HSG toan 8

Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng.. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng.[r]

(1)

NGUYễN XUÂN THụ THCS YÊN PHƯƠNG ý YÊN

NAM ĐịNH

thi hc sinh gii

môn: toán 8

(Thời gian lµm bµi: 120 phót)

Bµi 1: (5 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x27x6

2 x4 2008x22007x2008 Bài 2: (6điểm) Giải phơng trình:

1

2

3

x  x  x 

2





2 2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

  

Bài 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)(

a+ b+

1 c¿≥9

Bài 4: (7 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E

1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo

m AB .

2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM

3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:

(2)

Bài Câu Nội dung Điểm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iĨm)









2

7 6 6

x  x x  x x x x  x





x

 

x



0.5 0,5

1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

x  x  x x x  x  x  0,25



 







4 1 2007 1 1 2007 1

x x x x x x x x

            0,25



x

 

x





x

 

x

 

x



             0,25

2. 2,0

2.1 x2 3x 2 x 1 0     

(1) + NÕu x1: (1)





2

1

x x

    

(tháa m·n ®iỊu kiƯn x1).

+ NÕu x1: (1)







 



2

4 3 1

x x x x x x x

            

 x1; x3 (cả hai không hn 1, nờn b loi)

Vậy: Phơng trình (1) cã mét nghiƯm nhÊt lµ x1

0,5 0,5 2.2





2 2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

        (2)

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0

(2)





2

1 1

8 x x x x x

x x x x

 

       

                

        









2

1

8 x x x x 16

x x

   

           

   

0

x hay x

   vµ x0.

Vậy phơng trình cho có nghiệm x8

(3)

3 2.0

3.1 Ta cã:

A= (a+b+c)(1

a+ b+

1 c)=1+

a b+

a c+

b a+1+

b c+

c a+

c b+1

= 3+(a

b+ b a)+( a c+ c a)+( c b+ b c)

Mà: x

y+ y

x 2 (BĐT C«-Si)

Do A 3+2+2+2=9 Vậy A

0,5

0,5 3.2 Ta cã:



 





 



( ) 2008

10 16 10 24 2008

P x x x x x

x x x x

     

Đặt tx210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:



 



( ) 2008 1993

P x  t t   t t

Do chia t2  1993t cho t ta có số d 1993

0,5

4 4,0

4.1

+ Hai tam giác ADC BEC cã:

Gãc C chung CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BEC ADC1350(vì tam giác AHD vuông cân H theo gi¶ thiÕt)

Nên AEB450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra:

2

BEAB m

1,0 0,5 4.2 Ta cã: 1 2

BM BE AD

BC  BC AC (do BECADC) mà ADAH 2 (tam giác AHD vuông vân H) nên

1

2 2

BM AD AH BH BH

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do BHM BEC (c.g.c), suy ra:

  1350  450

BHM BEC   AHM 

0,5 0,5 0,5 4.3 Tam gi¸c ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc

BAC

Suy ra:

GB AB

GC AC , mµ

(4)









AB ED AH HD

ABC DEC ED AH

AC DC   HC HC Do đó:

GB HD GB HD GB HD