Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Hải CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TRONG DẠY HỌC TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin chân thành biết ơn TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức Didactic toán, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đóng góp ý kiến định hướng cho đề tài Xin cảm ơn anh chị khóa quan tâm, giúp đỡ Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt vợ tơi, người ln động viên tơi q trình thực luận văn Tác giả Đặng Minh Hải DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên GKNC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hành GKNC11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao hành GKNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hành GKCB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 hành GKCB11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành GKCB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 hành GVNC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hành GVNC11 : Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 nâng cao hành GVNC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hành GVCB10 : Sách giáo viên Đại số 10 hành GVCB11 : Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 hành GVCB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 hành SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong chương trình tốn trường phổ thơng, tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi hàm số huy động để giải kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12) Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu loại hàm số sau: hàm bậc y=ax+b, hàm bậc hai y=ax2+bx+c, hàm đa thức bậc y=ax3+bx2+cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương y=ax4+bx2+c, hàm phân thức y  ax  bx  c ax  b (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức y  (a≠0, a' x  b' cx  d a’≠0)1 Có thể thấy rõ đặc trưng chung hàm số đồng thời liên tục khả vi khoảng đơn điệu Với tư cách đối tượng2, khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi nghiên cứu lớp 10, 11 Điều khiến tự hỏi rằng: mối liên hệ ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm thể nào? Có chênh lệch so với mối liên hệ chúng cấp độ tri thức khoa học? Khi chúng tơi học giải tích bậc đại học, giảng viên nhấn mạnh mối liên hệ liên tụckhả vi, đặc biệt tính chất “một hàm số liên tục điểm khơng khả vi điểm đó” Các minh họa đồ thị theo sau chứng minh chặt chẽ phản ví dụ giúp chúng tơi hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tơi dễ dàng xây dựng phản ví dụ kiểu Như vậy, đồ thị công cụ hữu hiệu việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi Ở phổ thơng, điều có tính đến khơng ? Rộng hơn, đồ thị có tính đến công cụ cho phép làm rõ mối liên hệ ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi hàm số không ? Từ vấn đề trên, thấy việc nghiên cứu “Các tính chất hàm số mối liên hệ chúng dạy học Tốn phổ thơng” cần thiết Phạm vi lý thuyết tham chiếu Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi trên, đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể lý thuyết nhân chủng học với khái niệm : Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức Đây công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số Bên cạnh đó, lý thuyết tình với khái niệm: tình dạy học, biến didactic, mơi trường sử dụng nhằm xây dựng tình thực nghiệm Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sử dụng nhằm mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái Chỉ đề cập SGK nâng cao Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi tốn học trường phổ thơng, ta hiểu khái niệm hoạt động dạng Đối tượng đối tượng nghiên cứu (được nghiên cứu, khai thác tính chất,…)” [19, tr.56] niệm giúp giải thích ứng xử học sinh liên quan đến mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số Trong phạm vi lý thuyết lựa chọn, từ câu hỏi ban đầu, phát biểu câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số? Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số hình thành sao? Có đặc trưng ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ đặt ra? Mối liên hệ không đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số hệ thống biểu đạt đồ thị có tính đến môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số không? Q3: Những ràng buộc thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh? Mục đích phương pháp nghiên cứu Trong khn khổ luận văn thạc sĩ, bám sát câu hỏi đặt ra, giới hạn vấn đề nghiên cứu mối liên hệ ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi hàm số Mục đích luận văn tìm số yếu tố cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đặt Trên sở đó, chúng tơi tiến hành nghiên cứu sau: -Nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức khoa học mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số cách phân tích số giáo trình đại học tiêu biểu Nghiên cứu trả lời câu hỏi Q1 dùng làm tham chiếu phân tích mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số phổ thông -Nghiên cứu mối quan hệ thể chế mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 Để thực nghiên cứu này, chúng tơi tiến hành phân tích chương trình SGK hành sở tham chiếu kết đạt từ nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức toán học Kết thúc phần này, đề xuất giả thuyết nghiên cứu liên quan đến quan niệm học sinh ảnh hưởng mối quan hệ thể chế đặt câu hỏi nghiên cứu -Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân HS Nghiên cứu nhằm trả lời phần câu hỏi Q3 câu hỏi đặt liên quan đến đồ thị Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, chương kết luận chung Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn Chương phần trình bày nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích số giáo trình đại học Trong chương 2, chúng tơi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số Trên sở đó, chúng tơi đề xuất giả thuyết nghiên cứu đặt câu hỏi Chương phần nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết nêu tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi đặt cuối chương Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động đồ thị lên mối quan hệ cá nhân học sinh Phần kết luận, chúng tơi tóm tắt kết nghiên cứu đề xuất hướng nghiên cứu mở từ luận văn Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu chương tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : Ở cấp độ tri thức khoa học, có mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số? Để đạt mục tiêu này, chọn nghiên cứu giáo trình :  [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Tốn học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích biến số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục  [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình tốn tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất Giáo dục [21] giáo trình toán dùng phổ biến trường đại học Việt Nam [22] sách xuất khn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao Việt Nam, với trợ giúp phận Văn hóa Hợp tác Đại Sứ quán Pháp nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Đây hai tài liệu tham khảo Ngoài ra, số nội dung, để làm rõ vấn đề tham khảo thêm :  [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích tốn học - NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp  [23]-Richard F Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf)  [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol 20, No (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of America  [25]-Discontinuous and monotone Functions (www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html) Như vậy, giới hạn nghiên cứu mối liên hệ có đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số giáo trình chọn Trước hết, chúng tơi điểm qua khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số nhằm tìm hiểu xem mối liên hệ chúng có thể định nghĩa không ? Sau đó, chúng tơi xem xét mối liên hệ thể định lí, tính chất liên quan đến ba đối tượng 1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi 1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu [21] đưa vào định nghĩa sau: “ NếuJ  I  R3, hàm số f:I→R gọi tăng J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Tăng nghiêm ngặt J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Giảm J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Giảm nghiêm ngặt J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số tăng hay giảm J gọi đơn điệu J.” [21, tr.46] Định nghĩa hàm đơn điệu [22]: “ Cho X   ( R ) f  R X 1)Ta nói f tăng : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 2) Ta nói f giảm : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 5)Ta nói f đơn điệu f tăng f giảm 6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt f tăng nghiêm ngặt f giảm nghiêm ngặt ” [22, tr.103] Nhận