇒ AA SABC BM CM S M AC Chứng minh tương tự, ta có = 1− = BB S ABC CC S M AB · 1− S ABC AM BM CM Cộng theo vế ta + + = AA BB CC A C B M B H K C A Ví dụ ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác Đường thẳng qua M trọng tâm G MA MB MC tam giác cắt BC, CA, AB A , B , C Chứng minh + + = GA GB GC Cho Hướng dẫn A C1 C B1 G M B I D A1 B C A Gọi AM cắt BC A1 Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC D, với I trung điểm BC AM MD Xét A GI ta có M D//GI ⇒ = · (1) AG GI A1 M MD MD Xét A1 AI ta có M D//AI ⇒ = = (doAI = 3GI) (2) A1 A AI 3GI AM 3A1 M Từ (1) (2) ta suy = · AG A1 A Chứng minh tương tự ta MB 3B1 M M C 3C1 M A1 M B1 M C1 M = ; = ⇒VT =3 + + GB B1 B GC C1 C A1 A B1 B C1 C A1 M B1 M C1 M Mà + + = nên V T = (đpcm) A1 A B1 B C1 C Ví dụ Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) AEF đồng dạng với ABC b) H giao đường phân giác DEF 4/30 BH.BE AB c) AE AF + CH.CF = BC AE = ⇒ = ⇒ AEF ABC (c.g.c) AF AC AB AC S g) ⇒ Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS S S S a) ta Hướng CED CBA (c.g.c) BF D BCA (c.g.c) dẫn EF = ABC = CED + CED (= 90◦ ) nên BED = BEF , HE phân giác DEF a)D, Ta CF C (g.g) ⇒ phân giác EF HD có phânAEB giác EDF A AB AE AE = ⇒ = AF AC AB S AF ⇒ AEF ABC (c.g.c) AC b) Chứng minh tương tự câu a) ta CED CBA F BCA (c.g.c) (c.g.c) BF D Do AEF ABC ⇒ AEF = ABC = CED Mà BEF +AEF = BED+CED (= 90◦ ) nên BED = BEF , B HE phân giác DEF Chứng minh tương tự F H phân giác EF D, HD phân giác EDF BH BD b) Vì BHD BCE (g.g) ⇒ = ⇒ BH.BE = BD.BC BC BE CH CD CF B (g.g) ⇒ = ⇒ CH.CF = CD.CB Vì CDH CB CF Cộng (1) (2) theo vế ta đpcm S E S S H S C (1) S D (2) Ví dụ Cho ABE ADC (g.g) Suy AB AE BE = = ⇒ AB.AC = AD.AE DC AD AC S = ACB ⇒ ABC có AD đường phân giác tam giác Chứng minh AD2 = AB.AC − BD.DC (1) BD DE Hướng dẫn = ⇒ BD.DC = AD.DE AD DC (2) A S S Trên AD lấy điểm E cho AEB = ACB ⇒ ABE ADC AB.AC − BD.DC = AD(AE − DE) = AD2 (g.g) Suy BE AB AE = = ⇒ AB.AC = AD.AE (1) DC AD AC BD DE Lại có BDE ADC (g.g) ⇒ = ⇒ BD.DC = AD DC AD.DE (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta AB.AC − BD.DC = AD(AE − DE) = AD2 D B C E Ví dụ Cho tứ giác ABCD ABC = ADC, ABC + BCD < 180◦ Gọi E giao điểm AB CD Chứng minh AC = CD.CE − AB.AE 5/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS Hướng dẫn B N A E D C S S Trên nửa mặt phẳng bờ BE, không chứa điểm C vẽ tia Ex cho BEx = ACB Gọi N giao điểm tia Ex AC, suy EN C = EBC = ADC Ta có: AB AC ABC AN E (g.g) ⇒ = ⇒ AB.AE = AC.AN (1) AN AE CA CD Tương tự CAD = ⇒ CD.CE = CA.CN (2) CEN (g.g) ⇒ CN CE Lấy (2) trừ (1) theo vế ta đpcm Ví dụ 10 hình bình hành ABCD đường chéo lớn AC Từ C kẻ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC Cho D > 90◦ ⇒ H ∈ AC AF C (g.g) = AC.AH (1) AB Hướng dẫn = AK ⇒ AB.AE = AC.AK AKB AEC (g.g) ⇒ AC AE uyền - góc nhọn) S Vì AC đường chéo lớn nên D > 90◦ ⇒ H ∈ AC AF C (g.g) Kẻ DH ⊥ AC ⇒ AHD AD.AF + AB.AEAD = AC(AH + AK) = AC.AC = AC AH Suy = ⇒ AD.AF = AC.AH (1) AC AF Tương tự kẻ BK ⊥ AC, suy AKB AEC (g.g) AK AB = ⇒ AB.AE = AC.AK (2) ⇒ AC AE Vì ABK = CDH (cạnh huyền - góc nhọn) Suy AK = HC Cộng (1) (2) theo vế ta AD.AF + AB.AE = AC(AH + AK) = AC.AC = AC B E H S K D C F Ví dụ 11 Cho ABC điểm O thuộc miền tam giác đường thẳng qua O song song với AB cắt BC D cắt AC G, đường thẳng qua O song song BC cắt AB K AC F , đường thẳng qua O song song AC cắt AB H BC E KH DE GF a) Chứng minh + + = AB BC AC DG KF EH b) Chứng minh + + = KO AB