Chuỗi laurent p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyên Thanh Hà CHUỖI LAURENT P-ADIC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Mỵ Vinh Quang Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn gặp không khó khăn thời gian không nhiều kiến thức hạn chế, nhiên nhận quan tâm, giúp đỡ động viên thầy cô, bạn bè gia đình Do xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo sư - Tiến só Mỵ Vinh Quang, thầy dành nhiều thời gian công sức để trực tiếp hướng dẫn không nội dung mà cách trình bày luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Giáo sư William Cherry nhiệt tình giúp đỡ việc tìm cách chứng minh định lí số không điểm chuỗi Laurent p -adic Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Trịnh Thanh Đèo giúp sử dụng Latex để soạn thảo luận văn cách rõ ràng, sáng sủa Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin, đặc biệt thầy cô môn Đại số trực tiếp trang bị cho kiến thức Toán mà phương pháp tự học nghiên cứu Ngoài ra, để sử dụng cho luận văn, tham khảo số tài liệu viết, xin cảm ơn tác giả Cuối xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô, anh chị phòng Khoa học công nghệ sau đại học, gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tôi gặp khó khăn Tp.HCM, ngày 25 tháng năm 2010 Tác giả Trần Nguyên Thanh Hà MỘT SỐ KÍ HIỆU ∗ Qp : Trường số p-adic ∗ Qap : Bao đóng đại số Q p ∗ Cp : Cái đầy đủ Q ap - Trường số phức p-adic ∗ Cp [z]: Vành đa thức C p ∗ Cp [[z]]: Vành chuỗi lũy thừa hình thức C p ∗ A[r]: Vành hàm giải tích p−adic A[r] ∗ A[r1 , r2 ]: Vành chuỗi Laurent p-adic hình vành khăn A[r , r2 ] (vành hàm giải tích p−adic treân A[r , r2 ]) ∗ |f |r : Chuẩn f theo r ∗ K(f, r): Chỉ số tối đại f ( r) ∗ k(f, r): Chỉ số tối tiểu f ( r) ∗ N (f, 0, r): Hàm đếm f r MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghóa chuẩn phi Archimede 1.2 Một số tính chất chuẩn phi Archimede 1.3 Nhóm giá trị, trường thặng dư 1.4 Tính chất đặc biệt dãy trường với chuẩn phi Archimede 1.5 Cái đầy đủ trường 11 1.6 Bao đóng đại số trường 12 1.7 Q p - Cái đầy đủ Q 13 1.8 Q ap : Bao đóng đại số Q p 14 1.9 C p : Cái đầy đủ Q ap 15 1.10 Một số kí hiệu 15 XÂY DỰNG CHUỖI 2.1 LAURENT P-ADIC 16 Một số khái niệm 16 2.1.1 Hàm giải tích p− adic 16 2.1.2 Chuoãi Laurent p− adic 17 2.1.3 Chuẩn chuỗi Laurent p−adic 19 2.1.4 Chỉ số tối đại K(f, r), số tối tiểu k(f, r) bán kính tới hạn (điểm tới hạn) 23 2.1.5 Đa thức r−dominant đa thức r−extremal 25 2.1.6 Haøm ñeám 26 2.2 Moät số tính chất 27 2.3 Định lí Weierstrass cho hàm giải tích p - adic 46 CÁC ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG 47 3.1 Định lí chia Euclide cho hàm giải tích p-adic 47 3.2 Định lí chia Euclide cho chuỗi Laurent p-adic: 51 3.3 Định lí Weierstrass 55 3.4 Một số ứng dụng định lí Weierstrass 61 3.5 Định lí Poisson−Jensen 65 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 