xét : Theo cách trình bày [21] [22], khái niệm hàm số đơn điệu xét tập khác rỗng R Cả [21] [22] phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt” [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để hàm tăng hay giảm trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” khơng có thuật ngữ chung [22] nêu rõ “Ta nói f đơn điệu f tăng Trong [21] kí hiệu A  B nghĩa phần tử A thuộc B hay A tập B, A  B nghĩa phần tử A thuôc B, B có phần tử khơng thuôc A hay A tập thực B P(R) tập tập R, RX tập hàm số từ X vào R f hàm số từ X vào R f giảm.” “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt f tăng nghiêm ngặt f giảm nghiêm ngặt.” Từ sau, luận văn này, nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt 1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục  Liên tục điểm “ Cho f(x) hàm số xác định (a,b); nói f(x) liên tục xo  (a, b ) lim f ( x)  f ( xo ) ” [21, tr.89] x  xo “Cho f: I →K, a  I Ta nói f liên tục a khi:   0,   0, x  I , ( x  a    f ( x)  f ( a )   ) ” [22, tr.120] Nhận xét: [21] [22] định nghĩa khái niệm liên tục điểm theo hai cách khác [21] thông qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ  ,  ), [22] định nghĩa trực tiếp ngôn ngữ  ,  (định nghĩa Weierstrass) Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa định lý: “Cho f : I  K , a  I Để f liên tục a điều kiện cần đủ f có giới hạn f(a) điểm a.”[22, tr.120], khẳng định tương đương hai định nghĩa Tiếp theo định nghĩa liên tục hàm điểm, [21] [22] đưa định nghĩa điểm gián đoạn phân loại chúng: “Hàm số f(x) không liên tục điểm xo gọi gián đoạn điểm Giả sử hàm f xác định đoạn [a,b], xo  [ a, b] điểm gián đoạn f Ta nói xo điểm gián đoạn bỏ qua f ( xo  0)  f ( xo  0) 7; xo điểm gián đoạn loại f ( xo  0)  R, f ( xo  0)  R f ( xo  0)  f ( xo  0) , hiệu f ( xo  0)  f ( xo  0) gọi bước nhảy f xo ; xo gọi điểm gián đoạn loại hai khơng thuộc hai loại trên.” [21, tr.90] “Ta nói f gián đoạn a f không liên tục a […] Gián đoạn loại Ta nói f có điểm gián đoạn loại a khi: f không liên tục a, f có giới hạn trái a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải a (nếu f xác định bên phải a) I chín loại khoảng R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞) K  R Trong luận văn này, ta hiểu K R f ( xo  0)  lim f ( x) , f ( xo  0)  lim f ( x) x  xo x  xo Nếu f khơng liên tục a khơng có điểm gián đoạn loại a, ta nói f có điểm gián đoạn loại a” [22, tr.120-121] Nhận xét: Cách định nghĩa điểm gián đoạn [21] [22] giống Về cách phân loại, điểm gián đoạn bỏ qua điểm gián đoạn loại [21] tương đương với điểm gián đoạn loại [22]  Liên tục khoảng “Nói hàm số f(x) liên tục khoảng (a,b) f(x) liên tục x  (a, b) ” [21, tr.91] “Cho f : I  K Ta nói f liên tục I f liên tục điểm I.” [22, tr.121] 1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi “ Cho a  I , f  K I Ta nói f khả vi a lim h0 f ( a  h)  f ( a ) tồn hữu h hạn; giới hạn kí hiệu f’(a) gọi đạo hàm f a.” [22, tr.139] “Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a,b) nói hàm số f(x) khả vi điểm c  (a, b) tồn giới hạn lim xc Số A; giới hạn tỉ số f ( x )  f (c )  A, x  c xc f ( x )  f (c ) , x  c , x  c gọi đạo hàm hàm số f(x) xc lấy điểm x=c; kí hiệu f’(c).” [21, tr.119] Nhận xét: Hai cách định nghĩa hình thức khác nhau, thực chất [21] nêu rõ điều qua nhận xét sau: “Nếu đặt x  c  x biểu thức định nghĩa trở thành lim  x 0 f (c  x )  f ( c ) : f '( c) ” [21, tr.119] x Sau trình bày định nghĩa đạo hàm điểm, [21] [22] phân tích rõ ý nghĩa hình học đạo hàm “Đạo hàm điểm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị f(x) số điểm đó; hàm số khả vi điểm x=c có nghĩa điểm x=c, đồ thị f(x) có tiếp tuyến khơng vng góc với trục Ox.” [21, tr.120] “[…] tính khả vi f diễn giải hình học tồn tiếp tuyến không song song với (yy’) điểm A có tọa độ (a,f(a)) đường cong Cf biểu diễn f Tiếp tuyến có hệ số góc f’(a)” Phụ lục 2: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 2: Các em thân mến, phiếu khơng nhằm mục đích đánh phục vụ cho việc nghiên cứu Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin tự lực (không trao đổi) trả lời câu hỏi Cảm ơn em nhiều Họ tên : Lớp Mã số HS: Trường  Tình 1’ Cho toán: “Cho hàm số y = f(x) đồng biến đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3 Phương trình f(x)=0 có nghiệm khoảng (-1;3) khơng? Vì sao?” Ba học sinh A, B C tranh luận sau: Học sinh A: f(-1)= -2 f(3)= suy f(-1).f(3)=(-2).3=-6