BC AC = ; KH AB BC GF OF C (g.g) ⇒ = · dẫn AC Hướng BC GF KO DE OF = + + = AC BC BC BC EH BE = · Khi đó: AC BC BC (g.g) ⇒ A S c (2) 6/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS A a) Ta có ABC (g.g) ⇒ G H S S KH KO = ; AB BC GF OF GOF ABC (g.g) ⇒ = · AC BC KH DE GF KO DE OF Suy + + = + + = AB BC AC BC BC BC DG DC EH BE b) Ta có: = = · Khi đó: AB BC AC BC HKO O K B D F E C EH DC KF BE DG KF + + = + + AB BC AC BC BC BC DE + EC + BD + EC + DB + DE = BC 2BC = = BC Ví dụ 12 Cho ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD N Chứng minh AC NC − = N D BC AD Hướng AC = · DB BC DE //BM ⇒ dẫn Vẽ DE song song với BM với E ∈(1) AC Trong AD AE = · DB EM AC Vì AE ABC = · BC ME − AC BC QDE có NC MC N M //DE ⇒ = · ME (2)N D có DC tia phân giác nên (**) AD AC = · MC AE ME DB BC = − = = ME M E ABM ME Trong có AD AE DE //BM ⇒ = · DB EM Từ (1) (2) ta có AE AC = · BC ME Lấy (*) - (**), ta có NC AC MC AE ME − = − = = N D BC ME ME ME (*) A (1) E M D (2) N (**) B C Ví dụ 13 nên · Cho AB DB = · DC AC ABC có đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh Hướng dẫn DB EC F A · · = DC EA F B DB EC F A · · = DC EA F B 7/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS DB AB ABC có AD tia phân giác nên = · DC AC EC BC F A AC Tương tự: = , = · EA AB F B BC Nhân theo vế ta DB EC F A · · = DC EA F B A Vì E F B C D Ví dụ 14 Cho hình bình hành ABCD đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC E, K, G Chứng minh a) AE = EK.EG 1 b) = + · AE AK AG c) Khi a thay đổi tích BK.DG có giá trị khơng đổi AM //DG ⇒ Hướng dẫn AE EB = · EG ED EB AD//BK ⇒ ABE có ED a) = (1) EK EA AM //DG ⇒ AE EB = · EG ED A (1) D (2) E G ADE có EB EK AD//BK ⇒ = (2) ED EA B C Từ (1) (2) ta có EK AE = ⇒ AE = EK.EG EG EA b) Ta có 1 AE AE = + ⇒ + = AE AK AG AK AG ADE có AE ED AE ED AD//BC ⇒ = ⇒ = ⇒ EK EB AE + EK ED + EB Tương tự, AEB có AE BE AE BE AB //DG ⇒ = ⇒ = ⇒ EG ED AE + EG BE + ED Khi AE AE ED BE + = + = AK AG BD BD a K AE ED = · AK DB (3) AE BE = · AG BD (4) BK AB KC.AB KC CG AD.CG = ⇒ BK = = ⇒ DG = Nhân theo vế ta KC CG CG AD DG KC ⇒ BK.DG = AB.AD khơng đổi c) ta có: Ví dụ 15 Cho ABC nhọn, H trực tâm Chứng minh BH.CH CH.AH AH.BH + + = AB.AC BC.BA CA.CB BC H S Hướng dẫn Ta có: BB A(g.g) ⇒ BH BC BH.CH BC CH SHBC = ⇒ = = · AB BB AB.AC BB AC SABC (1) 8/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS CH CA (g.g) ⇒ = BC CC CH.AH CA AH ⇒ = = BC.BA CC BA Tương AH ABtự CA (g.g) ⇒ = AC AA CA.BH H AB.BH AB ⇒ = = CA.CB AA CB N Q AN MN = AB BD N NQ = B BC SAHC · SABC (2) A S CA CH = CC B (g.g) ⇒ SHAB · (3) BC CC SABC CA AH CH.AH = ⇒ BC.BA CC BA AH AB AHB ACA (g.g) ⇒ = AC AA AB BH AB.BH = ⇒ CA.CB AA CB Cộng (1), (2) (3) theo vế ta BH.CH CH.AH + + AB.AC BC.BA B C SAHC = · SABC (2) H S B = SHAB · SABC C A (3) AH.BH = CA.CB Ví dụ 16 Cho ABC, M điểm nằm ABC Gọi D giao điểm AM BC, E giao điểm BM CA, F giao điểm CM AB, đường thẳng qua M song song với BC cắt DE, DF K I Chứng minh M I = M K Hướng dẫn Gọi IK cắt AB, AC N Q có AN MN ABD có M N //BC ⇒ = AB BD AN NQ ABC có N Q//BC ⇒ = AB BC MN NQ Suy = BD BC FM M = C F C Ta MN FM = BC FC M DC = N BC (1) A (2) F N (1) Q I IM FM B = DC FC MN FM F BC có N M //BC ⇒ = BC FC IM MN IM DC Suy = ⇒ = (2) DC BC MN BC IM DC.N Q DC.N Q.BD Nhân (1) (2) theo vế ta = ⇒ IM = BD BC BC Tương tự ta có MQ AQ ADC có M Q//DC ⇒ = DC AC NQ AQ ABC có N Q//BC ⇒ = BC AC MQ NQ Suy = (3) DC BC MK EM EBD có M K //BD ⇒ = BD EB MQ ME EBC có