Lý thuyết danh mục đầu tư

Nhà đầu tư thiết lập danh mục đầu tư (P) trên cơ sở xem xét suất sinh lợi kỳ vọng và phương sai (hay độ lệch chuẩn) của suất sinh lợi.

LÝ THUYẾT DANH MỤC ĐẦU TƯ Nhà đầu tư thiết lập danh mục đầu tư (P) trên cơ sở xem xét suất sinh lợi kỳ vọng và phương sai (hay độ lệch chuẩn) của suất sinh lợi. I. Xác định đường tập hợp các cơ hội đầu tư vào các tài sản rủi ro 1. Tài sản rủi ro: 1, 2, …, N.  Tài sản i có suất sinh lợi kỳ vọng: i r  Suất sinh lợi của tài sản i có phương sai: σ ii = σ i 2  Đồng phương sai (tích sai) giữa suất sinh lợi của tài sản i và j: σ ij  Tỷ lệ đầu tư vào các tài sản: w 1 , w 2 , …, w N . 2. Ta có thể biểu diễn các công thức trên dưới dạng ma trận.             = N w w w . 2 1 W ;             = N r r r . 2 1 R ;             = NNNN N N σσσ σσσ σσσ . . . 21 22221 11211 Δ Tổng của các trọng số là 100%: ∑ = N i i w 1 = [ ] 1 .11             N w w w . 2 1 = 1 T W = 1 Suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục: ∑ = N i ii rw 1 = [ ] N rrr . 21             N w w w . 2 1 = T R W = P r Phương sai của suất sinh lợi của danh mục: ∑∑ = = N i N j jiij ww 1 1 σ = [ ] N www . 21             NNNN N N σσσ σσσ σσσ . . . 21 22221 11211             N w w w . 2 1 = W T ∆W = 2 P σ 3. Đối với mỗi suất sinh lợi kỳ vọng nhất định theo yêu cầu, nhà đầu tư muốn xây dựng một danh mục sao cho phương sai của suất sinh lợi có giá trị nhỏ nhất. Vậy, nhà đầu tư muốn tối thiểu hóa 2 P σ = W T ∆W trên cơ sở thỏa mãn các ràng buộc: 1 T W = 1 (1) và T R W = P r (2) Ta có phương trình Lagrangian sau đây: L = 2 1 W T ∆W + λ (1 – 1 T W) + γ ( P r – T R W) (3) Điều kiện cần của tối thiểu hóa: Nguyễn Xuân Thành 1          =−= ∂ ∂ =−= ∂ ∂ =−−= ∂ ∂ 0 0 WR W11 0R1ΔW W T T P r L L L γ λ γλ ( ) ( ) ( ) 6 5 4 Từ (4), ta có các tỷ trọng tài sản tối ưu: W * = λ ∆ -1 1 + γ ∆ -1 R (7) Thế (7) vào (5) và (6) ta được hệ phương trình với hai ẩn số là λ và γ :      =+ =+ P r γλ γλ )()( 1)()( RΔR1ΔR RΔ11Δ1 -1T-1T -1T-1T Đặt A = 1 T ∆ -1 1 ; B = 1 T ∆ -1 R = R T ∆ -1 1; C = R T ∆ -1 R ; và D = AC – B 2 . Ta có:    =+ =+ P rCB BA γλ γλ 1 ⇒ D rBC P − = λ và D BrA P − = γ Phương trình phương sai của suất sinh lợi danh mục đầu tư: 2 P σ = W T ∆W = W T ∆( λ ∆ -1 1 + γ ∆ -1 R ) = λ W T 1 + γ W T R = λ + γ P r 4. Phương trình đường tập hợp các cơ hội đầu tư: 2 P σ = D CrBrA PP +− 2 2 (8) Nguyễn Xn Thành 2 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40 Độ lệch chuẩn Suất sinh lợi kỳ vọng P r P σ Đường tập hợp các cơ hội đầu tư (IOS) Danh mục có σ min D CrBrA PP P +− = 2 2 2 σ (1/A) 1/2 B/A II. Xây dựng danh mục đầu tư với N tài sản rủi ro và tài sản phi rủi ro 1. Tài sản phi rủi ro có suất sinh lợi r