MỞ ĐẦU Giải tích p-adic đứng chân Giải tích cổ điển chân lại Đại số lý thuyết số, cho ta nhìn thú vị kết hợp hai lónh lực lớn toán học Hơn thế, 40 năm trở lại đây, nhờ việc phát mối liên quan sâu sắc với vấn đề lớn số học hình học đại số mà giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập Trong giải tích p-adi, hàm giải tích p-adic (tức hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa đóa) nghiên cứu nhiều thu nhiều kết đáng kể Trong đó, chuỗi Laurent p-adic tức hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa hình vành khăn) mở rộng thú vị hàm giải tích p-adic lại chưa nghiên cứu nhiều Vì mở rộng hàm giải tích p-adic nên nghiên cứu chuỗi Laurent p-adic, cách tự nhiên, ta đặt câu hỏi: Nó có tính chất liệu giữ lại tính chất biết hàm giải tích p-adic hay không? Không điểm chuỗi Laurent p-adic xác định có tính số không điểm hay không? Có thể đem chuỗi Laurent p-adic chia cho đa thức hay không? Nếu kết có bảo toàn tính chất phép chia đa thức (như là: tính thương dư, bậc đa thức dư nhỏ bậc đa thức thương, ) hay không? Triển khai đề tài: Chuỗi Laurent p-adic , luận văn làm sáng tỏ vấn đề nêu Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị : Trình bày kiến thức cần cho chương sau: Chuẩn phi Archimede, số phức p-adic, trường số phức p-adic C p , Chương 2: Xây dựng chuỗi Laurent p-adic : Trình bày thêm số khái niệm: Chuỗi Laurent p-adic, vành chuỗi Laurent p-adic, chuẩn chuỗi Laurent p-adic, số tối đại, số tối tiểu, đa thức r − dominant, đa thức r − extremal, sau qua mệnh đề trình bày chi tiết chuỗi Laurent p-adic: Điều kiện khả nghịch, số bán kính tới hạn, Chương 3: Các định lí quan trọng : Chương sử dụng phần kiến thức chuẩn bị chương tính chất chương để chứng minh định lí quan trọng chuỗi Laurent p-adic: Định lí phép chia Euclide, định lí Weierstrass Cuối số ứng dụng định lí Weierstrass: Định lí số không điểm số ví dụ cụ thể để tính số không điểm chuỗi Laurent p-adic, định lí Poisson - Jensen Vì thời gian không nhiều kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức cần cho chương sau Bắt đầu từ Q, biết không đầy đủ không đóng đại số, để thuận tiện nghiên cứu, ta xây dựng trường “đẹp” - vừa đóng đại số vừa đầy đủ Từ Q xây dựng đầy đủ Q p Q p dù đầy đủ lại không đóng đại số, tiếp tục xét bao đóng đại số Q p Qap , nhiên lại không đầy đủ, cuối phải xây dựng đầy đủ Q ap để trường số phức p-adic C p “đẹp” mong muốn Q → Qp → Qap → Cp Do vậy, chương này, khái niệm chuẩn phi Archimede, nhóm giá trị, trường thặng dư trường -đã trang bị chuẩn phi Archimede- tính chất nó, ta xây dựng trường số p - adic Q p để sau xây dựng trường số phức p-adic C p Vì phần chương đặc biệt chương nên chương 1, nhiều kết nêu không chứng minh nêu tóm tắt không vào chi tiết cụ thể 1.1 Định nghóa chuẩn phi Archimede Cho F vành, chuẩn phi Archimede F ánh xạ: | |: F → R+ thỏa điều kiện: (i) (ii) (iii) |a| = ⇔ a = |a.b| = |a||b|, ∀a, b ∈ F |a + b| ≤ max{|a|, |b|}, ∀a, b ∈ F Nếu F trường | | chuẩn phi Archimede F ta gọi cặp (F, | |) trường phi Archimede 1.2 Một số tính chất chuẩn phi Archimede Cho F trường với chuẩn phi Archimede | | Chuẩn phi Archimede có tính chất trị tuyệt đối thông thường: 1 | − x| = |x|, |1| = 1, | |= x |x| Ngoaøi chuẩn phi Archimede có tính chất sau đây: Tính chất 1.2: Nếu |x| = |y| |x + y| = max{|x|, |y|} Tính chất phát biểu thành lời sau: Trong F tam giác cân Thật vậy, giả sử max{|x|, |y|} = |x|, mà |x| = |y| nên |x| > |y| Theo tính chất chuẩn phi Archimede (1.1): |x + y| ≤ max{|x|, |y|} = |x| |x| = |(x + y) − y| ≤ max{|x + y|, |y|} = |x + y| Suy ra: |x + y| = |x| (1.1) 1.3 Nhóm giá trị, trường thặng dư Cho F trường, | | chuẩn F , đặt F ∗ = F \ {0} Nhóm giá trị (F, | |) là: |F ∗ | = {|x| : x ∈ F ∗ } Đặt: A = {x ∈ F : |x| ≤ 1} Vaø: M = {x ∈ F : |x| < 1} Dễ dàng chứng minh A vành F M ideal tối đại A Do F = A/M trường Ta gọi F trường thặng dư F 1.4 Tính chất đặc biệt dãy trường với chuẩn phi Archimede Cho F trường với chuẩn phi Archimede | | Ta có: a) (xn ) dãy Cauchy (x n+1 − xn ) → Chiều (⇐) hiển nhiên, ta chứng minh chiều (⇒) Giả sử (x n+1 − xn ) → 0, đó: ∀ε > 0, ∃N : ∀n, n > N ⇒ |xn+1 − xn | < ε (1.2) Do vaäy, ∀m, n, m > N, n > N , giả sử m ≥ n, m = n + k, ta coù: |xm − xn | = |xn+k − xn | = |(xn+k − xn+k−1 ) + (xn+k−1 − xn+k−2 ) + + (xn+1 − xn )| ≤ max{|xn+k − xn+k−1 |, |xn+k−1 − xn+k−2 |, , |xn+1 − xn |} < ε (Do (1.2)) Vậy (xn ) dãy Cauchy b) (xn ) dãy Cauchy x n dãy |xn | dãy dừng, nghóa tồn N cho: |x n | = |xN |, ∀n ≥ N Vì xn nên: ∃ε > cho ∃(n k )k để |xnk | ≥ ε (1.3) Vì (xn ) dãy Cauchy nên với ε trên, ∃N : ∀m, n, n > N, m > N ⇒ |xm − xn | < ε Choïn n K0 cho n K0 > N , đó: ∀m > N ⇒ |xm − xnK0 | < ε (1.4) Vaäy ∀m > N ⇒ |(xm − xnK0 ) + xnK0 | = max{|xm − xnK0 |, |xnK0 |} = |xnK0 | (Do (1.3), (1.4)) 56 Thật vậy, đặt: f = a−1 f (a0 = a = |f |r = |a0 | ⇒ f = - trái giả thiết) n (an a−1 )z ⇒ f2 = n∈Z −1 n n −1 ⇒ |f2 |r = max |an a−1 =1 |r = (max |an |r )|a0 | = |a0 ||a0 | n∈Z n∈Z Nếu định lí chứng minh cho f , tức là: f2 = P.u2 với P, u2 thoả điều kiện định lí thì: f = a0 f2 = P.(a0 u2 ) = P u với P, u thoả điều kiện định lí (iii) Hơn nữa, ta giả sử: P (0) = a = Thật vậy, giả sử: a = Do a = (như chứng minh phần (ii) ) nên tồn a −1 ∈ Cp Đặt: P0 = a−1 P, u0 = au, ta coù: P0 (0) = a−1 P (0) = a−1 a = Giả sử định lí chứng minh cho P , tức là: f = P u với P u thoả điều kiện định lí ( trừ điều kiện P (0) = 1) thì: f = P u = (a−1 P )(au) = P0 u0 với P0 , u0 thoả điều kiện định lí P0 (0) = (iv) Như vậy, theo chứng minh trên, ta chứng minh định lí với giả thiết: |f |r = 1, k(f, r) = 0, P (0) = 1, vaø đó: K(f, r) = d d n Giả sử: f = an z , an z n ta đặt: P1 (z) = n=0 n∈Z Ta có: P1 r−extremal Thaät vaäy: k(P , r) = min{0 ≤ n ≤ d : |an |r n = |P1 |r } = (do k(f, r) = 0) K(P1 , r) = d = degP vaø |P1 |r = an z n + |f − P1 |r = | n0 Ta chứng minh: |f − P1 |r < Giả sử: |f − P |r = 1, suy ra: max nd |an |r n = ⇒ ∃m < ∨ n > d : |am |r m = = |f |r 57 ∗ Nếu m < = k(f, r) ≤ m < 0−Vô lí ∗ Nếu m > d d = K(f, r) ≥ m > d−Vô lí Vậy:|f − P1 |r < Gọi q1 R1 thương dư phép chia f cho P định lí 3.2, ta coù: f = P q1 + R1 ⇒ f − P1 = P1 (q1 − 1) + R1 Do tính của phép chia Euclide (Định lí 3.2), ta có: q − R1 thương dư phép chia f − P cho P1 Đặt: |f − P1 |r = α, 0 0, lấy r điểm tới hạn dương nhỏ mà r > r1 Lập luận tương tự trên, theo mệnh đề 2.2.9: K(f, r ) = k(f, r ) vaø K(f, r) = k(f, r ) (3.17) Neân: K(f, r ) = k(f, r) Maø: vaø : |f |r = |ak(f,r) |r k(f,r) K(f,r1) |aK(f,r1 ) |r1 k(f,r1 ) = |f |r1 = |ak(f,r1 ) |r1 66 Suy ra: log|ak(f,r) | + k(f, r)logr = log|f |r = log|aK(f,r) | + K(f, r)logr Vaø: log|ak(f,r1 ) | + k(f, r1)logr1 = log|f |r1 = log|aK(f,r1 ) | + K(f, r1)logr1 (3.18) Do đó: N (f, 0, r) = log 0=z∈A[r1 ,r]:f(z)=0 log = |z|=r1 :f(z)=0 r + |z| r |z| log |z|=r:f(z)=0 r |z| (Vì theo định lí Weierstrass, không điểm f A[r , r] (nếu có) phải có chuẩn r r) (3.19) = [K(f, r1 ) − k(f, r1 )]log r r + [K(f, r) − k(f, r)]log r1 r = [K(f, r1 ) − k(f, r1 )](logr − logr1 ) (Do log r = log1 = 0) r = K(f, r1)logr − k(f, r1 )logr − K(f, r1 )logr1 + k(f, r1 )logr1 = k(f, r)logr − k(f, r1)logr − K(f, r1 )logr1 + k(f, r1 )logr1 (Do (3.17)) = (log|f |r − log|ak(f,r) |) − k(f, r1 )logr − (log|f |r1 − log|aK(f,r1 ) |) +(log|f |r1 − log|ak(f,r1 ) |) (Do (3.18)) = log|f |r − log|ak(f,r) | − k(f, r1 )logr + log|ak(f,r) |) − log|ak(f,r1 ) | (Do (3.17)) = log|f |r − k(f, r1 )logr − log|ak(f,r1 ) | ⇒ N (f, 0, r) + k(f, r1 )logr + log|ak(f,r1 ) | = log|f |r Nhö vậy, hai trường hợp, ta chứng minh định lí cho r ∈ [r1 , r ] với r điểm tới hạn lớn r , nghóa cho 67 r nằm đoạn từ r đến điểm tới hạn lớn r Bây giờ, cần kiểm tra vượt qua điểm giới hạn Giả sử r điểm tới hạn, giả sử định lí cho r ≤ r Lấy r” điểm tới hạn nhỏ mà lớn r Vì f có nhiều hữu hạn điểm tới hạn nằm đoạn từ r đến số r mà r < r , ta cần chứng minh định lí cho r ≤ r”, định lí chứng minh quy nạp Thật vậy, tương tự chứng minh (3.19), không điểm f (nếu có) phải có chuẩn r (nếu r bán kính tới hạn), r r (nếu r = r ) nên: N (f, 0, r) = log 0=z∈A[r1 ,r]:f(z)=0 = log |z|=r1 :f(z)=0 r |z| r + |z| log |z|=r :f(z)=0 = [K(f, r1 ) − k(f, r1)]log r |z| (Vì: log r r + [K(f, r ) − k(f, r )]log r1 r Nhưng vì: r < r < r ≤ r nên theo mệnh đề 2.2.9, ta có: K(f, r ) = k(f, r) vaø K(f, r1 ) = k(f, r ) Hơn nữa: K(f,r1 ) |f |r1 = |aK(f,r1) |r1 r = 0) r (3.20) k(f,r1 ) = |ak(f,r1 ) |r1 vaø: |f |r = |aK(f,r ) |(r )K(f,r ) = |ak(f,r ) |(r )k(f,r ) (3.21) Nên ta có: N (f, 0, r) = K(f, r1 )logr−K(f, r1 )logr1 −k(f, r1 )logr+k(f, r1 )logr1 +K(f, r )logr − K(f, r )logr − k(f, r )logr + k(f, r )logr = k(f, r )logr − K(f, r1 )logr1 − k(f, r1 )logr + k(f, r1 )logr1 +k(f, r)logr − K(f, r )logr − k(f, r )logr + k(f, r )logr (Do (3.20)) = k(f, r )logr − log|f |r1 + log|aK(f,r1 ) | − k(f, r1 )logr +log|f |r1 − log|ak(f,r1 ) | + log|f |r − log|ak(f,r) | 68 −log|f |r + log|aK(f,r ) | − k(f, r )logr + log|f |r − log|ak(f,r ) | (Do (3.21)) = log|aK(f,r1 ) | − k(f, r1 )logr − log|ak(f,r1 ) | +log|f |r − log|ak(f,r) | + log|aK(f,r ) | − log|ak(f,r ) | = log|ak(f,r ) | − k(f, r1 )logr − log|ak(f,r1 ) | +log|f |r − log|ak(f,r) | + log|ak(f,r) | − log|ak(f,r ) | (Do (3.20)) = log|f |r − k(f, r1 )logr − log|ak(f,r1 ) | 69 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề việc xây dựng trường số phức p-adic để sau xây dựng chuỗi Laurent p-adic tìm hiểu tính chất quan trọng Tiếp chứng minh số định lí quan trọng chuỗi Laurent p-adic cuối số ứng dụng chúng Như vậy, ta biết chuỗi Laurent p-adic có không điểm điểm tới hạn ( tức có không điểm với chuẩn với bán kính tới hạn), tính số không điểm chuỗi Laurent p-adic thông qua số tối đại số tối tiểu nó; bán kính hội tụ, đem chuỗi Laurent p-adic chia cho đa thức, thương dư (thỏa số ràng buộc) nhất, thương chuỗi Laurent p-adic dư đa thức có bậc nhỏ đa thức chia; bán kính hội tụ, đem phân tích chuỗi Laurent p-adic thành tích đa thức r − extremal chuỗi Laurent p-adic khả nghịch bán kính đó, Ngoài ra, ta biết giải tích p-adic có mối liên quan sâu sắc với vấn đề lớn số học hình học đại số, lí thuyết chuỗi Laurent p-adic ứng dụng lónh vực này? Đây vấn đề mà tiếp tục nghiên cứu thời gian tới 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Neal Koblitz ( 1977 ), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag [2] P.C.Hu and C.C.Yang ( 2000 ), Meromorphic functions over non Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers, London [3] William Cherry and Julie Tzu-Yueh Wang (2000), Non-Archimedean Anlytic Maps to Algebraic Curves, Value Distribution Theory and Complex Dynamics, Contemporary Math,( 303 ), American Mathematical Society , pp.7-35 [4] William Cherry (2009), Lecture on Non-Archimedean Function Theory Advanced School on p-adic Analysis and Applications, The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics,Trieste, Italy [5] Y.Amice (1975), Lesnombres p-dic, Presses Universitaires de France, France ... số phức p-adic, trường số phức p-adic C p , Chương 2: Xây dựng chuỗi Laurent p-adic : Trình bày thêm số khái niệm: Chuỗi Laurent p-adic, vành chuỗi Laurent p-adic, chuẩn chuỗi Laurent p-adic, ... DỰNG CHUỖI LAURENT P-ADIC Từ kiến thức chuẩn bị chương 1, chương tiếp tục trình bày thêm số khái niệm: Hàm giải tích p-adic, chuỗi Laurent p-adic, vành chuỗi Laurent p-adic, chuẩn chuỗi Laurent p-adic, ... đó, chuỗi Laurent p-adic tức hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa hình vành khăn) mở rộng thú vị hàm giải tích p-adic lại chưa nghiên cứu nhiều Vì mở rộng hàm giải tích p-adic nên nghiên cứu chuỗi