M Q//BC ⇒ = BC EB MK MQ MK BD Suy = ⇒ = (4) BD BC MQ BC N Q.BD DC.N Q.BD MK Nhân (3) với (4) ta = ⇒ MK = (∗∗) DC BC BC F DC có IM //DC ⇒ E M K D C (∗) 9/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS Từ (∗) (∗∗) ta có M I = M K Ví dụ 17 Cho ABC, đường trung tuyến BM , CN cắt G, K điểm cạnh BC, đường thẳng qua K song song CN cắt AB D, đường thẳng qua K song song với BM t GC O GK cắt HO J HG//KO, suy HGOK bình hành J trung củavà HODE suy raChứng HJ = OJ cắt AC làở hình E Gọi I Do giao điểm củađiểm KG minh I trung điểm DE DH BH = Hướng (1) dẫn NG BG HK BH Gọi DK cắt ⇒ = (2) GC BG J.= (∗) K DH NG ⇒ = C HK GC ⇒ BG H, KE cắt GC O GK cắt HO Tứ giác HGOK có HK //GO HG//KO, suy HGOK hình bình hành Do J trung điểm HO suy HJ = N OJ Ta có DH BH D BN G có DH //N G ⇒ = (1) H NG BG B HK BH BGC có HK //GC ⇒ = (2) GC BG DH HK DH NG Từ (1) (2) ta có = ⇒ = = (∗) NG GC HK GC Tương tự OE OC CM G có OE //GM ⇒ = (3) GM CG OK OC CBG có OK //BG ⇒ = (4) GB CG OE OK OE GM Từ (3) (4) suy = ⇒ = = (∗∗) GM GB OK GB OE DH = = suy DKE có OH //DE Từ (∗) (∗∗) suy HK OK Lại có J trung điểm HO suy I trung điểm DE A M G E I J O C K Ví dụ 18 Cho hình thang ABCD (AB song song CD) có BC = BD Gọi H trung điểm CD, đường thẳng qua H cắt AC, AD E F Chứng minh DBF = EBC Hướng dẫn A B G E D K H I C F Gọi BF cắt DC K, BE cắt DC I, EF cắt AB G Ta có 10/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS DK FD = (1) AB FA DH FD F AG có DH //AG ⇒ = (2) AG FA DK DH DK AB Từ (1) (2) suy = ⇒ = (∗) AB AG DH AG Tương tự EC IC = (3) EIC có AB //IC ⇒ AB EA HC EC EHC có HC //AB ⇒ = (4) AG EA HC IC AB IC = ⇒ = (∗∗) Từ (3) (4) suy AB AG HC AG DK IC Từ (∗) (∗∗) suy = Mà DH = HC (gt), suy DK = IC DH HC Mặt khác BD = BC (gt) ⇒ BDC cân ⇒ BDK = BCI ⇒ BDK = DBK = CBI (đpcm) F AB có DK //AB ⇒ BCI (c.g.c), suy Ví dụ 19 Cho ABC có G trọng tâm đường thẳng qua G, cắt cạnh AB, AC lần AB AC N Chứng minh + = AM AN N (H, K ∈ AO) lượt M OH = OK AH (1) AG K (2) Hướng dẫn G VT Gọi O trung điểm BC AH AK AG + GH + AG + GH + HK = + = Kẻ song song M N (H, K ∈ AO) AGBH, AGCK AG 2AG + 2GO 3AG = BOH = = COK = 3.(g.c.g) suy OH = OK AG AG AH AB = (1) ABH có M G//BH ⇒ AM AG AC AK AKC có GN //KC ⇒ = (2) AN AG Cộng (1) (2) theo vế ta AH AK AG + GH + AG + GH + HK VT = + = AG AG AG 2AG + 2GO 3AG = = = AG AG A N G M H B O K Ví dụ 20 Cho tứ giác ABCD, có M , N trung điểm đường chéo BD AC (M = N ) AD, BC E F Chứng minh AE.BF = DE.CF ới BD cắt EF H Đường thẳng M N cắt ới BD cắt EF G AH (1) M dẫn M CF Hướng CG ⇒ = (2) G BF BM g) suy AH = CG DM = BM (3) F ⇒ AE.BF = ED.CF F C 16/30 a) Dự đoán AHB Chứng minh: Vì M N //AB ⇒ S Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS A M ON (g.g) BAG = GM N (so le trong) ABG = GN M (so le trong) N H G O 12 C M S S S Mặt khác AH //OM (cùng vng góc BC) ⇒ A1 = M1 ⇒ A2 M2 Tương tự ta có BH//ON vng góc với AC B ⇒ N1 = B1 (so le trong) ⇒ N2 = B2 M ON (g.g) ⇒ AHB OM MN b) Ta có AHB M ON (g.g) ⇒ = = AH AB MG OM GM Mặt khác = ⇒ = = A1 = M1 AG AH GA ⇒ AHG = M OG (c.g.c) S c) Vì AHG M OG (c.g.c) ⇒ G1 = G2 Mà G1 + HGM = 180◦ ⇒ G2 + HGM = 180◦ ⇒ H, G, O thẳng hàng Ví dụ 31 Cho ABC vng cân đỉnh A, BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc BC E, CMR: BE = 2EC đường trung trực với BD cắt suy BG = 2.GD C Hướng dẫn cao cao AH (H ∈ BC) Do ABC vuông cân nên AH đường trung trực = ⇒ BE = 2EC Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy BG = 2.GD Cần chứng minh GE song