f . Tỷ lệ đầu tư vào tài sản phi rủi ro: w 0 Tỷ lệ đầu tư vào các tài sản rủi ro: w 1 , w 2 , …, w N w 0 + w 1 + w 2 + … + w N = 1 hay w 0 + 1 T W = 1 hay w 0 = 1 – 1 T W Suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục: P r = r f w 0 + T R W = r f (1 – 1 T W) + T R W P r = r f + ( R – r f 1) T W (9) 2. Đối với mỗi suất sinh lợi kỳ vọng nhất định theo yêu cầu, nhà đầu tư muốn xây dựng một danh mục sao cho phương sai của suất sinh lợi có giá trị nhỏ nhất. Vậy, nhà đầu tư muốn tối thiểu hóa 2 P σ = W T ∆W trên cơ sở thỏa mãn ràng buộc (9). Phương trình Lagrangian: L = 2 1 W T ∆W + γ [ P r – r f – ( R – r f 1) T W] (10) Điều kiện cần của tối thiểu hóa: 01RΔW W =−−= ∂ ∂ )( f r L γ (11) Các tỷ trọng tài sản rủi ro tối ưu: W * = γ ∆ -1 ( R – r f 1) (12) Thế (7) vào (9): P r = r f + ( R – r f 1) T γ ∆ -1 ( R – r f 1) P r – r f = γ [( R T ∆ -1 R ) + (1 T ∆ -1 1) 2 f r – 2( R T ∆ -1 1)r f ] = γ (A 2 f r – 2Br f + C) Vậy: CBrAr rr ff fP +− − = 2 2 γ (13) 3. Phương trình phương sai của suất sinh lợi danh mục đầu tư: 2 P σ = W T ∆W = W T ∆[ γ ∆ -1 ( R – r f 1)] = γ W T ( R – r f 1) = γ ( P r – r f ) (14) 4. Đường thị trường vốn: Thế (13) và (14) rồi rút gọn, ta được: CBrAr rr ff fP P +− − = 2 2 σ (15) Đường thị trường vốn (CML) là một tia đi từ vị trí của tài sản phi rủi ro và tiếp xúc với đường IOS tại một danh mục có tên gọi là danh mục tiếp xúc T. Nguyễn Xuân Thành 3 5. Xác định danh mục tiếp xúc T T vừa nằm trên CML vừa nằm trên IOS. T khơng chứa tài sản phi rủi ro nên ta có: 1 T W t = 1 và W t = γ ∆ -1 ( R – r f 1) [từ phương trình (12)] ⇒ ⇒ 1 T γ ∆ -1 ( R – r f 1) = 1 ⇒ γ (1 T ∆ -1 R – r f 1 T ∆ -1 1) =1 ⇒ γ = (B – Ar f ) -1 Vậy, W t = (B – Ar f ) -1 ∆ -1 ( R – r f 1) Suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục T: t r = T R W t = f f ArB BrC − − Phương sai của suất sinh lợi của danh mục T: 2 t σ = T t W ∆W t = f ftt ArB rr − − 5. Danh mục tối ưu, P Nhà đầu tư sẽ chọn danh mục đầu tư tối ưu bằng cách đầu tư một phần tiền vào danh mục tiếp xúc T và phần còn lại vào tài sản phi rủi ro tùy theo sở thích của mình về sự đánh đổi giữa suất sinh lợi kỳ vọng và rủi ro. Nguyễn Xn Thành 4 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Độ lệch chuẩn Suất sinh lợi kỳ vọng Danh mục tiếp xúc T r f P U Đường thị trường vốn t ft rr σ − Danh mục tối ưu t r t σ P r P σ Đường tập hợp các cơ hội đầu tư . ro và tiếp xúc với đường IOS tại một danh mục có tên gọi là danh mục tiếp xúc T. Nguyễn Xuân Thành 3 5. Xác định danh mục tiếp xúc T T vừa nằm trên CML. kỳ vọng của danh mục T: t r = T R W t = f f ArB BrC − − Phương sai của suất sinh lợi của danh mục T: 2 t σ = T t W ∆W t = f ftt ArB rr − − 5. Danh mục tối