song DC ABE có G giao điểm đường cao GE ⊥ AB ⇒ G trực tâm ⇒ ⇒ GE song song DC AC ⊥ AB BG BE BDC có GE song song DC ⇒ = = ⇒ BE = 2EC GD EC A ⇒ GE song Vẽ songđường DC BG BE = GD EC D G B H E Ví dụ 32 Cho ABC, AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC, trung tuyến AM cắt BD P trung tuyến CN cắt BE Q a) Chứng minh Q trung điểm CN b) P Q song song AC trung điểm củac) AMP Q = M N , P Q = DE ABC BE ⇒ QE //N D mà E trung điểm DC nên Q trung điểm N C M− 1 PG AM = AM ⇒ = Hướng dẫn AG AM AM song song AC MN 1 mà = nên P Q = M N AC 2 = C 17/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS A BE N D //BE ⇒ QE //N D mà E trung điểm DC nên Q trung điểm N C a) Vì N D = b) Chứng minh tương tự ⇒ P trung điểm AM Gọi G trọng tâm ABC AM 1 PG = = 62 ⇒ P G = AG−AP = AM − AM = AM ⇒ AG AM GQ Tương tự = ⇒ P Q song song AC GC PQ MN 1 c) Theo câu b), ta có = mà = nên P Q = M N AC AC 2 Tương tự, P Q = DE N D P G Q E B M C Ví dụ 33 E C N B Cho ABC cân A, đường thẳng vng góc với BC B cắt đường thẳng vng góc với AC C điểm D, vẽ BE vng góc với CD E Gọi M giao điểm AD BE, vẽ EN vng góc với BD N Chứng minh M N (1) song song AB, M trung điểm BE (2) DN Hướng dẫn ⇒ M N song song AB DB DM DE Ta có AC //BE ⇒ A = mà C1 + I = 90◦ ⇒ I = B1 ⇒ ABI cân DA DC AI = AC DE DN trung điểm BE Lại có N E //BC ⇒ = DC DB DM DN Từ (1) (2) ta có ⇒ = ⇒ M N song song AB DA DB Giả sử: AC cắt BD I Ta có C1 = B2 ⇒ B1 + C1 = 90◦ mà C1 + I = 90◦ ⇒ I = B1 ⇒ cân A ⇒ BA đường trung trực ⇒ AI = AC Dễ dàng chứng minh M trung điểm BE ◦ I (1) (2) A ABI 1 B C M N E D Ví dụ 34 Cho hình vng ABCD Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AD P giao điểm BN , CM a) Chứng minh BN vng góc với CM b) Chứng minh DP = DC M (c.g.c) ⇒ B1 = C1 c) mà DP cắt AB F Chứng minh C1 + M1 = 90◦ ⇒ M1 + B1 = 90◦ ⇒ M P B = 90◦ ⇒ BN ⊥ CM ại I ⇒ Hướng dẫn ND ID = = BC IC trung điểm IC ⇒ P D = DC F trung điểm M B 18/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS A a) Ta có: BAN = CBM (c.g.c) ⇒ B1 = C1 mà C1 +M1 = 90◦ ⇒ M1 +B1 = 90◦ ⇒ M P B = 90◦ ⇒ BN ⊥ CM F B 1 P b) Kéo dài BN cắt DC I N ID ND ⇒ IBC có N D//BC ⇒ = = BC IC ⇒ D trung điểm IC P IC vng có D trung điểm IC ⇒ P D = DC I MB MP FP c) Ta có = = = · IC PC PD 1 Mà P D = DC = AB nên F P = AB ⇒ F P = M B Chú ý tam giác M BP vuông P nên F trung điểm M B D C Ví dụ 35 Cho ABC (AB < AC) qua trung điểm M cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với đường phân giác góc A, đường thẳng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự D E, Chứng minh BD = CE D BM = D KM Hướng dẫn CE M ng AK ⇒ = AE Giả KM sử AK D tia phân giác góc A AD = AE ⇒ BD = CE ADE cân A ⇒ AD = AE BD BM Ta có BDM có AK //DM ⇒ = AD KM M CE = Mặt khác CAK có M E song song AK ⇒ AE KM BD CE Mà BM = CM ⇒ = AD = AE ⇒ BD = CE AD AE A E B KM C Ví dụ 36 Cho hình chữ nhật có AD = 2.DC, M điểm AB, tia phân giác góc CDM cắt BC E Chứng minh CM = AM + 2EC DAM S = 2CN ⇒ M DCN (cạnh-góc-cạnh) DN cân tạiLời N giải 2.EC = 2CN + 2.EC = 2.N D Lấy N tia + 2EC A (2) D S đối tia CB cho AM = 2CN ⇒ DAM DCN (cạnh-góc-cạnh) Lại có DM = 2.DN (1) Hơn DEC = ADE = EDN nên EDN cân N Do N D = EN = EC + CN ⇒ AM + 2.EC = 2CN + 2.EC = 2.N D (2) Từ (1) (2) ta có DM = 2.DN = AM + 2EC (1) M B E C N Ví dụ 37 Cho hình vng ABCD, gọi O giao hai đường chéo, lấy G BC, H CD cho GOH = 45◦ Gọi M trung điểm AB Chứng minh rằng: a) HOD đồng dạng với OGB b) M G song song AH Lời giải A M B O 45◦ G D H C a) Ta có BDC = DBC = 45◦ Mặt khác DOH + BOG = 180◦ − 45◦ = 135◦ S S S ⇒ DOH = BGO BOG + BGO = 180◦ − 45◦ = 135◦ Suy HOD OGB (góc-góc) HD OD b) Theo câu a, ta có HOD OGB nên = · OB GB Đặt M B = a, AD = 2a √ √ Suy HD.GB = OB.OD = a 2.a = 2a2 = AD.BM HD BM ⇒ = ⇒ BM G DHA (cạnh-góc-cạnh) AD BG Do BM G = OHD Hơn OHD = BAH (so le) nên BM G = BAH (đồng vị) Suy AH //M G Ví dụ 38 Cho hình chữ nhật ABCD, từ điểm P thuộc đường chéo AC, dựng hình chữ nhật AEP F (E ∈ AB, F ∈ AD) Chứng minh rằng: a) EF song song DB b) cắt Q nằm AP AF BF APvà DEAE AF F P //DC nên = suy = ⇒ EF //BD AC AD AC AB AD a hai hình chữ nhật Lời O = DB 19/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS giải EF //BD ⇒ QE EF = · QD DB AC 20/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS E A AE AP a) Ta có EP // BC nên = F P // DC nên I AB AC Q AF AP AE AF P = suy = ⇒ EF //BD F AD AC AB AD O b) Gọi I, O tâm hai hình chữ nhật QE EF EF //BD ⇒ = · QD DB D Mặt khác 2.IE = EF , 2.DO = DB QE IE Suy = · QD DO Hơn IEQ = ODQ nên IEQ ODQ ⇒ AQE = DQE ◦ Mà DQE + OQE = 180 hay AQE + OQE = 180◦ ⇒ A, Q, O thẳng hàng Vậy Q nằm AC B S C Ví dụ 39 BC Cho hình vng ABCD, BC lấy E cho BE = , tia đối CD lấy điểm BC F cho CF = , M giao AE BF Chứng minh AM vng góc với CM Lời giải B A E D H M C G F Gọi G giao AM DC, H giao AB CM GC CE Xét GAD có CE //AD nên = = suy GD AD DC GC = ⇒ = ⇒ DF = F G GC + DC GC BH AB 2 BC Lại có AB //DG suy = = ⇒ BH = · CF = · · BC = = BE CF GF 3 32 BAE = BCH Khi ABE = CBH (cạnh-góc-cạnh) ⇒ ⇒ CEM + BCH = 90◦ AEB = CEM Vậy AM ⊥ M C Ví dụ 40 Cho tứ giác lồi ABCD, từ điểm E thuộc cạnh AD G thuộc cạnh AB, ta kẻ đường F H héo AC, BD thẳng song song với đường chéo AC, đường thẳng cắt CD, BC N M N AO a) So sánh tỉ số đoạn thẳng BD định EF GH = · F OC M MH = b) Chứng minh EG HF cắt I nằm BD O OC Lời điều EN IN = · GM IM giải ta có (1) 21/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS I a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD Đường thẳng BD cắt EF , GH N M BN NF EN AO EN = = ⇒ = · Do AO BO OC NF OC GM DM MH B Tương tự ta có = = AO DO OC AO GM = · nên E F N MH OC Từ hai điều ta có EN GM AO = · NF GH OC O A EN IN b) Giả sử GE cắt BD I, ta có = · (1) H G GM IM Tương tự, giả sử HF cắt BD I , ta có D NF IN = · (2) MH IM GM EN NF EN = = = · Theo câu a, ta có NF GH GM GH IN IN Từ (1), (2) (3) suy = ⇒ I ≡ I hay I giao điểm GE, HF , DB IM IM C (3) Ví dụ 41 Cho hình vng ABCD, AB lấy điểm M , vẽ BH vng góc với CM , nối DH, vẽ HN vng góc với DH (N ∈ BC) a) Chứng minh DHC N HB đồng dạng ◦ ⇒ BHN = CHD S ◦ = N HB (góc-góc) b) Chứng minh AM.N B=N C.M B BM H (cùng HBM ) phụ Lời giải MB BH = · BC CH MB BN BHN a = · BC DC a) Ta có B = N B CHD B = N C.M B (điều phải chứng minh) óc-góc) nên + N HC = 90◦ + N HC = 90◦ A M B ⇒ BHN = CHD H S S Lại có HBN = BM H (cùng phụ HBM ) BM H = HCD nên DHC N HB (góc-góc) MB BH b) Ta có M BH BCH (góc-góc) nên = · BC CH BH BN MB BN Mặt khác = suy = · CH DC BC DC Hơn BC = DC nên M B = N B Do AM = N C ⇒ AM.N B = N C.M B (điều phải chứng minh) N D C Ví dụ 42 Cho hình vng ABCD cạnh a đường thẳng d qua C cắt AB E AC F a) Chứng minh tích BE.DF khơng đổi d di chuyển b) Chứng minh BE AE = · BF AF óc) nên 22/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS D = a2 AE BE = FA BC DC Lời AE = FA FD c) Xác định vị trí d để DF = 4.BE (1) giải (2) S a) Ta có EBC CDF (góc-góc) nên BE DC AE = · theo vế ta BEđược BCF A2 BC DF = ⇔ BE.DF = BC.CD = a CD DF AE AE BE ⇔ = ⇒Do = BE.DF không đổi F A2 FA BC = B A BE , DF E b) Ta có EAF (góc-góc) ⇒ (1) D C (2) S S AE BE = FA BC DC AE F CD = F EA (góc-góc) ⇒ FA FD AE BE Nhân (1) (2) theo vế ta · = FA BC BC = DC BE AE AE c) Để DF = 4BE ⇔ = = = ⇔ DF FA FA a Do BE = EBC DC BE = , DF DF BE ⇒ = BC F Ví dụ 43 Cho ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm hai tia phân giác AD BE cắt O Chứng minh đoạn nối điểm O với trọng tâm G ABC song song với BC Lời giải A E O B G D C M ABC có AD đường phân giác nên DB DC DB + DC = = = AB AC AB + AC 12 DB BC Suy = ⇒ DB = cm AB AB + AC ABD có OB tia phân giác nên OA OD OA AB = ⇒ = = AB BD OD BD Gọi AM đường trung tuyến Từ (1) (2) suy ABC, G trọng tâm AO AG = = ⇒ OG//DM OD GM (1) ABC ⇒ AG = GM (2) 23/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS Ví dụ 44 Cho ABC vng A, vẽ phía ngồi tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao AC BF Chứng minh a) AH = AK b) AH = BH.CK Lời giải F A K D H C B a) Ta có AC song song BD (cùng vng góc với AB) nên AC AH AC AH AC AB.AC AH = ⇒ = ⇒ = ⇒ AH = · BH BD AH + BH BD + AC AB AB + AC AB + AC Tương tự AB song song CF (cùng vng góc với AC) nên AK AB AK AB AK AB AB.AC = ⇒ = ⇒ = ⇒ AK = · KC CF AK + KC AB + AC AC AB + AC AB + AC Từ (1) (2) ta có AH = AK  AC AH   = KC AH BD = ⇒ AH.AK = BH.KC b) Ta có BH nên  BH AK  AK = AB = BD KC CF AC Mặt khác AH = AK suy AH = BH.CK (1) (2) Ví dụ 45 EF M N //F E F E //IN Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE, CF Gọi I, K, M , N chân đường vng góc kẻ từ D đến BA, BE, CF , CA Chứng minh điểm I, K, M , N thẳng hàng Lời giải 24/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS BI BD BK = = nên KI //EF FI DC KE CN CD CM Tương tự = = nên M N //F E NE DB MF FA AH AE Mặt khác = = suy F E //IN AI AD AC Khi I, K, M , N thẳng hàng A Ta có E F N H M K I B C D Ví dụ 46 Cho ABC vng A, đường cao AH, E điểm AB, kẻ HF vng góc với HE (F AC) a) Chứng minh BEH AF H đồng dạng; b) Chứng minh HE.BC = EF.AB; c) Cho AB = cm, AC = cm, diện tích (cùng phụ với EHA ) (g.g) HEF cm2 , Tính cạnh HEF Hướng dẫn HE BH A (1) S S ⇒ H = a) BEH Ta có BAF=H(g.g) A1 H2· (cùng phụ với EHA ) HF1 =AH Suy BEH AF H (g.g) E BEH S b) Theo câu a, ta có F HE BH AF H(g.g) ⇒ = · HF AH (1) B C H Mặt khác (2) S S AB BH ABH CAH(g.g) ⇒ = · AC AH AB HE = A = H = 90◦ Suy HEF Từ (1) (2) ta có HF AC HE FE Do = ⇒ HE.BC = F E.AB AB BC 1 c) SABC = AB.AC = 6.8 = 24 cm2 2 SHEF EF EF Mặt khác = = = ⇒ = · SABC BC 24 BC Mà BC = 10 ⇒ EF = 5, HE = 3, HF = ABC (c.g.c) Ví dụ 47 ABC vng A, đường cao AD, đường phân giác BE, giả sử AD cắt BE F EA FD Chứng minh = · (1) EC FA Cho FD BD = · FA BA EA AB c⇒ = · EC BC Hướng B BD = · C AB D (đpcm) A dẫn (2) (3) giao M N ân N H = 2.N1 25/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS FD BD = · FA BA EA AB Tam giác ABC có BE phân giác ⇒ = · EC BC AB BD Mà ADB CAB (g g) ⇒ = · BC AB EA FD Từ (1), (2) (3) ta có = (đpcm) EC FA ABD có BF tia phân giác ⇒ A (1) F (2) E S (3) B C D Ví dụ 48 Cho M , N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật, E điểm tia với AC, KhiDC, K giao EM AC Chứng minh M N tia phân giác KN E M O = ON ⇒ Hướng dẫn ON KO MO = = · EC CH OC A Gọi H giao KN với DC, O giao M N với AC, Khi ON KO MO = = · M O = ON ⇒ EC CH OC Suy EC = CH ⇒ N EH cân N Do E1 = H mà KN E = 2.H = 2.N1 Do N1 = N2 ⇒ (đpcm) B K M O N 1 E D H C Ví dụ 49 Cho ABC vng A, AH đường cao, D, E trung điểm đoạn thẳng D cắt CE F Chứng minh BCF vuông , suy M trung  điểm AC, ta có đường thẳng vng góc AB AB,   DE AH, = BH DE BH ⇒ = ·  EM HC  EM = HC Hướng dẫn FE DE = · vng góc với AB) ⇒ EM ECDE với AC, suy M Lấy M giao H · C điểm AC,ta có C ⇒ BF ⊥ BC ⇒ BCF vng (1) (2) A trung   DE = BH BH DE = · (1) ⇒  EM HC  EM = HC Mặt khác F D song song AC (vì vng góc DE FE với AB) ⇒ = · (2) EM EC BH EH Từ (1) (2) ta có = · HC EC Suy EH //BF , mà EH ⊥ BC ⇒ BF ⊥ BC ⇒ BCF vuông F E M D C B H Ví dụ 50 Cho tam giácABC (AB < AC), D E cạnh AB AC cho BD = CE AB KE Gọi K giao điểm DE BC Chứng minh = · AC KD nằm BC) KE FE = · KD BD song song AB Hướng FE FE = · CE BD E (đpcm) D ⇒ (1) dẫn (2) 26/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS Từ E vẽ EF song song AB (F nằm BC) KE FE Tam giác KBD có EF //BD ⇒ = · KD BD Tương tự ta có ABC có EF song song AB FE CE AB FE FE Suy = ⇒ = = · AB CA AC CE BD AB KE Từ (1) (2) suy = (đpcm) AC KD A (1) D E (2) B K C F Ví dụ 51 BC cắt AB, DF , DE M , N , K I Cho ABC nhọn, có AD đường cao, H điểm đoạn AD Gọi E giao điểm BH AC, F giao điểm CH AB Chứng minh DA tia phân giác EDF EBD, ABD, ADC, ABC, ta có NH FH MH Hướng AH = HK = EH = HI · = = dẫn= DC FC BC AD DC EB BD HI HK · ·Qua H vẽ đường thẳng song song BD DC A BC cắt AB, DF , DE M , N , K cao vừa đường trung tuyến nên DN I cân D N I //BC GN · AG nên DH ⊥ N I AD ⊥ BC F Xét F DC, F BC, EBC, EBD, ABD, M ADC, ABC, ta có N FH MH AH HK EH HI NH = = = = = = · DC FC BC AD DC EB BD B N H HK M H M H HI HK Khi · · = · · · CD BC BD BC BD DC Suy N H = N I Xét DN I, có HD vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên DN I cân D Vậy DA tia phân giác EDF Khi E H K I C D Ví dụ 52 ABC, đường thẳng BE CF qua G cắt cạnh AB, AC điểm E F Chứng minh + = AE AF BE CF GM + GN Cho AE + AF ABC có AD đường trung tuyến, G trọng tậm = AG Hướng dẫnGD + DN + GD − M D = AG Kẻ BM //EF , CN //EF 2GD = BE GM CF GN AG Khi ta=có = ; = · AE AG AF AG Lúc BE CF GM + GN + = AE AF AG GD + DN + GD − M D = AG 2GD = AG = BE CF Vậy + = AE AF A F G E B M || || D N C Ví dụ 53 Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD O giao điểm hai đường chéo, đường thẳng qua B song song AD cắt AC E, đường thẳng qua C song song AD cắt BD F Chứng minh a) OA2 = OC.OE OA a = OC OE = a OA OE = · OA OB · OD OB · OD b) OD2 = OB.OF (1) Hướng dẫn = (2) F a) Ta có OA OB = · OC OD OB OE = · BE //AD, suy OA OD OE OA = · Từ (1), (2), ta có OC OA Vậy OA2 = OE.OC b) Ta có AD//F C OA OB OD OD = = · Khi OF OC OD OF Vậy OD = OB.OF AB //CD, suy (1) A B (2) E O D C Ví dụ 54 ABC, lấy E BC cho EC = 2BE, lấy điểm F AB cho AF = 2BF a) Chứng minh EF //AC EF = AC IE IF b) Gọi I giao điểm AE CF Chứng minh = = · AE CF c) Thay điều kiện EC = 2BE AF = 2BF điều kiện AE, CF thứ tự hai tia phân giác góc A góc C ABC ABC cần có điều kiện để EF //AC Cho · = 27/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS BE = · BC Hướng dẫn IF EF = = · IC AC EB FB = = · EC FA Suy EF //AC EF BE Vì EF //AC nên = = · AC BC Vậy EF = AC IE IF EF b) Vì EF //AC nên = = = · IA IC AC IE IF Vậy = = · AE CF A a) Ta có c) Để EF //AC EC FA = · EB FB F I B E C (1) Ta có AE tia phân giác BAC suy EC AC = · EB AB (2) 28/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS CF tia phân giác góc ACB suy Từ (1), (2) (3), ta FA AC = · FB BC (3) AC AC = hay AB = BC AB BC Lúc ABC cân B Vậy ABC cân B EF //AC Ví dụ 55 c BAC nên Cho ABC, có AD phân giác BAC, tia đối tia BA, lấy điểm E cho BEAB = BD tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF = CD BD = · DC a) AC Chứng minh EF //BC = CF b) Chứng minh ED tia phân giác góc BEF , F D tia phân giác góc CF E Hướng dẫn A BD AB ên BED = BDE a) Vì AD tia phân giác góc BAC nên = · DC AC ong) Ta lại có BD = BE, DC = CF BE AB óc BEF suy = · F D tia phân giácNên góc CF E CF AC BE CF Từ đó, ta có = · AB AC Vậy EF //BC B | C || D | || F E b) Ta có BDE cân B nên BED = BDE Mà BDE = DEF (so le trong) Suy DEB = DEF Vậy ED tia phân giác góc BEF Chứng minh tương tự cho F D tia phân giác góc CF E Ví dụ 56 Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD E F , Chứng minh tích BE.DF khơng đổi ới AD cắt AB I IF Hướng dẫn · BE E = AB.AD Từ (không F đổi) vẽ đường D thẳng song song với AD cắt AB I AI IF ABE có IF //BE, suy = · AB BE Do AI.BE = AB.IF ⇒ DF.BE = AB.AD (không đổi) C F E A B I Ví dụ 57 ABC (AB < AC) AC lấy điểm D cho CD = AB Gọi M , N trung điểm AD, BC Chứng minh CM N = · BAC đối xứng với E qua N Cho E Lấy F BE = F C E EC = , mà nên ta có B AC AB = CD Hướng dẫn CF CE CF CD = ⇒ = ⇒ DF //AE DC AC CE CA N đường trung bình, suy CM N = A1 = · BAC DK Ta có 29/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS B Vẽ tia phân giác góc A cắt BC E Lấy F đối xứng với E qua N BE = F C BE EC = , mà nên AE tia phân giác góc A nên AB AC AB = CD E N F ta có CF CE CF CD = ⇒ = ⇒ DF //AE DC AC CE CA Do ADF E hình thang có M N đường trung bình, suy CM N = A1 = · BAC A M D C Ví dụ 58 Cho tứ giác ABCD, O giao điểm AC BD Chứng minh SABC · BH.AC = Hướng SACDdẫn1 · DK.AC = BH OB góc-góc), suy =BH ·⊥ DK OD OB Vẽ · DK ⊥ OD AC AC BH · DK SABC OB = · SACD OD (1) B (2) , BH //DK Ta có SABC = SACD 2 K · BH.AC BH = · DK · DK.AC C (1) O S OB BH Mặt khác OBH = · ODK (góc-góc), suy DK OD SABC OB Từ (1) (2) ta có · = SACD OD H (2) A D Ví dụ 59 Cho hình thang ABCD (AB song song CD), có AB = a, CD = b M , N cạnh AD MA a + m.b BC cho M N song song CD = m Chứng minh rằng: M N = · MD m+1 ong với BC cắt AB, CD E I Khi M N CI hình bình hành, suy DI = M N − b AE a − MN MA = ⇒ m= MD DI Hướng dẫn M N − b ⇒ −mb + m.M N = a − M N Qua M vẽ thẳng song ⇒ đường M N + m.M N = mb + a song với BC cắt AB, CD a + mb E I Khi ⇒ Mđó N =M N CI · hình bình hành, suy DI = M N − b m+1 Tương tự AE = a − M N Từ DI song song AN , ta có MA AE a − MN = ⇒m= MD DI MN − b ⇒ −mb + m.M N = a − M N I D M A C N E ⇒ M N + m.M N = mb + a a + mb ⇒ MN = · m+1 Đó điều phải chứng minh Ví dụ 60 S rực tâm ⇒ CH ⊥ AB ⇒ CH //AK Hướng dẫn KAC = HCA ⇒ EAK S Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE cắt H, đường thẳng vng góc với AB A cắt BE K Chứng minh EAK ECH ECH(góc-góc) B 30/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS B Vì AD cắt BE H ⇒ H trực tâm ⇒ CH ⊥ AB ⇒ CH//AK KAC = HCA ⇒ EAK ECH(góc-góc) S D H E A K C ... ⇒ G F Ví dụ 21 Cho tam giác ABC, AD cho M D = N D BM //N C bình hành suy điểm BM AC, F BN //M C AM = Hướng dẫn AN = 11/30 Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - THCS giác ABCD, gọi M , N... (g.c.g) suy HD = AG NC FC BF MB Thay vào (1) ta được: = = = · ND AG AG MA NC MB Suy = ⇒ M A.N C = M B.N D (đpcm) ND MA Suy (1) B F C H A E D G Ví dụ 24 Cho tam giác ABC đều, gọi M , N điểm AB, BC cho... trọng tâm tam giác BM N , I trung điểm AN , P trung điểm M N m giác BM N nên GP ⊥ M N a) M Chứng minh I trung điểm N AN nên Prằng I đườngGP trung bình GN C đồng dạng 1 MA = NC 2 M N đều) b) Chứng